貼り合わせの補題
概要
貼り合わせの補題（pasting lemma）とは、位相空間 $X$ を部分集合で覆い、各部分集合の上の連続写像が重なりで一致するとき、それらをつないだ写像が $X$ 全体で連続になるという主張であり、被覆が有限個の閉集合、任意個の開集合、局所有限な閉集合の族のいずれかなら成り立つ。どの被覆で成り立つかは、$X$ の閉集合が各成員との共通部分で判定できること、すなわち位相が被覆に連動することと同値であり、成員の非交和から $X$ への写像が商写像であることとも同値である。閉集合の個数を無限にしたり、開でも閉でもない集合で覆ったりすると成り立たず、ハワイの耳飾りの円周による被覆がその例になる。道の積やホモトピーの連結、CW 複体の上の写像の構成など、写像を部分ごとに作る議論の基本の道具である。
貼り合わせの補題は、位相空間 $X$ を部分集合で覆い、各部分集合の上で連続な写像が重なりで一致していれば、それらをつないだ写像が $X$ 全体で連続になる、という主張である。最もよく使う形は、$X$ を有限個の閉集合で覆う場合と、任意個の開集合で覆う場合である。道をつなぐ、ホモトピーを時間方向につなぐ、区分的に式が変わる関数を作る、といった操作の連続性はほとんどこれで確かめる。
ただし、覆い方を任意にしてよいわけではない。閉集合で覆うときは有限個（より一般に局所有限）であることが要り、開集合と閉集合を混ぜたり、開でも閉でもない集合で覆ったりすると結論が崩れる。どの被覆なら貼り合わせが効くかは、「$X$ の閉集合が、各部分集合との共通部分だけで判定できるか」という一つの条件にまとめられる（thm-pl-coherent）。
主張
位相空間 $X$ の部分集合の族 $(A_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ が $X=\bigcup_\lambda A_\lambda$ を満たすとき、これを $X$ の被覆という。各 $A_\lambda$ には $X$ からの相対位相を入れる。
$X,Y$ を位相空間、$(A_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ を $X$ の被覆とし、各 $\lambda$ について連続写像 $f_\lambda\colon A_\lambda\to Y$ が与えられ、すべての $\lambda,\mu$ について $A_\lambda\cap A_\mu$ の上で $f_\lambda=f_\mu$ であるとする。被覆が次のどれかを満たすとき、各 $\lambda$ について $f|_{A_\lambda}=f_\lambda$ となる写像 $f\colon X\to Y$ がただ一つ存在し、$f$ は連続である。
- 各 $A_\lambda$ は閉集合で、$\Lambda$ は有限集合である。
- 各 $A_\lambda$ は開集合である（$\Lambda$ は任意）。
- 各 $A_\lambda$ は閉集合で、族 $(A_\lambda)$ は局所有限である。すなわち、$X$ の各点に、有限個の $A_\lambda$ としか交わらない近傍がある。
二つの閉集合の場合が Mun00 §18 Theorem 18.3（p. 108）であり、有限個・局所有限の場合は同節の Exercise 9（p. 112）にある。1 は 3 の特別な場合である。有限個の集合の族は、どの点のどの近傍についても交わる成員が有限個なので、局所有限だからである。
もっともよく使う形は、閉区間を分割する場合である。
$X$ を位相空間、$0=t_0< t_1< \dots< t_m=1$ とし、連続写像 $H_k\colon X\times[t_{k-1},t_k]\to Y$（$k=1,\dots,m$）が $H_k(x,t_k)=H_{k+1}(x,t_k)$（$x\in X$、$1\le k< m$）を満たすとする。このとき $H|_{X\times[t_{k-1},t_k]}=H_k$ となる連続写像 $H\colon X\times[0,1]\to Y$ がただ一つある。
