第2基本形式

同義語：第二基本形式second fundamental form

概要

第2基本形式（second fundamental form）とは、Riemann 多様体 $\bar M$ の部分多様体 $M$ の接ベクトル場 $X,Y$ に対し、$\bar M$ の Levi-Civita 接続による微分 $\bar\nabla_XY$ の法成分として定まる、法ベクトルに値をとる対称双線形形式 $\mathrm{II}(X,Y)$ である。接成分は $M$ 自身の Levi-Civita 接続による微分に等しく（Gauss の公式）、$\mathrm{II}$ は $M$ が外の空間の中でどう曲がっているかを測る。超曲面では単位法ベクトルを選ぶと実数値の 2 次形式と形作用素で表され、形作用素の固有値が主曲率である。誘導計量だけでは決まらない外在的な量で、平面と円柱では誘導計量が局所的に同じでも第 2 基本形式が異なる。

$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{div}[0]{\mathbin{÷}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

前提知識: 部分多様体, Riemann計量, Riemann接続, Christoffel記号

平面と円柱は、どちらも紙を曲げて作れるので、面の上で測る長さは同じである。それでも空間の中では、円柱は曲がり、平面は曲がっていない。この違いは面の上の長さ（第 1 基本形式、誘導計量）だけでは見えず、面が外の空間の中でどう曲がっているかを測る量が要る。それが 第 2 基本形式（second fundamental form）である。
Riemann 多様体 $\bar M$ の部分多様体 $M$ の接ベクトル場 $Y$ を、$M$ に接する向きに $\bar M$ の接続で微分すると、結果は一般に $M$ に接しない。その法成分が第 2 基本形式 $\mathrm{II}(X,Y)$ であり、接成分は $M$ 自身の Levi-Civita 接続による微分になる（Gauss の公式）。
$$ \bar\nabla_XY=\nabla_XY+\mathrm{II}(X,Y) $$
この記事では次のことを示す。

  1. $\mathrm{II}$ は延長のとり方によらず、各点で接ベクトルの対称双線形写像を定める。接成分は $M$ の Levi-Civita 接続である。→ thm-sff-basic
  2. 法ベクトルの微分の接成分が形作用素で与えられる（Weingarten の方程式）。→ lem-sff-weingarten
  3. $M$ の中の曲線の、外の空間で見た加速度の法成分は $\mathrm{II}(\gamma',\gamma')$ である。→ prop-sff-curve
  4. 超曲面では、第 2 基本形式は実数値の対称 2 次形式 $h$ と形作用素 $s$ で表され、その固有値が主曲率である。→ def-sff-hypersurface、prop-sff-surface
    部分多様体（$\mathbb R^{n+1}$ の超曲面）単位法ベクトル $N$形作用素 $s$主曲率
    超平面一定$0$$0,\dots,0$
    半径 $a$ の球面 $S^n(a)$内向き $-x/a$$\frac1a\,\mathrm{id}$$\frac1a,\dots,\frac1a$
    円柱 $S^1(r)\times\mathbb R^{n-1}$内向き円周の向きに $\frac1r$、ほかは $0$$\frac1r,0,\dots,0$
    グラフ $x_{n+1}=f(x)$ の臨界点上向きHesse 行列 $(\partial_i\partial_jf)$Hesse 行列の固有値
    表の値は ex-sff-sphere と ex-sff-graph で計算する。

定義

以下、$(\bar M,\bar g)$ を $m$ 次元の Riemann多様体、$\bar\nabla$ をその Levi-Civita 接続とし、$M\subset\bar M$ を $n$ 次元の埋め込まれた 部分多様体、$g$ を $\bar g$ から誘導される計量、$\nabla$ を $(M,g)$ の Levi-Civita 接続とする（Riemann接続）。$\bar g$ を $\langle\ ,\ \rangle$ とも書く。点 $p\in M$ で $T_p\bar M=T_pM\oplus N_pM$（$N_pM$ は $T_pM$ の直交補空間、法空間）と分け、ベクトル $Z$ の接成分を $Z^\top$、法成分を $Z^\perp$ と書く。$M$ の接ベクトル場 $X$ に対し、$\bar M$ の開集合（$M$ の近傍）の上のベクトル場 $\tilde X$ で $M$ の上で $X$ に一致するものを $X$ の 延長 という（埋め込まれた部分多様体では、各点の近くで延長がとれる）。

