Hartman–Grobmanの定理

1：固有多項式を $\chi_A=p_sp_u$ と分ける。$p_s$ は絶対値が $1$ より小さい根の分の 1 次式の積、$p_u$ は残りの分の積である。実でない根は共役な根と同じ絶対値をもって組で現れるので、$p_s,p_u$ は実係数で、共通の根をもたない。よって実係数の多項式 $b_s,b_u$ で $b_sp_s+b_up_u=1$ となるものがある（Jordan標準形 の補題「広義固有空間への分解」の証明と同じ Bézout の等式）。$E_s:=\ker p_s(A)$、$E_u:=\ker p_u(A)$ とおく。Cayley–Hamiltonの定理 により $p_s(A)p_u(A)=0$ なので、$v=b_u(A)p_u(A)v+b_s(A)p_s(A)v$ の第 1 項は $E_s$、第 2 項は $E_u$ に属する。$v\in E_s\cap E_u$ なら同じ式から $v=0$ である。$A$ は $p_s(A)$、$p_u(A)$ と可換なので $E_s,E_u$ は不変である。$A_s$ の（複素化での）固有ベクトル $w$、固有値 $\lambda$ について $0=p_s(A)w=p_s(\lambda)w$ なので $p_s(\lambda)=0$、$\lvert\lambda\rvert<1$ である。$A_u$ も同様である。

2：有限次元の実ベクトル空間 $E$ 上の線形写像 $B$ の固有値の絶対値がすべて $1$ より小さいとする。$B$ の複素化に スペクトル半径 の定理「Gelfand のスペクトル半径公式」を使うと、行列のスペクトル半径は固有値の絶対値の最大値なので $\|B^k\|^{1/k}$ の極限は $1$ より小さく、$C:=\sum_{k\ge0}\|B^k\|$ は有限である（$E$ の 1 つのノルム $\lvert\cdot\rvert_0$ で測る。有限次元ではノルムはどれも同値なので、実ベクトルでの作用素ノルムは複素化での作用素ノルムの定数倍以下）。$\lvert v\rvert_*:=\sum_{k\ge0}\lvert B^kv\rvert_0$ はノルムで、$\lvert v\rvert_0\le\lvert v\rvert_*\le C\lvert v\rvert_0$ であり、

$$\lvert Bv\rvert_*=\lvert v\rvert_*-\lvert v\rvert_0\le\Bigl(1-\frac1C\Bigr)\lvert v\rvert_*$$

となる。これを $E_s$ の $B=A_s$ と、$E_u$ の $B=A_u^{-1}$（固有値の絶対値は $1$ より小さい）に使い、$\lvert x\rvert:=\max\{\lvert x_s\rvert_*,\lvert x_u\rvert_*\}$ とおけばよい。$\square$

段 0（線形の方程式）．$u$ を $\mathbb{R}^n$ の同相写像とし、$m\circ u-Am=c$（$c\in C_b$）を $m\in C_b$ について解く。成分に分けると $m_s\circ u=A_sm_s+c_s$、$m_u\circ u=A_um_u+c_u$ である。

$$m_s(x)=\sum_{j\ge0}A_s^jc_s\bigl(u^{-(j+1)}(x)\bigr),\qquad m_u(x)=-\sum_{j\ge0}A_u^{-(j+1)}c_u\bigl(u^j(x)\bigr)$$

は、各項のノルムが $a^j\|c\|$ 以下なので一様に収束して連続であり、代入すると方程式を満たす（たとえば $m_u(u(x))=-\sum_{j\ge1}A_u^{-j}c_u(u^j(x))=A_um_u(x)+c_u(x)$）。$\|m\|\le\frac{\|c\|}{1-a}$ である。$c=0$ の解は $m_s=A_s^jm_s\circ u^{-j}$、$m_u=A_u^{-j}m_u\circ u^j$ を満たすので、$\|m\|\le a^j\|m\|\to0$ となり $m=0$ である。よって解はただ 1 つで、これを $m=S_u(c)$ と書く。$S_u$ は線形で $\|S_u(c)\|\le\frac{\|c\|}{1-a}$ である。

