相対位相

同義語：部分空間位相subspace topologyrelative topology

概要

前提知識: 位相空間, 開集合, 連続写像, Euclid空間

位相空間の部分集合は、そのままでは単なる集合である。閉区間 $[0,1]$、円周 $S^1\subset\mathbb{R}^2$、有理数全体 $\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$ のような部分集合の上で連続性や収束やコンパクト性を論じるには、部分集合にも位相を入れなければならない。最も自然な入れ方は「全体の開集合を部分集合で切り取ったものを開集合とする」ことであり、これが相対位相である。部分集合の中に住む観察者には、全体の開集合のうち自分のいる部分だけが見える、という描像である。相対位相は包含写像を連続にする最も粗い位相として特徴づけられ、「部分集合へ値をとる写像の連続性は、全体への写像として調べてよい」という普遍性をもつ。一方で、「$A$ で開」と「$X$ で開」は一般に違い、連結性やコンパクト性は部分集合に受け継がれるとは限らない。

定義

相対位相

$(X,\tau)$ を位相空間、$A\subset X$ を部分集合とする。$A$ の部分集合の族
$$ \tau_A:=\{A\cap U\mid U\in\tau\} $$
を、$X$ の位相から $A$ に誘導される相対位相（subspace topology、relative topology）または部分空間位相という。$(A,\tau_A)$ を $X$ の部分空間という。

$V\subset A$ が $\tau_A$ に属するとき「$V$ は $A$ で開」といい、$X$ の開集合であることと区別する。「$V$ は $A$ で開」とは、$V=A\cap U$ となる $X$ の開集合 $U$ が存在することであり、$V$ 自身が $X$ で開である必要はない（開集合の例「相対位相で開になる集合」）。以下、位相空間の部分集合には断らない限り相対位相を入れる。とくに Euclid空間 $\mathbb{R}^n$ の部分集合（区間、球面 $S^{n-1}$、$\mathbb{Q}^n$ など）は、通常の位相からの相対位相で位相空間とみなす。

相対位相は位相である

$\tau_A$ は $A$ 上の位相である。

$\emptyset=A\cap\emptyset$、$A=A\cap X$ なので $\emptyset,A\in\tau_A$ である。有限個の交わりは $(A\cap U_1)\cap(A\cap U_2)=A\cap(U_1\cap U_2)$ から従う。和集合を示す。$(V_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ を $\tau_A$ の元の族とし、各 $\lambda$ について $U_\lambda$ を「$A\cap U=V_\lambda$ を満たす $X$ の開集合 $U$ 全体の和集合」とおく。$U_\lambda$ は開集合で、$A\cap U_\lambda=V_\lambda$ を満たす。したがって
$$ \bigcup_{\lambda}V_\lambda=\bigcup_\lambda(A\cap U_\lambda)=A\cap\bigcup_\lambda U_\lambda\in\tau_A $$
である。$\square$

和集合の段で $U_\lambda$ を「条件を満たす開集合の和集合」と決めたのは、各 $\lambda$ ごとに開集合を 1 つずつ任意に選ぶ手間（無限個の選択）を避けるためである（Mor24 4.1.1 Definition の脚注が同じ注意をしている）。

基本的な性質

普遍性：包含写像を連続にする最も粗い位相

包含写像を $i\colon A\to X$、$i(a)=a$ と書く。$U\subset X$ について $i^{-1}(U)=A\cap U$ なので、$\tau_A$ はちょうど「$X$ の開集合の $i$ による逆像」の全体である。

相対位相の普遍性

$(X,\tau)$ を位相空間、$A\subset X$、$i\colon A\to X$ を包含写像とする。

$\tau_A$ は、$i$ を連続にする $A$ 上の位相のうち最も粗いものである。
任意の位相空間 $Z$ と写像 $f\colon Z\to A$ について、$f$ が $\tau_A$ に関して連続であることと、$i\circ f\colon Z\to X$ が連続であることは同値である。
$$ \xymatrix{ Z \ar[r]^{f} \ar[dr]_{i\circ f} & A \ar@{^{(}->}[d]^{i} \\ & X } $$
逆に、$A$ 上の位相 $\sigma$ が 2 の性質（すべての $Z$ と $f\colon Z\to A$ について「$f$ が $\sigma$ に関して連続 $\iff$ $i\circ f$ が連続」）をもつなら、$\sigma=\tau_A$ である。

