複素対数関数

$z_0\in D$ とし、$w_0:=L(z_0)$ とおく。$z\in D\setminus\{z_0\}$ について $w:=L(z)$ とすると、$e^w=z\neq z_0=e^{w_0}$ なので $w\neq w_0$ であり、
$$ \frac{L(z)-L(z_0)}{z-z_0}=\frac{w-w_0}{e^w-e^{w_0}} $$
と書ける。$z\to z_0$ のとき、$L$ の連続性から $w\to w_0$ である。指数関数は正則で導関数は自身なので、$w\to w_0$ のとき $(e^w-e^{w_0})/(w-w_0)\to e^{w_0}=z_0\neq0$ である。よって右辺は $1/z_0$ に収束し、$L'(z_0)=1/z_0$ である。$\square$

$L_1+2\pi ik$ は連続で $e^{L_1+2\pi ik}=e^{L_1}=z$ を満たすので、分枝である。逆に $L_2$ を分枝とすると、$e^{L_2-L_1}=z/z=1$ なので、$(L_2-L_1)/(2\pi i)$ は $D$ 上の整数値の連続関数である。$D$ は連結なので、整数値の連続関数は定数 $k$ であり（値 $k$ をとる点の集合は開かつ閉）、$L_2=L_1+2\pi ik$ である。$\square$

1 ⇒ 2． thm-clog-holomorphic により分枝 $L$ は $L'=1/z$ を満たす。
2 ⇒ 1． $F'=1/z$ とし、$h(z):=ze^{-F(z)}$ とおくと $h'=e^{-F}-z\cdot\frac1z\,e^{-F}=0$ なので、$h$ は連結な $D$ 上で $0$ でない定数 $c$ である（正則関数 の記事の命題「導関数が消える正則関数」）。$e^b=c$ となる $b$ をとり $L:=F+b$ とおくと、$e^L=e^Fc=z$ である。
1 ⇒ 3． $L$ を分枝、$\gamma\colon[\alpha,\beta]\to D$ を閉曲線とする。$\theta(t):=\operatorname{Im}L(\gamma(t))$ は連続で、$\gamma(t)=e^{L(\gamma(t))}=\lvert\gamma(t)\rvert e^{i\theta(t)}$ なので、$\gamma$ の $0$ から見た偏角の連続な選び方である。$\gamma(\beta)=\gamma(\alpha)$ から $\theta(\beta)=\theta(\alpha)$ なので、$n(\gamma,0)=0$ である。
3 ⇒ 1． 点 $z_0\in D$ と $e^{w_0}=z_0$ となる $w_0$ を固定する。$z\in D$ に対し、$D$ 内の $z_0$ から $z$ への曲線 $\gamma\colon[\alpha,\beta]\to D$ をとり（領域は弧状連結）、$\gamma$ の $0$ から見た偏角の連続な選び方 $\theta_\gamma$ で $\theta_\gamma(\alpha)=\operatorname{Im}w_0$ となるものをとる（回転数 の補題「偏角の連続な選び方」）。
$$ L(z):=\log\lvert z\rvert+i\theta_\gamma(\beta) $$
と定めると $e^{L(z)}=z$ である。
$L(z)$ が $\gamma$ によらないこと：$\gamma_1,\gamma_2$ を $z_0$ から $z$ への 2 つの曲線とし、$\gamma_1$ の後に $\gamma_2$ を逆向きにたどる閉曲線を $\gamma$ とする。$\gamma_1$ の上では $\theta_{\gamma_1}$、$\gamma_2$ の逆向きの上では $\theta_{\gamma_2}$ を逆にたどった関数に $\theta_{\gamma_1}(\beta_1)-\theta_{\gamma_2}(\beta_2)$ を足したものをつなぐと、$\gamma$ の偏角の連続な選び方になる。その終点の値は $\theta_{\gamma_2}(\alpha_2)+\theta_{\gamma_1}(\beta_1)-\theta_{\gamma_2}(\beta_2)$ で、始点の値は $\theta_{\gamma_1}(\alpha_1)=\theta_{\gamma_2}(\alpha_2)=\operatorname{Im}w_0$ である。$n(\gamma,0)=0$ なので両者は等しく、$\theta_{\gamma_1}(\beta_1)=\theta_{\gamma_2}(\beta_2)$ である。
$L$ が連続であること：$z_1\in D$ と、$D$ に含まれる円板 $B:=\{\lvert z-z_1\rvert< r\}$（$r\le\lvert z_1\rvert$）をとる。$B$ は開半平面 $\{\operatorname{Re}(z\bar z_1)>0\}$ に含まれるので、$L_B(z):=\operatorname{Log}(z/z_1)+L(z_1)$ は $B$ 上の対数の分枝で $L_B(z_1)=L(z_1)$ である。$z\in B$ について、$z_0$ から $z_1$ への曲線の後に線分 $[z_1,z]$ をつないだ曲線で $L(z)$ を計算する。線分の上では $\operatorname{Im}L_B$ が偏角の連続な選び方を与え、つなぎ目の値が一致するので、$L(z)=L_B(z)$ となる。よって $L$ は $B$ 上で連続である。
3 ⇔ 4． 区分的に滑らかな閉曲線では $n(\gamma,0)=\frac1{2\pi i}\oint_\gamma\frac{dz}z$ である（回転数 の命題「積分による表示」）。4 から 2 は、$z_0$ から折れ線に沿って $1/z$ を積分して原始関数を作る、Cauchyの積分定理 の系「単連結領域上の原始関数と対数の分枝」の 1 の証明と同じ議論による。2 から 4 は、原始関数をもつ関数の閉曲線に沿う積分が $0$ であることによる。3 から 4 は積分による表示から直ちに従う。$\square$