段 1．$f(x)=y$ は $x=A^{-1}(y-g(x))$ と同値で、右辺は $x$ について Lipschitz 定数 $\varepsilon\|A^{-1}\|<1$ の縮小写像なので、Banachの不動点定理 によりただ 1 つの解をもつ。$\lvert x-x'\rvert\le\|A^{-1}\|(\lvert y-y'\rvert+\varepsilon\lvert x-x'\rvert)$ から $f^{-1}$ は Lipschitz 連続である。

段 2．$d_k:=f^k(x)-f^k(y)$、$\lvert d_k\rvert\le M$（$k\in\mathbb{Z}$）とする。$d_{k+1}=Ad_k+\bigl(g(f^kx)-g(f^ky)\bigr)$ なので $\lvert d_{k+1,s}\rvert\le a\lvert d_{k,s}\rvert+\varepsilon\lvert d_k\rvert$、$\lvert d_{k+1,u}\rvert\ge a^{-1}\lvert d_{k,u}\rvert-\varepsilon\lvert d_k\rvert$ である。ある $k$ で $\lvert d_{k,u}\rvert\ge\lvert d_{k,s}\rvert$ なら、$\lvert d_{k+1,u}\rvert\ge(a^{-1}-\varepsilon)\lvert d_k\rvert$、$\lvert d_{k+1,s}\rvert\le(a+\varepsilon)\lvert d_k\rvert$ で、$a+\varepsilon< 1< a^{-1}-\varepsilon$（$1-a\le a^{-1}-1$ による）だから同じ不等式が $k+1$ でも成り立ち、$\lvert d_{k+j}\rvert\ge(a^{-1}-\varepsilon)^j\lvert d_k\rvert$ となる。有界性から $d_k=0$ で、$f$ は単射なので $x=y$ である。すべての $k$ で $\lvert d_{k,u}\rvert<\lvert d_{k,s}\rvert$ なら $\lvert d_{k+1}\rvert\le(a+\varepsilon)\lvert d_k\rvert$ なので $\lvert d_0\rvert\le(a+\varepsilon)^jM\to0$ である。

段 3（存在と一意性）．$\Phi=\mathrm{id}+h$ について $f\circ\Phi=\Phi\circ A$ は $h\circ A-Ah=g\circ(\mathrm{id}+h)$ と同値なので、段 0 により $h=T(h):=S_A\bigl(g\circ(\mathrm{id}+h)\bigr)$ と同値である。$\|T(h_1)-T(h_2)\|\le\frac{\varepsilon}{1-a}\|h_1-h_2\|$ なので $T$ は $C_b$ の縮小写像であり、Banachの不動点定理 によりただ 1 つの $h$ がある。

段 4（同相性）．$\Psi:=\mathrm{id}+q$ について $\Psi\circ f=A\circ\Psi$ は $q\circ f-Aq=-g$ と同値なので、$q:=S_f(-g)$ がその解を与える（$u=f$ は段 1 により同相写像）。$\Theta:=\Psi\circ\Phi=\mathrm{id}+m$（$m=h+q\circ\Phi\in C_b$）は $\Theta\circ A=\Psi\circ f\circ\Phi=A\circ\Theta$ を満たし、これは $m\circ A-Am=0$ なので段 0 から $m=0$、つまり $\Psi\circ\Phi=\mathrm{id}$ である。$\Psi(x)=\Psi(y)$ なら、すべての $k\in\mathbb{Z}$ で $\Psi(f^kx)=A^k\Psi(x)=\Psi(f^ky)$ なので $\lvert f^kx-f^ky\rvert\le2\|q\|$ となり、2 から $x=y$ である。よって $\Psi$ は全単射で $\Phi=\Psi^{-1}$ であり、どちらも連続なので $\Phi$ は同相写像である。

