Christoffel記号
概要
Christoffel記号（Christoffel symbols）とは、Riemann 多様体（または擬 Riemann 多様体）の局所座標で、計量の成分 $g_{ij}$ とその 1 階偏導関数から $\Gamma^k_{ij}=\frac12g^{kl}(\partial_ig_{jl}+\partial_jg_{il}-\partial_lg_{ij})$ で定まる関数である。これは Levi-Civita 接続の接続係数、すなわち $\nabla_{\partial_i}\partial_j=\Gamma^k_{ij}\partial_k$ を満たす係数に等しく、測地線の方程式・発散・Laplace 作用素・曲率テンソルを座標で計算するときの基本の道具である。座標変換で 2 階偏導関数の項が加わるので、テンソル場の成分ではない。
Riemann 多様体の上でベクトル場を微分するには、Levi-Civita 接続 $\nabla$（Riemann接続）を使う。局所座標をとると、$\nabla$ は座標ベクトル場どうしの共変微分 $\nabla_{\partial_i}\partial_j$ で決まり、その係数は計量の成分 $g_{ij}$ とその 1 階偏導関数だけで書ける。この係数を Christoffel 記号（Christoffel symbols）という。
$$
\Gamma^k_{ij}=\frac12g^{kl}\bigl(\partial_ig_{jl}+\partial_jg_{il}-\partial_lg_{ij}\bigr)
$$
Christoffel 記号は、座標で計算するときの基本の道具である。測地線の方程式、ベクトル場の発散、Laplace 作用素、曲率テンソルは、どれも Christoffel 記号を通して計量から計算される。一方で、Christoffel 記号はテンソルの成分ではない。平面の直交座標ではすべて $0$ だが、極座標では $0$ でない。この記事では次のことを示す。
- Levi-Civita 接続の接続係数が上の式で与えられること。逆に、この式で座標ごとに定めた接続は捩れがなく計量と両立すること。→ thm-chr-main
- 座標を取り替えたときの変換則と、テンソルでないこと。→ prop-chr-transformation、ex-chr-not-tensor
- 縮約 $\Gamma^i_{ij}$ が体積要素の対数微分であること。発散と Laplace 作用素の座標表示。→ prop-chr-contracted
- エネルギーの Euler–Lagrange 方程式から Christoffel 記号を読み取る方法。→ prop-chr-lagrange表の値は ex-chr-diagonal と ex-chr-conformal で計算する。
計量 0 でない Christoffel 記号（添字の対称性を除く） 平面の極座標 $dr^2+r^2d\theta^2$ $\Gamma^r_{\theta\theta}=-r$、$\Gamma^\theta_{r\theta}=1/r$ 回転面 $du^2+f(u)^2dv^2$ $\Gamma^u_{vv}=-ff'$、$\Gamma^v_{uv}=f'/f$ 上半平面 $(dx^2+dy^2)/y^2$ $\Gamma^x_{xy}=-1/y$、$\Gamma^y_{xx}=1/y$、$\Gamma^y_{yy}=-1/y$ 共形平坦 $e^{2u}\sum_i(dx^i)^2$ $\Gamma^k_{ij}=\delta_{ik}\partial_ju+\delta_{jk}\partial_iu-\delta_{ij}\partial_ku$
定義
以下、$(M,g)$ を $n$ 次元の Riemann多様体 とする（計量が各点で非退化であることしか使わないので、擬Riemann多様体 でも同じである）。局所座標 $(x^1,\dots,x^n)$ について $\partial_i:=\partial/\partial x^i$、$g_{ij}:=g(\partial_i,\partial_j)$ とし、$(g^{ij})$ を行列 $(g_{ij})$ の逆行列とする。同じ添字が上下に現れたら和をとる（Einstein の規約、テンソル解析）。
局所座標 $(x^i)$ について
$$
\Gamma_{kij}:=\frac12\bigl(\partial_ig_{jk}+\partial_jg_{ik}-\partial_kg_{ij}\bigr),\qquad \Gamma^k_{ij}:=g^{kl}\Gamma_{lij}
$$
とおく。$\Gamma^k_{ij}$ を計量 $g$ のこの座標に関する Christoffel 記号（第 2 種の Christoffel 記号）、$\Gamma_{kij}$ を 第 1 種の Christoffel 記号 という。どちらも $i,j$ について対称で、$\Gamma_{kij}=g_{kl}\Gamma^l_{ij}$ である。
