F有限環

$F_*b_i$ が $F_*R$ を生成することは、任意の $F_*r$ が $\sum_i a_i\cdot F_*b_i$ と書けることを意味する。作用の定義によってこれは3と同じである。一方、$R^p$ の任意の元はある $a_i$ の $p$ 乗なので、$R^p$ 上 $b_i$ で生成されることも3と同じである。Frobeniusの単射性を使っていないため、冪零元があっても証明は変わらない。$\square$

$R=\sum_iR^pb_i$ とする。係数の $p$ 乗にも同じ表示の $p$ 乗を適用でき、$R^p=\sum_iR^{p^2}b_i^p$ である。したがって $R$ は $R^{p^2}$ 上 $b_ib_j^p$ で生成される。この操作を反復すれば、$R^{p^e}$ 上の生成元は
$$ b_{i_0}b_{i_1}^p\cdots b_{i_{e-1}}^{p^{e-1}} $$
という有限族でよい。被約性は使っていない。逆方向は $R^{p^e}\subset R^p$ なので、より小さい係数環上の有限生成元は大きい係数環上でも生成元になることから従う。$\square$

生成元 $b_1,\ldots,b_s$ を固定する。商については $r=\sum_i a_i^pb_i$ の像を取れば、$b_i+I$ が $(R/I)^p$ 上の生成元になる。$(R/I)^p$ は $R^p$ の像であり、一般に $R^p/I$ と書けるとは限らないため、この像による説明を使う。
局所化では $r/t\in S^{-1}R$ に対し
$$ \frac rt=\frac{rt^{p-1}}{t^p} $$
と書く。分子を $\sum_i c_i^pb_i$ と分解すれば、$r/t=\sum_i(c_i/t)^p(b_i/1)$ となる。したがって同じ有限族の像で生成できる。$0\in S$ の場合、局所化は零環であり、零加群として有限である。
多項式の各指数を $p$ で割って $\alpha=p\beta+\gamma$、$0\le\gamma_j< p$ と書く。各係数も $p$ 乗係数によって分解すると、各項は $p$ 乗多項式の係数で $b_iX^\gamma$ を掛けたものとなる。従って有限族
$$ \{b_iX^\gamma:1\le i\le s,\ 0\le\gamma_j< p\} $$
で生成される。有限型代数はこの多項式環の商なので、第一の保存性を適用すればよい。変数が零個の場合は元の環である。$\square$

体上の有限生成加群は有限次元ベクトル空間と同じなので、最初の同値は定義の言い換えである。不完全なF有限体の例として $k=\mathbb F_p(u)$ がある。$u$ の次数を $p$ で割る操作により $k$ は $k^p=\mathbb F_p(u^p)$ 上 $1,u,\ldots,u^{p-1}$ を基底にもつ。分母については $g(u)^{-1}=g(u)^{p-1}/g(u)^p$ とすれば同じ生成ができる。線形独立性は、分母を払った多項式の各指数を $p$ の剰余で分けることで従う。従って次数は $p$ だが、$u$ は $p$ 乗ではなく完全体ではない。$\square$

$P^p=k^p[X_1^p,\ldots,X_n^p]$ である。各係数を $b_i$ に沿って一意に分解し、各指数を $p$ で割った余りに沿って整理すると、生成性を得る。
線形関係 $\sum_{i,\gamma}f_{i,\gamma}(X^p)b_iX^\gamma=0$ を考える。異なる $\gamma$ に対応する項の指数は異なる剰余をもち、重ならない。各 $\gamma$ と各 $p$ 倍の指数について、係数は $\sum_i c_ib_i=0$、$c_i\in k^p$ という形になる。$b_i$ の独立性から各 $c_i=0$、したがってすべての $f_{i,\gamma}=0$ である。これは存在だけでなく基底としての一意性を与える。$\square$

Frobeniusは各有限次数切断で係数と指数を $p$ 乗するので、その逆極限でも
$$ C^p=k^p[\![X_1^p,\ldots,X_n^p]\!] $$
となる。逆の包含は、右辺の係数を $k$ 内で $p$ 乗根に戻して級数を作れば成立する。
$k$ がF有限とする。任意の級数 $f=\sum_\alpha a_\alpha X^\alpha$ の各係数を $a_\alpha=\sum_i b_i c_{i,\alpha}^p$ と一意に書く。さらに $\alpha=p\beta+\gamma$ と分けると
$$ f=\sum_{i,\gamma}b_iX^\gamma \left(\sum_\beta c_{i,p\beta+\gamma}X^\beta\right)^p. $$
外側の和は有限であり、内側は正しく定まる形式級数である。これで生成性を得る。各指数の剰余と各係数の基底表示の一意性から、多項式の場合と同じように独立性も成立する。
逆に $C$ がF有限なら、商 $C/(X_1,\ldots,X_n)\cong k$ もF有限となる。$n=0$ は体自身の主張である。$\square$

