一様収束

同義語：uniform convergence

概要

前提知識: 数列の極限, 級数, 連続写像, 上限と下限

定義

閉区間 $[0,1]$ 上の関数 $f_n(x)=x^n$ を $n=1,2,3,\dots$ と並べる。$0\leq x<1$ では $x^n\to0$、$x=1$ では $1^n=1\to1$ なので、各点での極限は
$$ f(x)=\begin{cases}0&(0\leq x<1)\\1&(x=1)\end{cases} $$
である。どの $f_n$ も連続なのに、極限の関数 $f$ は $x=1$ で跳んでいて連続でない。何が起きているかを見るため、$f_n$ と $f$ の差の最大（上限）を調べる。$[0,1/2]$ の上では $\sup_{0\leq x\leq1/2}|x^n-0|=2^{-n}$ であり、$n$ を大きくすれば $0$ に近づく。ところが $[0,1)$ の上では、$x$ を $1$ に近づければ $x^n$ はいくらでも $1$ に近いので $\sup_{0\leq x<1}|x^n-0|=1$ であり、どれほど $n$ を大きくしても差の上限は小さくならない。$x$ ごとに見れば $x^n\to0$ だが、$1$ に近い $x$ ほど収束が遅く、区間全体で「一斉に」近づいてはいない。
この「一斉に近づく」ことを一様収束という。一様収束する連続関数の列の極限は連続であり（thm-unif-continuity）、有界閉区間上では積分と極限の順序も交換できる（thm-unif-integral）。$x^n$ の例では、$[0,1]$ 上で一様収束しないことが、極限の不連続性に現れている。
以下、$S$ を集合（多くは $\mathbb{R}$ の区間）とし、各正の整数 $n$ に関数 $f_n\colon S\to\mathbb{R}$ を対応させたもの $(f_n)$ を関数列という。値が複素数の関数についても、絶対値を使って同じように定義し、同じ結果が成り立つ。

関数列の各点収束

関数列 $f_n\colon S\to\mathbb{R}$ と関数 $f\colon S\to\mathbb{R}$ について、各 $x\in S$ で数列 $(f_n(x))$ が $f(x)$ に収束するとき、$(f_n)$ は $f$ に各点収束する（converge pointwise）という。すなわち、任意の $x\in S$ と任意の $\varepsilon>0$ に対して、ある番号 $N$（$x$ と $\varepsilon$ に依存してよい）が存在し、$n\geq N$ ならば $|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$ となることである。

一様収束

関数列 $f_n\colon S\to\mathbb{R}$ と関数 $f\colon S\to\mathbb{R}$ について、任意の $\varepsilon>0$ に対して、ある番号 $N$ が存在し、$n\geq N$ ならばすべての $x\in S$ について $|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$ となるとき、$(f_n)$ は $f$ に $S$ 上で一様収束する（converge uniformly）という。

2 つの定義の違いは、番号 $N$ が $x$ によらずに選べるかどうかだけである。各点収束では $x$ ごとに別の $N$ を選んでよいが、一様収束では 1 つの $N$ がすべての $x$ に通用しなければならない。一様収束すれば各点収束する（一様収束の $N$ を各点に使えばよい）が、逆は成り立たない（ex-unif-power）。一様収束の極限と各点収束の極限は、存在すれば一致する。

差の上限による言い換え

関数列 $f_n\colon S\to\mathbb{R}$ と $f\colon S\to\mathbb{R}$ について、$d_n:=\sup_{x\in S}|f_n(x)-f(x)|$（値 $+\infty$ も許す）とおく。$(f_n)$ が $f$ に一様収束することと、ある番号から先で $d_n$ が有限で $d_n\to0$ となることは同値である。

上限と狭義の不等号

一様収束するとし、$\varepsilon>0$ に対する $N$ をとる。$n\geq N$ なら、すべての $x$ で $|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$ なので、上限について $d_n\leq\varepsilon$ である。特に $d_n$ は有限で、$\varepsilon$ は任意なので $d_n\to0$ である。逆に $d_n\to0$ とし、$\varepsilon>0$ に対して、$n\geq N$ なら $d_n<\varepsilon$ となる $N$ をとる。$n\geq N$ なら、すべての $x$ で $|f_n(x)-f(x)|\leq d_n<\varepsilon$ である。