1：$\gamma(t)=re^{it}$（$0\le t\le2\pi$）について $\theta(t)=t$ が偏角の連続な選び方なので $n(\gamma,0)=1\neq0$ であり、thm-clog-existence の 3 が成り立たない。
2：$A$ を $\mathbb{C}\setminus D$ の $0$ を含む連結成分とし、$\gamma$ を $D$ 内の閉曲線とする。$A$ は $\gamma$ の像と交わらない連結集合なので、$\mathbb{C}$ から $\gamma$ の像を除いた集合の 1 つの連結成分に含まれる。$A$ は有界でないので、その連結成分は有界でない。回転数 の命題「回転数は補集合の連結成分ごとに一定」の 2 により $n(\gamma,0)=0$ であり、thm-clog-existence により分枝がある。半直線は $0$ を含む有界でない連結集合である。
3：$D$ 内の閉曲線は $D$ の中で定数の曲線にホモトピックなので、回転数 の定理「回転数のホモトピー不変性」により $n(\gamma,0)=0$ である（Cauchyの積分定理 の系「単連結領域上の原始関数と対数の分枝」は同じ結論を原始関数から導いている）。$\square$

要点：thm-clog-existence の証明で、$\gamma$ の偏角の代わりに $g\circ\gamma$ の偏角を追えばよい。

1：連鎖律と thm-clog-holomorphic により $\frac{d}{dz}e^{aL(z)}=aL'(z)e^{aL(z)}=a z^a/z$ である。2：指数法則による。3：$e^{nL}=(e^L)^n=z^n$（$n\ge0$ は指数法則の繰り返し、$n<0$ は $e^{-L}=1/z$ による）。4：$(e^{L/n})^n=e^L=z$ である。$\square$

$w_0\in\log z$ を 1 つとると、値は $e^{aw_0}e^{2\pi iak}$（$k\in\mathbb{Z}$）である。$e^{2\pi iak}=e^{2\pi iak'}$ は $a(k-k')\in\mathbb{Z}$ と同値である（$e^w=1\iff w\in2\pi i\mathbb{Z}$）。$a\notin\mathbb{Q}$ なら、$0$ でない整数 $m$ で $am\in\mathbb{Z}$ となるものはないので（あれば $a=(am)/m\in\mathbb{Q}$）、値はすべて異なり無限個である。$a=p/q$ なら、$am=pm/q\in\mathbb{Z}$ は $q\mid m$ と同値なので、値は $k$ を $q$ で割った余りだけで決まり、ちょうど $q$ 個である。$a\in\mathbb{Z}$ は $q=1$ の場合である。$\square$

右辺の冪級数の収束半径は $1$ で、和を $S(z)$ とおくと、正則関数 の定理「冪級数の正則性」により $S$ は $\lvert z\rvert<1$ で正則で、$S'(z)=\sum_{n\ge1}(-z)^{n-1}=1/(1+z)$ である。一方 $\lvert z\rvert<1$ なら $\operatorname{Re}(1+z)>0$ なので $1+z\in\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]$ であり、$\operatorname{Log}(1+z)$ は正則で導関数は $1/(1+z)$ である（thm-clog-holomorphic）。差の導関数は $0$ なので、連結な円板の上で差は定数であり（正則関数 の命題「導関数が消える正則関数」）、$z=0$ でともに $0$ なので一致する。$\square$

$e^w=e^{\operatorname{Re}w}e^{i\operatorname{Im}w}$ なので、$\operatorname{Log}(e^w)=\operatorname{Re}w+i\operatorname{Arg}(e^{i\operatorname{Im}w})$ である。$\operatorname{Arg}(e^{iy})$ は $y+2\pi\mathbb{Z}$ の元のうち $(-\pi,\pi)$ に入るただ 1 つのものなので、$y-2\pi k$ に等しい。$k=0$ となるのは $y\in(-\pi,\pi)$ のときに限る。$\square$

要点：半直線を除いた平面の上で、$\exp$ の逆像は分枝 $L+2\pi ik$ の像の交わらない和になる。