通過領域と包絡線

段 1（見方を変える）。点 $(X,Y)$ が通過領域に入るのは、「$(X,Y)$ を通る $\ell_t$ がある」とき、つまり
$$ Y=2tX-t^2 $$
を満たす実数 $t$ があるときである。ここでは $X$、$Y$ を定数とみて、この式を $t$ の方程式として読む。
段 2（$t$ の 2 次方程式）。移項すると $t^2-2Xt+Y=0$ である。実数解をもつ条件は、判別式について
$$ \frac D4=X^2-Y\ge0,\qquad\text{つまり}\qquad Y\le X^2 $$
である。
段 3（答え）。通過領域は $y\le x^2$、つまり放物線 $y=x^2$ とその下側である（図 1）。
段 4（2 点で確かめる）。点 $(1,0)$ では $t^2-2t=0$ で $t=0,2$ があり、たとえば $\ell_0$：$y=0$ が $(1,0)$ を通る。点 $(0,1)$ では $t^2+1=0$ で実数解がなく、どの $\ell_t$ も $(0,1)$ を通らない。実際 $1>0^2$ である。

同じ直線 $\ell_t$ の通過領域を、別の見方で求める。
段 1（縦の直線で切る）。$x=X$ を固定する。直線 $\ell_t$ と縦の直線 $x=X$ の交点の $y$ 座標は $2tX-t^2$ である。$t$ を動かしたときにこの値がとる範囲が、通過領域を縦の直線 $x=X$ で切った部分である。
段 2（$t$ の 2 次関数の値の範囲）。平方完成すると
$$ 2tX-t^2=-(t-X)^2+X^2 $$
で、$t$ がすべての実数を動くとき、最大値は $t=X$ でとる $X^2$、最小値はない（いくらでも小さくなる）。値の範囲は $y\le X^2$ である（2次関数の最大・最小）。
段 3（答え）。$X$ を動かすと、通過領域は $y\le x^2$ である。ex-swp-hs-t と同じ答えになる。

$y=x^2$ を微分すると $y'=2x$ なので、点 $(t,t^2)$ での接線の傾きは $2t$ である。接線の式は
$$ y=2t(x-t)+t^2=2tx-t^2 $$
で、ちょうど $\ell_t$ である。

$t$ をすべての実数にわたって動かすとき、直線 $\ell_t$：$x\cos t+y\sin t=1$ の通過領域を求める。$\ell_t$ は単位円 $x^2+y^2=1$ の点 $(\cos t,\sin t)$ での接線である（円と直線の位置関係）。
段 1（$t$ の方程式）。点 $(X,Y)$ を固定する。$(X,Y)=(0,0)$ なら左辺は $0$ で、方程式は成り立たない。$(X,Y)\ne(0,0)$ なら、$\rho=\sqrt{X^2+Y^2}>0$ とおき、$X=\rho\cos\alpha$、$Y=\rho\sin\alpha$ となる $\alpha$ をとると、三角関数の合成により
$$ X\cos t+Y\sin t=\rho(\cos\alpha\cos t+\sin\alpha\sin t)=\rho\cos(t-\alpha) $$
である（加法定理から積和・和積・合成・正接の公式を導く）。
段 2（解をもつ条件）。方程式は $\cos(t-\alpha)=\dfrac1\rho$ で、$\cos$ の値の範囲は $-1$ 以上 $1$ 以下なので、実数解 $t$ があることは $\dfrac1\rho\le1$、つまり $\rho\ge1$ と同値である。
段 3（答え）。通過領域は $x^2+y^2\ge1$、つまり単位円とその外側である。たとえば $(2,0)$ は $\cos t=\dfrac12$、$t=\dfrac\pi3$ の接線 $\dfrac12x+\dfrac{\sqrt3}2y=1$ の上にある（$1+0=1$）。境界の単位円には、族のすべての直線が接している。
段 4（通る直線の本数）。$\rho>1$ なら $\cos(t-\alpha)=\dfrac1\rho$ は $0\le t-\alpha<2\pi$ の範囲に解を 2 つもつので、円の外の点を通る接線は 2 本である。その 2 つの接点を結ぶ直線は $X x+Y y=1$ で、点 $(X,Y)$ の極線である（円の接線と極線）。

ex-swp-hs-t の直線 $\ell_t$：$y=2tx-t^2$ で、$t$ を $0\le t\le1$ に限ったときの通過領域を、thm-swp-region の 2（$x$ を固定する方法）で求める。
段 1（関数）。$x=X$ を固定し、$h(t)=2tX-t^2=-(t-X)^2+X^2$（$0\le t\le1$）の値の範囲を求める。$h$ は上に凸の 2 次関数で、軸は $t=X$ である。区間の両端の値は $h(0)=0$、$h(1)=2X-1$ である。
段 2（最大値）。軸が区間の中にある（$0\le X\le1$）なら、最大値は頂点の値 $X^2$ である。軸が区間の左（$X<0$）なら、区間で $h$ は減少するので最大値は $h(0)=0$、軸が区間の右（$X>1$）なら、区間で $h$ は増加するので最大値は $h(1)=2X-1$ である。
段 3（最小値）。上に凸の 2 次関数の閉区間での最小値は、軸から遠いほうの端でとる（2次関数の最大・最小）。つまり $h(0)=0$ と $h(1)=2X-1$ の小さいほうで、$X\le\dfrac12$ なら $2X-1$、$X\ge\dfrac12$ なら $0$ である。
段 4（値の範囲）。$h$ は連続なので、値の範囲は最小値から最大値までのすべての数である。まとめると、通過領域は次のとおりである（図 2）。

