Möbiusの帯

1. 合成 $R\hookrightarrow\mathbb{R}\times[-1,1]\to E$ を $j$ とする。$j$ は連続である。$x\in\mathbb{R}$ について $n=\lfloor x\rfloor$ とおくと $(-n)\cdot(x,y)=(x-n,(-1)^ny)\in R$ なので、どの軌道も $R$ と交わり、$j$ は全射である。$R$ の 2 点 $(s,t),(s',t')$ が同じ軌道にあるとすると、ある $n$ で $s'=s+n$、$t'=(-1)^nt$ である。$s,s'\in[0,1]$ なので $n\in\{-1,0,1\}$ であり、$n=0$ なら 2 点は等しく、$n=\pm1$ なら $\{s,s'\}=\{0,1\}$、$t'=-t$ である。したがって $j(s,t)=j(s',t')$ は $(s,t)\sim(s',t')$ と同値であり、$j$ は連続な全単射 $\bar j\colon M\to E$ を誘導する。

逆写像を作る。$g\colon\mathbb{R}\times[-1,1]\to M$ を、各 $n\in\mathbb{Z}$ について閉集合 $[n,n+1]\times[-1,1]$ の上で $g(x,y):=[x-n,(-1)^ny]$ と定める。$x=n+1$ では 2 つの式 $[1,(-1)^ny]$ と $[0,(-1)^{n+1}y]$ が $M$ の同じ点を表すので、$g$ は矛盾なく定まる。閉集合の局所有限な被覆の上で連続な写像は貼り合わせても連続なので（貼り合わせの補題）、$g$ は連続である。$g(x+1,-y)=g(x,y)$ なので $g$ は軌道の上で一定であり、連続写像 $\bar g\colon E\to M$ を誘導する。定義から $\bar g\circ\bar j=\operatorname{id}_M$、$\bar j\circ\bar g=\operatorname{id}_E$ であり、$\bar j$ は同相写像である。$\bar j$ は $M^\circ$ を $(\mathbb{R}\times(-1,1))/\mathbb{Z}$ の上へ写し、逆写像は $\bar g$ の制限なので、後半も従う。

2. $\varphi$ は連続である。$s=0$ と $s=1$ で値を比べると $\varphi(0,t)=(2+t,0,0),\qquad\varphi(1,-t)=\bigl((2+(-t)\cos\pi)\cos2\pi,\ 0,\ -t\sin\pi\bigr)=(2+t,0,0)$ なので、$\varphi$ は同値な点を同じ点に写し、連続写像 $\Phi\colon M\to\mathbb{R}^3$ を誘導する。

$\Phi$ が単射であることを示す。点 $P=\varphi(s,t)=(X,Y,Z)$ をとり、$\rho:=\sqrt{X^2+Y^2}$ とおく。$|t\cos\pi s|\le1$ なので $2+t\cos\pi s\ge1>0$ であり、 $\rho=2+t\cos\pi s,\qquad\frac{(X,Y)}{\rho}=(\cos2\pi s,\sin2\pi s),\qquad(\rho-2,\ Z)=t\,(\cos\pi s,\sin\pi s)$ が成り立つ。第 2 式から $2\pi s$ は $2\pi$ を法として $P$ で決まるので、$s\in(0,1)$ なら $s$ が、$s\in\{0,1\}$ なら集合 $\{0,1\}$ が決まる。$s$ が決まれば $(\cos\pi s,\sin\pi s)$ は単位ベクトルなので、第 3 式から $t$ が決まる。$s\in\{0,1\}$ のときは、$s=0$ なら $(\rho-2,Z)=(t,0)$、$s=1$ なら $(\rho-2,Z)=(-t,0)$ なので、$P$ の逆像は $\{(0,t_0),(1,-t_0)\}$ の形の 1 つの同値類である。したがって $\Phi$ は単射である。

$M$ はコンパクトで $\mathbb{R}^3$ は Hausdorff なので、$\Phi\colon M\to\Phi(M)$ は連続な全単射としてコンパクト空間から Hausdorff 空間への写像であり、同相写像である（同相写像 の定理「コンパクト空間からHausdorff空間への連続全単射は同相」）。とくに $M$ は Hausdorff 空間 $\Phi(M)$ と同相なので Hausdorff である。$\square$

$E=(\mathbb{R}\times[-1,1])/\mathbb{Z}$ の点は、第 1 成分が開区間 $J:=(x_0-\tfrac12,x_0+\tfrac12)$ に入る代表元を高々 1 つもつ（作用は第 1 成分を整数だけずらすので）。$p^{-1}(U)$ の点はちょうど 1 つもつので、$\psi_U$ は矛盾なく定まる全単射である。

逆写像は $(x+\mathbb{Z},y)\mapsto[x,y]$（$x\in J$）であり、$J\to U$、$x\mapsto x+\mathbb{Z}$ の逆写像が連続なので連続である。$\psi_U$ の連続性を見る。商写像 $q\colon\mathbb{R}\times[-1,1]\to E$ による $p^{-1}(U)$ の逆像は開集合 $\bigsqcup_{n\in\mathbb{Z}}(J+n)\times[-1,1]$ で、$q$ について飽和している。商写像の飽和した開集合への制限は商写像なので、$\psi_U\circ q$ が連続であることを見ればよい。$(J+n)\times[-1,1]$ の上では $(x,y)=n\cdot(x-n,(-1)^ny)$ なので $\psi_U(q(x,y))=(x+\mathbb{Z},(-1)^ny)$ であり、これは連続である。よって $\psi_U$ は同相写像で、第 1 成分は $p$ と一致する。

