Chebyshev多項式

同義語：チェビシェフ多項式Chebyshev polynomialsn倍角の公式

概要

前提知識: 三角関数, 加法定理, 多項式, 定積分, 中間値の定理, 複素数

高校での出発点：倍角と 3 倍角の公式

高校で習う 2 倍角・3 倍角の公式
$$ \cos2\theta=2\cos^2\theta-1,\qquad \cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta $$
は、「$\cos2\theta$ や $\cos3\theta$ は $\cos\theta$ の多項式で書ける」と読める。4 倍角も、2 倍角の公式を 2 回使えば
$$ \cos4\theta=2\cos^22\theta-1=2(2\cos^2\theta-1)^2-1=8\cos^4\theta-8\cos^2\theta+1 $$
となる。これらの公式は具体的な値の計算に使える。たとえば $\theta=36^\circ=\frac\pi5$ では $3\theta=\pi-2\theta$ なので $\cos3\theta=-\cos2\theta$ であり、$c:=\cos\frac\pi5$ とおくと
$$ 4c^3-3c=-(2c^2-1),\qquad\text{すなわち}\qquad 4c^3+2c^2-3c-1=(c+1)(4c^2-2c-1)=0 $$
となる。$c>0$ なので $4c^2-2c-1=0$ の正の解をとって
$$ \cos\frac\pi5=\cos36^\circ=\frac{1+\sqrt5}4=0.8090\ldots $$
である。
一般に、$\cos n\theta$ は $\cos\theta$ の $n$ 次多項式で書ける。この多項式が Chebyshev 多項式 $T_n$ である。この記事では、$T_n$ を倍角の公式から定義し、次のことを示す。

$T_n$ は簡単な漸化式を満たし、整数係数で、合成について $T_m\circ T_n=T_{mn}$ となる。
$T_n$ の根はすべて区間 $(-1,1)$ にあり、$[-1,1]$ で $|T_n|\le1$ である。最高次の係数が $1$ の $n$ 次多項式の $[-1,1]$ での最大値は $2^{1-n}$ 以上であり、$T_n$ の定数倍がその最小値を実現する。
$T_n$ は、関数の内積 $\int_0^\pi f(\cos\theta)g(\cos\theta)\,d\theta$ について互いに直交する。これは三角関数 $\cos n\theta$ の直交性を $x=\cos\theta$ で書き直したものである。
$x=2\cos t$ と置換すると、係数が整数で最高次の係数が $1$ の多項式が得られる。これを使うと、「角が $\pi$ の有理数倍で $\cos$ の値も有理数になるのは $0,\pm\frac12,\pm1$ だけ」（Niven の定理）が証明できる。
$2x^2-1$ を繰り返し合成することは、角を 2 倍することの繰り返しであり（角の倍化写像）、周期点の個数などが角の計算で求まる。
角は弧度法で測る。加法定理と、それから導かれる積和の公式は既知とする。複素数とド・モアブルの定理 $(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta$ も既知とする（使うのは係数の明示式、prop-cheb-c の 2 とそれを使う箇所、数学オリンピックの節の後半だけ）。
倍角・3 倍角の公式を加法定理から導く手順は加法定理から2倍角・半角・3倍角の公式を導くで扱う。

定義：漸化式で作る

加法定理から $\cos(n+1)\theta=\cos n\theta\cos\theta-\sin n\theta\sin\theta$、$\cos(n-1)\theta=\cos n\theta\cos\theta+\sin n\theta\sin\theta$ なので、足すと
$$ \cos(n+1)\theta+\cos(n-1)\theta=2\cos\theta\cos n\theta $$
である（積和の公式）。$\cos(n+1)\theta$ は $\cos n\theta$ と $\cos(n-1)\theta$ から「$2\cos\theta$ を掛けて前の項を引く」ことで得られる。これを多項式の漸化式として定義にする。

Chebyshev 多項式

多項式 $T_0,T_1,T_2,\dots$ を
$$ T_0(x):=1,\qquad T_1(x):=x,\qquad T_{n+1}(x):=2xT_n(x)-T_{n-1}(x)\quad(n\ge1) $$
で定める。$T_n$ を（第 1 種の）Chebyshev 多項式という。

漸化式から順に計算すると次のようになる。

$n$	$T_n(x)$
$0$	$1$
$1$	$x$
$2$	$2x^2-1$
$3$	$4x^3-3x$
$4$	$8x^4-8x^2+1$
$5$	$16x^5-20x^3+5x$
$6$	$32x^6-48x^4+18x^2-1$