$B=R^p$、$\mathfrak m=(x_1,\ldots,x_r)$、$\mathfrak n=\mathfrak m\cap B$ とおく。$B$ はFrobeniusの像なのでNoetherで、$\mathfrak n=(x_1^p,\ldots,x_r^p)B$ を唯一の極大イデアルにもつ。$\sqrt{\mathfrak nR}=\mathfrak m$ であり、有限生成から $\mathfrak nR$ 進位相と $\mathfrak m$ 進位相は同じである。
$R$ は有限 $B$-加群だから、有限加群の完成の完全性によって包含 $B\to R$ は完成後も単射となり、$\widehat R=R\otimes_B\widehat B$ は有限 $\widehat B$-加群となる。一方Frobeniusによる全射 $R\to B$ を通して $B$ は巡回 $R$-加群である。これを完成すると全射 $\widehat R\to\widehat B$ を得る。その後に包含 $\widehat B\to\widehat R$ を合成した写像は、稠密な $R$ 上でFrobeniusと一致する。両写像は連続なので全体でも一致し、像は $(\widehat R)^p=\widehat B$ となる。従って $\widehat R$ はその $p$ 乗部分環上有限である。
被約性の主張では、Frobeniusを $R$-線形な単射 $R\to F_*R$ として扱う。右側は有限加群なので、完成の完全性によって完成後も単射である。$F_*R$ の加群位相は環 $R$ 上では $(x_1^p,\ldots,x_r^p)$ の冪による位相で、通常の極大イデアル進位相と同じである。従って完成した写像は $\widehat R$ のFrobeniusとなり、これが単射である。冪零元を十分大きい $p$ 乗で殺して単射性を反復すれば、その元は零である。よって $\widehat R$ は被約となる。$\square$

$d=\dim R$ とおく。$C=\widehat R$ は被約である。$\dim C=d$ だから、$\dim C/P=d$ となる最小素イデアル $P$ を一つ選べる。すべての最小素成分が同じ次元であるとは、この段階では仮定しない。平坦写像 $R\to C$ のgoing downから $P\cap R=0$ である。
$C_P$ は被約零次元局所環なので体であり、$L=\operatorname{Frac}(C/P)$ と同じである。式 (1) をこの点で局所化すると
$$ \Omega_{L/\mathbb F_p} \cong\Omega_{R/\mathbb F_p}\otimes_R L \cong\Omega_{K/\mathbb F_p}\otimes_K L. $$
従って $\delta(L)=\delta(K)$ である。$L$ と $k$ はF有限環の商・局所化としてF有限である。
$D=C/P$ は剰余体 $k$、次元 $d$ の完備局所整域である。係数体 $k\subset D$ とパラメータ系 $y_1,\ldots,y_d$ を取る。$D/(y_1,\ldots,y_d)$ は有限次元 $k$ 空間なので、その基底の代表 $v_1,\ldots,v_a$ を選ぶ。任意の元をこれらの $k$ 線形結合として近似し、誤差を $(y)$ の元として書き、同じ操作を誤差の各係数へ繰り返す。$r$ 回目の誤差は $(y)^r$ に入り、完全性から各 $v_i$ の係数は $k[\![Y_1,\ldots,Y_d]\!]$ の元へ収束する。従って
$$ S=k[\![Y_1,\ldots,Y_d]\!]\longrightarrow D,\quad Y_i\longmapsto y_i $$
は有限写像である。
その核は素イデアルで、有限整拡大は次元を保つから $\dim(S/\ker)=d$ である。$S$ は $d$ 次元整域であり、非零素イデアルから上への鎖に $0$ からの一段を前置すると、その商の次元は高々 $d-1$ になる。従って核は零である。$M=\operatorname{Frac}S$ とおけば $L/M$ は有限体拡大となる。
$[k:k^p]=p^s$ とする。先の級数基底の証明によって、$S/S^p$ の階数は $p^{s+d}$ であり、分数体でも同じ基底が残る。従って $[M:M^p]=p^{s+d}$ である。有限体拡大ではFrobeniusが $[L^p:M^p]=[L:M]$ を与える。二通りの次数の塔を比較して
$$ [L:L^p][L^p:M^p]=[L:M][M:M^p] $$
となるので、$[L:L^p]=[M:M^p]$ である。分離性はこの計算に必要ない。従って $\delta(K)=\delta(L)=s+d=\delta(k)+d$ を得る。$\square$

