Youngの不等式

$b=0$ なら右辺と左辺の差は $\frac{a^p}p\ge0$ で、等号は $a=0$、すなわち $a^p=b^q$ のときに限る。
$b>0$ とし、$t\ge0$ について $f(t):=\frac{t^p}p-bt$ とおく。$f'(t)=t^{p-1}-b$ であり、$t_0:=b^{1/(p-1)}$ とおくと、$t^{p-1}$ は狭義単調増加なので $f'$ は $[0,t_0)$ で負、$(t_0,\infty)$ で正である。平均値の定理 により $f$ は $[0,t_0]$ で狭義単調減少、$[t_0,\infty)$ で狭義単調増加なので、$f$ は $t_0$ でだけ最小値をとる。$\frac p{p-1}=q$ より $t_0^p=b^q$、また $bt_0=b^{1+\frac1{p-1}}=b^q$ なので
$$ f(t_0)=\frac{b^q}p-b^q=-\frac{b^q}q $$
である。したがって $f(a)\ge-\frac{b^q}q$、すなわち $ab\le\frac{a^p}p+\frac{b^q}q$ であり、等号は $a=t_0$ のときに限る。$a=t_0$ なら $a^p=t_0^p=b^q$ である。逆に $a^p=b^q$ なら、$p-1=\frac pq$ より $a^{p-1}=(a^p)^{1/q}=(b^q)^{1/q}=b$ なので $a=t_0$ である。$\square$

$\lambda:=(p\varepsilon)^{1/p}$ とおくと $ab=(\lambda a)(\lambda^{-1}b)$ である。thm-young-main を $\lambda a$ と $\lambda^{-1}b$ に使うと
$$ ab\le\frac{\lambda^pa^p}p+\frac{\lambda^{-q}b^q}q=\varepsilon a^p+\frac1q(p\varepsilon)^{-q/p}b^q $$
である。$\frac qp=\frac1{p-1}$ なので 2 つの表し方は等しい。最良性について。上の不等式から $ab-\varepsilon a^p\le C(\varepsilon)b^q$ である。$a:=\lambda^{-1}(\lambda^{-1}b)^{q/p}$ とすると $(\lambda a)^p=(\lambda^{-1}b)^q$ なので、thm-young-main の等号条件により上の不等式は等号になり、$ab-\varepsilon a^p=C(\varepsilon)b^q$ である。$\square$

$n=2$ は thm-young-main である。$n\ge3$ とし、$n-1$ 個の場合は正しいとする。$P:=p_n$ とその共役指数 $P':=\frac P{P-1}$ をとる。thm-young-main を $\prod_{i< n}a_i$ と $a_n$ に使うと
$$ \prod_{i=1}^na_i\le\frac1{P'}\Bigl(\prod_{i< n}a_i\Bigr)^{P'}+\frac{a_n^{P}}P $$
である。$i< n$ について $q_i:=p_i/P'$ とおくと、$\sum_{i< n}\frac1{q_i}=P'\sum_{i< n}\frac1{p_i}=P'\bigl(1-\frac1P\bigr)=1$ である。$n-1\ge2$ で各 $\frac1{p_j}$ は正なので、$\frac1{p_i}< \sum_{j< n}\frac1{p_j}=\frac1{P'}$、すなわち $q_i>1$ である。帰納法の仮定を $b_i:=a_i^{P'}$ と指数 $q_i$ に使うと
$$ \Bigl(\prod_{i< n}a_i\Bigr)^{P'}=\prod_{i< n}b_i\le\sum_{i< n}\frac{b_i^{q_i}}{q_i}=\sum_{i< n}\frac{P'}{p_i}a_i^{p_i} $$
である。$P'$ で割って上の式に代入すると主張を得る。$\square$

ある $N_j$ が $0$ なら、その $j$ について $c_{ij}=0$（すべての $i$）なので両辺は $0$ である。すべての $N_j>0$ なら $u_{ij}:=c_{ij}/N_j$ とおくと $\sum_iu_{ij}^{p_j}=1$ である。各 $i$ について thm-young-multi を使って $i$ について加えると
$$ \sum_i\prod_ju_{ij}\le\sum_i\sum_j\frac{u_{ij}^{p_j}}{p_j}=\sum_j\frac1{p_j}\sum_iu_{ij}^{p_j}=\sum_j\frac1{p_j}=1 $$
であり、両辺に $\prod_jN_j$ を掛けて主張を得る。$\square$

$s:=\frac1p+\frac1q$ とおく。$t>0$ について $a=t^{1/p}$、$b=t^{1/q}$ とすると、仮定は $t^s\le2Ct$、すなわち $t^{s-1}\le2C$ である。$s>1$ なら $t\to\infty$ で左辺が発散し、$s< 1$ なら $t\to0$ で左辺が発散するので、どちらも仮定に反する。よって $s=1$ である。$\square$

$P:=\frac1p>1$ とその共役指数 $Q:=\frac1{1-p}$ をとる。thm-young-main を $A:=(ab)^p$、$B:=b^{-p}$ に使うと、$AB=a^p$、$A^P=ab$、$B^Q=b^{-p/(1-p)}=b^q$ なので
$$ a^p\le p\,ab+(1-p)\,b^q $$
であり、等号は $A^P=B^Q$、すなわち $ab=b^q$ のときに限る。両辺を $p$ で割り、$\frac{1-p}p=-\frac1q$ を使うと $\frac{a^p}p\le ab-\frac{b^q}q$ となって主張を得る。等号条件 $ab=b^q$ は $a=b^{q-1}$ と同値で、$p(q-1)=q$ より $a^p=b^q$ と同値である。$\square$