この形の三項間漸化式の一般的な解き方は三項間漸化式の特性方程式で扱う。

主定理と証明

倍角の公式としての性質

余弦の $n$ 倍角の公式

すべての $n\ge0$ と実数 $\theta$ について
$$ T_n(\cos\theta)=\cos n\theta $$
である。さらに、$P(\cos\theta)=\cos n\theta$ がすべての $\theta$ で成り立つ多項式 $P$ は $T_n$ に限る。

積和の公式と帰納法

$n=0,1$ では $T_0(\cos\theta)=1=\cos0$、$T_1(\cos\theta)=\cos\theta$ である。$n-1$ と $n$ で成り立つとすると、漸化式と上の積和の公式から
$$ T_{n+1}(\cos\theta)=2\cos\theta\,T_n(\cos\theta)-T_{n-1}(\cos\theta)=2\cos\theta\cos n\theta-\cos(n-1)\theta=\cos(n+1)\theta $$
である。よってすべての $n$ で成り立つ。
一意性：$P(\cos\theta)=\cos n\theta$ なら、多項式 $P-T_n$ は $[-1,1]$ のすべての点 $x=\cos\theta$ で $0$ になる。$0$ でない多項式の根は次数以下の個数しかないので、無限個の根をもつ $P-T_n$ は $0$ である。$\square$

Chebyshev 多項式の基本性質

$n\ge1$ とする。

$T_n$ は整数係数の $n$ 次多項式で、最高次の係数は $2^{n-1}$ である。$T_n(-x)=(-1)^nT_n(x)$、$T_n(1)=1$、$T_n(-1)=(-1)^n$ である。
すべての $m,n\ge0$ について $T_m\circ T_n=T_{mn}$、すなわち $T_m(T_n(x))=T_{mn}(x)$ である。特に $T_m\circ T_n=T_n\circ T_m$ である。
$T_n$ は相異なる $n$ 個の実数の根
$$ x_k:=\cos\frac{(2k-1)\pi}{2n}\qquad(k=1,2,\dots,n) $$
をもち、これらはすべて $-1< x<1$ にある。したがって $T_n(x)=2^{n-1}\prod_{k=1}^n(x-x_k)$ である。
$-1\le x\le1$ で $|T_n(x)|\le1$ であり、$|T_n(x)|=1$ となるのは $n+1$ 個の点 $y_k:=\cos\frac{k\pi}n$（$k=0,1,\dots,n$）においてで、そこでは $T_n(y_k)=(-1)^k$ である。

帰納法と $\theta$ への書き直し

1：漸化式 $T_{n+1}=2xT_n-T_{n-1}$ で、$T_n$ が整数係数・$n$ 次・最高次の係数 $2^{n-1}$、$T_{n-1}$ が $n-1$ 次以下なら、$T_{n+1}$ は整数係数・$n+1$ 次・最高次の係数 $2\cdot2^{n-1}=2^n$ である（$n=1$ では $T_2=2x^2-1$）。偶奇：$T_0,T_1$ で成り立ち、$T_{n-1},T_n$ で成り立てば $T_{n+1}(-x)=2(-x)(-1)^nT_n(x)-(-1)^{n-1}T_{n-1}(x)=(-1)^{n+1}T_{n+1}(x)$ である。$T_n(1)=T_n(\cos0)=1$、$T_n(-1)=T_n(\cos\pi)=\cos n\pi=(-1)^n$ である。
2：$x=\cos\theta$ について、thm-cheb-cos を 2 回使うと $T_m(T_n(\cos\theta))=T_m(\cos n\theta)=\cos mn\theta=T_{mn}(\cos\theta)$ である。多項式 $T_m\circ T_n-T_{mn}$ は $[-1,1]$ の無限個の点で $0$ なので、$0$ である。
3：$\theta_k:=\frac{(2k-1)\pi}{2n}$（$k=1,\dots,n$）は $0<\theta_1<\dots<\theta_n<\pi$ を満たし、$\cos n\theta_k=\cos\frac{(2k-1)\pi}2=0$ なので $T_n(\cos\theta_k)=0$ である。$\cos$ は $[0,\pi]$ で狭義減少なので $x_k=\cos\theta_k$ は相異なり、$-1< x_k<1$ である。$n$ 次多項式は $n$ 個より多くの根をもたないので、これらが根のすべてであり、最高次の係数 $2^{n-1}$ と合わせて因数分解の式を得る。
4：$-1\le x\le1$ なら $x=\cos\theta$（$0\le\theta\le\pi$）と書けて、$|T_n(x)|=|\cos n\theta|\le1$ である。等号は $n\theta$ が $\pi$ の整数倍、すなわち $\theta=\frac{k\pi}n$（$k=0,\dots,n$）のときであり、$T_n(y_k)=\cos k\pi=(-1)^k$ である。$\square$