$\mathfrak q\subset\mathfrak p$ を素イデアルとする。局所整域 $R_{\mathfrak p}/\mathfrak qR_{\mathfrak p}$ の分数体と剰余体は、それぞれ $\kappa(\mathfrak q)$ と $\kappa(\mathfrak p)$ である。次元公式から
$$ \operatorname{ht}(\mathfrak p/\mathfrak q) =\delta(\kappa(\mathfrak q))-\delta(\kappa(\mathfrak p)). \qquad (2) $$
右辺の順序は分数体の指数から剰余体の指数を引くものである。
隣接する素イデアルの間では商局所環の次元が一なので、式 (2) の右辺は一となる。$\mathfrak q$ から $\mathfrak p$ への任意の飽和鎖に沿ってこれを足すと、中間の指数が相殺して長さはつねに $\delta(\kappa(\mathfrak q))-\delta(\kappa(\mathfrak p))$ となる。各区間の高さはNoether局所環の極大イデアルの有限生成性から有限であり、鎖の長さをこの整数で比較できる。従って $R$ は鎖状的である。
任意の有限型 $R$-代数もF有限Noether環である。そこにも同じ証明を適用できるので、すべての有限型代数が鎖状的となる。これは普遍鎖状性の定義である。$\square$

$K=\operatorname{Frac}C$、$B=C^p$、$q=Q\cap\widehat B$ とおく。$q\cap B=0$ なので $\widehat B_q$ は $K^p=\operatorname{Frac}B$ を含む。$K/K^p$ は有限体拡大であるから
$$ T=K\otimes_{K^p}\widehat B_q $$
は $\widehat B_q$ 上、正の有限階数の自由加群である。
各 $t\in T$ の $p$ 乗は $\widehat B_q$ に入る。実際、テンソルの有限和を $p$ 乗すると交差項は消え、$K$ 側の係数の $p$ 乗が $K^p$ に入るからである。従ってこの写像は有限整写像であり、各剰余体上のファイバーの素イデアルは一つだけである。これを確認するには代数閉包へ基底変換すればよい。各生成元は基礎体の元の $p$ 乗根になり、その根は唯一なので、代数閉包上でファイバーの被約商はその代数閉包となる。正の自由階数によりファイバーは非零である。従って $\widehat B_q$ が局所環であることから $T$ も唯一の極大イデアルをもつ局所環である。
完成の同一性 $\widehat C=C\otimes_B\widehat B$ の $C$ 側の非零元と $\widehat B$ 側の $q$ 外の元を逆にすると、同じ環 $T$ となる。$Q$ はその唯一の極大イデアルに対応するので、さらに $Q$ 外を反転しても環は変わらない。従って $T=\widehat C_Q$ である。$C$ の被約性と完成の命題から $T$ も被約である。
ここで $T^p=\widehat B_q$ を確認する。先の計算が一方の包含を与える。逆に $b/s\in\widehat B_q$ は、完成の命題から $b=c^p$、$s=t^p$、$c,t\in\widehat C$ と書ける。$s\notin q$ なら $t\notin Q$ であり、$b/s=(c/t)^p\in T^p$ である。
従って被約局所環 $T$ は $T^p$ 上有限自由である。被約性により $T\to T^p$ は同型なので、これは $T$ のFrobeniusの平坦性を意味する。Kunzの定理によって $T$ は正則である。$\square$