第 2 基本形式

$M$ の接ベクトル場 $X,Y$ に対し、延長 $\tilde X,\tilde Y$ をとって、$M$ の各点で
$$ \mathrm{II}(X,Y):=\bigl(\bar\nabla_{\tilde X}\tilde Y\bigr)^\perp $$
とおく。$\mathrm{II}$ を $M$ の（$\bar M$ の中での）第 2 基本形式 という。値は法ベクトル場である。

$\mathrm{II}$ がとり方によらないことは次の定理で示す。名前の「形式」は双線形形式の意味で、微分形式ではない。誘導計量 $g$ を 第 1 基本形式 とよぶのに対応する。

主定理：基本性質と Gauss の公式

第 2 基本形式の基本性質

$X,Y$ を $M$ の接ベクトル場とする。

  1. $\bar\nabla_{\tilde X}\tilde Y$ の $M$ の上の値は延長 $\tilde X,\tilde Y$ のとり方によらない。とくに $\mathrm{II}(X,Y)$ は延長によらない。
  2. $\mathrm{II}$ は $X,Y$ について $C^\infty(M)$ 双線形であり、点 $p$ での値は $X_p,Y_p$ だけで決まる。
  3. $\mathrm{II}(X,Y)=\mathrm{II}(Y,X)$ である。
  4. （Gauss の公式）$M$ の上で $\bigl(\bar\nabla_{\tilde X}\tilde Y\bigr)^\top=\nabla_XY$、すなわち $\bar\nabla_{\tilde X}\tilde Y=\nabla_XY+\mathrm{II}(X,Y)$ である。

段 1（座標での形と 1）。$p\in M$ のまわりの $\bar M$ の局所座標 $(y^1,\dots,y^m)$ で、$M$ が $y^{n+1}=\dots=y^m=0$ で表されるもの（スライス座標）をとる。$\bar M$ の Christoffel 記号を $\bar\Gamma^a_{bc}$ とすると（Christoffel記号 の注意「共変微分の成分」）
$$ \bigl(\bar\nabla_{\tilde X}\tilde Y\bigr)^a=\tilde X(\tilde Y^a)+\bar\Gamma^a_{bc}\tilde X^b\tilde Y^c $$
である。$M$ の点では $\tilde X=X$ は $M$ に接するので、$\tilde X(\tilde Y^a)$ は関数 $\tilde Y^a$ を $M$ に制限したもの $Y^a$ の $X$ 方向の微分 $X(Y^a)$ に等しい。よって右辺は $M$ の上で $X,Y$ だけで決まり、延長によらない。以下 $\bar\nabla_XY:=\bar\nabla_{\tilde X}\tilde Y|_M$ と書く。
段 2（2）。段 1 の式から、$\bar\nabla_XY$ は $X$ について $C^\infty(M)$ 線形で、$f\in C^\infty(M)$ について $\bar\nabla_X(fY)=X(f)\,Y+f\,\bar\nabla_XY$ である。$Y$ は $M$ に接するので $(X(f)Y)^\perp=0$ で、$\mathrm{II}(X,fY)=f\,\mathrm{II}(X,Y)$ を得る。$X$ についての $C^\infty(M)$ 線形性も同じ式から分かる。$C^\infty(M)$ 双線形な写像の点 $p$ での値が $X_p,Y_p$ だけで決まることは、テンソル場の場合と同じ議論（テンソル解析）による。
段 3（3）。$\bar\nabla$ に捩れがないので $\mathrm{II}(X,Y)-\mathrm{II}(Y,X)=[\tilde X,\tilde Y]^\perp$ である。スライス座標では $a>n$ について $M$ の上で $\tilde X^a=\tilde Y^a=0$ なので、$[\tilde X,\tilde Y]^a=\tilde X(\tilde Y^a)-\tilde Y(\tilde X^a)$ は $M$ の上で $X(0)-Y(0)=0$ である。すなわち $[\tilde X,\tilde Y]$ は $M$ の上で $M$ に接し、$[X,Y]$ に等しい。よって $\mathrm{II}(X,Y)=\mathrm{II}(Y,X)$ である。
段 4（4）。$\nabla^\top_XY:=(\bar\nabla_XY)^\top$ とおく。段 2 から $\nabla^\top$ は $M$ の上の接続である（$X(f)Y$ は接ベクトルなので接成分に残る）。段 3 と同じ計算で $\nabla^\top_XY-\nabla^\top_YX=[X,Y]^\top=[X,Y]$ なので、$\nabla^\top$ に捩れはない。$M$ の接ベクトル場 $X,Y,Z$ について、$\bar\nabla$ が $\bar g$ と両立することから
$$ X\,g(Y,Z)=\langle\bar\nabla_XY,Z\rangle+\langle Y,\bar\nabla_XZ\rangle=g(\nabla^\top_XY,Z)+g(Y,\nabla^\top_XZ) $$
である（法成分は接ベクトル $Z$、$Y$ と直交するので落ちる）。よって $\nabla^\top$ は $g$ と両立する。Levi-Civita 接続の一意性（Riemann接続 の定理「リーマン幾何学の基本定理」）により $\nabla^\top=\nabla$ である。$\square$