$T_n$ の係数を直接書くこともできる。ド・モアブルの定理 $\cos n\theta+i\sin n\theta=(\cos\theta+i\sin\theta)^n$ の右辺を二項定理で展開して実部をとり、$(i\sin\theta)^{2k}=(-\sin^2\theta)^k=(\cos^2\theta-1)^k$ を使うと
$$ T_n(x)=\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}\binom n{2k}x^{n-2k}(x^2-1)^k $$
を得る（たとえば $n=3$ では $x^3+3x(x^2-1)=4x^3-3x$）。$\cos n\theta$ が $\cos\theta$ の多項式になるのは、複素数 $\cos\theta+i\sin\theta$ の $n$ 乗の実部だからである（複素数の掛け算は回転と拡大）。

直交性

三角関数の直交性（高校数学）では、$[-\pi,\pi]$ 上の関数の内積 $\int_{-\pi}^\pi fg\,dx$ について $\cos mx$ と $\cos nx$（$m\ne n$）が直交することを見た。$x=\cos\theta$ と置換すると、これが Chebyshev 多項式の直交性になる。

Chebyshev の内積

区間 $[-1,1]$ 上の実数値連続関数 $f,g$ について
$$ \langle f,g\rangle:=\int_0^\pi f(\cos\theta)\,g(\cos\theta)\,d\theta $$
と定める。

積分で定める関数の内積の定義と性質は積分で定める内積で扱う。

Chebyshev の内積は内積である

$\langle\ ,\ \rangle$ は $[-1,1]$ 上の実数値連続関数全体の上の内積である。すなわち双線形・対称であり、$\langle f,f\rangle\ge0$ で、等号は $f=0$（恒等的に $0$）のときに限る。さらに、広義積分として
$$ \langle f,g\rangle=\int_{-1}^1\frac{f(x)g(x)}{\sqrt{1-x^2}}\,dx $$
が成り立つ。

正定値性と置換積分

双線形性と対称性は積分の線形性から従う。$\langle f,f\rangle=\int_0^\pi f(\cos\theta)^2d\theta\ge0$ である。$\langle f,f\rangle=0$ とし、ある $\theta_0\in[0,\pi]$ で $f(\cos\theta_0)^2=a>0$ だったとすると、連続性から $\theta_0$ を含む長さ $\delta>0$ のある区間で $f(\cos\theta)^2>\frac a2$ となり、積分は $\frac{a\delta}2>0$ 以上になって矛盾する。よって $[0,\pi]$ のすべての $\theta$ で $f(\cos\theta)=0$ であり、$\cos$ は $[0,\pi]$ から $[-1,1]$ への全射なので $f=0$ である。
後半：$0<\varepsilon,\varepsilon'<\frac\pi2$ として $[\varepsilon,\pi-\varepsilon']$ で $x=\cos\theta$ と置換すると、$dx=-\sin\theta\,d\theta$、$\sin\theta=\sqrt{1-x^2}$ から
$$ \int_\varepsilon^{\pi-\varepsilon'}f(\cos\theta)g(\cos\theta)\,d\theta=\int_{-\cos\varepsilon'}^{\cos\varepsilon}\frac{f(x)g(x)}{\sqrt{1-x^2}}\,dx $$
である。被積分関数 $f(\cos\theta)g(\cos\theta)$ は $[0,\pi]$ で連続で有界なので、$\varepsilon,\varepsilon'\to+0$ と独立に近づけても左辺は $\langle f,g\rangle$ に収束する。よって右辺の広義積分（両端を独立に極限をとったもの）も収束して等しい。$\square$

Chebyshev 多項式の直交性

$m,n\ge0$ について
$$ \langle T_m,T_n\rangle=\int_0^\pi\cos m\theta\cos n\theta\,d\theta=\begin{cases}0&(m\ne n)\\ \frac\pi2&(m=n\ge1)\\ \pi&(m=n=0)\end{cases} $$
である。さらに、次数が $n$ 未満のすべての多項式 $p$ について $\langle T_n,p\rangle=0$ である。

積和の公式

thm-cheb-cos により $\langle T_m,T_n\rangle=\int_0^\pi\cos m\theta\cos n\theta\,d\theta$ である。積和の公式で $\cos m\theta\cos n\theta=\frac12\{\cos(m-n)\theta+\cos(m+n)\theta\}$ とし、整数 $k\ne0$ について $\int_0^\pi\cos k\theta\,d\theta=\bigl[\frac{\sin k\theta}k\bigr]_0^\pi=0$、$k=0$ について $\pi$ であることを使う。$m\ne n$ なら $m-n\ne0$、$m+n\ne0$ で積分は $0$、$m=n\ge1$ なら $\frac12(\pi+0)$、$m=n=0$ なら $\pi$ である。
後半：次数 $d$ 以下の多項式はすべて $T_0,\dots,T_d$ の 1 次結合で書ける。実際 $d$ についての帰納法で、次数 $d$ の $p$ の最高次の係数を $a$ とすると、$p-\frac a{2^{d-1}}T_d$（$d=0$ なら $p-aT_0$）は次数 $d-1$ 以下になる（thm-cheb-basic の 1）。$p$ の次数が $n$ 未満なら $p=\sum_{k< n}c_kT_k$ と書けるので、前半から $\langle T_n,p\rangle=\sum_{k< n}c_k\langle T_n,T_k\rangle=0$ である。$\square$