$f_n-f$ が有界な関数のとき、$\|g\|_S:=\sup_{x\in S}|g(x)|$ を $g$ の一様ノルム（上限ノルム）という。prop-unif-sup は、一様収束が一様ノルムについての収束 $\|f_n-f\|_S\to0$ であることを述べている。一般の距離空間に値をもつ写像列の一様収束は、距離空間の位相の基本的性質の記事の定義「写像列の一様収束」で扱われている。本記事は実数値（と複素数値）の関数列を扱う。

直感

一様収束は、グラフで見るとわかりやすい。極限の関数 $f$ のグラフを上下に $\varepsilon$ だけ太らせた帯 $\{(x,y)\mid|y-f(x)|<\varepsilon\}$ を考える。一様収束とは、どれほど細い帯をとっても、十分先の $f_n$ のグラフが帯の中にすっぽり収まることである。各点収束では、各 $x$ の真上の点が最終的に帯に入ればよく、グラフ全体が同時に帯に入る必要はない。$x^n$ の例では、$x=1$ の近くで $f_n$ のグラフが帯から飛び出したまま、その飛び出す場所が $n$ とともに $x=1$ へ寄っていく。
極限の操作を 2 つ含む式は、順序を入れ替えると値が変わることがある。連続性は「$\lim_{t\to x}$」、積分は分割を細かくする極限、微分は差分商の極限であり、関数列の極限 $\lim_{n\to\infty}$ とこれらを入れ替えてよいかが問題になる。一様収束は、入れ替えを保証する最も基本的な十分条件である。

例と反例

冪の関数列

$f_n(x)=x^n$ について次が成り立つ。

$0< c<1$ のとき、$[0,c]$ 上で $0$ に一様収束する。$\sup_{0\leq x\leq c}|x^n|=c^n\to0$ だからである（prop-unif-sup、数列の極限の記事の例「等比数列」）。
$[0,1)$ 上では $0$ に各点収束するが、一様収束しない。$0< t<1$ なら $x\in(t^{1/n},1)$ で $x^n>t$ なので $\sup_{0\leq x<1}|x^n|=1$ であり、$0$ に近づかない。
$[0,1]$ 上では冒頭の不連続関数 $f$ に各点収束するが、一様収束しない。2. と同じく $\sup_{0\leq x\leq1}|x^n-f(x)|=1$ だからである。thm-unif-continuity からも、連続関数の列の極限が不連続なので一様収束でないことがわかる。
と 2. から、一様収束するかどうかは関数列だけでなく、考える集合 $S$ に依存する。

反例：定義域が有界でないと一様収束しない例

$f_n(x)=x/n$ は $\mathbb{R}$ 上で $0$ に各点収束するが、一様収束しない。$\sup_{x\in\mathbb{R}}|x/n|=+\infty$ だからである。一方、$R>0$ を固定すると $\sup_{|x|\leq R}|x/n|=R/n\to0$ なので、$[-R,R]$ 上では一様収束する。このように、有界な範囲ごとには一様収束するが全体では一様収束しない関数列は多い（rem-unif-local）。

反例：一様極限が微分可能とは限らない

$f_n(x)=\sqrt{x^2+1/n^2}$ は $\mathbb{R}$ 上で微分可能であり、
$$ 0\leq\sqrt{x^2+\tfrac1{n^2}}-|x|=\frac{1/n^2}{\sqrt{x^2+1/n^2}+|x|}\leq\frac{1/n^2}{1/n}=\frac1n $$
なので $|x|$ に一様収束する。極限 $|x|$ は連続である（thm-unif-continuity と整合する）が、$x=0$ で微分可能でない。したがって「微分可能な関数の一様極限は微分可能」という含意は成り立たない。導関数 $f_n'(x)=x/\sqrt{x^2+1/n^2}$ は、$x>0$ で $1$、$x<0$ で $-1$、$x=0$ で $0$ に各点収束するが、極限が不連続なので一様収束しない。thm-unif-derivative が導関数の一様収束を仮定するのはこのためである。