Gauss の公式は、第 2 基本形式を「外の空間の接続と部分多様体自身の接続の差」として読むことを許す。$\mathrm{II}=0$ となるのは、$M$ の中でまっすぐな曲線が外でもまっすぐな場合で、そのような部分多様体が 全測地的部分多様体 である。

法ベクトル場と形作用素

$M$ の上の法ベクトル場 $\xi$（各点で $\xi_p\in N_pM$）に対し、$\langle W_\xi X,Y\rangle=\langle\xi,\mathrm{II}(X,Y)\rangle$ で $TM$ の自己準同型 $W_\xi$ を定め、$\xi$ の向きの 形作用素（Weingarten 写像、shape operator）という。$\mathrm{II}$ が対称なので $W_\xi$ は各点で自己随伴である。

Weingarten の方程式

$M$ の接ベクトル場 $X$ と法ベクトル場 $\xi$ について、$M$ の上で $\bigl(\bar\nabla_X\xi\bigr)^\top=-W_\xi X$ である（$\xi$ は任意に延長する。値は段 1 と同じ理由で延長によらない）。

$M$ の接ベクトル場 $Y$ について、$M$ の上で $\langle\xi,Y\rangle=0$ である。これを $X$ の向きに微分すると、Gauss の公式から
$$ 0=\langle\bar\nabla_X\xi,Y\rangle+\langle\xi,\nabla_XY+\mathrm{II}(X,Y)\rangle=\langle\bar\nabla_X\xi,Y\rangle+\langle W_\xi X,Y\rangle $$
である（$\nabla_XY$ は接ベクトルなので $\xi$ と直交する）。$Y$ は任意なので主張が従う。$\square$

曲線の加速度と第 2 基本形式

$\gamma\colon I\to M$ を滑らかな曲線、$V$ を $\gamma$ に沿う $M$ の接ベクトル場とし、$\bar M$ と $M$ での $\gamma$ に沿う共変微分を $\bar D_t$、$D_t$ と書く。このとき
$$ \bar D_tV=D_tV+\mathrm{II}(\gamma',V) $$
である。とくに $\gamma$ の $\bar M$ での加速度 $\bar D_t\gamma'$ の法成分は $\mathrm{II}(\gamma',\gamma')$ であり、$M$ の測地線は $\bar D_t\gamma'=\mathrm{II}(\gamma',\gamma')$ を満たす。

$t_0\in I$ の近くで、$M$ の接ベクトル場 $E_1,\dots,E_n$ で各点で $TM$ の基底になるものをとり、$V(t)=v^i(t)E_i(\gamma(t))$ と書く。共変微分の積の規則と Gauss の公式から
$$ \bar D_tV=\dot v^iE_i+v^i\,\bar\nabla_{\gamma'}E_i=\dot v^iE_i+v^i\bigl(\nabla_{\gamma'}E_i+\mathrm{II}(\gamma',E_i)\bigr)=D_tV+\mathrm{II}(\gamma',V) $$
である（最後に $\mathrm{II}$ の第 2 変数についての線形性を使った）。$V=\gamma'$ とすれば後半を得る。$\square$

この命題から、$v\in T_pM$ について $\mathrm{II}(v,v)$ は「$M$ の中を時刻 $t_0$ に点 $p$ を速度 $v$ で通る曲線の、外の空間で見た加速度の法成分」であり、曲線の選び方によらない（接成分は曲線ごとに違う）。$\mathrm{II}$ は対称なので、値 $\mathrm{II}(v,v)$ の全体から偏極 $\mathrm{II}(v,w)=\frac14\bigl(\mathrm{II}(v+w,v+w)-\mathrm{II}(v-w,v-w)\bigr)$ で決まる。

