モノ射

1：$f$ が単射とし、$a,b\colon T\to A$ が $f\circ a=f\circ b$ を満たすとする。各 $t\in T$ で $f(a(t))=f(b(t))$ であり、$f$ は単射なので $a(t)=b(t)$、よって $a=b$ である。逆に $f$ がモノ射とし、$x,y\in A$ が $f(x)=f(y)$ を満たすとする。1 点集合 $1=\{*\}$ から $x,y$ を選ぶ写像 $\bar x,\bar y\colon1\to A$（$\bar x(*)=x$、$\bar y(*)=y$）を考えると $f\circ\bar x=f\circ\bar y$ なので $\bar x=\bar y$、すなわち $x=y$ である。
2：単射な準同型がモノ射であることは 1 と同じ計算による（群準同型の等しさは写像としての等しさである）。逆に $f$ がモノ射とする。核 $K:=\ker f=\{g\in G\mid f(g)=e_H\}$ は $G$ の部分群であり、包含 $\iota\colon K\to G$ と自明な準同型 $\varepsilon\colon K\to G$（$\varepsilon(k)=e_G$）はともに群準同型で、$f\circ\iota$ と $f\circ\varepsilon$ はどちらも $K$ のすべての元を $e_H$ に写す。したがって $f\circ\iota=f\circ\varepsilon$ であり、$f$ がモノ射なので $\iota=\varepsilon$、すなわち $K=\{e_G\}$ である。群準同型は核が自明なら単射である（$f(x)=f(y)$ なら $f(x^{-1}y)=e_H$ より $x^{-1}y\in K$、よって $x=y$）ので、$f$ は単射である。$\square$

1：$f$ がモノ射なので、def-monomorphism の直後に述べたとおり後合成 $f_*\colon\operatorname{Hom}(F,A)\to\operatorname{Hom}(F,B)$ は単射である。$\theta$ の自然性により $\theta_B\circ f_*=U(f)\circ\theta_A$ であり、$\theta_A,\theta_B$ は全単射なので $U(f)=\theta_B\circ f_*\circ\theta_A^{-1}$ は単射の合成として単射である。
2：$U(f)$ が単射とし、$a,b\colon T\to A$ が $f\circ a=f\circ b$ を満たすとする。$U$ は関手なので $U(f)\circ U(a)=U(f)\circ U(b)$ であり、$U(f)$ は単射なので $U(a)=U(b)$、忠実性により $a=b$ である。逆向きは 1 である。$\square$

いずれの圏でも下部集合をとる忘却関手 $U$ は忠実なので、prop-monomorphism-representable により $U$ を表現する対象 $F$ を示せばよい。$\mathbf{Ring}$ では $F=\mathbb{Z}[X]$（整数係数の多項式環）である。環準同型 $\varphi\colon\mathbb{Z}[X]\to A$ は $\varphi(X)$ で決まり、逆に任意の $a\in A$ に対し $\sum c_iX^i\mapsto\sum c_ia^i$ は環準同型である（$c_i\cdot1_A$ は $A$ の全元と可換で、$a$ の冪どうしも可換なので、$A$ が非可換でも積が保たれる）。よって $\varphi\mapsto\varphi(X)$ は全単射 $\operatorname{Hom}(\mathbb{Z}[X],A)\to A$ であり、$(g\circ\varphi)(X)=g(\varphi(X))$ なので $A$ について自然である。同様に $\mathbf{Ab}$ では $F=\mathbb{Z}$（$\varphi\mapsto\varphi(1)$）、$R\text{-}\mathbf{Mod}$ では $F=R$（$\varphi\mapsto\varphi(1)$）、$\mathbf{Top}$ では $F$ は 1 点空間（$\varphi\mapsto\varphi(*)$）である。$\square$

1：$a,b\colon T\to A$ が $(g\circ f)\circ a=(g\circ f)\circ b$ を満たすとする。結合律により $g\circ(f\circ a)=g\circ(f\circ b)$ であり、$g$ がモノ射なので $f\circ a=f\circ b$、$f$ がモノ射なので $a=b$ である。
2：$f\circ a=f\circ b$ ならば $g\circ f\circ a=g\circ f\circ b$ であり、$g\circ f$ がモノ射なので $a=b$ である。
3：$f$ が逆射 $f^{-1}$ をもてば、$f\circ a=f\circ b$ の両辺に左から $f^{-1}$ を合成して $a=b$ を得る。$\square$

$g,h\colon T\to P$ が $m'\circ g=m'\circ h$ を満たすとする。すると
$$ m\circ(p\circ g)=v\circ m'\circ g=v\circ m'\circ h=m\circ(p\circ h) $$
であり、$m$ がモノ射なので $p\circ g=p\circ h$ である。射 $s:=m'\circ g=m'\circ h\colon T\to B$ と $t:=p\circ g=p\circ h\colon T\to C$ は $m\circ t=v\circ s$ を満たすので、引き戻しの普遍性により $m'\circ k=s$、$p\circ k=t$ を満たす射 $k\colon T\to P$ はただ一つである。$g$ と $h$ はどちらもこの条件を満たすので $g=h$ である。$\square$

分裂 ⇒ 正則：$f\colon A\to B$ が引き込み $r$（$r\circ f=\mathrm{id}_A$）をもつとする。$f$ は平行対 $\mathrm{id}_B,\ f\circ r\colon B\to B$ の等化子である。実際 $(f\circ r)\circ f=f\circ(r\circ f)=f=\mathrm{id}_B\circ f$ である。$g\colon T\to B$ が $f\circ r\circ g=g$ を満たせば $h:=r\circ g$ について $f\circ h=g$ であり、$f\circ h=f\circ h'=g$ なら $h=r\circ f\circ h=r\circ g=r\circ f\circ h'=h'$ なので $h$ は一意である。
正則 ⇒ モノ：$f$ を $u,v\colon B\to C$ の等化子とし、$a,b\colon T\to A$ が $f\circ a=f\circ b$ を満たすとする。$g:=f\circ a$ は $u\circ g=u\circ f\circ a=v\circ f\circ a=v\circ g$ を満たすので、$g=f\circ h$ となる $h$ はただ一つである。$a$ と $b$ はどちらもこの条件を満たすので $a=b$ である。$\square$

$f$ を $u,v\colon B\to C$ の等化子とする。$u\circ f=v\circ f$ で $f$ はエピ射なので $u=v$ である。すると $\mathrm{id}_B$ は $u\circ\mathrm{id}_B=v\circ\mathrm{id}_B$ を満たすので、等化子の普遍性により $f\circ h=\mathrm{id}_B$ となる $h\colon B\to A$ がある。さらに $f\circ(h\circ f)=f=f\circ\mathrm{id}_A$ で $f$ はモノ射（prop-monomorphism-split-regular）だから $h\circ f=\mathrm{id}_A$ であり、$h$ は $f$ の逆射である。$\square$