性質

連続性

連続関数の一様極限の連続性

$S\subset\mathbb{R}$ とし、連続関数 $f_n\colon S\to\mathbb{R}$ の列が $f\colon S\to\mathbb{R}$ に $S$ 上で一様収束するならば、$f$ は $S$ 上で連続である。

誤差を3つに分ける

証明の要点は、第 1 項と第 3 項を同じ 1 つの $N$ で、しかも $x$ によらずに小さくできることである。各点収束だけでは、第 1 項を小さくする $N$ が $x$ ごとに違い、$x$ を $c$ に近づけるときに制御できない（ex-unif-power の 3）。値を距離空間にもつ写像列と定義域の位相空間についての同じ主張は、距離空間の位相の基本的性質の記事の命題「連続写像の一様極限は連続」にある。
この定理の対偶は、一様収束しないことを示すのにも使える。連続関数の列が不連続な関数に各点収束すれば、その収束は一様でない。一方、極限が連続でも一様収束とは限らない（ex-unif-power の 2 の $[0,1)$ 上の $x^n$、ex-unif-x-over-n）。
一様収束の判定には、極限の関数を知らなくても使える Cauchy 型の条件がある。関数列 $(f_n)$ が、任意の $\varepsilon>0$ に対してある $N$ があり、$m,n\geq N$ ならすべての $x\in S$ で $|f_m(x)-f_n(x)|<\varepsilon$ となる（一様 Cauchy 条件）ならば、ある関数に一様収束する。各 $x$ で $(f_n(x))$ は Cauchy列なので極限 $f(x)$ があり、不等式で $m\to\infty$ とすると $|f(x)-f_n(x)|\leq\varepsilon$ がすべての $x$ で成り立つからである（完備な距離空間に値をもつ場合の証明が距離空間の位相の基本的性質の記事の命題「一様Cauchy条件と一様収束」にある）。

積分との交換

ここでは Riemann積分を、上積分と下積分（Darboux 和）で定める。定義の詳細と基本性質は Riemann積分の記事に依り、この節で使うのは次の最小限である。

上積分と下積分

有界な関数 $g\colon[a,b]\to\mathbb{R}$ と、$[a,b]$ の分割 $P\colon a=x_0< x_1<\cdots< x_m=b$ について、$I_k:=[x_{k-1},x_k]$ とし
$$ L(P,g):=\sum_{k=1}^{m}\Bigl(\inf_{I_k}g\Bigr)(x_k-x_{k-1}),\qquad U(P,g):=\sum_{k=1}^{m}\Bigl(\sup_{I_k}g\Bigr)(x_k-x_{k-1}) $$
とおく。すべての分割にわたる $L(P,g)$ の上限を下積分、$U(P,g)$ の下限を上積分という。下積分はつねに上積分以下であり、両者が等しいとき $g$ は Riemann 可積分であるといい、その共通の値を $\int_a^bg(x)\,dx$ と書く。

「下積分は上積分以下」は、Riemann積分の記事の命題「下積分と上積分の大小」（Leb Proposition 5.1.7・5.1.8、pp. 183–184）による。

一様収束と積分の交換

$[a,b]$ 上の Riemann 可積分な関数 $f_n$ の列が、$f\colon[a,b]\to\mathbb{R}$ に一様収束するとする。このとき $f$ も Riemann 可積分であり
$$ \int_a^bf(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\int_a^bf_n(x)\,dx $$
が成り立つ。