後半の証明から、$T_0,T_1,\dots,T_d$ は次数 $d$ 以下の多項式全体の基底であり、直交基底である。したがって次数 $d$ 以下の多項式 $p$ は
$$ p=\sum_{k=0}^dc_kT_k,\qquad c_k=\frac{\langle p,T_k\rangle}{\langle T_k,T_k\rangle} $$
と展開できる（両辺と $T_k$ の内積をとればよい）。たとえば $x^3=\frac34T_1+\frac14T_3$、$x^4=\frac38T_0+\frac12T_2+\frac18T_4$ である。これは、$f(\cos\theta)$ を $\cos k\theta$ の和に分解する Fourier 余弦展開を、$x=\cos\theta$ で書き直したものにほかならない。また、次数 $n$ の多項式で次数 $n$ 未満のすべての多項式と直交するものは $T_n$ の定数倍に限る（$p$ がそうなら、$p$ から $T_n$ の定数倍を引いて次数を下げたものは自分自身と直交するので $0$）。$1,x,x^2,\dots$ にこの内積で Gram–Schmidt の直交化を行うと、定数倍を除いて $T_0,T_1,T_2,\dots$ が得られる。

最小最大の性質

Chebyshev の最小最大定理

$n\ge1$ とし、$p$ を最高次の係数が $1$ の $n$ 次の実数係数多項式とする。このとき
$$ \max_{-1\le x\le1}|p(x)|\ge\frac1{2^{n-1}} $$
であり、$p=2^{1-n}T_n$ のとき等号が成り立つ。

符号の交代と中間値の定理

$\tilde T:=2^{1-n}T_n$ は thm-cheb-basic の 1 により最高次の係数が $1$ で、4 により $[-1,1]$ での $|\tilde T|$ の最大値は $2^{1-n}$ である。
$\max_{[-1,1]}|p|<2^{1-n}$ となる $p$ があったと仮定する。$q:=\tilde T-p$ は最高次の項が打ち消し合うので次数 $n-1$ 以下である。thm-cheb-basic の 4 の点 $1=y_0>y_1>\dots>y_n=-1$ では $\tilde T(y_k)=(-1)^k2^{1-n}$ かつ $|p(y_k)|<2^{1-n}$ なので、$q(y_k)$ は $0$ でなく符号が $(-1)^k$ である。隣り合う $y_{k+1},y_k$ で $q$ の符号が変わるので、中間値の定理により開区間 $(y_{k+1},y_k)$ に $q$ の根がある（$k=0,\dots,n-1$）。これらの区間は重ならないので、$q$ は相異なる $n$ 個の根をもつ。次数 $n-1$ 以下の多項式が $n$ 個の根をもつので $q=0$、すなわち $p=\tilde T$ だが、これは $\max|p|<2^{1-n}$ に反する。$\square$

等号が成り立つのは $p=2^{1-n}T_n$ の場合に限ることも知られているが、この記事では証明しない。たとえば $n=3$ では、$x^3$ の $[-1,1]$ での最大値は $1$ だが、$x^3-\frac34x=\frac14T_3$ の最大値は $\frac14$ まで下がる。この性質は、多項式補間の誤差を小さくする標本点（Chebyshev 点 $x_k$）の選び方の根拠になる。

$x=2\cos t$ と置換する

$T_n$ の最高次の係数 $2^{n-1}$ は、$x=2\cos t$ と置換すると消える。

正規化した Chebyshev 多項式

$C_n(x):=2T_n\bigl(\tfrac x2\bigr)$（$n\ge0$）と定める。漸化式で書くと
$$ C_0(x)=2,\qquad C_1(x)=x,\qquad C_{n+1}(x)=xC_n(x)-C_{n-1}(x) $$
であり、$C_2(x)=x^2-2$、$C_3(x)=x^3-3x$、$C_4(x)=x^4-4x^2+2$ である。

漸化式は $2T_{n+1}(\frac x2)=2\cdot2\cdot\frac x2T_n(\frac x2)-2T_{n-1}(\frac x2)$ から従う。

