半単体的集合

商位相の普遍性により、連続写像 $f\colon\lvert S\rvert\to Z$ は、連続写像の族 $f_x\colon\lvert\Delta^n\rvert\to Z$（$x\in S_n$）で、すべての $\theta$ と $x$ について $f_x\circ\theta_*=f_{\theta^*x}$ を満たすものと $1$ 対 $1$ に対応する（$f_x=f\circ\sigma_x$）。この条件は、$x\mapsto f_x$ が $S$ から $U\operatorname{Sing}Z$ への写像であること（$\theta^*$ と可換であること）にほかならない。自然性は定義から明らかである。$\square$

1. 単射 $\theta$ について $\mathrm{id}\circ\theta=\theta\circ\mathrm{id}$ が全射・単射分解なので $\theta^*(\mathrm{id},a)=(\mathrm{id},\theta^*a)$ であり、$\eta_A$ は写像である。全射 $\alpha$ について $\mathrm{id}\circ\alpha=\mathrm{id}\circ\alpha$ が分解なので $\alpha^*(\mathrm{id},a)=(\alpha,a)$ である。
2. 一意性は 1 の等式による：$\hat g(\alpha,a)=\alpha^*\hat g(\mathrm{id},a)=\alpha^*g(a)$ でなければならない。存在：この式で $\hat g$ を定めると、$\beta^*\hat g(\alpha,a)=(\alpha\beta)^*g(a)=(\delta\varepsilon)^*g(a)=\varepsilon^*\delta^*g(a)=\varepsilon^*g(\delta^*a)=\hat g(\beta^*(\alpha,a))$ である。4 番目の等号で $g$ が単射 $\delta$ に関する作用と可換であることを使った。$\hat g(\mathrm{id},a)=g(a)$ も明らかである。
3. $F$ は左随伴なので余極限を保つ。単射 $g\colon A\to B$ について $Fg$ は各次数で単射 $\coprod_\alpha A_k\to\coprod_\alpha B_k$ である。$F\Delta^n_{\mathrm{inj}}$ の $m$ 単体は組（全射 $[m]\to[l]$、単射 $[l]\to[n]$）であり、全射・単射分解によりこれは $\operatorname{Hom}_\Delta([m],[n])$ と $1$ 対 $1$ に対応する。この対応が $\beta^*$ と可換なことは定義の式そのものである。$\square$

位相空間 $Z$ について自然な全単射
$$ \operatorname{Hom}_{\mathrm{Top}}(\lvert FA\rvert,Z)\cong\operatorname{Hom}_{\mathbf{sSet}}(FA,\operatorname{Sing}Z)\cong\operatorname{Hom}_{\mathbf{ssSet}}(A,U\operatorname{Sing}Z)\cong\operatorname{Hom}_{\mathrm{Top}}(\lvert A\rvert,Z) $$
がある。1 つ目は 幾何学的実現 の定理「幾何学的実現と特異単体的集合の随伴」、2 つ目は thm-ss-adjunction、3 つ目は prop-ss-adjunction-top による。米田の補題により $\lvert FA\rvert\cong\lvert A\rvert$ であり、この同相写像は右端の $\mathrm{id}_{\lvert A\rvert}$ に対応する写像である。$\mathrm{id}_{\lvert A\rvert}$ は $a\mapsto\sigma_a$ に、それは $(\alpha,a)\mapsto\alpha^*\sigma_a=\sigma_a\circ\alpha_*$ に対応するので、$\lvert FA\rvert$ 上の写像は $[(\alpha,a),t]\mapsto\sigma_a(\alpha_*t)=[a,\alpha_*t]$ である。自然性は 3 つの全単射の自然性による。$\square$

1. $\alpha\colon[n]\to[k]$ が恒等写像でない全射なら、ある $j$ で $\alpha(j)=\alpha(j+1)$ なので、$\alpha=\alpha'\sigma^j$ と書ける（$\sigma^j$ は $j$ と $j+1$ を同一視する全射）。$\alpha'\sigma^j=\alpha$ は全射なので $(\sigma^j)^*(\alpha',a)=(\alpha,a)$ であり、$(\alpha,a)$ は退化している。逆に、$(\sigma^j)^*(\beta,b)=(\beta\sigma^j,b)$ の全射部分 $\beta\sigma^j$ は単射でないので恒等写像でなく、$(\mathrm{id},a)$ は退化単体の形に書けない。
2. 退化部分 $D_n$ は退化写像の像で張られるので、1 により基底のうち退化単体全体で張られ、$\mathbb Z[FA]_n/D_n$ は $(\mathrm{id},a)$ の類を基底とする。thm-ss-adjunction の証明の 1 により $d_i(\mathrm{id},a)=(\mathrm{id},d_ia)$ なので、$(\mathrm{id},a)\mapsto a$ が鎖複体の同型を与える。正規化複体 $N$ との同型は、Dold–Kan対応 の補題「正規化部分と退化部分への分解」の直和分解から得られる合成 $N_n\to\mathbb Z[FA]_n\to\mathbb Z[FA]_n/D_n$ による（$x\in N_n$ では $\sum(-1)^id_ix=d_0x$ なので鎖写像である）。$\square$

要点：$FU\Delta^n$ の単体 $(\alpha,\sigma)$ を、頂点の列 $\sigma\alpha(0)\le\cdots\le\sigma\alpha(m)$ と、隣どうしで $\alpha$ がつぶれる所に新しい恒等射 $1$、つぶれない所に元の射 $e$ を置いた $P^+$ の射の列と読む。$v$ は新しい恒等射を元の恒等射に戻す操作であり、自然変換がそのホモトピーの逆を与える。

要点：骨格について帰納法を使う。$T:=FU$ は余極限と単射を保つので、単体を貼る押し出しを押し出しに移す。単体の場合は lem-ss-simplex で済んでおり、押し出しの比較には Kan–Quillen モデル構造の立方体の補題を使う。

1 は prop-ss-realization-free の同相写像が自然であることによる。2：$v$ の自然性から $v_Y\circ FUg=g\circ v_X$ であり、thm-ss-counit により $v_X,v_Y$ は弱同値である。弱ホモトピー同値は 2 out of 3 をみたすので（弱ホモトピー同値 の定理「2 つのうち 2 つの性質」）、$g$ が弱同値であることと $FUg$ が弱同値であることは同値であり、1 によりこれは $Ug$ が弱同値であることと同値である。$\square$