上積分と下積分を挟む

$d_n:=\sup_{x\in[a,b]}|f_n(x)-f(x)|$ とおくと、prop-unif-sup により、ある番号から先で $d_n$ は有限で $d_n\to0$ である。以下そのような $n$ を考える。$f_n$ は有界（可積分な関数は有界と定義されている）で $|f-f_n|\leq d_n$ なので $f$ も有界である。
任意の分割 $P$ と小区間 $I_k$ について、$x\in I_k$ なら $f(x)\leq f_n(x)+d_n\leq\sup_{I_k}f_n+d_n$ なので $\sup_{I_k}f\leq\sup_{I_k}f_n+d_n$ であり、同様に $\inf_{I_k}f\geq\inf_{I_k}f_n-d_n$ である。小区間の長さの和は $b-a$ なので
$$ U(P,f)\leq U(P,f_n)+d_n(b-a),\qquad L(P,f)\geq L(P,f_n)-d_n(b-a) $$
である。$P$ についての下限・上限をとり、$f_n$ が可積分であることを使うと
$$ (\text{$f$ の上積分})\leq\int_a^bf_n+d_n(b-a),\qquad(\text{$f$ の下積分})\geq\int_a^bf_n-d_n(b-a) $$
を得る。したがって
$$ \int_a^bf_n-d_n(b-a)\leq(\text{$f$ の下積分})\leq(\text{$f$ の上積分})\leq\int_a^bf_n+d_n(b-a) $$
であり、上積分と下積分の差は $2d_n(b-a)$ 以下である。$n\to\infty$ で $d_n\to0$ なので差は $0$、すなわち $f$ は可積分である。さらに上の不等式から $\left|\int_a^bf-\int_a^bf_n\right|\leq d_n(b-a)\to0$ である。

特に、連続関数の列が一様収束すれば、極限の積分は積分の極限として計算できる。証明の最後の評価 $\left|\int f-\int f_n\right|\leq(b-a)\sup|f-f_n|$ は、近似の誤差の見積もりとしても使える。

反例：各点収束では積分と交換できない

$f_n(x)=nx(1-x^2)^n$ を $[0,1]$ 上で考える。$f_n(0)=f_n(1)=0$ であり、$0< x<1$ では $r:=1-x^2\in(0,1)$ について $f_n(x)=x\cdot nr^n$ で、$nr^n\to0$ である（級数 $\sum nr^n$ は比 $\frac{(n+1)r}{n}\to r<1$ なので級数の記事の定理「比判定法」により収束し、その項は $0$ に近づく）。よって $(f_n)$ は $0$ に各点収束する。一方、$\frac{d}{dx}\bigl(-(1-x^2)^{n+1}\bigr)=2(n+1)x(1-x^2)^n$ なので、微分積分学の基本定理により
$$ \int_0^1nx(1-x^2)^n\,dx=\frac n{2(n+1)}\Bigl[-(1-x^2)^{n+1}\Bigr]_0^1=\frac n{2(n+1)}\to\frac12 $$
であり（$n=1,5,50$ で $0.25$、$0.4166\ldots$、$0.4901\ldots$）、極限の関数の積分 $\int_0^10\,dx=0$ と一致しない。したがって、この収束は一様でない（一様なら thm-unif-integral により積分も $0$ に近づくはずである）。実際、$f_n$ の山は高さがおよそ $\sqrt{n/(2e)}$ で $x=0$ の近くに寄っていく。この例は「各点収束 $\Rightarrow$ 積分の極限は極限の積分」という含意を破る。同じ種類の例が Leb Example 6.2.3（p. 236）にある。

微分との交換

一様収束と微分の交換

$I$ を有界な開区間とし、$f_n\colon I\to\mathbb{R}$ を微分可能な関数の列とする。導関数の列 $(f_n')$ が $I$ 上で関数 $g$ に一様収束し、ある点 $c\in I$ で数列 $(f_n(c))$ が収束するならば、$(f_n)$ は $I$ 上である関数 $f$ に一様収束し、$f$ は微分可能で $f'=g$ である。