異なる極大イデアルは互いに素である。その冪も互いに素である。実際 $a+b=1$、$a\in N_i$、$b\in N_j$ と書き、$(a+b)^{2n-1}$ を展開すると、各項は $a$ か $b$ の指数が少なくとも $n$ になる。従って $1\in N_i^n+N_j^n$ である。
互いに素な二イデアル $H,K$ に対して $H\cap K=HK$ である。$h+k=1$ を使えば、交叉の元 $x$ は $xh+xk\in HK$ と書ける。有限個の場合へ帰納すると $J=\prod_iN_i$、従って
$$ J^n=\prod_iN_i^n=\bigcap_iN_i^n. $$
剰余写像から $V/J^n\to\prod_iV/N_i^n$ は単射である。全射性も直接分かる。固定した $i$ ごとに、他の各 $j$ について $N_i^n$ を法として一で $N_j^n$ に入る元を選んで掛ければ、その積 $e_i$ は $i$ の商で一、他の商で零になる。任意の有限剰余族の代表 $v_i$ に対して $\sum_i v_ie_i$ がその族を持ち上げる。
次に $V/N_i^n$ は唯一の極大イデアル $N_i/N_i^n$ をもつ局所環である。極大イデアルが $N_i^n$ を含めば、その根基 $N_i$ も含むため $N_i$ 自身である。従って $V\setminus N_i$ の元はこの商で全て単元であり、局所化は商を変えない。すなわち
$$ V/N_i^n\cong V_{N_i}/N_i^nV_{N_i}. $$
以上の同型は全て剰余写像から作られているので、$n+1$ から $n$ への射と両立する。逆極限の両立族を有限個の成分ごとに取ることで、結論の有限積同型を得る。
さらに $V$ が局所環 $(A,\mathfrak m)$ 上有限であれば、$\sqrt{\mathfrak mV}=J$ となる場合の $\mathfrak mV$ 進完成も同じである。$\mathfrak mV\subset J$ であり、Noether性から $J$ の有限生成元を選べる。各生成元のある冪が $\mathfrak mV$ に入るので、全次数を数えればある $h\ge1$ で $J^h\subset\mathfrak mV$ となる。従って
$$ J^{hn}\subset(\mathfrak mV)^n\subset J^n. $$
両イデアル列は余終で、両立族を十分深い商へ送り合う自然写像が互いに逆となる。よってどちらの完成も同じ有限積である。$\square$

任意の素イデアル $\mathfrak p$ を固定し、$A=R_{\mathfrak p}$、$U=\widehat A$ とおく。完成写像は平坦である。これが正則写像であることを示すため、任意の素イデアル $\mathfrak a\subset A$ と任意の有限体拡大 $L/\kappa(\mathfrak a)$ に対して
$$ E=U\otimes_A L $$
が正則であることを証明する。この全有限拡大による検査が幾何的正則性の定義であり、分離拡大だけの検査には限定しない。
$D=A/\mathfrak a$、$K=\operatorname{Frac}D=\kappa(\mathfrak a)$ とする。$L/K$ の有限個の体生成元 $\alpha_i$ を選ぶ。そのモニック最小多項式の係数の共通非零分母 $d_i\in D$ を払い、$\beta_i=d_i\alpha_i$ とおく。$\beta_i$ は $D$ 上整である。次数 $n$ の式の第 $j$ 係数を $d_i^j$ 倍すれば、その係数は $D$ に入るからである。
$V=D[\beta_1,\ldots,\beta_s]\subset L$ は有限 $D$-加群整域で、分数体は $L$ である。従って有限 $A$-代数でもある。$A$ は局所環なので $V$ は半局所環である。詳しくは $V/\mathfrak m_AV$ は有限次元体代数で、極大イデアルは有限個となる。また有限整拡大の極大イデアルは $\mathfrak m_A$ 上にあり、$\sqrt{\mathfrak m_AV}=\operatorname{Jac}V$ となる。有限生成性からこれらのイデアルの冪は互いに余終である。
有限加群の完成の完全性と、直前の lem-f-finite-ring-semilocal-completion によって
$$ V\otimes_A U=\widehat V =\prod_{N\in\operatorname{Max}V}\widehat{V_N}. \qquad (3) $$
ここで左辺は $\mathfrak m_A$ 進完成、中央はJacobson根基進完成、右辺は各極大イデアル進完成であり、前段の位相の一致を使っている。
$S=V\setminus\{0\}$ とおけば
$$ E=L\otimes_A U=S^{-1}\widehat V. $$
$E$ の任意の素イデアルは $\widehat V$ の素イデアル $Q$ で $Q\cap V=0$ となるものに対応する。式 (3) の一つの因子 $\widehat{V_N}$ にその点が属する。$C=V_N$ は有限型代数の局所化としてF有限であり、局所整域である。$Q$ の $C$ への収縮も零である。実際、$C$ の非零元は $V$ の非零分子をもつ分数で、分母はその完成因子で単元であり、分子は $Q$ に入らない。
従ってgeneric完成の補題から、その点の局所環 $\widehat C_Q$ は正則である。これは $E$ の当該局所環と同じである。すべての点で成立するので $E$ は正則となる。任意の $\mathfrak a$ と任意の有限 $L/\kappa(\mathfrak a)$ について証明したから、$A\to U$ は正則写像である。
最後に $\mathfrak p$ は任意であった。各 $R_{\mathfrak p}$ の完成写像が正則となるので、$R$ はG環である。零環の場合は素イデアルがなく、この条件は空である。$\square$