図式の斜めの矢印は合成 $i\circ f$ そのものであり、2 は「$A$ への写像 $f$ の連続性は、$X$ への写像 $i\circ f$ の連続性で判定できる」と述べている。

1：$i$ が $\sigma$ に関して連続であることは、すべての $U\in\tau$ について $i^{-1}(U)=A\cap U\in\sigma$ となること、すなわち $\tau_A\subset\sigma$ と同値である。$\sigma=\tau_A$ はこれを満たすので、$\tau_A$ は $i$ を連続にする最も粗い位相である。
2：$f$ が連続なら、1 より $i$ も連続なので合成 $i\circ f$ は連続である。逆に $i\circ f$ が連続とする。$A$ の開集合 $V$ は $V=A\cap U$（$U\in\tau$）と書け、$f$ の値は $A$ に入るので
$$ f^{-1}(V)=f^{-1}(A\cap U)=\{z\in Z\mid f(z)\in U\}=(i\circ f)^{-1}(U) $$
であり、これは $Z$ で開である。よって $f$ は連続である。
3：$Z=(A,\sigma)$、$f=\mathrm{id}_A$ とすると、$f$ は $\sigma$ に関して連続なので $i=i\circ\mathrm{id}_A$ は連続であり、1 により $\tau_A\subset\sigma$ である。次に $Z=(A,\tau_A)$、$f=\mathrm{id}_A$ とすると、$i\circ f=i$ は（1 により）連続なので、仮定から $\mathrm{id}_A\colon(A,\tau_A)\to(A,\sigma)$ は連続であり、$\sigma\subset\tau_A$ である。$\square$

相対位相は、包含写像 1 つについての始位相である（始位相の例「部分集合の包含写像」）。3 は、相対位相が普遍性 2 だけで決まることを表している。Stacks Topology, Lemma 6.1（Tag 09R8）は、単射 $f\colon Y\to X$ による誘導位相を「$f$ を連続にする最も弱い位相」「開集合が $f^{-1}(U)$ の形」「閉集合が $f^{-1}(Z)$ の形」の 3 通りで特徴づけている。

連続写像の制限と値域の縮小

$f\colon X\to Y$ を連続写像とする。

$A\subset X$ について、制限 $f|_A\colon A\to Y$ は連続である。
$B\subset Y$ が $f(X)\subset B$ を満たすなら、値域を縮めた写像 $X\to B$、$x\mapsto f(x)$ は連続である。

1：$f|_A=f\circ i$ は連続写像の合成である。2：値域を縮めた写像を $g\colon X\to B$ とし、$j\colon B\to Y$ を包含とすると $j\circ g=f$ は連続なので、thm-subspace-topology-universal の 2 により $g$ は連続である。$\square$

たとえば $f\colon\mathbb{R}\to S^1$、$f(t)=(\cos t,\sin t)$ が連続であることは、$\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2$ として成分 $\cos t$、$\sin t$ が連続であることと、値が $S^1$ に入ることから分かる。

閉集合と閉包

部分空間の閉集合と閉包

$A\subset X$ とする。

$F\subset A$ が $A$ で閉であることと、$X$ のある閉集合 $C$ について $F=A\cap C$ となることは同値である。
$B\subset A$ の $A$ での閉包は $\overline{B}^{\,A}=A\cap\overline{B}^{\,X}$ である（右肩の添字は閉包をとる空間）。