$[t_{k-1},t_k]$ は $[0,1]$ の閉集合なので、$A_k:=X\times[t_{k-1},t_k]$ は $X\times[0,1]$ の閉集合であり、$A_1,\dots,A_m$ は $X\times[0,1]$ を覆う。$|k-l|\ge2$ なら $A_k\cap A_l=\emptyset$、$A_k\cap A_{k+1}=X\times\{t_k\}$ であり、そこで $H_k$ と $H_{k+1}$ は一致する。thm-pl-main の 1 による。$\square$
基本群の記事で道の積 $\gamma\cdot\delta$ が連続であることを確かめるのは $X$ を一点とした $m=2$ の場合であり、ホモトピーの記事でホモトピーの推移律を示すのは $m=2$ の場合である。
どの被覆で貼り合わせが効くか
被覆に連動する位相
$X$ の被覆 $(A_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ について、$X$ の位相がこの被覆に連動する（coherent）とは、部分集合 $F\subset X$ について次が成り立つことをいう。
すべての $\lambda$ について $F\cap A_\lambda$ が $A_\lambda$ の閉集合ならば、$F$ は $X$ の閉集合である。
逆向き（$F$ が閉なら各 $F\cap A_\lambda$ は $A_\lambda$ の閉集合）は相対位相の定義からつねに成り立つ。したがって位相が被覆に連動するとは、「$X$ の閉集合は、各 $A_\lambda$ との共通部分を見れば判定できる」ということである。開集合で言い換えても同じで、補集合をとれば「すべての $U\cap A_\lambda$ が $A_\lambda$ の開集合なら $U$ は開集合」と同値である（$(X\setminus F)\cap A_\lambda=A_\lambda\setminus(F\cap A_\lambda)$ による）。
非交和 $\bigsqcup_\lambda A_\lambda$ には、各 $A_\lambda$ を開かつ閉な部分空間とする非交和の位相を入れる。各 $A_\lambda$ の包含写像をまとめた写像
$$
p\colon\bigsqcup_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\to X
$$
は連続な全射である。
$X$ の被覆 $(A_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ について、次の 3 条件は同値である。
- $X$ の位相はこの被覆に連動する。
- 任意の位相空間 $Y$ と任意の写像 $f\colon X\to Y$ について、すべての制限 $f|_{A_\lambda}$ が連続ならば $f$ は連続である。
- $p\colon\bigsqcup_\lambda A_\lambda\to X$ は商写像である。
1 ⇒ 2：$C\subset Y$ を閉集合とする。各 $\lambda$ について
$$
f^{-1}(C)\cap A_\lambda=(f|_{A_\lambda})^{-1}(C)
$$
であり、$f|_{A_\lambda}$ は連続なので右辺は $A_\lambda$ の閉集合である。1 により $f^{-1}(C)$ は $X$ の閉集合である。閉集合の逆像が閉集合なので、$f$ は連続である（連続写像の記事の命題「閉集合による特徴づけ」）。
2 ⇒ 1：二点集合 $S=\{0,1\}$ に、開集合が $\emptyset,\{1\},S$ の三つである位相を入れる。$S$ の閉集合は $\emptyset,\{0\},S$ である。$F\subset X$ がすべての $\lambda$ について $F\cap A_\lambda$ を $A_\lambda$ の閉集合とするとし、$\chi\colon X\to S$ を $F$ の上で $0$、$X\setminus F$ の上で $1$ と定める。$S$ の閉集合の $\chi|_{A_\lambda}$ による逆像は $\emptyset$、$F\cap A_\lambda$、$A_\lambda$ のどれかで、いずれも $A_\lambda$ の閉集合なので、$\chi|_{A_\lambda}$ は連続である。2 により $\chi$ は連続であり、$F=\chi^{-1}(\{0\})$ は閉集合である。