定義から、Christoffel 記号は各点で $g_{ij}$ とその 1 階偏導関数の値だけで決まる。$g_{ij}$ が定数の座標では $0$ である。第 1 種の記号は $[ij,k]$ や $\Gamma_{ij,k}$ と書かれることもあり、添字の並べ方は文献ごとに違う。値はどれも上の $\Gamma_{kij}$ と同じ量である。
接続 $\nabla$ の 接続係数 を $\nabla_{\partial_i}\partial_j=C^k_{ij}\partial_k$ で定める。ベクトル場 $Y=Y^j\partial_j$ については
$$
\nabla_{\partial_i}Y=\bigl(\partial_iY^k+C^k_{ij}Y^j\bigr)\partial_k
$$
である（Riemann接続 の定義「接続と接続係数」の 2 条件から直ちに従う）。主定理は、Levi-Civita 接続では $C^k_{ij}=\Gamma^k_{ij}$ となることを述べる。
主定理：Levi-Civita 接続の係数
$(U,(x^i))$ を $M$ の座標近傍とする。
- $(M,g)$ の Levi-Civita 接続 $\nabla$ の接続係数は Christoffel 記号に等しい：$\nabla_{\partial_i}\partial_j=\Gamma^k_{ij}\partial_k$。
- 逆に、$U$ の上で $\nabla_{\partial_i}\partial_j:=\Gamma^k_{ij}\partial_k$ によって定まる接続は、捩れがなく $g$ と両立する。
$U$ の上の接続 $\nabla$ の接続係数を $C^k_{ij}$ とし、$C_{kij}:=g_{kl}C^l_{ij}$ とおく。
段 1（2 つの条件の座標表示）。$\nabla$ に捩れがないことは、$[\partial_i,\partial_j]=0$ より $C^k_{ij}=C^k_{ji}$、すなわち $C_{kij}=C_{kji}$ と同値である（Riemann接続 の定義「捩率テンソル」）。$\nabla$ が $g$ と両立することは、$X=\partial_i$、$Y=\partial_j$、$Z=\partial_k$ についての条件 $X\,g(Y,Z)=g(\nabla_XY,Z)+g(Y,\nabla_XZ)$、すなわち
$$
\partial_ig_{jk}=C_{kij}+C_{jik}\qquad(\text{すべての }i,j,k)\qquad\text{(A)}
$$
と同値である（差 $X\,g(Y,Z)-g(\nabla_XY,Z)-g(Y,\nabla_XZ)$ は $X,Y,Z$ について $C^\infty(U)$ 多重線形なので、座標ベクトル場で確かめれば十分である。Riemann接続 の定義「計量的な接続」の座標表示）。
段 2（1 の証明）。$\nabla$ を Levi-Civita 接続とすると、(A) と $C_{kij}=C_{kji}$ が成り立つ。(A) の添字を巡回させた 3 つの式
$$
\partial_ig_{jk}=C_{kij}+C_{jik},\qquad\partial_jg_{ik}=C_{kji}+C_{ijk},\qquad\partial_kg_{ij}=C_{jki}+C_{ikj}
$$
の初めの 2 つを足して 3 つ目を引く。対称性 $C_{jik}=C_{jki}$、$C_{ijk}=C_{ikj}$、$C_{kji}=C_{kij}$ により右辺は $2C_{kij}$ になるので
$$
C_{kij}=\frac12\bigl(\partial_ig_{jk}+\partial_jg_{ik}-\partial_kg_{ij}\bigr)=\Gamma_{kij}
$$
である。$g^{lk}$ を掛けて $k$ について和をとれば $C^l_{ij}=\Gamma^l_{ij}$ を得る。
段 3（2 の証明）。$C^k_{ij}:=\Gamma^k_{ij}$ とおくと $C_{kij}=\Gamma_{kij}$ で、これは $i,j$ について対称だから捩れはない。(A) の右辺は
$$
\Gamma_{kij}+\Gamma_{jik}=\frac12\bigl(\partial_ig_{jk}+\partial_jg_{ik}-\partial_kg_{ij}\bigr)+\frac12\bigl(\partial_ig_{kj}+\partial_kg_{ij}-\partial_jg_{ik}\bigr)=\partial_ig_{jk}
$$
