Steenrod平方

余輪体 $a\in C^n(B)$ を、$B$ の外の特異単体で $0$ とおいて $b\in C^n(Y)$ に延ばすと、$\delta[a]=[\delta b]$ である（特異コホモロジー の定理「対の長完全列」の証明）。$i>n+1$ なら両辺とも $0$ なので、$k:=n+1-i\ge0$ とする。$\delta\delta b=0$ と $(\ast)$ から$$\delta(b\smile_k\delta b)=\delta b\smile_k\delta b+b\smile_{k-1}\delta b+\delta b\smile_{k-1}b,\qquad\delta(b\smile_{k-1}b)=\delta b\smile_{k-1}b+b\smile_{k-1}\delta b$$（後者では $b\smile_{k-2}b$ が 2 回現れて消える）なので、$u:=b\smile_k\delta b+b\smile_{k-1}b\in C^{n+i}(Y)$ について $\delta u=\delta b\smile_k\delta b$ である。$B$ への制限は $\smile_i$ と可換で（cup-i積 の命題「相対余鎖との両立」）、$\delta a=0$ なので $u|_B=a\smile_{k-1}a=a\smile_{n-i}a$ である。これは $i\le n$ なら $Sq^i[a]$ の代表、$i=n+1$ なら $0$（$\smile_{-1}=0$）で、どちらも $Sq^i[a]$ を表す。$u$ はその延長なので、連結準同型の定義から $\delta(Sq^i[a])=[\delta u]=[\delta b\smile_k\delta b]=Sq^i[\delta b]=Sq^i(\delta[a])$ である。$\square$

記号。$W$ は $\mathbb{Z}/2$ の周期的な自由分解（基底 $e_i$、$\partial e_i=(1+T)e_{i-1}$、$\varepsilon(e_0)=1$）であり、cup-i積 の補題「同変な非輪状台の補題」の直後と Z/2の群コホモロジー環 の定義「周期的な分解」で同じものを使う。$\phi\colon W\otimes C_\bullet(X)\to C_\bullet(X)^{\otimes2}$ を $\phi(e_i\otimes\sigma)=D_i\sigma$、$\phi(Te_i\otimes\sigma)=\tau D_i\sigma$ で定めると、cup-i積 の定理「標準の高次対角の境界公式」$\partial D_i+D_i\partial=(1+\tau)D_{i-1}$ により、$\phi$ は $T$ を $\tau$ に移す自然な鎖写像である。とくに $i=0$ で $D_0$ は鎖写像である。$\Delta_W(e_i)=\sum_{j=0}^ie_j\otimes T^je_{i-j}$ は $T$ を $T\otimes T$ に移す鎖写像である（Z/2の群コホモロジー環 の定理「$\mathbb{Z}/2$ の群コホモロジー環」の 1）。$T$ を $C_\bullet(X)^{\otimes4}$ に因子の置換 $(13)(24)$ で作用させる。

2 つの鎖写像。$\mathrm{sh}(x_1\otimes x_2\otimes y_1\otimes y_2)=x_1\otimes y_1\otimes x_2\otimes y_2$、$\pi(z_1\otimes z_2\otimes z_3\otimes z_4)=z_1\otimes z_3\otimes z_2\otimes z_4$ とし（係数が $\mathbb{F}_2$ なので並べ替えは鎖写像）、$W\otimes C_\bullet(X)\to C_\bullet(X)^{\otimes4}$ を$$\Phi_A:=(D_0\otimes D_0)\circ\phi,\qquad\Phi_B:=\pi\circ(\phi\otimes\phi)\circ\mathrm{sh}\circ(\Delta_W\otimes D_0)$$で定める。どちらも鎖写像の合成なので鎖写像で、$D_i$ の自然性から自然である。同変性：$\Phi_A$ では $T\mapsto\tau\mapsto(13)(24)$ である（$(D_0\otimes D_0)\tau=(13)(24)(D_0\otimes D_0)$）。$\Phi_B$ では $T\otimes1$ が $\Delta_W\otimes D_0$ で $T\otimes T\otimes1\otimes1$ に、$\mathrm{sh}$ の後で 2 つの $W\otimes C$ の両方の $T$ に、$\phi\otimes\phi$ で $(12)(34)$ に移り、$\pi$ との共役で $(13)(24)$ になる。正規化：特異 $0$ 単体 $x$ では $D_ix=0$（$i\ge1$）、$D_0x=x\otimes x$ なので、どちらも $\Phi(e_0\otimes x)=x^{\otimes4}$ である。