座標変換：$U$ と $U'$（中心 $x_0'$、区間 $J'$）が交わるとき、点 $[x,y]$（$x\in J$）の $J'$ での代表元は $x+n\in J'$ となる整数 $n$ について $(x+n,(-1)^ny)$ である。$n$ は $U\cap U'$ の各連結成分の上で一定なので、座標変換は $y\mapsto(-1)^ny$ である。

自明でないこと：ファイバーを保つ同相写像 $M\cong S^1\times[-1,1]$ があれば、とくに $M$ は円柱と同相になり、cor-mobius-not-annulus に反する。$\square$

$\mathbb{R}\mathrm{P}^2$ は Hausdorff であり、$S^2$ の対蹠点 $x,-x$ を同一視した空間と同相である（射影空間 の命題「球面の商としての射影空間」の 2・3）。

1. $f\colon R\to B$ を $f(s,t):=\Bigl(\sqrt{1-t^2/4}\,\cos\pi s,\ \sqrt{1-t^2/4}\,\sin\pi s,\ \tfrac t2\Bigr)$ で定める。$q\circ f$ は連続である。$f(1,-t)=-f(0,t)$ なので、$q\circ f$ は $(0,t)\sim(1,-t)$ を保ち、連続写像 $\bar f\colon M\to q(B)$ を誘導する。

全射であること：$x\in B$ の方位角を $\theta\in[0,2\pi)$ とすると、$\theta\in[0,\pi]$ なら $x=f(\theta/\pi,2x_3)$、$\theta\in(\pi,2\pi)$ なら $-x$ の方位角は $\theta-\pi\in(0,\pi)$ で $-x=f((\theta-\pi)/\pi,-2x_3)$ である（$B$ の点は $|x_3|\le1/2< 1$ なので方位角が定まる）。

単射であること：$q(f(s,t))=q(f(s',t'))$ とすると $f(s',t')=\pm f(s,t)$ である。第 3 成分から $t'=\pm t$ である。符号が $+$ なら、方位角 $\pi s,\pi s'\in[0,\pi]$ が $2\pi$ を法として等しいので $s=s'$ である。符号が $-$ なら、$\pi s'\equiv\pi s+\pi\pmod{2\pi}$ と $s,s'\in[0,1]$ から $\{s,s'\}=\{0,1\}$、$t'=-t$ となり、$(s,t)\sim(s',t')$ である。

$M$ はコンパクト、$q(B)$ は Hausdorff なので、$\bar f$ は同相写像である。

2. $D_+$ は $(x_1,x_2)\mapsto(x_1,x_2,\sqrt{1-x_1^2-x_2^2})$ により半径 $\sqrt3/2$ の閉円板と同相である。$D_+$ は対蹠点の組を含まないので $q|_{D_+}$ は単射であり、コンパクトから Hausdorff への連続な単射として $D_+$ と $q(D_+)$ の同相写像を与える。

3. $S^2=B\cup D_+\cup(-D_+)$ で $q(-D_+)=q(D_+)$ なので $\mathbb{R}\mathrm{P}^2=q(B)\cup q(D_+)$ である。$q(B)\cap q(D_+)$ の点 $q(x)$ は、$x\in B$ でかつ $x$ または $-x$ が $D_+$ に入る点なので、$x_3=\pm\frac12$ であり、$q(\{x_3=\frac12\})$ に入る。$\bar f$ のもとで $q(\{x_3=\pm\frac12\})$ は $t=\pm1$ の辺の像、すなわち $\partial M$ に対応し、2 の同相写像のもとで $\{x_3=\frac12\}$ は円板の境界の円周に対応する。最後に、$M$ と閉円板 $q(D_+)$ を、円周 $q(\{x_3=\frac12\})$ の各点とそれに $\bar f$ で対応する $\partial M$ の点とを同一視して貼り合わせた空間を $Y$ とする。$M$ の上で $\bar f$、円板の上で包含 $q(D_+)\hookrightarrow\mathbb{R}\mathrm{P}^2$ と定めた写像 $Y\to\mathbb{R}\mathrm{P}^2$ は矛盾なく定まる連続な全単射であり（全射は 3 の前半、単射は $q(B)\cap q(D_+)$ の計算による）、$Y$ はコンパクト、$\mathbb{R}\mathrm{P}^2$ は Hausdorff なので同相写像である。$\square$

$t>0$ の点 $(0,t)$ と $(1,-t)$ は同値で、$k$ の値はそれぞれ $(1,t)$ と $(e^{2\pi i},t)=(1,t)$ である。$(1,t)$ と $(0,-t)$ についても値はともに $(e^{\pi i},t)$ である。したがって $k$ は矛盾なく定まり、$R\setminus([0,1]\times\{0\})$ の 2 つの成分の上で連続なので連続である（$Q$ の $R\setminus([0,1]\times\{0\})$ への制限は、飽和した開集合への制限なので商写像である）。

逆写像は、$\theta\in[0,\pi]$ について $(e^{i\theta},t)\mapsto[\theta/\pi,t]$、$\theta\in[\pi,2\pi]$ について $(e^{i\theta},t)\mapsto[\theta/\pi-1,-t]$ で与えられる。$\theta=\pi$ では $[1,t]=[0,-t]$、$\theta=0$ と $\theta=2\pi$ では $[0,t]$ と $[1,-t]$ が等しいので矛盾なく定まり、$S^1\times(0,1]$ を覆う 2 つの閉集合（上半円と下半円の側）の上で連続なので連続である。2 つの写像が互いに逆であることは定義から直接確かめられる。$S^1\times(0,1]$ は連結なので $M\setminus C$ も連結である。$\square$