となり、(A) が成り立つ。よってこの接続は $g$ と両立する。$\square$
2 から、捩れがなく計量と両立する接続は各座標近傍の上に存在し、1 から、それはただ 1 つである。一意性により、2 つの座標近傍の重なりでは 2 つの座標で作った接続が一致するので、それらをつなげて $M$ 全体の接続が得られる。これはリーマン幾何学の基本定理（Riemann接続 の定理「リーマン幾何学の基本定理」）の座標による証明である。Koszul 公式を使う座標によらない証明も同じ記事にある。
主定理により、ベクトル場 $Y=Y^k\partial_k$ と 1 次微分形式 $\omega=\omega_kdx^k$ の共変微分の成分は
$$
\nabla_iY^k=\partial_iY^k+\Gamma^k_{ij}Y^j,\qquad\nabla_i\omega_j=\partial_i\omega_j-\Gamma^k_{ij}\omega_k
$$
である（2 つ目は $\omega(Y)$ に積の規則を当てて得る）。一般のテンソル場では、上の添字ごとに $+\Gamma$ の項、下の添字ごとに $-\Gamma$ の項がつく（テンソル解析）。$\nabla g=0$ を成分で書いたものが (A) である。
性質
2 つの局所座標 $(x^i)$、$(y^a)$ に関する Christoffel 記号を $\Gamma^k_{ij}$、$\tilde\Gamma^c_{ab}$ とすると、共通の定義域の上で
$$
\tilde\Gamma^c_{ab}=\frac{\partial y^c}{\partial x^k}\left(\frac{\partial x^i}{\partial y^a}\frac{\partial x^j}{\partial y^b}\Gamma^k_{ij}+\frac{\partial^2x^k}{\partial y^a\partial y^b}\right)
$$
が成り立つ。
主定理により、両辺はどちらも Levi-Civita 接続 $\nabla$ の接続係数である。$\partial/\partial y^b=(\partial x^j/\partial y^b)\partial_j$ に接続の 2 条件を使うと
$$
\nabla_{\partial/\partial y^a}\frac{\partial}{\partial y^b}=\frac{\partial^2x^k}{\partial y^a\partial y^b}\partial_k+\frac{\partial x^i}{\partial y^a}\frac{\partial x^j}{\partial y^b}\Gamma^k_{ij}\partial_k
$$
である。$\partial_k=(\partial y^c/\partial x^k)\,\partial/\partial y^c$ を代入して $\partial/\partial y^c$ の係数を比べればよい。$\square$
右辺の第 1 項だけなら、$(1,2)$ 型テンソルの成分の変換則である。第 2 項は座標変換の 2 階偏導関数を含み、座標変換が 1 次式でない限り一般には消えない。
平面 $\mathbb R^2$ の Euclid 計量 $dx^2+dy^2$ では、直交座標で $g_{ij}=\delta_{ij}$ が定数なので Christoffel 記号はすべて $0$ である。極座標 $(r,\theta)$ では $g=dr^2+r^2d\theta^2$ で、ex-chr-diagonal により $\Gamma^r_{\theta\theta}=-r\neq0$ である。
テンソル場の成分の変換則は成分について 1 次で斉次なので、ある座標ですべての成分が $0$ のテンソル場は、どの座標でもすべての成分が $0$ である。したがって、Christoffel 記号を成分にもつ $(1,2)$ 型テンソル場はない。この例は「添字が 3 つあり、どの座標でも定義される量」であっても「テンソル場の成分」であるとは限らないことを示す。一方、prop-chr-transformation と同じ変換則は任意の接続の接続係数について成り立ち（証明は接続の 2 条件しか使わない）、2 つの接続の接続係数の差では第 2 項が打ち消し合うので、差は $(1,2)$ 型テンソル場の成分になる。
$|g|:=|\det(g_{ij})|$ とおくと
$$
\Gamma^i_{ij}=\partial_j\log\sqrt{|g|}
$$
である。したがって、ベクトル場 $X=X^i\partial_i$ の発散 $\operatorname{div}X:=\nabla_iX^i$（$\nabla X$ のトレース）と、関数 $f$ の Laplace–Beltrami 作用素 $\Delta f:=\operatorname{div}(\operatorname{grad}f)$ は