超曲面

$m=n+1$ のとき、$M$ を $\bar M$ の 超曲面 という。このとき法空間は 1 次元で、$M$ の各点の近くで単位法ベクトル場 $N$（$\langle N,N\rangle=1$）がとれる。

スカラー第 2 基本形式と主曲率

超曲面 $M$ の単位法ベクトル場 $N$ を 1 つ選ぶ。

  1. $\mathrm{II}(X,Y)=h(X,Y)\,N$ で定まる対称 2 次形式 $h=\langle\mathrm{II},N\rangle$ を スカラー第 2 基本形式 という。
  2. $s:=W_N$、すなわち $\langle sX,Y\rangle=h(X,Y)$ で定まる自己随伴な自己準同型 $s$ を、$M$ の 形作用素 という。
  3. 各点で $s$ の固有値（実数）$\kappa_1\ge\dots\ge\kappa_n$ を 主曲率、固有ベクトルの向きを 主方向 という。$H:=\frac1n\operatorname{tr}s=\frac1n(\kappa_1+\dots+\kappa_n)$ を 平均曲率、$\det s=\kappa_1\cdots\kappa_n$ を Gauss–Kronecker 曲率 という。

$s$ は内積空間 $T_pM$ の自己随伴な線形写像なので、固有値は実数で、固有ベクトルからなる正規直交基底がとれる。その基底で $h(v,v)=\sum_i\kappa_i(v^i)^2$ と書ける。$N$ を $-N$ に取り替えると $h$、$s$、主曲率、$H$ は符号を変え、$\det s$ は $(-1)^n$ 倍になる。主方向は変わらない。

単位法ベクトルの微分

超曲面 $M$ の単位法ベクトル場 $N$ と接ベクトル場 $X$ について、$\bar\nabla_XN$ は $M$ に接し、$sX=-\bar\nabla_XN$ である。

$\langle N,N\rangle=1$ を $X$ の向きに微分すると $2\langle\bar\nabla_XN,N\rangle=0$ なので、$\bar\nabla_XN$ の法成分は $0$ である。よって $\bar\nabla_XN=(\bar\nabla_XN)^\top=-W_NX=-sX$ である（lem-sff-weingarten）。$\square$

Euclid 空間の超曲面の座標表示

$U\subset\mathbb R^n$ を開集合、$x\colon U\to\mathbb R^{n+1}$ を超曲面 $M$ の局所径数表示とし、$x_i:=\partial x/\partial u^i$、$x_{ij}:=\partial^2x/\partial u^i\partial u^j$、$N$ を単位法ベクトル場とする。このとき
$$ g_{ij}=\langle x_i,x_j\rangle,\qquad h_{ij}:=h(x_i,x_j)=\langle x_{ij},N\rangle=-\langle x_i,\partial_jN\rangle,\qquad s(x_i)=-\partial_iN $$
である。$n=2$ では、$h_{11},h_{12},h_{22}$ は Gauss曲率 の定義「形作用素と第 2 基本形式」の $L,M,N$ に、$s$ は同じ定義の形作用素に一致する。

$\mathbb R^{n+1}$ の Levi-Civita 接続は成分ごとの方向微分で、Christoffel 記号はすべて $0$ である（Christoffel記号 の定義「Christoffel 記号」で $g_{ij}=\delta_{ij}$ とした場合）。座標ベクトル場 $x_i$ を $x_j$ の向きに微分したものは $x_{ij}$ なので、$\mathrm{II}(x_i,x_j)=x_{ij}^\perp=\langle x_{ij},N\rangle N$ である。$\langle x_j,N\rangle=0$ を $u^i$ で微分すると $\langle x_{ij},N\rangle=-\langle x_j,\partial_iN\rangle$ で、$x_{ij}=x_{ji}$ より $i,j$ を入れ替えてもよい。最後の式は prop-sff-normal-derivative で $X=x_i$ としたものである。$n=2$ の主張は定義を見比べれば分かる。$\square$