平均値の定理で差分商を比べる

$\ell$ を $I$ の長さとし、$\|h\|:=\sup_{x\in I}|h(x)|$ と書く。$(f_n')$ は $g$ に一様収束するので、$\|f_n'-f_m'\|\leq\|f_n'-g\|+\|g-f_m'\|$ から、任意の $\varepsilon>0$ に対して $m,n\geq N$ なら $\|f_n'-f_m'\|<\varepsilon$ となる $N$ がある。
一様収束すること：$x\in I$、$x\ne c$ とし、$h:=f_n-f_m$ に $x$ と $c$ を端点とする閉区間で平均値の定理を使うと、その間のある $\xi$ で $h(x)-h(c)=h'(\xi)(x-c)$ なので
$$ |f_n(x)-f_m(x)|\leq|f_n(c)-f_m(c)|+\ell\,\|f_n'-f_m'\| $$
である（$x=c$ でも成り立つ）。右辺は $x$ によらず、$m,n\to\infty$ で $0$ に近づくので、$(f_n)$ は一様 Cauchy 条件を満たし、ある関数 $f$ に一様収束する（thm-unif-continuity のあとの段落）。
$f'=g$ であること：$x\in I$ を固定し、$t\in I\setminus\{x\}$ について
$$ \varphi_n(t):=\frac{f_n(t)-f_n(x)}{t-x},\qquad\varphi(t):=\frac{f(t)-f(x)}{t-x} $$
とおく。$f_n-f_m$ に $x$ と $t$ の間で平均値の定理を使うと $|\varphi_n(t)-\varphi_m(t)|\leq\|f_n'-f_m'\|$ であり、$m\to\infty$ とすると $|\varphi_n(t)-\varphi(t)|\leq\sup_{m\geq n}\|f_n'-f_m'\|$ がすべての $t\ne x$ で成り立つ。$\varepsilon>0$ に対し、$\sup_{m\geq n}\|f_n'-f_m'\|<\varepsilon/3$ かつ $|f_n'(x)-g(x)|<\varepsilon/3$ となる $n$ を 1 つ固定する。$f_n$ は $x$ で微分可能なので、ある $\delta>0$ について $0<|t-x|<\delta$ なら $|\varphi_n(t)-f_n'(x)|<\varepsilon/3$ である。このとき
$$ |\varphi(t)-g(x)|\leq|\varphi(t)-\varphi_n(t)|+|\varphi_n(t)-f_n'(x)|+|f_n'(x)-g(x)|<\varepsilon $$
なので、$\varphi(t)\to g(x)$（$t\to x$）、すなわち $f'(x)=g(x)$ である。

導関数の連続性は仮定していない。導関数が連続な場合には、$f_n(x)=f_n(c)+\int_c^xf_n'$ と thm-unif-integral を組み合わせる証明もある（Leb Theorem 6.2.10、pp. 239–240）。

反例：関数列が一様収束しても導関数は収束しない

$f_n(x)=\dfrac{\sin nx}n$ は $|f_n(x)|\leq1/n$ なので $\mathbb{R}$ 上で $0$ に一様収束する。しかし $f_n'(x)=\cos nx$ は $x=0$ で $1$ であり、極限の関数 $0$ の導関数 $0$ と一致しない。$x=\pi$ では $f_n'(\pi)=(-1)^n$ となって収束すらしない（Leb Example 6.2.8、p. 238）。$f_n$ の一様収束だけでは $f_n'\to f'$ は従わず、thm-unif-derivative の「導関数の一様収束」の仮定が必要である。

関数項級数と Weierstrass の判定法

関数 $u_k\colon S\to\mathbb{R}$（または $\mathbb{C}$）の列から作った級数 $\sum_{k=1}^{\infty}u_k(x)$ を関数項級数という。部分和 $s_n(x):=\sum_{k=1}^{n}u_k(x)$ の関数列が $S$ 上で $s$ に一様収束するとき、級数は $S$ 上で $s$ に一様収束するという。各 $u_k$ が連続で級数が一様収束すれば、和 $s$ は連続であり（thm-unif-continuity）、閉区間上では項別に積分できる（thm-unif-integral）。

Weierstrassの優級数判定法

関数 $u_k\colon S\to\mathbb{R}$（または $\mathbb{C}$）と $0$ 以上の実数 $M_k$ について、すべての $k$ とすべての $x\in S$ で $|u_k(x)|\leq M_k$ であり、$\sum_kM_k$ が収束するとする。このとき、各 $x\in S$ で $\sum_ku_k(x)$ は絶対収束し、関数項級数 $\sum_ku_k$ は $S$ 上で一様収束する。