$x=z+\frac{1}{z}$ での値

$n\ge1$ について $C_n$ は整数係数の $n$ 次多項式で、最高次の係数は $1$ である。
$0$ でないすべての複素数 $z$ と $n\ge0$ について $C_n\bigl(z+z^{-1}\bigr)=z^n+z^{-n}$ である。特に $C_n(2\cos t)=2\cos nt$ である。
すべての $m,n\ge0$ について $C_m\circ C_n=C_{mn}$ である。

漸化式による帰納法

1：$C_1=x$、$C_2=x^2-2$ で成り立ち、漸化式 $C_{n+1}=xC_n-C_{n-1}$ で整数係数・最高次の係数 $1$・次数 $n+1$ が保たれる。
2：$n=0,1$ では $2=z^0+z^0$、$z+z^{-1}$ で成り立つ。$n-1,n$ で成り立てば
$$ C_{n+1}(z+z^{-1})=(z+z^{-1})(z^n+z^{-n})-(z^{n-1}+z^{-(n-1)})=z^{n+1}+z^{-(n+1)} $$
である。$z=\cos t+i\sin t$ とすると $z^{-1}=\cos t-i\sin t$、ド・モアブルの定理から $z^n+z^{-n}=2\cos nt$ なので $C_n(2\cos t)=2\cos nt$ である（これは thm-cheb-cos の書き換えでもある）。
3：$C_m(C_n(x))=2T_m\bigl(\frac12\cdot2T_n(\frac x2)\bigr)=2T_m(T_n(\frac x2))=2T_{mn}(\frac x2)=C_{mn}(x)$（thm-cheb-basic の 2）。$\square$

2 の等式は、高校で相反方程式を解くときの「$t=x+\frac1x$ とおくと $x^n+\frac1{x^n}$ は $t$ の多項式」という計算そのものである。整数係数で最高次の係数が $1$ という性質から、次の定理が得られる。

Niven の定理

$\theta$ を $\pi$ の有理数倍とする。$\cos\theta$ が有理数ならば、$\cos\theta$ は $0,\ \pm\frac12,\ \pm1$ のいずれかである。

整数係数の多項式の有理数の根

$\theta=\frac pq\pi$（$p,q$ は整数、$q\ge1$）とし、$n:=2q$ とおくと $n\theta=2p\pi$ である。$y:=2\cos\theta$ とおくと、prop-cheb-c の 2 から $C_n(y)=2\cos n\theta=2$ である。よって $y$ は多項式 $F(x):=C_n(x)-2=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_0$（$a_j$ は整数。prop-cheb-c の 1）の根である。
$y$ は有理数なので、$y=\frac ab$（$a,b$ は互いに素な整数、$b\ge1$）と書ける。$F(y)=0$ に $b^n$ を掛けると
$$ a^n=-b\bigl(a_{n-1}a^{n-1}+a_{n-2}a^{n-2}b+\dots+a_0b^{n-1}\bigr) $$
なので $b$ は $a^n$ を割り切る。$b$ が素数 $\ell$ で割り切れるなら $\ell\mid a^n$ から $\ell\mid a$ となり、$a,b$ が互いに素であることに反する。よって $b=1$ で $y$ は整数である。$|y|=|2\cos\theta|\le2$ なので $y\in\{0,\pm1,\pm2\}$、すなわち $\cos\theta\in\{0,\pm\frac12,\pm1\}$ である。$\square$

たとえば $\cos\theta=\frac13$ となる角 $\theta$ は、$\pi$ の有理数倍ではない。また thm-cheb-basic の 3 から、$\cos\frac\pi{2n}$ などの値は $T_n$ の根として計算できる。

角の倍化写像

$T_2(x)=2x^2-1$ を $f$ と書く。$f(\cos\theta)=\cos2\theta$ なので、$f$ を $k$ 回合成した $f^k:=f\circ\cdots\circ f$ は
$$ f^k(\cos\theta)=\cos2^k\theta,\qquad f^k=T_{2^k} $$
を満たす（thm-cheb-basic の 2）。つまり、$x=\cos\theta$ に $f$ を施すことは、角 $\theta$ を 2 倍すること（角の倍化写像 $\theta\mapsto2\theta$）を、$\cos$ を通して見たものである。$\cos$ は $\theta$ と $-\theta$、$\theta$ と $\theta+2\pi$ を区別しないので、$[0,\pi]$ の角に制限して考える。

角の倍化写像の周期点

$f(x)=2x^2-1$、$n\ge1$ とする。

方程式 $f^n(x)=x$ の解はすべて実数で区間 $[-1,1]$ にあり、ちょうど $2^n$ 個の相異なる解
$$ \cos\frac{2\pi m}{2^n-1}\ \ (m=0,1,\dots,2^{n-1}-1),\qquad \cos\frac{2\pi m}{2^n+1}\ \ (m=1,2,\dots,2^{n-1}) $$
からなる。
$f$ の周期点（ある $n\ge1$ で $f^n(x)=x$ となる点）全体は $[-1,1]$ で稠密である。すなわち、$[-1,1]$ のどの開区間にも周期点がある。