例

球面と円柱
  1. 半径 $a$ の球面 $S^n(a)=\{x\in\mathbb R^{n+1}\mid|x|=a\}$。接ベクトル場 $X,Y$ について、$S^n(a)$ の上で $\langle Y,x\rangle=0$ を $X$ の向きに微分すると、位置ベクトル $x$ の $X$ 方向の微分は $X$ なので $\langle\bar\nabla_XY,x\rangle+\langle Y,X\rangle=0$ である。法空間は $x$ で張られるので
    $$ \mathrm{II}(X,Y)=\frac{\langle\bar\nabla_XY,x\rangle}{a^2}\,x=-\frac{\langle X,Y\rangle}{a^2}\,x $$
    である。内向きの $N=-x/a$ をとると $h=\frac1a\,g$、$s=\frac1a\,\mathrm{id}$ で、主曲率はすべて $\frac1a$ である。prop-sff-normal-derivative でも $-\bar\nabla_XN=X/a$ と確かめられる。
  2. 円柱 $x(\theta,z)=(r\cos\theta,\,r\sin\theta,\,z)$（$z\in\mathbb R^{n-1}$）。内向きの $N=-(\cos\theta,\sin\theta,0)$ について $\partial_\theta N=(\sin\theta,-\cos\theta,0)=-\frac1rx_\theta$、$\partial_{z^k}N=0$ なので、prop-sff-surface より $s(x_\theta)=\frac1rx_\theta$、$s(x_{z^k})=0$ である。主曲率は $\frac1r$（円周の向き）と $0$（$n-1$ 個、軸の向き）である。
グラフ

$f$ を開集合 $U\subset\mathbb R^n$ 上の滑らかな関数とし、グラフ $x(u)=(u,f(u))\subset\mathbb R^{n+1}$ に上向きの単位法ベクトル $N=(-\nabla f,1)/W$、$W:=\sqrt{1+|\nabla f|^2}$ をとる（$\langle x_i,N\rangle=(-f_i+f_i)/W=0$）。$x_i=(e_i,f_i)$、$x_{ij}=(0,f_{ij})$ なので、prop-sff-surface より
$$ g_{ij}=\delta_{ij}+f_if_j,\qquad h_{ij}=\frac{f_{ij}}W $$
である。$f$ の臨界点（$\nabla f=0$）では $g_{ij}=\delta_{ij}$、$h_{ij}=f_{ij}$ なので、形作用素は Hesse 行列 $(f_{ij})$ で表され、主曲率はその固有値である。放物面 $f=\frac12|u|^2$ の原点では主曲率はすべて $1$、鞍面 $f=u^1u^2$（$n=2$）の原点では $1$ と $-1$ である。
どの超曲面も、各点の近くで、その点を原点・接空間を $\mathbb R^n\times\{0\}$ とするように回転と平行移動をすれば、このようなグラフで $\nabla f(0)=0$ となるものとして書ける（陰関数定理）。したがって、上向きの単位法ベクトルについて、スカラー第 2 基本形式は「接平面からのずれの 2 次の部分」$f(u)=\frac12h_{ij}(0)u^iu^j+o(|u|^2)$ である。

例と反例

主張反例成り立たなくなること
誘導計量で局所等長なら第 2 基本形式も対応する平面と円柱主曲率が一致すること
形作用素が各点で恒等写像のスカラー倍なら $\mathrm{II}=0$球面 $S^n(a)\subset\mathbb R^{n+1}$全測地的であること
$\mathrm{II}=0$ なら誘導計量は平坦大球面 $S^2\subset S^3$断面曲率が $0$ であること
反例の確かめ