尾部を定数の尾部で押さえる

各 $x$ で $|u_k(x)|\leq M_k$ なので、級数の記事の定理「比較判定法」により $\sum_k|u_k(x)|$ は収束する。したがって $\sum_ku_k(x)$ は絶対収束し、特に収束する（絶対収束の記事の定理「絶対収束する級数の収束」）。その和を $s(x)$ とおく。同じ定理の不等式を尾部に使うと、すべての $x\in S$ で
$$ |s(x)-s_n(x)|=\left|\sum_{k=n+1}^{\infty}u_k(x)\right|\leq\sum_{k=n+1}^{\infty}|u_k(x)|\leq\sum_{k=n+1}^{\infty}M_k $$
である。右辺は $x$ によらず、収束する級数 $\sum M_k$ の尾部なので $n\to\infty$ で $0$ に近づく（級数の記事の命題「有限個の項と尾部」）。よって $\sup_{x\in S}|s(x)-s_n(x)|\to0$ であり、prop-unif-sup により一様収束する。

$\sum M_k$ を $\sum u_k$ の優級数といい、この判定法を Weierstrass の M 判定法ともいう。

至るところ連続な三角級数

$s(x):=\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{\sin kx}{k^2}$ は $\mathbb{R}$ 上で一様収束し、$s$ は連続である。$\left|\frac{\sin kx}{k^2}\right|\leq\frac1{k^2}$ で $\sum\frac1{k^2}$ は収束する（級数の記事の例「平方数の逆数の級数」）ので、thm-unif-m-test と thm-unif-continuity による。項別に微分した級数 $\sum\frac{\cos kx}k$ は $x=0$ で調和級数になって発散するので、この方法で $s$ の微分可能性は導けない（thm-unif-derivative の仮定が満たされない）。

反例：等比級数は開区間全体では一様収束しない

$\sum_{k=0}^{\infty}x^k$ は $(-1,1)$ の各点で $\frac1{1-x}$ に収束する（級数の記事の定理「等比級数の和」）。部分和との差は
$$ \frac1{1-x}-\sum_{k=0}^{n}x^k=\frac{x^{n+1}}{1-x} $$
であり、$x\to1$ で $+\infty$ に発散するので、$(-1,1)$ 上の上限は $+\infty$ である。prop-unif-sup により、$(-1,1)$ 上では一様収束しない。一方、$0< r<1$ を固定すると、$[-r,r]$ 上では $|x^k|\leq r^k$ で $\sum r^k$ が収束するので、thm-unif-m-test により一様収束する（Leb Exercise 6.1.14、p. 233）。一般に冪級数は、収束半径 $R$ より小さい半径の閉円板上で一様収束する（収束半径の記事の注意「収束円板の内部での和の性質」）。

Dini の定理

一様収束を直接確かめるのは難しいことが多いが、閉区間上では、単調性と連続性から一様収束が従う。

Diniの定理

$a< b$ とし、$[a,b]$ 上の連続関数 $f_n$ の列が連続関数 $f$ に各点収束するとする。さらに各 $x\in[a,b]$ で数列 $(f_n(x))$ が単調減少（すべての $n$ で $f_{n+1}(x)\leq f_n(x)$）であるとする。このとき $(f_n)$ は $f$ に $[a,b]$ 上で一様収束する。単調増加の場合も同じである。