1：$F$ が $A$ で閉 $\iff$ $A\setminus F$ が $A$ で開 $\iff$ ある開集合 $U$ で $A\setminus F=A\cap U$ となる。このとき $F=A\cap(X\setminus U)$ であり、$X\setminus U$ は閉集合である。逆に $F=A\cap C$（$C$ は閉）なら $A\setminus F=A\cap(X\setminus C)$ は $A$ で開である。
2：$A\cap\overline{B}^{\,X}$ は 1 により $A$ で閉で $B$ を含むので、$B$ を含む $A$ の最小の閉集合 $\overline{B}^{\,A}$ を含む。逆に $\overline{B}^{\,A}$ は 1 により $A\cap C$（$C$ は $X$ の閉集合）と書け、$B\subset C$ なので $\overline{B}^{\,X}\subset C$ であり、$A\cap\overline{B}^{\,X}\subset A\cap C=\overline{B}^{\,A}$ である。$\square$

閉包と違い、内部には同じ形の公式はない。$A=B=[0,1]\subset\mathbb{R}$ とすると、$A$ での内部は $A$ 全体（全体集合は開だから）だが、$A\cap\operatorname{Int}_{\mathbb{R}}B=(0,1)$ である。したがって内部・閉包・境界を使うときは、どの空間でとっているかを明示しなければならない。

推移性と、開部分空間・閉部分空間

推移性と開閉性の受け渡し

$B\subset A\subset X$ とする。

$B$ が $A$（相対位相）から受け継ぐ相対位相は、$B$ が $X$ から直接受け継ぐ相対位相と一致する。
$A$ が $X$ で開なら、$V\subset A$ について「$V$ は $A$ で開」$\iff$「$V$ は $X$ で開」。
$A$ が $X$ で閉なら、$F\subset A$ について「$F$ は $A$ で閉」$\iff$「$F$ は $X$ で閉」。
$\tau_A\subset\tau$ であることと、$A$ が $X$ で開であることは同値である。

1：$A$ の開集合は $A\cap U$（$U$ は $X$ で開）の形なので、$B$ が $A$ から受け継ぐ開集合は $B\cap(A\cap U)=B\cap U$ の形であり、$X$ から直接受け継ぐ開集合と同じである。
2：$V$ が $A$ で開なら $V=A\cap U$（$U$ は $X$ で開）で、$A$ も $X$ で開なので $V$ は $X$ で開である。逆に $V\subset A$ が $X$ で開なら $V=A\cap V$ なので $A$ で開である。3 は 2 の閉集合版で、prop-subspace-topology-closed の 1 を使えば同じ議論になる。
4：$A\in\tau_A$ なので、$\tau_A\subset\tau$ なら $A$ は $X$ で開である。逆は 2 による。$\square$

1 により「部分空間の部分空間は部分空間」であり、何段階で切り出したかを気にしなくてよい。2・3 の仮定を外すと結論は崩れる（下の反例の表の 1・2）。

開基と距離

開基の制限

$\mathcal{B}$ が $X$ の位相の開基なら、$\mathcal{B}_A:=\{A\cap W\mid W\in\mathcal{B}\}$ は $A$ の相対位相の開基である。とくに、第 2 可算な空間の部分空間は第 2 可算である。

$A$ の開集合 $V=A\cap U$（$U$ は $X$ で開）と $a\in V$ をとる。$a\in W\subset U$ となる $W\in\mathcal{B}$ があり、$a\in A\cap W\subset A\cap U=V$ である。$A\cap W$ は $A$ で開なので、$\mathcal{B}_A$ は開基である。$\mathcal{B}$ が可算なら $\mathcal{B}_A$ も可算である。$\square$

距離空間の部分集合

$(X,d)$ を距離空間、$A\subset X$ とする。$A$ 上に制限した距離 $d_A:=d|_{A\times A}$ が定める位相は、$X$ の距離位相から誘導される相対位相と一致する。