1 ⇔ 3：$p$ は連続な全射なので、$p$ が商写像であることは「$F\subset X$ について、$p^{-1}(F)$ が閉なら $F$ が閉」と同値である（商写像の記事の命題「閉集合による言い換え」）。非交和の位相では、$p^{-1}(F)=\bigsqcup_\lambda(F\cap A_\lambda)$ が閉であることは、すべての $\lambda$ について $F\cap A_\lambda$ が $A_\lambda$ の閉集合であることと同値である。よって 3 は 1 と同じ条件である。$\square$
2 の条件は、写像の側から見た貼り合わせの補題そのものである。3 は、「被覆の成員をばらばらに並べてから貼り合わせた空間」が、もとの $X$ と同じ位相をもつことを述べている。
連動する被覆の例
$X$ の被覆 $(A_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ が次のどちらかを満たせば、$X$ の位相はこの被覆に連動する。
- 内部 $\operatorname{int}A_\lambda$ の全体が $X$ を覆う。とくに、各 $A_\lambda$ が開集合ならばよい。
- 各 $A_\lambda$ は閉集合で、族 $(A_\lambda)$ は局所有限である。とくに、有限個の閉集合ならばよい。
$F\subset X$ がすべての $\lambda$ について $F\cap A_\lambda$ を $A_\lambda$ の閉集合とするとする。
1：$X\setminus F$ が開集合であることを示す。$x\in X\setminus F$ をとり、$x\in\operatorname{int}A_\lambda$ となる $\lambda$ を選ぶ。$A_\lambda\setminus F$ は $A_\lambda$ の開集合なので、相対位相の定義により $X$ の開集合 $U$ で $A_\lambda\setminus F=A_\lambda\cap U$ となるものがある。$V:=\operatorname{int}A_\lambda\cap U$ は $X$ の開集合で、$x$ を含み（$x\in A_\lambda\setminus F\subset U$）、$V\subset A_\lambda\cap U=A_\lambda\setminus F$ なので $F$ と交わらない。よって $X\setminus F$ は $x$ の近傍を含み、開集合である。
2：$F\cap A_\lambda$ は $A_\lambda$ の閉集合なので、$X$ の閉集合 $C$ で $F\cap A_\lambda=A_\lambda\cap C$ となるものがあり、$A_\lambda$ が閉なので $F\cap A_\lambda$ は $X$ の閉集合である。$F\cap A_\lambda\subset A_\lambda$ なので、族 $(F\cap A_\lambda)_\lambda$ も局所有限である（ある近傍と交わる $F\cap A_\lambda$ は、その近傍と交わる $A_\lambda$ の中にしかない）。局所有限な閉集合の族の合併は閉集合であり（開被覆の記事の命題「局所有限な族の閉包」）、$F=\bigcup_\lambda(F\cap A_\lambda)$ なので $F$ は閉集合である。$\square$
1 の「内部が覆う」形は、開集合と閉集合を混ぜた被覆でも使える。たとえば $[0,2]$ の被覆 $[0,1]$、$(1/2,2]$ では内部 $[0,1)$ と $(1/2,2]$ が全体を覆うので、位相は連動する。
主定理の証明
写像 $f$ を定める。$x\in X$ について $x\in A_\lambda$ となる $\lambda$ を一つ選んで $f(x):=f_\lambda(x)$ とおく。$x\in A_\lambda\cap A_\mu$ なら $f_\lambda(x)=f_\mu(x)$ なので、値は $\lambda$ の選び方によらない。作り方から $f|_{A_\lambda}=f_\lambda$ であり、$X=\bigcup A_\lambda$ なので、この条件を満たす写像は $f$ だけである。