一様でないと仮定して部分列をとる

$g_n:=f_n-f$ とおくと、$g_n$ は連続、$g_n\geq0$、各 $x$ で $g_n(x)$ は単調減少して $0$ に収束する。一様収束しないと仮定すると、prop-unif-sup により、ある $\varepsilon>0$ と無限個の $n$ について $\sup_xg_n(x)\geq\varepsilon$ となる。$g_n$ は $n$ について単調減少なので、$\sup_xg_n(x)$ も単調減少であり、したがってすべての $n$ で $\sup_xg_n(x)\geq\varepsilon$ である。各 $n$ について $g_n(x_n)>\varepsilon/2$ となる $x_n\in[a,b]$ をとる。$(x_n)$ は有界なので収束する部分列 $x_{n_j}\to x^*$ をもち（点列の記事の系「有界列は収束する部分列をもつ」）、$a\leq x^*\leq b$ である。
$m$ を固定する。$n_j\geq m$ となる $j$ について、単調性から $g_m(x_{n_j})\geq g_{n_j}(x_{n_j})>\varepsilon/2$ である。$g_m$ は $x^*$ で連続なので、$j\to\infty$ として $g_m(x^*)\geq\varepsilon/2$ を得る（数列の極限の記事の命題「極限は大小関係を保つ」）。これがすべての $m$ で成り立つので $g_m(x^*)\not\to0$ となり、各点収束に反する。単調増加の場合は $-f_n$、$-f$ に適用すればよい。

Dini の定理の仮定は、どれを外しても結論が破れる。

反例：Diniの定理の仮定を外した例

定義域が閉区間でない場合：$[0,1)$ 上の $x^n$ は連続、各点で単調減少し、連続関数 $0$ に収束するが、一様収束しない（ex-unif-power の 2）。定義域のコンパクト空間性（証明で部分列の極限 $x^*$ が定義域に残ること）が破れている。
極限が連続でない場合：$[0,1]$ 上の $x^n$ は連続、各点で単調減少するが、極限は不連続で、一様収束しない（ex-unif-power の 3）。
単調でない場合：$n\geq2$ について、$[0,1]$ 上の山形の関数
$$ f_n(x):=\begin{cases}nx&(0\leq x\leq\frac1n)\\2-nx&(\frac1n\leq x\leq\frac2n)\\0&(\frac2n\leq x\leq1)\end{cases} $$
は連続で、$f_n(0)=0$、$x>0$ なら $n\geq2/x$ で $f_n(x)=0$ なので、連続関数 $0$ に各点収束する。しかし $f_n(1/n)=1$ なので $\sup f_n=1$ であり、一様収束しない。たとえば $x=1/10$ では $f_2(x)=0.2< f_3(x)=0.3$ で、$(f_n(x))$ は単調減少でない。

補足

有界な範囲ごとの一様収束

ex-unif-x-over-n や冪級数のように、定義域全体では一様収束しないが、有界な閉区間（より一般にコンパクト空間である部分集合）ごとには一様収束する関数列は多い。これを広義一様収束（局所一様収束、コンパクト一様収束）という。連続性は各点の近くの性質なので、広義一様収束する連続関数の列の極限は連続である（Leb Exercise 6.2.15、p. 244）。複素解析では、局所一様収束する正則関数の列の極限が正則であることが基本になる（Cauchyの積分公式の記事）。また、関数の列がコンパクト集合ごとに一様収束することは、連続写像の空間のコンパクト開位相での収束と同値である（コンパクト開位相の記事の命題「コンパクト集合上一様収束との一致」）。

一様ノルムと完備性

$[a,b]$ 上の連続関数全体 $C([a,b])$ は一様ノルム $\|f\|=\sup|f(x)|$ について完備な距離空間（Banach空間）である（完備距離空間の記事の命題「有界関数と有界連続関数の空間の完備性」）。一様 Cauchy 条件と thm-unif-continuity は、この完備性の中身そのものである。

出典

各点収束と一様収束の定義は Leb §6.1 の Definition 6.1.1・6.1.6（pp. 227–229）、上限による言い換えは Proposition 6.1.10（p. 231）、一様 Cauchy 条件は Proposition 6.1.13（p. 231）、一様極限の連続性は Theorem 6.2.2（p. 235、点列による証明）、積分との交換は Theorem 6.2.4（p. 237、本記事とは別の証明）、微分との交換は Theorem 6.2.10（p. 239、導関数の連続性を仮定する形）、冪級数の一様収束は Proposition 6.2.11（p. 240）にある。Dini の定理は Leb Exercise 6.2.10（p. 244、$0\leq f_{n+1}\leq f_n$ で極限 $0$ の形）として挙げられている。上積分と下積分は Leb Definition 5.1.3（p. 182）、Riemann 可積分性は Definition 5.1.9（p. 185）による。