$$
\operatorname{div}X=\frac1{\sqrt{|g|}}\partial_i\bigl(\sqrt{|g|}\,X^i\bigr),\qquad\Delta f=\frac1{\sqrt{|g|}}\partial_i\bigl(\sqrt{|g|}\,g^{ij}\partial_jf\bigr)
$$
と書ける。
定義から
$$
\Gamma^i_{ij}=\frac12g^{il}\bigl(\partial_ig_{jl}+\partial_jg_{il}-\partial_lg_{ij}\bigr)
$$
である。第 1 項と第 3 項の和 $g^{il}\partial_ig_{jl}-g^{il}\partial_lg_{ij}$ は、第 3 項で和の文字 $i,l$ を入れ替えると $g^{li}\partial_ig_{lj}$ になり、$g^{il}=g^{li}$、$g_{jl}=g_{lj}$ より第 1 項と打ち消し合う。よって $\Gamma^i_{ij}=\frac12g^{il}\partial_jg_{il}$ である。一方、行列式の微分の公式（Jacobi の公式）$\partial_j\det(g)=\det(g)\,g^{il}\partial_jg_{il}$ から
$$
\partial_j\log\sqrt{|g|}=\frac12\,\frac{\partial_j\det(g)}{\det(g)}=\frac12g^{il}\partial_jg_{il}
$$
である（$\det(g)$ は $0$ にならないので符号は一定で、$\log|\det g|$ が微分できる）。2 つを比べて第 1 の式を得る。
rem-chr-components より $\nabla_iX^i=\partial_iX^i+\Gamma^i_{ij}X^j=\partial_iX^i+X^j\partial_j\log\sqrt{|g|}$ で、これは $\frac1{\sqrt{|g|}}\partial_i(\sqrt{|g|}X^i)$ に等しい。$\operatorname{grad}f$ の成分は $g^{ij}\partial_jf$ なので、第 3 の式はこれを第 2 の式に代入したものである。$\square$
たとえば平面の極座標では $\sqrt{|g|}=r$ なので、$\Delta f=\dfrac1r\partial_r(rf_r)+\dfrac1{r^2}f_{\theta\theta}=f_{rr}+\dfrac{f_r}r+\dfrac{f_{\theta\theta}}{r^2}$ を得る。Christoffel 記号をすべて計算しなくても、体積要素 $\sqrt{|g|}$ だけで発散と Laplace 作用素が書けることがこの命題の要点である。
測地線の方程式と Lagrange の方法
曲線 $\gamma$ の座標成分を $x^k(t)$ と書くと、$\gamma$ が測地線であることは
$$
\ddot x^k+\Gamma^k_{ij}(x)\,\dot x^i\dot x^j=0\qquad(k=1,\dots,n)
$$
と同値である（測地線 の節「座標方程式と初期値」、Lee18 (4.16)（p. 103））。実際の計算では、Christoffel 記号を 1 つずつ公式に代入するより、次の恒等式を使うほうが速いことが多い。
座標近傍の中の $C^2$ 級の曲線 $x(t)$ について、$L(x,\dot x):=\frac12g_{ij}(x)\dot x^i\dot x^j$ とおくと
$$
\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot x^k}-\frac{\partial L}{\partial x^k}=g_{kl}\bigl(\ddot x^l+\Gamma^l_{ij}\dot x^i\dot x^j\bigr)
$$
が成り立つ。とくに、$x(t)$ が測地線であることは、$L$ の Euler–Lagrange 方程式が成り立つことと同値である。
$\partial L/\partial\dot x^k=g_{kj}\dot x^j$、$\partial L/\partial x^k=\frac12\partial_kg_{ij}\,\dot x^i\dot x^j$ である。前者を $t$ で微分すると $g_{kj}\ddot x^j+\partial_ig_{kj}\,\dot x^i\dot x^j$ で、$\dot x^i\dot x^j$ が $i,j$ について対称なので $\partial_ig_{kj}\,\dot x^i\dot x^j=\frac12(\partial_ig_{jk}+\partial_jg_{ik})\dot x^i\dot x^j$ と書ける。よって左辺は