角で数えて次数で抑える

1：$x\in[-1,1]$ を $x=\cos\theta$（$0\le\theta\le\pi$）と書くと、$f^n(x)=x$ は $\cos2^n\theta=\cos\theta$、すなわち $2^n\theta=\pm\theta+2\pi m$（$m$ は整数）と同値である。よって $\theta=\frac{2\pi m}{2^n-1}$ または $\theta=\frac{2\pi m}{2^n+1}$ である。$0\le\theta\le\pi$ となるのは、前者で $0\le m\le\frac{2^n-1}2$、すなわち $m=0,\dots,2^{n-1}-1$、後者で $m=0,\dots,2^{n-1}$ のときである。両方に現れる角は、$\frac m{2^n-1}=\frac{m'}{2^n+1}$ から $m(2^n+1)=m'(2^n-1)$ となるが、$2^n-1$ と $2^n+1$ は差が $2$ の奇数なので互いに素であり、$2^n-1\mid m$ と $0\le m<2^n-1$ から $m=0$、したがって $m'=0$ である。後者の $m=0$ を除くと、$[0,\pi]$ の相異なる角が $2^{n-1}+2^{n-1}=2^n$ 個得られ、$\cos$ は $[0,\pi]$ で単射なので $[-1,1]$ の相異なる解が $2^n$ 個ある。一方 $f^n(x)-x=T_{2^n}(x)-x$ は $2^n$ 次の多項式（$n\ge1$ なので $2^n\ge2$）なので解は $2^n$ 個以下であり、これがすべての解である。
2：開区間 $(a,b)\subset[-1,1]$ をとる。$\cos$ は $[0,\pi]$ で連続かつ狭義減少で値域が $[-1,1]$ なので、$\cos\theta\in(a,b)$ となる $\theta\in[0,\pi]$ の全体は長さ $\ell>0$ の区間 $(\alpha,\beta)$（$\alpha<\beta$）である。$\frac{2\pi}{2^n+1}<\ell$ となる $n$ をとる。1 の後者の角 $\frac{2\pi m}{2^n+1}$（$m=0,\dots,2^{n-1}$）は $0$ から $\pi-\frac\pi{2^n+1}$ まで間隔 $\frac{2\pi}{2^n+1}$ で並ぶので、そのどれかが $(\alpha,\beta)$ に入る。対応する $\cos$ の値が $(a,b)$ の中の周期点である。$\square$

角で見ると、$\theta$ の小さなずれ $\varepsilon$ は 1 回ごとに 2 倍になり、$k$ 回後には $2^k\varepsilon$ になる。たとえば $\cos1$ と $\cos(1+10^{-6})$ から始めて $f$ を 25 回施すと、値は $-0.215\ldots$ と $0.939\ldots$ になり、差は $1$ を超える。初期値のわずかな違いが大きく広がるこの性質は、力学系でカオスと呼ばれる振る舞いの最も簡単な例である。

高校の計算は特別な場合である

2 倍角・3 倍角の公式は $T_2(\cos\theta)=\cos2\theta$、$T_3(\cos\theta)=\cos3\theta$ である。4 倍角を 2 倍角の 2 回で求めた計算は $T_4=T_2\circ T_2$（thm-cheb-basic の 2）である。
$\sin3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta$ は $\sin3\theta=-T_3(\sin\theta)$ である。一般に $n$ が奇数なら、$\sin\theta=\cos(\frac\pi2-\theta)$ から $T_n(\sin\theta)=\cos(\frac{n\pi}2-n\theta)=(-1)^{(n-1)/2}\sin n\theta$ となる。
$\cos36^\circ$ などの値は、冒頭のように $T_n$ の等式から多項式の方程式を作って求める。thm-cheb-basic の 3 は、$\cos\frac{(2k-1)\pi}{2n}$ たちが $T_n$ の根であることをまとめて述べている。
相反方程式（$x^4+x^3+x^2+x+1=0$ を $x^2$ で割って $t=x+\frac1x$ とおく計算など）は、prop-cheb-c の 2 の $z^n+z^{-n}=C_n(z+z^{-1})$ を使っている。
$\int_0^\pi\cos m\theta\cos n\theta\,d\theta$ の計算は、thm-cheb-orthogonality の $\langle T_m,T_n\rangle$ の計算である。