1 行目：$\mathbb R^2$ の帯 $\{(u,v)\mid0< u< 2\pi r\}$ から円柱への写像 $\varphi(u,v)=(r\cos(u/r),\,r\sin(u/r),\,v)$ は $\varphi_u=(-\sin(u/r),\cos(u/r),0)$、$\varphi_v=(0,0,1)$ を満たし、誘導計量は平面と同じ $du^2+dv^2$ である。よって平面の帯と円柱の一部は等長である。しかし平面は $\mathrm{II}=0$ で主曲率はすべて $0$、円柱の主曲率は $\frac1r$ と $0$ である（ex-sff-sphere の (2)）。主曲率は単位法ベクトルの取り替えで符号が変わるだけなので、どの等長写像でも対応しない。第 2 基本形式は誘導計量だけでは決まらない（外在的な量である）。
2 行目：ex-sff-sphere の (1) で $s=\frac1a\,\mathrm{id}$（スカラー倍）だが $\mathrm{II}\neq0$ である。各点で $s$ がスカラー倍である部分多様体（余次元 1 の場合）は 全臍的部分多様体 といい、全測地的より弱い条件である。
3 行目：$S^3=\{x\in\mathbb R^4\mid|x|=1\}$ の中の $S^2=S^3\cap\{x_4=0\}$ を考える。$S^2$ の接ベクトル場 $X,Y$ を $\{x_4=0\}$ の中で延長すると、$\mathbb R^4$ での微分 $\partial_XY$ は $\{x_4=0\}$ に入る。$S^3$ の Levi-Civita 接続は $\partial_XY$ の $T_xS^3$ への直交射影である（thm-sff-basic の 4 を $S^3\subset\mathbb R^4$ に当てる）。$x$ も $\{x_4=0\}$ に入るので、射影した結果も $\{x_4=0\}\cap T_xS^3=T_xS^2$ に入る。よって $S^2\subset S^3$ の第 2 基本形式は $0$ である。一方 $S^2$ の誘導計量は単位球面の計量で、断面曲率は $1$ である（Gauss曲率 の例「平面・球面・円柱・グラフ」と、Gauss–Codazzi方程式 の定理「断面曲率と Gauss 曲率の一致」）。外の空間 $S^3$ が曲がっているので、$\mathrm{II}=0$ でも平坦にならない（下の Gauss の方程式で $K_{\bar M}=1$ の項が残る）。

Gauss の方程式との関係

第 2 基本形式は外在的な量だが、その 2 次式は内在的な曲率と結びつく。$M$ の正規直交な接ベクトル $v,w$ について、Gauss の方程式
$$ K_M(v,w)=K_{\bar M}(v,w)+\langle\mathrm{II}(v,v),\mathrm{II}(w,w)\rangle-|\mathrm{II}(v,w)|^2 $$
が成り立つ（$K$ は 断面曲率。証明は Gauss–Codazzi方程式 の定理「Gauss の方程式」）。$\bar M=\mathbb R^{n+1}$ の超曲面では、主方向 $e_i,e_j$（$i\neq j$）の張る平面の断面曲率は $\kappa_i\kappa_j$ になる（同じ記事の系「Euclid 空間の超曲面の断面曲率」）。$n=2$ ではこれが $\det s=\kappa_1\kappa_2$、すなわち Gauss曲率 であり、Gauss 曲率が誘導計量だけで決まること（Gaussの驚異の定理）が従う。上の 1 行目の反例と合わせると、平面と円柱では主曲率 $(0,0)$ と $(\frac1r,0)$ が違っても、積は同じ $0$ である。

補足

記法と流儀

第 2 基本形式は $B$、$A$、$\alpha$ などとも書かれる。超曲面のスカラー第 2 基本形式と形作用素の符号は単位法ベクトルの選び方により、文献によっては $s=+dN$ と定める（そのとき凸な球面の主曲率は外向きの法ベクトルで正になる）。平均曲率を $\operatorname{tr}s$ と $\frac1n$ を付けずに定める文献もある。この記事の流儀は Lee18 Chapter 8 の pp. 225–238（第 2 基本形式から主曲率・平均曲率の定義まで）と同じである。外の空間が擬 Riemann 多様体で、$M$ への制限が Riemann 計量になる場合も、定義と thm-sff-basic・lem-sff-weingarten の証明はそのまま通る（Lee18 Proposition 8.1・Theorem 8.2・Proposition 8.4（pp. 227–230））。はめ込まれた部分多様体でも、各点の近くでは埋め込みなので、各点の近くで決まる主張はそのまま成り立つ。

関連項目

参考文献

[1]
John M. Lee, Introduction to Riemannian Manifolds, Graduate Texts in Mathematics 176, Springer, 2018, Chapter 8 の pp. 225–238：Proposition 8.1（第 2 基本形式の性質、p. 227）、Theorem 8.2（Gauss の公式、p. 228）、Proposition 8.4（Weingarten の方程式、pp. 229–230）

Mathpediaは寄付と、参考文献の書籍リンク（Amazonアソシエイト）の紹介料で運営されています。 支援について ／ 寄付する

Mathpediaを支援する
第2基本形式