$$
g_{kj}\ddot x^j+\frac12\bigl(\partial_ig_{jk}+\partial_jg_{ik}-\partial_kg_{ij}\bigr)\dot x^i\dot x^j=g_{kl}\ddot x^l+\Gamma_{kij}\dot x^i\dot x^j=g_{kl}\bigl(\ddot x^l+\Gamma^l_{ij}\dot x^i\dot x^j\bigr)
$$
である。$(g_{kl})$ は可逆なので、左辺がすべての $k$ で $0$ であることと、測地線の方程式とは同値である。$\square$
使い方：$L$ の Euler–Lagrange 方程式を $\ddot x^k+(\dot x\text{ の 2 次式})=0$ の形に解き、その 2 次式の $\dot x^i\dot x^i$ の係数を $\Gamma^k_{ii}$、$i\neq j$ の $\dot x^i\dot x^j$ の係数を $2\Gamma^k_{ij}$ と読む（$\Gamma^k_{ij}=\Gamma^k_{ji}$ の 2 項が合わさるため）。
例
$g=\sum_ih_i(x)(dx^i)^2$（$h_i>0$、非対角成分は $0$）とする。添字について和をとらずに書くと
$$
\Gamma^k_{ij}=0\ \ (i,j,k\text{ が相異なる}),\qquad\Gamma^i_{ii}=\frac{\partial_ih_i}{2h_i},\qquad\Gamma^i_{ij}=\Gamma^i_{ji}=\frac{\partial_jh_i}{2h_i},\qquad\Gamma^j_{ii}=-\frac{\partial_jh_i}{2h_j}\quad(i\neq j)
$$
である。実際 $g^{kl}=\delta^{kl}/h_k$ なので $\Gamma^k_{ij}=\frac1{2h_k}(\partial_ig_{jk}+\partial_jg_{ik}-\partial_kg_{ij})$ で、$g_{ab}$ は $a=b$ のときだけ $0$ でないから、括弧の中で残る項を場合ごとに拾えばよい。
(1) 平面の極座標 $dr^2+r^2d\theta^2$：$h_r=1$、$h_\theta=r^2$ から $\Gamma^r_{\theta\theta}=-r$、$\Gamma^\theta_{r\theta}=1/r$ で、ほかは $0$ である。
(2) 回転面 $du^2+f(u)^2dv^2$（$f>0$）：$\Gamma^u_{vv}=-ff'$、$\Gamma^v_{uv}=f'/f$ である。$f=\sin u$ とすれば単位球面の極座標の値（Riemann接続 の例「2次元球面」）になる。
$U\subset\mathbb R^n$ を開集合、$u$ を $U$ 上の滑らかな関数とし、$g=e^{2u}\sum_i(dx^i)^2$ とする。$u_i:=\partial_iu$ と書くと
$$
\Gamma^k_{ij}=\delta_{ik}u_j+\delta_{jk}u_i-\delta_{ij}u_k
$$
である。実際 $g_{jl}=e^{2u}\delta_{jl}$、$\partial_ig_{jl}=2u_ie^{2u}\delta_{jl}$、$g^{kl}=e^{-2u}\delta^{kl}$ を定義に代入すると
$$
\Gamma^k_{ij}=\frac12e^{-2u}\cdot2e^{2u}\bigl(u_i\delta_{jk}+u_j\delta_{ik}-u_k\delta_{ij}\bigr)
$$
となる。
上半平面 $\{(x,y)\mid y>0\}$ の計量 $(dx^2+dy^2)/y^2$ は $u=-\log y$ の場合で、$u_x=0$、$u_y=-1/y$ から
$$
\Gamma^x_{xy}=-\frac1y,\qquad\Gamma^y_{xx}=\frac1y,\qquad\Gamma^y_{yy}=-\frac1y,\qquad\Gamma^x_{xx}=\Gamma^x_{yy}=\Gamma^y_{xy}=0
$$
である。prop-chr-lagrange で確かめると、$L=\frac{\dot x^2+\dot y^2}{2y^2}$ の Euler–Lagrange 方程式は
$$
\ddot x-\frac2y\dot x\dot y=0,\qquad\ddot y+\frac1y\dot x^2-\frac1y\dot y^2=0
$$
で、$\dot x\dot y$ の係数 $-2/y$ が $2\Gamma^x_{xy}$ に、$\dot x^2$ の係数 $1/y$ が $\Gamma^y_{xx}$ に当たる。$x$ が一定で $y=e^t$ の曲線はこの方程式を満たすので、縦の半直線 $\{x=\text{定数},\ y>0\}$ は（この径数で）測地線である（双曲幾何学）。