例と反例

周期 3 の軌道と 7 等分の角

$f(x)=2x^2-1$ と $x_0=\cos\frac{2\pi}7=0.6234\ldots$ について、$f(x_0)=\cos\frac{4\pi}7=-0.2225\ldots$、$f^2(x_0)=\cos\frac{8\pi}7=\cos\frac{6\pi}7=-0.9009\ldots$、$f^3(x_0)=\cos\frac{16\pi}7=\cos\frac{2\pi}7=x_0$ である。角で見ると $\frac{2\pi}7\to\frac{4\pi}7\to\frac{8\pi}7\to\frac{16\pi}7$ であり、$16\equiv2\pmod{14}$ なので 3 回で元に戻る。これは thm-cheb-doubling の 1（$n=3$、$2^3-1=7$、$m=1$）の解である。3 つの値の 2 倍 $2\cos\frac{2\pi}7$、$2\cos\frac{4\pi}7$、$2\cos\frac{6\pi}7$ は、整数係数の 3 次方程式 $y^3+y^2-2y-1=0$ の 3 つの根である。thm-cheb-niven により、どれも有理数ではない。

反例：区間の外では値の大きさが 1 以下とは限らない

$T_3(2)=4\cdot8-3\cdot2=26$ である。thm-cheb-basic の 4 の不等式 $|T_n(x)|\le1$ は、$x=\cos\theta$ と書けることを使っており、$|x|>1$ ではその前提が成り立たない。実際 $x\ge1$ では、$z:=x+\sqrt{x^2-1}\ge1$ とおくと $z^{-1}=x-\sqrt{x^2-1}$、$z+z^{-1}=2x$ なので、prop-cheb-c の 2 から
$$ T_n(x)=\frac12C_n(2x)=\frac12\bigl(z^n+z^{-n}\bigr) $$
となり、$x>1$ なら $z>1$ で $T_n(x)\ge\frac{z^n}2\to\infty$ である（$x=2$、$n=3$ では $\frac12\{(2+\sqrt3)^3+(2-\sqrt3)^3\}=26$）。$[-1,1]$ の中では振幅 $1$ で振動し、外に出ると急激に増える。

反例：$\sin 2\theta$ は $\sin\theta$ の多項式ではない

$\cos n\theta$ はつねに $\cos\theta$ の多項式だが、$\sin n\theta$ を $\sin\theta$ の多項式で書くことは $n$ が偶数のときにはできない。$n=2$ で $\sin2\theta=P(\sin\theta)$ となる関数 $P$ があったとすると、$\theta=\frac\pi6$ と $\theta=\frac{5\pi}6$ では $\sin\theta=\frac12$ が等しいのに、$\sin2\theta$ は $\frac{\sqrt3}2$ と $-\frac{\sqrt3}2$ で異なるので矛盾する。一般の偶数 $n$ では、$\theta=\frac\pi{2n}$ と $\theta=\pi-\frac\pi{2n}$ で $\sin\theta$ が等しいのに、$\sin n\theta$ は $\sin\frac\pi2=1$ と $\sin\bigl(n\pi-\frac\pi2\bigr)=-1$ で異なる。$\cos$ では $\cos\theta$ が等しい角は $\pm\theta+2\pi m$ だけで、$\cos n\theta$ もそこで等しくなるが、$\sin$ では $\sin\theta$ が等しい角 $\pi-\theta$ で $\sin n\theta$ が等しいとは限らない。多項式で書けるための必要条件「$\sin\theta$ が等しければ $\sin n\theta$ も等しい」が、偶数の $n$ では破れている。$n$ が奇数なら $\sin n\theta=(-1)^{(n-1)/2}T_n(\sin\theta)$ と書ける（前節の 2）。

反例：重みのない内積では直交しない

$[-1,1]$ 上の内積 $\int_{-1}^1f(x)g(x)\,dx$（重み $\frac1{\sqrt{1-x^2}}$ を付けないもの）では
$$ \int_{-1}^1T_0T_2\,dx=\int_{-1}^1(2x^2-1)\,dx=-\frac23,\qquad \int_{-1}^1T_1T_3\,dx=\int_{-1}^1(4x^4-3x^2)\,dx=-\frac25 $$
であり、Chebyshev 多項式は直交しない。thm-cheb-orthogonality は、$x=\cos\theta$ の置換で生じる重み（prop-cheb-inner-product）があって初めて成り立つ。重みのない内積で $1,x,x^2,\dots$ を直交化すると、別の多項式の列（Legendre 多項式。たとえば $2$ 次は $\frac{3x^2-1}2$）が得られる。