条件 2 の場合、内部 $\operatorname{int}A_\lambda=A_\lambda$ が $X$ を覆うので、prop-pl-sufficient の 1 により $X$ の位相は被覆に連動する。条件 3 の場合は prop-pl-sufficient の 2 による。条件 1 は条件 3 に含まれる。いずれの場合も、制限 $f|_{A_\lambda}=f_\lambda$ は連続なので、thm-pl-coherent の 2 により $f$ は連続である。$\square$
例
$X$ を位相空間、$f,g\colon X\to\mathbb{R}$ を連続関数とすると、$h(x):=\min\{f(x),g(x)\}$ は連続である。実際、$A:=\{x\mid f(x)\le g(x)\}$ と $B:=\{x\mid g(x)\le f(x)\}$ は連続関数 $g-f$ による閉集合 $[0,\infty)$、$(-\infty,0]$ の逆像なので閉集合であり、$X=A\cup B$ である。$h|_A=f|_A$、$h|_B=g|_B$ は連続で、$A\cap B=\{f=g\}$ の上で両者は一致する。thm-pl-main の 1 により $h$ は連続である（Mun00 §18 Exercise 8, pp. 111–112）。最大値も同様で、$|x|=\max\{x,-x\}$ の連続性もこの形で確かめられる。
$f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ を、各 $n\in\mathbb{Z}$ について区間 $[n,n+1]$ の上で $f(x):=\min\{x-n,\ n+1-x\}$ と定める。$[n,n+1]\cap[n+1,n+2]=\{n+1\}$ の上では両方の式が $0$ で一致し、隣り合わない区間は交わらない。被覆 $([n,n+1])_{n\in\mathbb{Z}}$ は無限個の閉集合からなるが、点 $x$ の近傍 $(x-1,x+1)$ と交わる区間は高々 $3$ 個なので局所有限である。各制限は ex-pl-min により連続なので、thm-pl-main の 3 により $f$ は $\mathbb{R}$ 上で連続である。この $f$ は $x$ から最も近い整数までの距離に等しい。
CW複体 $X$ について、閉胞体（各胞体の閉包）$\bar e_\alpha$ の全体は $X$ の被覆であり、$X$ の位相はこの被覆に連動する。実際、$F\subset X$ がすべての $\alpha$ について $F\cap\bar e_\alpha$ を $\bar e_\alpha$ の閉集合とするなら、特性写像 $\Phi_\alpha\colon D^{n}\to X$ は像が $\bar e_\alpha$ に含まれる連続写像なので、$\Phi_\alpha^{-1}(F)=\Phi_\alpha^{-1}(F\cap\bar e_\alpha)$ は $D^n$ の閉集合であり、CW複体の記事の定理「胞体ごとの判定」により $F$ は閉集合である。
この被覆は局所有限とは限らない。可算個の円周のウェッジ和 $\bigvee_{n\ge1}S^1_n$ を、一点の $0$ 胞体と可算個の $1$ 胞体からなる CW 複体とみると、すべての閉胞体が基点を含むので、基点のどの近傍も無限個の成員と交わる。それでも位相は被覆に連動し、thm-pl-coherent により、各円周の上で連続で基点の値がそろった写像は全体で連続である。CW 複体の上で写像やホモトピーを胞体ごとに作る議論は、この形の貼り合わせに支えられている。
$n\ge1$ について $C_n\subset\mathbb{R}^2$ を中心 $(1/n,0)$、半径 $1/n$ の円周とし、$H:=\bigcup_nC_n$ に $\mathbb{R}^2$ からの相対位相を入れる（ハワイの耳飾り）。$C_n$ はどれも原点 $o$ を通り、$m\ne n$ なら $C_m\cap C_n=\{o\}$ である。
$f\colon H\to\mathbb{R}$ を $C_n$ の上で $f(z):=n|z|/2$ と定める。重なりは $o$ だけで、そこではどの式も $0$ なので、$f$ は矛盾なく定まり、各制限 $f|_{C_n}$ は連続関数 $z\mapsto n|z|/2$ の制限なので連続である。しかし $p_n:=(2/n,0)\in C_n$ について $f(p_n)=1$ であり、$p_n\to o$ だが $f(o)=0$ なので、$f$ は $o$ で連続でない。よって閉集合 $C_n$ による被覆に $H$ の位相は連動しない（thm-pl-coherent）。集合 $\{p_n\mid n\ge1\}$ は各 $C_m$ との共通部分が一点 $\{p_m\}$ で閉なのに、$H$ の閉集合ではない（$o$ が集積点である）ことも、同じことを集合の側から示している。