上半平面の Euler–Lagrange 方程式の計算を開く
$\partial L/\partial\dot x=\dot x/y^2$ の時間微分は $\ddot x/y^2-2\dot x\dot y/y^3$ で、$\partial L/\partial x=0$ なので、$y^2$ を掛けて第 1 式を得る。$\partial L/\partial\dot y=\dot y/y^2$ の時間微分は $\ddot y/y^2-2\dot y^2/y^3$、$\partial L/\partial y=-(\dot x^2+\dot y^2)/y^3$ なので、差は $\ddot y/y^2-2\dot y^2/y^3+(\dot x^2+\dot y^2)/y^3$ で、$y^2$ を掛けて第 2 式を得る。$x=$ 定数、$y=e^t$ では $\dot x=0$、$\ddot y=\dot y^2/y=e^t$ なので両式が成り立つ。
例と反例
Christoffel 記号は計量から計算される量だが、計量の性質をそのまま映すわけではない。
| 主張 | 反例 | 成り立たなくなる理由 |
|---|---|---|
| Christoffel 記号は $(1,2)$ 型テンソル場の成分である | 平面の直交座標と極座標（ex-chr-not-tensor） | 変換則に 2 階偏導関数の項がある |
| 1 点で Christoffel 記号がすべて $0$ なら、その点で曲率は $0$ である | $4(dx^2+dy^2)/(1+x^2+y^2)^2$ の原点（ex-chr-not-flat） | 曲率は Christoffel 記号の 1 階偏導関数を含む |
$\mathbb R^2$ の計量 $g=\lambda^2(dx^2+dy^2)$、$\lambda=\dfrac2{1+x^2+y^2}$ を考える。ex-chr-conformal で $u=\log\lambda=\log2-\log(1+x^2+y^2)$ とすると $u_x=-\dfrac{2x}{1+x^2+y^2}$、$u_y=-\dfrac{2y}{1+x^2+y^2}$ は原点で $0$ なので、原点で Christoffel 記号はすべて $0$ である。しかしこの計量は単位球面から 1 点を除いたものの立体射影による表示で、Gauss 曲率はいたるところ $1$ である（空間形 の定理「定曲率の共形モデル」で $n=2$、$c=1$ とした場合）。
曲率テンソルの成分は $R^i{}_{jkl}=\partial_k\Gamma^i_{lj}-\partial_l\Gamma^i_{kj}+\Gamma^i_{ka}\Gamma^a_{lj}-\Gamma^i_{la}\Gamma^a_{kj}$ で与えられ（Riemann曲率テンソル の命題「成分の公式」）、Christoffel 記号の値が $0$ でもその偏導関数は $0$ とは限らない。どの点でも、その点で Christoffel 記号が消える座標がとれる（Riemann接続 の命題「接続係数が消える座標」、正規座標）ので、1 点での値だけでは曲率について何も分からない。これに対し、連結な近傍全体で Christoffel 記号が恒等的に $0$ なら、その近傍で $g_{ij}$ は定数で、計量は平坦である（Riemann接続 の命題「接続係数が恒等的に消える座標」）。
補足
Christoffel 記号は $\left\{{k\atop ij}\right\}$ と書かれることもある。下の 2 つの添字の順序（どちらが微分の方向か）は文献によって違うが、Levi-Civita 接続では $\Gamma^k_{ij}=\Gamma^k_{ji}$ なので違いは生じない（捩れのある接続の接続係数では順序が意味をもつ）。定義と thm-chr-main の証明は計量の非退化性しか使わないので、Lorentz 計量などの擬 Riemann 計量でもそのまま成り立つ（Riemann接続 の例「Schwarzschild 計量」、Lee18 Corollary 5.11（pp. 123–124））。
曲面の第 1 基本形式 $E,F,G$ についての Christoffel 記号は、Gauss の驚異の定理の証明で Gauss 曲率を $E,F,G$ だけで表すのに使われる（Gaussの驚異の定理）。部分多様体では、外の空間の Levi-Civita 接続と部分多様体自身の Levi-Civita 接続の差が 第2基本形式 である（Gauss の公式）。
関連項目
参考文献
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