不変部分空間

要点：どれも定義を直接確かめればよい。5 の後半は、$T^dv$ が前の $d$ 本で書けると、$T$ を掛けて以後の $T^kv$ もすべて前の $d$ 本で書けることによる。

$v$ を巡回ベクトルとし、線形写像 $\varphi\colon K[x]\to V$ を $\varphi(f):=f(T)v$ で定める。$\varphi$ の像は $T^kv$（$k\ge0$）の張る空間 $Z(v)=V$ なので、$\varphi$ は全射である。
核。 $f(T)v=0$ なら、すべての $k$ について $f(T)T^kv=T^kf(T)v=0$ であり、$T^kv$ は $V$ を張るので $f(T)=0$ である。逆も明らかなので、$\ker\varphi=\{f\mid f(T)=0\}$ であり、これは最小多項式の倍元の全体 $(m)$ である（Cayley–Hamiltonの定理 の命題「最小多項式は零化多項式を割り切る」）。$K[x]/(m)$ は除法の原理（多項式環 の定理「除法の原理」）により $1,x,\dots,x^{\deg m-1}$ の剰余類を基底にもつので、$\varphi$ が誘導する同型 $K[x]/(m)\cong V$ から $\deg m=n$ を得る。これが 1 である。
不変部分空間とイデアル。 $\varphi(xf)=T\varphi(f)$ に注意する。部分空間 $W\subset V$ に対し $I_W:=\varphi^{-1}(W)$ とおく。$W$ が $T$ 不変なら、$f\in I_W$ のとき $\varphi(xf)=T\varphi(f)\in W$ なので $xf\in I_W$ であり、$I_W$ は $x$ 倍で閉じた部分空間、すなわち $K[x]$ のイデアルである。$I_W\supset\ker\varphi=(m)$ である。多項式環 の定理「体上の多項式環は単項イデアル整域」により $I_W=(e)$ となる最高次係数 $1$ の $e$ がただ 1 つあり、$m\in(e)$ から $e\mid m$ である。$\varphi$ は全射なので $W=\varphi(I_W)$ であり、$W$ は $e$ で決まる。逆に $e\mid m$ なら $\varphi((e))=\{g(T)e(T)v\}=\operatorname{im}e(T)$ は不変部分空間で、$\varphi^{-1}(\varphi((e)))=(e)+(m)=(e)$ である。以上から、$W\mapsto e$ は $T$ の不変部分空間の全体から $m$ の最高次係数 $1$ の約数の全体への全単射で、逆写像は $e\mapsto\operatorname{im}e(T)$ である。
核による表示。 $e\mid m$ とし、$d:=m/e$ とおく。$f\in\varphi^{-1}(\ker d(T))$ は $d(T)f(T)v=0$、すなわち $m\mid df$ と同値で、これは $e\mid f$ と同値である。よって $\varphi^{-1}(\ker d(T))=(e)$、$\ker d(T)=\varphi((e))=\operatorname{im}e(T)$ である。$e\mapsto m/e$ は $m$ の最高次係数 $1$ の約数の全体の上の全単射なので、$d\mapsto\ker d(T)$ も全単射である。
次元と最小多項式。 $w:=e(T)v$ とおくと $\ker d(T)=\operatorname{im}e(T)=Z(w)$ であり、$w$ は $T|_{\ker d(T)}$ の巡回ベクトルである。$g(T)w=0$ は $m\mid ge$、すなわち $d\mid g$ と同値なので、核の段落と同じ議論により $T|_{\ker d(T)}$ の最小多項式は $d$ であり、1 をこの巡回的な変換に当てはめて $\dim\ker d(T)=\deg d$ を得る。これで 2 が示された。
包含。 $d\mid d'$ なら $\ker d(T)\subset\ker d'(T)$ は明らかである。逆に包含があれば、$T|_{\ker d(T)}$ の最小多項式 $d$ は、$d'(T)$ が $\ker d(T)$ の上で $0$ であることから $d'$ を割り切る。$\square$