比較。cup-i積 の補題「同変な非輪状台の補題」の 2・3（$G=\mathbb{Z}/2$、$k=4$、$P=W$）により、次数を $1$ 上げる自然な同変準同型 $E$ で $\partial E+E\partial=\Phi_A+\Phi_B$ をみたし、像が $A$ に含まれる $\sigma$ では $E(y\otimes\sigma)\in C_\bullet(A)^{\otimes4}$ となるものがある。$\lambda:=a\otimes b\otimes a\otimes b$（4 因子の次数が $p,q,p,q$ の成分でだけ値をもつ）とおくと、$\delta a=\delta b=0$ から $\lambda\circ\partial=0$、また $\lambda\circ(13)(24)=\lambda$ である。$\lambda\partial E=0$ と $\partial(e_r\otimes\sigma)=(1+T)e_{r-1}\otimes\sigma+e_r\otimes\partial\sigma$ から、特異単体 $\sigma$ について$$\lambda\Phi_A(e_r\otimes\sigma)+\lambda\Phi_B(e_r\otimes\sigma)=\lambda E\bigl((1+T)e_{r-1}\otimes\sigma\bigr)+\lambda E(e_r\otimes\partial\sigma)$$であり、$\lambda E(Te_{r-1}\otimes\sigma)=\lambda\bigl((13)(24)E(e_{r-1}\otimes\sigma)\bigr)=\lambda E(e_{r-1}\otimes\sigma)$ なので第 1 項は消える。$w(\gamma):=\lambda E(e_r\otimes\gamma)$ とおくと第 2 項は $(\delta w)(\sigma)$ である。像が $A$ に含まれる $\gamma$ では $E(e_r\otimes\gamma)$ の第 1 因子が $C_\bullet(A)$ にあって $a$ が消え、$B$ に含まれる $\gamma$ では第 2 因子で $b$ が消えるので、$w\in C^\bullet(X,A+B)$ である。

値。$(a\otimes b)\circ D_0=c$ なので $\lambda\Phi_A(e_r\otimes\sigma)=(c\otimes c)(D_r\sigma)=(c\smile_rc)(\sigma)$。次に $\lambda\circ\pi=a\otimes a\otimes b\otimes b$、$(b\otimes b)\circ\tau=b\otimes b$ に注意し、$\Delta_W(e_r)$ と $D_0\sigma=\sum_l\sigma|[0,l]\otimes\sigma|[l,m]$ を代入すると$$\lambda\Phi_B(e_r\otimes\sigma)=\sum_{j=0}^r\sum_l(a\otimes a)\bigl(D_j(\sigma|[0,l])\bigr)\,(b\otimes b)\bigl(\tau^jD_{r-j}(\sigma|[l,m])\bigr)=\sum_{j=0}^r\bigl((a\smile_ja)\smile(b\smile_{r-j}b)\bigr)(\sigma)$$である。以上で 1 が示された。

2。$n:=p+q$ とし、$\alpha=[a]$、$\beta=[b]$ とする（$B=A$ のときは $C^\bullet(X,A+A)=C^\bullet(X,A)$）。$k>n$ なら左辺は $0$ で、右辺の各項は $s>p$ か $t>q$ なので $0$ である。$k\le n$ なら $r:=n-k$ として 1 を使う。$j>p$ なら $a\smile_ja$ は次数 $2p-j< j$ の単体の上の値なので $0$（$i>m$ なら $D_i=0$）であり、$r-j>q$ でも同様である。残りの項は $s:=p-j$、$t:=q-(r-j)$ で $0\le s\le p$、$0\le t\le q$、$s+t=k$ の組と 1 対 1 に対応し、$[a\smile_ja]=Sq^s\alpha$、$[b\smile_{r-j}b]=Sq^t\beta$ である。$s>p$ または $t>q$ の組の項は 5 により $0$ なので、両辺は等しい。$A,B$ が開集合の場合：$D_i\gamma$ の因子は $\gamma$ の面なので $C^\bullet(X,A+B)$ は $\smile_i$ で閉じ、cup-i積 の定理「cup-$i$ 積による平方の基本性質」の 1 の証明がそのまま通る。よって $C^\bullet(X,A+B)$ のコホモロジーの上でも $[e]\mapsto[e\smile_{n-k}e]$ は代表によらず、包含 $C^\bullet(X,A\cup B)\subset C^\bullet(X,A+B)$ と可換である。$\alpha\smile\beta$ の代表 $\chi\in C^{p+q}(X,A\cup B)$ は $C^\bullet(X,A+B)$ で $c$ と同じ類なので、1 の等式を カップ積 の定義「開集合の対の相対カップ積」の同型の逆で $H^{p+q+k}(X,A\cup B)$ に移せばよい。$\square$