$a\in A$、$r>0$ について、$d_A$ の開球は $B_A(a,r)=\{x\in A\mid d(a,x)< r\}=A\cap B_X(a,r)$ である。$V\subset A$ が相対位相で開なら $V=A\cap U$（$U$ は $X$ で開）と書け、$a\in V$ について $B_X(a,r)\subset U$ となる $r$ をとれば $B_A(a,r)=A\cap B_X(a,r)\subset V$ なので、$V$ は $d_A$ について開である。逆に $V$ が $d_A$ について開なら、各 $a\in V$ に $B_A(a,r_a)\subset V$ となる $r_a>0$ があり、$U:=\bigcup_{a\in V}B_X(a,r_a)$ は $X$ で開で $A\cap U=\bigcup_aB_A(a,r_a)=V$ となるので、$V$ は相対位相で開である。$\square$

この命題により、距離空間の部分集合については「制限した距離で考える」ことと「相対位相で考える」ことを区別しなくてよい（Leb26 Proposition 7.2.11。距離化可能空間の例「Euclid空間と部分空間」にも同じ証明がある）。

貼り合わせ

閉集合での貼り合わせ

$X=A\cup B$ で、$A,B$ はどちらも $X$ の閉集合とする。写像 $f\colon X\to Y$ の制限 $f|_A$、$f|_B$ がどちらも連続なら、$f$ は連続である。$A,B$ がどちらも開集合でも同じ結論が成り立つ。

$C\subset Y$ を閉集合とすると $f^{-1}(C)=(f|_A)^{-1}(C)\cup(f|_B)^{-1}(C)$ である。$(f|_A)^{-1}(C)$ は $A$ で閉なので、$A$ が $X$ で閉であることと prop-subspace-topology-transitive の 3 により $X$ で閉である。$B$ の側も同じなので、$f^{-1}(C)$ は 2 つの閉集合の和として閉であり、$f$ は連続である。開集合の場合は、閉集合を開集合に替え、同じ命題の 2 を使えばよい。$\square$

たとえば $f(x)=\lvert x\rvert$ は、$(-\infty,0]$ 上の $-x$ と $[0,\infty)$ 上の $x$ を貼り合わせたものなので連続である。$A,B$ が閉でも開でもないと結論は崩れる：$A=(-\infty,0)$、$B=[0,\infty)$ として $x<0$ で $0$、$x\ge0$ で $1$ をとる関数は、各部分の上では定数で連続だが、$\mathbb{R}$ 上では $0$ で連続でない。

例

左：実数直線の開区間（−1/2 から 1/2）と閉区間（0 から 1）の共通部分は、0 以上 1/2 未満の区間になる。右：平面の開円板を単位円周で切ると、端点を含まない円弧になる

区間と円周

$A=[0,1]\subset\mathbb{R}$ では $[0,1/2)=A\cap(-1/2,1/2)$ なので、$[0,1/2)$ は $A$ で開である（図 1 の左）。$\mathbb{R}$ ではどの開区間 $(-\varepsilon,\varepsilon)$ も負の数を含むので $[0,1/2)$ は開でない。端点 $0$ は $\mathbb{R}$ から見ると $[0,1/2)$ の境界にあるが、$A$ の中では内部の点である。$A$ 自身は $A$ で開かつ閉である。
$S^1=\{x\in\mathbb{R}^2\mid\|x\|=1\}$ では、開円板 $B(p,r)$（$p\in S^1$、$0< r<2$）との共通部分 $S^1\cap B(p,r)$ が端点を含まない円弧であり、$S^1$ の開集合である（図 1 の右）。prop-subspace-topology-basis により、こうした円弧の全体は $S^1$ の開基である。n次元球面 $S^n$ の位相はこの意味の相対位相として定義されている。

整数と有理数

$\mathbb{Z}\subset\mathbb{R}$ の相対位相は離散位相である。各 $n\in\mathbb{Z}$ について $\{n\}=\mathbb{Z}\cap(n-\tfrac12,n+\tfrac12)$ が $\mathbb{Z}$ で開だからである（Mor24 4.1.6 Example）。$\mathbb{Z}$ 自身は $\mathbb{R}$ で開でなく、1 点集合 $\{n\}$ も $\mathbb{R}$ では開でない。
$\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$ では、どの開集合 $\mathbb{Q}\cap(a,b)$（$a< b$）も無限個の有理数を含むので、1 点集合は開でなく、相対位相は離散位相でない。また $\sqrt2$ が無理数なので $\mathbb{Q}=\bigl(\mathbb{Q}\cap(-\infty,\sqrt2)\bigr)\cup\bigl(\mathbb{Q}\cap(\sqrt2,\infty)\bigr)$ は交わらない空でない開集合 2 つに分かれ、$\mathbb{Q}$ は連結でない。