段 5．$g(0)=0$ なら $f(0)=0$、$f(\Phi(0))=\Phi(0)$ で、$\lvert f^k(\Phi(0))-f^k(0)\rvert=\lvert\Phi(0)\rvert$ は一定なので、2 から $\Phi(0)=0$ である。$\square$

段 1．$e^A$ は写像の意味で双曲型なので、lem-hg-splitting のノルム $\lvert\cdot\rvert$ と $a$ をとり、$\varepsilon$ を lem-hg-global の条件（$e^A$ について）を満たすようにとる。$g:=F-A$ に lem-hg-cutoff を使い、$\eta':=3\eta(2\delta)$ とする。$\tilde F(x):=Ax+g_\delta(x)$ は $\mathbb{R}^n$ で Lipschitz 定数 $L:=\|A\|+\eta'$ をもつので、Picard–Lindelöfの定理 の定理「大域的な存在と一意性」により流れ $\tilde\varphi\colon\mathbb{R}\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ がある。線形微分方程式 の定理「定数変化法の公式（Duhamel の公式）」により

$$\tilde\varphi_t(x)=e^{tA}x+\int_0^te^{(t-s)A}g_\delta\bigl(\tilde\varphi_s(x)\bigr)\,ds$$

である。常微分方程式 の定理「初期値への連続依存性」と同じ議論（Grönwall の不等式はどのノルムでも使える）で $\lvert\tilde\varphi_s(x)-\tilde\varphi_s(y)\rvert\le e^{L\lvert s\rvert}\lvert x-y\rvert$ である。よって $G_t:=\tilde\varphi_t-e^{tA}$ は連続で $\|G_t\|\le\lvert t\rvert e^{\lvert t\rvert\|A\|}\|g_\delta\|$ を満たし、

$$\operatorname{Lip}(G_1)\le\eta'\int_0^1\|e^{(1-s)A}\|\,e^{Ls}\,ds\le\eta'e^{2\|A\|+\eta'}$$

である。$\delta$ を小さくとって右辺を $\varepsilon$ 以下にする。

段 2．$\tilde\varphi_1=e^A+G_1$、$G_1(0)=0$ に lem-hg-global を使い、$\tilde\varphi_1\circ\Phi=\Phi\circ e^A$ を満たす $\Phi=\mathrm{id}+h$（$\Phi(0)=0$）を得る。

段 3．$s\in\mathbb{R}$ について $\Phi_s:=\tilde\varphi_s\circ\Phi\circ e^{-sA}$ とおく。$\Phi_s(x)-x=e^{sA}h(e^{-sA}x)+G_s\bigl(\Phi(e^{-sA}x)\bigr)$ は有界で連続である。流れの性質 $\tilde\varphi_1\circ\tilde\varphi_s=\tilde\varphi_s\circ\tilde\varphi_1$ と $e^Ae^{-sA}=e^{-sA}e^A$（行列の指数関数 の定理「可換な行列の指数法則」）から $\tilde\varphi_1\circ\Phi_s=\tilde\varphi_s\circ\Phi\circ e^A\circ e^{-sA}=\Phi_s\circ e^A$ である。lem-hg-global の一意性から $\Phi_s=\Phi$、つまりすべての $s$ で $\tilde\varphi_s\circ\Phi=\Phi\circ e^{sA}$ である。

段 4．$\overline B(\delta)\subset U$ の上で $\tilde F=F$ である。$s$ が $0$ と $t$ の間を動くとき $e^{sA}x\in W$ なら、$\tilde\varphi_s(\Phi(x))=\Phi(e^{sA}x)\in B(\delta)$ なので、$s\mapsto\tilde\varphi_s(\Phi(x))$ はこの区間で $x'=F(x)$ の解であり、解の一意性から $\varphi(s,\Phi(x))$ に等しい。$\square$