$\delta a=0$ なので $\delta\tilde a$ の値は偶数で、$\tilde c$ は整数係数の余鎖である。$\tilde a\bmod4$ は $a$ の $\mathbb{Z}/4$ への持ち上げで、$\delta(\tilde a\bmod4)=2(\tilde c\bmod2)$ なので $\beta[a]=[\tilde c\bmod2]$ である。$\tilde a$、$\tilde c$ は $A$ の中の単体で $0$ である。

$\sigma$ を特異 $(n+1)$ 単体とし、$\alpha_v:=\tilde a\bigl(\sigma|([n+1]\setminus\{v\})\bigr)\in\{0,1\}$ とおく。$\mathcal{E}:=\sum_{v\,\text{偶数}}\alpha_v$、$\mathcal{O}:=\sum_{v\,\text{奇数}}\alpha_v$ とすると $(\delta\tilde a)(\sigma)=\sum_v(-1)^v\alpha_v=\mathcal{E}-\mathcal{O}$ で、$\mathcal{E}\equiv\mathcal{O}\pmod 2$ である。

右辺：$D_{n-1}\sigma$ の区切りの点 $n_0<\dots< n_{n-1}$ は $[n+1]$ の $n+2$ 点のうち $n$ 点で、残りを $u< v$ とする。区切りでない頂点 $x$ は、$x$ より小さい区切りの点の個数を $l$ として区間 $I_l$ の内部にあり、$l$ が偶数なら左の因子だけに、奇数なら右の因子だけに入る（区切りの点は両方に入る）。$u$ では $l=u$、$v$ では $l=v-1$ である。$a\otimes a$ が値をもつのは 2 つの因子がともに $n$ 次元のとき、すなわち $u$ と $v-1$ の偶奇が異なる（$u\equiv v\pmod2$）ときで、そのとき 2 つの因子は $u$ を除いた面と $v$ を除いた面である。よって$$(a\smile_{n-1}a)(\sigma)=\sum_{u< v,\ u\equiv v\ (2)}\alpha_u\alpha_v=\binom{\mathcal{E}}{2}+\binom{\mathcal{O}}{2}\pmod2 .$$

左辺との差：$\binom{\mathcal{E}}{2}+\binom{\mathcal{O}}{2}-\frac{\mathcal{E}-\mathcal{O}}{2}=\frac{\mathcal{E}^2+\mathcal{O}^2-2\mathcal{E}}{2}$ である。$\mathcal{E},\mathcal{O}$ がともに偶数なら分子は $4$ の倍数、ともに奇数なら $\mathcal{E}^2+\mathcal{O}^2\equiv2$、$2\mathcal{E}\equiv2\pmod4$ でやはり $4$ の倍数である。よって $\tilde c(\sigma)=\frac{\mathcal{E}-\mathcal{O}}{2}\equiv(a\smile_{n-1}a)(\sigma)\pmod2$ である。

$Sq^1[a]=[a\smile_{n-1}a]=[\tilde c\bmod2]=\beta[a]$。$n=0$ では $a$ が余輪体なので各特異 $1$ 単体の両端で $\tilde a$ の値が一致し、$\delta\tilde a=0$、$\beta[a]=0=Sq^1[a]$ である。$\square$

$\mathbb{Z}/2[t]$ では $(f+g)^2=f^2+2fg+g^2=f^2+g^2$ である。よって $k$ についての帰納法で $(1+t)^{2^{k+1}}=\bigl((1+t)^{2^k}\bigr)^2=(1+t^{2^k})^2=1+t^{2^{k+1}}$。次に $(1+t)(1+t+\cdots+t^{2^k-1})=1+t^{2^k}=(1+t)\cdot(1+t)^{2^k-1}$ であり、$\mathbb{Z}/2[t]$ は整域なので $1+t$ で割れて第 2 式を得る。係数を比べれば二項係数の主張になる。$\square$