前の例のウェッジ和と $H$ は、集合としては「原点で接した可算個の円周」として同じ形をしているが、ウェッジ和の位相は円周の被覆に連動し、$H$ の位相は連動しない。両者は同相でもない。$H$ はコンパクトだが（ハワイの耳飾りの記事の命題「コンパクト性」）、可算無限個の円周のウェッジ和はコンパクトでない（ウェッジ和の記事の命題「可算無限個の和はコンパクトでない」）。
条件を外した反例
thm-pl-main の仮定を一つずつ外すと、結論が崩れる。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 閉集合の個数が有限（局所有限）であること | $[0,1]$ の閉集合 $\{0\}$ と $[1/(k+1),1/k]$（$k\ge1$）による被覆と、$0$ で $1$、ほかで $0$ の関数 | 貼り合わせた写像の連続性 |
| 有限被覆の各成員が閉集合であること | $[0,1]=[0,1/2]\cup(1/2,1]$ と、$[0,1/2]$ で $0$、$(1/2,1]$ で $1$ の関数 | 貼り合わせた写像の連続性 |
| （任意個の被覆で）各成員が開集合であること | $\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})$ と、有理数の上で $1$、無理数の上で $0$ の関数 | 貼り合わせた写像の連続性 |
| 重なりの上で値が一致すること | $[0,1]=[0,1/2]\cup[1/2,1]$ と、定値写像 $f_1\equiv0$、$f_2\equiv1$ | 貼り合わせた写像の存在 |
1 行目：各成員は閉集合で $[0,1]$ を覆い、$f$ の各制限は定値なので連続である。$[1/(k+1),1/k]$ たちはどれも $0$ を含まないが、$0$ のどの近傍もそのうち無限個と交わるので、族は局所有限でない。$f^{-1}((1/2,2))=\{0\}$ は $[0,1]$ の開集合でないので、$f$ は連続でない。
2 行目：$(1/2,1]$ は $[0,1]$ の開集合であって閉集合でない。二つの成員は交わらないので重なりの条件は自明に満たされ、各制限は定値で連続である。$f^{-1}((-1/2,1/2))=[0,1/2]$ は開集合でないので、$f$ は連続でない。内部 $[0,1/2)$ と $(1/2,1]$ は点 $1/2$ を覆わず、prop-pl-sufficient の 1 も使えない。
3 行目：$\mathbb{Q}$ も $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ も内点をもたないので $\mathbb{R}$ の開集合でない（どちらの補集合も稠密なので閉集合でもない）。各制限は定値なので連続であるが、$f^{-1}((1/2,2))=\mathbb{Q}$ は開集合でないので、$f$ は連続でない。
4 行目：点 $1/2$ で $f_1(1/2)=0\ne1=f_2(1/2)$ なので、両方に一致する写像 $f\colon[0,1]\to\mathbb{R}$ は存在しない。
使われ方
貼り合わせの補題は、写像を部分ごとに作る議論のほぼすべてに現れる。基本群・ホモトピー群の群演算、ホモトピーの推移律、変位レトラクトや絶対近傍レトラクトでの写像の構成では、cor-pl-interval のように区間を分けて式をつなぐ。CW複体の上では、ex-pl-cw のように閉胞体に連動する位相によって、写像を胞体ごとに作れる。
開集合による被覆の場合は、「各開集合の上の連続関数が重なりで一致すれば全体の連続関数がただ一つ定まる」という主張であり、連続関数のなす前層が層になることの中身である。局所有限な閉被覆の場合は、1の分割で局所的な関数を足し合わせるときに使う局所有限性と同じ種類の条件である。
関連項目
参考文献
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