要点：真部分空間 $W_1,\dots,W_k$ の合併が $V$ だとし、$k$ を最小にとる。$W_1$ にだけ属する $x$ と $W_1$ に属さない $y$ を結ぶ直線 $x+\lambda y$ の上の無限個の点が、どの $W_i$ にも入りきらない。

1：thm-inv-cyclic により、不変部分空間の個数は最小多項式 $m$ の最高次係数 $1$ の約数の個数に等しい。多項式環 の定理「体上の一意分解」により $m=p_1^{a_1}\cdots p_r^{a_r}$（$p_i$ は相異なる最高次係数 $1$ の既約多項式）と書け、その約数で最高次係数 $1$ のものは $p_1^{b_1}\cdots p_r^{b_r}$（$0\le b_i\le a_i$）に限るので、有限個である。
2：各 $v\in V$ について $Z(v)$ は $T$ 不変部分空間なので（prop-inv-basic の 5）、$\{Z(v)\mid v\in V\}$ は有限集合であり、$V=\bigcup_{v\in V}Z(v)$ は有限個の部分空間の合併である。lem-inv-union により、そのうち 1 つは $V$ に等しい。すなわち $Z(v)=V$ となる $v$ があり、$T$ は巡回的である。$\square$

1：$m$ を $T$ の最小多項式とする。$V\neq0$ なので $\deg m\ge1$ である。代数学の基本定理 により $m$ は $\mathbb{C}$ の上で 1 次式の積に分解し、実係数なので虚根 $\alpha$ には共役 $\bar\alpha$ が同じ重複度で伴う。$(x-\alpha)(x-\bar\alpha)=x^2-2(\operatorname{Re}\alpha)x+\lvert\alpha\rvert^2$ は実係数なので、$m$ は実係数の 1 次式と 2 次式の積である。その因子の 1 つを $q$（最高次係数 $1$、$\deg q\in\{1,2\}$）とし、$m=qh$ と書く。$\deg h<\deg m$ なので $h(T)\neq0$ であり、$u:=h(T)w\neq0$ となる $w\in V$ がある。$q(T)u=m(T)w=0$ である。
$q=x-\lambda$ なら $Tu=\lambda u$ であり、$\mathbb{R}u$ が 1 次元の不変部分空間である。$q=x^2+bx+c$ なら $T^2u=-bTu-cu$ なので、$U:=\operatorname{span}(u,Tu)$ は $T(U)\subset U$ をみたし、$u\neq0$ より $\dim U\in\{1,2\}$ である。
2：固有多項式 $p_T$ は奇数次の実係数多項式なので、代数学の基本定理 の補題「実数と複素数についての 2 つの事実」の 1 により実根 $\lambda$ をもつ。固有値 の命題「固有空間と特性方程式」により $\lambda$ は固有値であり、固有ベクトルの張る直線が不変である。$\square$

1：$\rho(h)P=\frac{1}{\lvert G\rvert}\sum_g\rho(hg)$ で、$g\mapsto hg$ は $G$ の全単射なので $\rho(h)P=P$、同様に $P\rho(h)=P$ である。前者から $\operatorname{im}P\subset V^G$ であり、$v\in V^G$ なら $Pv=\frac{1}{\lvert G\rvert}\sum_gv=v$ なので $V^G\subset\operatorname{im}P$ で、$P$ は $V^G$ の上で恒等写像である。よって $P^2=P$ である。
2：$P^2=P$ なので $V=\operatorname{im}P\oplus\ker P$ であり（$v=Pv+(v-Pv)$）、それぞれの基底を並べた基底で $P$ の表現行列は対角成分が $1$（$\dim V^G$ 個）と $0$ の対角行列である。よって $\operatorname{tr}P=(\dim V^G)\cdot1$ で、左辺は跡の線形性から $\frac{1}{\lvert G\rvert}\sum_g\operatorname{tr}\rho(g)$ に等しい。
3：