有限集合での計算

$X=\{a,b,c,d\}$ に位相 $\tau=\{\emptyset,\{a\},\{a,b\},\{a,c\},\{a,b,c\},X\}$ を入れ、$A=\{b,c,d\}$ とする。$\tau$ の各元と $A$ の共通部分をとると $\emptyset,\emptyset,\{b\},\{c\},\{b,c\},A$ なので、
$$ \tau_A=\{\emptyset,\{b\},\{c\},\{b,c\},A\} $$
である。$\{b\}$ は $A$ で開だが $X$ で開でない（$\{b\}\notin\tau$）。$A$ は $X$ で開でないので、prop-subspace-topology-transitive の 4 のとおり $\tau_A\not\subset\tau$ となっている。

関数のグラフ

$f\colon X\to\mathbb{R}$ を連続関数とし、グラフ $\Gamma_f:=\{(x,f(x))\mid x\in X\}\subset X\times\mathbb{R}$ に直積位相からの相対位相を入れる。$g\colon X\to\Gamma_f$、$g(x)=(x,f(x))$ は同相写像である。実際、$g$ は全単射で、$X\times\mathbb{R}$ への写像として成分 $\mathrm{id}_X$ と $f$ が連続なので thm-subspace-topology-universal の 2 により連続であり、逆写像は第 1 射影の $\Gamma_f$ への制限なので cor-subspace-topology-restriction により連続である。放物線 $\{(x,x^2)\}\subset\mathbb{R}^2$ が直線 $\mathbb{R}$ と同相であるのはこの例である。

余有限位相の部分集合に入る相対位相は、その部分集合上の余有限位相である（余有限位相の命題「部分集合の相対位相」）。

部分空間に受け継がれる性質

性質	任意の部分空間へ	開部分空間・閉部分空間へ	根拠・反例
Hausdorff	受け継ぐ	受け継ぐ	Hausdorff空間の命題「部分空間と直積による保存」
第 2 可算	受け継ぐ	受け継ぐ	prop-subspace-topology-basis
距離化可能	受け継ぐ	受け継ぐ	prop-subspace-topology-metric
離散・密着	受け継ぐ	受け継ぐ	$A\cap\{x\}=\{x\}$、$\{\emptyset,X\}_A=\{\emptyset,A\}$
連結	受け継がない	受け継がない	$\{0,1\}\subset\mathbb{R}$（閉）、$(0,1)\cup(2,3)\subset\mathbb{R}$（開）
コンパクト	受け継がない	閉なら受け継ぐ	$(0,1)\subset[0,1]$（開）
局所コンパクト	受け継がない	どちらも受け継ぐ	$\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$
完備（距離空間）	受け継がない	閉なら受け継ぐ	$(0,1)\subset\mathbb{R}$

コンパクト空間の閉集合がコンパクトであることはコンパクト空間の命題「保存と閉性」、局所コンパクト性は局所コンパクト空間の命題「閉部分空間への遺伝」「開部分空間への遺伝」と例「反例：有理数全体」、完備性は完備距離空間の命題「閉部分集合と完備性」による。連結性の反例の詳しい扱いは連結空間の注意「反例：部分空間と共通部分には遺伝しない」にある。