数学オリンピックの問題から：$x^2-2$ の反復

次は国際数学オリンピック（1976 年、リエンツ）第 2 問である（Oly76。和訳は本記事による）。

$P_1(x)=x^2-2$、$P_j(x)=P_1(P_{j-1}(x))$（$j=2,3,\dots$）とする。任意の正の整数 $n$ について、方程式 $P_n(x)=x$ の根はすべて実数であり、互いに異なることを証明せよ。

高校数学で解く

$P_n$ は $2^n$ 次の多項式である（$2$ 次式を $n$ 回合成するので）。$-2\le x\le2$ の範囲で $x=2\cos t$（$0\le t\le\pi$）とおくと、$P_1(2\cos t)=4\cos^2t-2=2\cos2t$ であり、これを繰り返して $P_n(2\cos t)=2\cos2^nt$ である。方程式 $P_n(x)=x$ は $\cos2^nt=\cos t$、すなわち $2^nt=\pm t+2\pi m$ となり、
$$ t=\frac{2\pi m}{2^n-1}\ \ (m=0,1,\dots,2^{n-1}-1),\qquad t=\frac{2\pi m}{2^n+1}\ \ (m=1,2,\dots,2^{n-1}) $$
が $[0,\pi]$ の中の解である。$2^n-1$ と $2^n+1$ は互いに素なので、この $2^n$ 個の $t$ は相異なり（thm-cheb-doubling の証明と同じ議論）、$\cos$ は $[0,\pi]$ で単射なので $x=2\cos t$ は相異なる $2^n$ 個の実数の根である。$P_n(x)-x$ は $2^n$ 次なので根は $2^n$ 個以下であり、これで根がすべて求まった。どれも実数で、互いに異なる。$\square$

大学数学で見ると

$P_1=C_2$ であり、prop-cheb-c の 3 から $P_n=C_2\circ\dots\circ C_2=C_{2^n}$ である。$C_{2^n}(x)=2T_{2^n}(\frac x2)$ なので、$x\mapsto\frac x2$ で目盛りを変えると $P_1$ は角の倍化写像 $f(x)=2x^2-1$ に移り、問題は thm-cheb-doubling の 1 そのものになる。つまりこの問題は「角を 2 倍する写像の、周期が $n$ の約数である点の個数」を数えている。
複素数で見ると、さらに見通しがよい。どの複素数 $x$ も、$z^2-xz+1=0$ の解 $z$（$z\ne0$）をとれば $x=z+z^{-1}$ と書ける。$x=z+z^{-1}$ とおくと、prop-cheb-c の 2 から $P_n(x)=z^{2^n}+z^{-2^n}$ である。$w+w^{-1}=u+u^{-1}$ は $(w-u)(1-\frac1{wu})=0$、すなわち $w=u$ または $w=u^{-1}$ と同値なので、$P_n(x)=x$ は
$$ z^{2^n-1}=1\qquad\text{または}\qquad z^{2^n+1}=1 $$
と同値になる。解は 1 の $(2^n-1)$ 乗根と 1 の $(2^n+1)$ 乗根であり、どちらも単位円上にあるので $x=z+z^{-1}=2\operatorname{Re}z$ は実数である。両方に共通な根は $z=1$ だけで（$2^n-1$ と $2^n+1$ は互いに素）、$z=-1$ はどちらの根でもない。それ以外の根は $z$ と $z^{-1}$（どちらも同じ側の根）が組になって同じ $x$ を与え、組が違えば $x$ も違うので、$x$ の個数は $1+\frac{(2^n-1)+(2^n+1)-2}2=2^n$ である。単位円上では、$x^2-2$ の反復は $z\mapsto z^2$ の反復であり、$z+z^{-1}$ はその円を実軸の区間 $[-2,2]$ に「折りたたむ」写像である。

さらに先へ

Chebyshev 多項式の基本性質・極値性・反復・代数的性質は Riv90 にまとまっている。

近似理論：thm-cheb-minimax は、連続関数を多項式で一様に近似する問題（最良近似）の出発点である。Chebyshev 点で補間すると、等間隔の点で補間したときに起こる端での振動（Runge 現象）が抑えられる。
直交多項式：重みを変えると、Legendre 多項式、Hermite 多項式、Laguerre 多項式などの直交多項式の族が得られる。どれも 3 項の漸化式を満たす。
代数的数論：$2\cos\frac{2\pi}n$ は $C_n(y)=2$ を満たす代数的整数であり、その最小多項式の次数は $n\ge3$ で $\frac{\varphi(n)}2$（$\varphi(n)$ は $1$ 以上 $n$ 以下で $n$ と互いに素な整数の個数）であることが知られている（証明しない）。これは円分体の実部分体につながる。
力学系：$x^2-2$ は複素力学系でも特別な写像であり、その Julia 集合（反復で有界にとどまる点の集合の境界）がちょうど区間 $[-2,2]$ になることが知られている（証明しない）。