反例：取り違えやすいこと

外す条件・取り違え	反例	成り立たなくなること
$A$ が $X$ で開	$A=[0,1]$、$V=[0,1/2)$	$A$ で開なら $X$ で開
$A$ が $X$ で閉	$A=(0,2)$、$F=(0,1]$	$A$ で閉なら $X$ で閉
連続全単射なら同相	$[0,1)\to S^1$、$t\mapsto(\cos2\pi t,\sin2\pi t)$	像に相対位相を入れれば同相
順序と位相の両立	$Y=[0,1)\cup\{2\}\subset\mathbb{R}$	部分集合の順序位相と相対位相の一致
開集合・閉集合で貼る	$(-\infty,0)$ と $[0,\infty)$	貼り合わせた写像の連続性

1 は上の ex-subspace-topology-interval-circle のとおりである。2 では $F=(0,1]=(0,2)\cap[0,1]$ は $A$ で閉だが、$0$ に収束する $F$ の点列 $1/k$ の極限 $0$ が $F$ にないので $\mathbb{R}$ で閉でない。5 は「貼り合わせ」の節の最後の例である。3 と 4 を以下で確かめる。

反例：連続全単射の像の相対位相

$f\colon[0,1)\to S^1$、$f(t)=(\cos2\pi t,\sin2\pi t)$ は連続な全単射で、像 $S^1$ には相対位相が入っている。しかし $[0,1/2)$ は $[0,1)$ で開なのに、その像（上半分の円弧に点 $(1,0)$ を加えたもの）は $S^1$ で開でない。$(1,0)$ のどんな近くにも、下半分の円周の点があるからである。したがって $f^{-1}$ は連続でなく、$f$ は同相写像でない（詳しい確認は同相写像の例「反例：半開区間から円周への連続全単射」）。
満たす性質：連続、全単射、行き先に相対位相。満たさない性質：同相。破る含意：「連続な単射は、像に相対位相を入れれば像への同相写像になる」。この含意が成り立つ単射を位相的埋め込みという（「注意」の節）。

反例：順序位相と相対位相

全順序集合には、半直線 $\{y\mid y< a\}$ と $\{y\mid a< y\}$ の全体が生成する順序位相が入り、$\mathbb{R}$ の順序位相は通常の位相である（位相空間の例「全順序集合に入る位相」）。$Y=[0,1)\cup\{2\}\subset\mathbb{R}$ に、$\mathbb{R}$ の順序を制限した全順序を入れる。
相対位相では $\{2\}=Y\cap(\tfrac32,\tfrac52)$ は開である。順序位相では $\{2\}$ は開でない。$Y$ の順序位相の開集合は、$Y$ 自身と半直線の有限個の共通部分の和集合である。$2$ は $Y$ の最大元なので、左半直線 $\{y\in Y\mid y< b\}$（$b\in Y$）は $2$ を含まず、$2$ を含む半直線は右半直線 $\{y\in Y\mid a< y\}$（$a\in Y$、$a<2$、したがって $a<1$）だけである。そのような有限個の右半直線の共通部分は、$a$ の最大値を $a_0<1$ として $(a_0,1)$ の点を含むので、$\{2\}$ に含まれない。満たす性質：$Y$ は $\mathbb{R}$ の部分集合で、順序も位相も $\mathbb{R}$ から受け継いでいる。破る含意：「部分集合の順序位相は、全体の順序位相からの相対位相と一致する」。

注意：似た言葉と一般化

連続な単射 $e\colon Y\to X$ が、像 $e(Y)$ に相対位相を入れたとき $Y\to e(Y)$ の同相写像になるとき、$e$ を位相的埋め込みという。部分多様体や曲線・曲面を「$\mathbb{R}^n$ の中の図形」として扱うときは、この意味の埋め込みを使う。上の反例のように、連続な単射は埋め込みとは限らない。
「部分空間」は線形代数の「線形部分空間」と同じ言葉である。ベクトル空間の部分空間に位相を入れるときも、位相は相対位相である。
「誘導位相」は相対位相の別名として使われることもあるが、写像の族による始位相の意味で使われることも多い。
代数幾何学では Zariski位相の相対位相で開部分集合・閉部分集合を考える。ただしスキームの開部分スキーム・閉部分スキームは、位相のほかに構造層の情報をもつ。