段 5（境界）。境界は、直線 $y=0$（$\ell_0$）、直線 $y=2x-1$（$\ell_1$）、放物線の弧 $y=x^2$（$0\le x\le1$）でできている。$t$ がすべての実数を動くときの境界（放物線全体）とは違い、区間の端の $t=0$、$t=1$ の直線そのものが境界に現れる。
段 6（1 点を $t$ の方程式で確かめる）。点 $\left(-1,-2\right)$ は表の 1 行目から通過領域に入る（$-3\le-2\le0$）。$t$ の方程式は $t^2-2Xt+Y=t^2+2t-2=0$ で、解は $t=-1\pm\sqrt3$ である。そのうち $-1+\sqrt3\approx0.73$ は $0\le t\le1$ に入る。点 $\left(-1,\dfrac12\right)$ は通過領域に入らない（$\dfrac12>0$）。$t^2+2t+\dfrac12=0$ の解は $t=-1\pm\dfrac1{\sqrt2}$ で、どちらも負である。

$0< t<1$ に対して、$x$ 切片が $t$、$y$ 切片が $1-t$ の直線
$$ \ell_t:\ \frac xt+\frac y{1-t}=1 $$
の通過領域を求める。
段 1（$t$ の方程式）。両辺に $t(1-t)$（$0< t<1$ なので正）を掛けると $(1-t)x+ty=t(1-t)$ で、展開して $t$ について整理すると
$$ h(t)=t^2+(y-x-1)t+x=0 $$
となる。点 $(X,Y)$ が通過領域に入るのは、$h(t)=t^2+(Y-X-1)t+X=0$ が $0< t<1$ に解をもつときである（thm-swp-region の 1）。区間の端の値は $h(0)=X$、$h(1)=1+Y-X-1+X=Y$ である。
段 2（$X$、$Y$ の符号が逆のとき）。$XY<0$ なら $h(0)$ と $h(1)$ の符号が逆で、$h$ は連続なので $0< t<1$ に解がある（中間値の定理。解の配置）。第 2 象限と第 4 象限の点はすべて通過領域に入る。
段 3（$X<0$ かつ $Y<0$ のとき）。$h(0)<0$、$h(1)<0$ である。$h$ は下に凸の 2 次関数なので、$0\le t\le1$ で $h(t)$ は両端の値の大きいほう以下、つまり負で、解はない（下に凸の関数の区間での値は、両端の値を結ぶ線分より下にある）。第 3 象限の点は通過領域に入らない。
段 4（$X>0$ かつ $Y>0$ のとき）。$h(0)>0$、$h(1)>0$ なので、$0< t<1$ に解があるのは、2 つの解がともにこの区間の中にあるときで、その条件は「判別式 $\ge0$」かつ「軸が区間の中」である（解の配置 の、2 つの解がともに区間の中にある条件）。軸は $t=\dfrac{X+1-Y}2$ なので、軸の条件は $0< X+1-Y<2$、つまり $|X-Y|<1$ である。判別式の条件は $(X+1-Y)^2\ge4X$ で、軸の条件から $X+1-Y>0$ なので、両辺の正の平方根をとって
$$ X+1-Y\ge2\sqrt X,\qquad\text{つまり}\qquad Y\le(1-\sqrt X)^2 $$
である。$\sqrt X\le1$ なら、これは $\sqrt Y\le1-\sqrt X$、つまり $\sqrt X+\sqrt Y\le1$ である。$\sqrt X>1$ なら、これは $\sqrt Y\le\sqrt X-1$ となるが、そのとき $X-Y=(\sqrt X-\sqrt Y)(\sqrt X+\sqrt Y)\ge1\cdot(\sqrt X+\sqrt Y)>1$ となって軸の条件に反する。逆に $\sqrt X+\sqrt Y\le1$ なら $|X-Y|=|\sqrt X-\sqrt Y|(\sqrt X+\sqrt Y)\le|\sqrt X-\sqrt Y|<1$ で軸の条件も満たす（$\sqrt X$、$\sqrt Y$ はどちらも正で $1$ 未満なので、その差の絶対値は $1$ 未満）。よって第 1 象限では、通過領域は $\sqrt x+\sqrt y\le1$ の部分である。
段 5（座標軸の上）。$X=0$ なら $h(t)=t(t+Y-1)$ で、解は $0$ と $1-Y$ である。$0<1-Y<1$、つまり $0< Y<1$ のときだけ区間に解がある。$Y=0$ なら $h(t)=t^2-(X+1)t+X=(t-1)(t-X)$ で、$0< X<1$ のときだけ区間に解がある。
段 6（答え）。通過領域は、第 2 象限と第 4 象限の全体、第 1 象限の $\sqrt x+\sqrt y\le1$ の部分、座標軸の上の $0< y<1$（$x=0$）と $0< x<1$（$y=0$）の部分を合わせたものである（図 3）。
段 7（数で確かめる）。点 $\left(\dfrac19,\dfrac19\right)$（$\dfrac13+\dfrac13<1$）では $h(t)=t^2-t+\dfrac19$ で、解は $t=\dfrac12\pm\dfrac{\sqrt5}6\approx0.127,\ 0.873$ とどちらも区間の中にある。点 $\left(\dfrac14,\dfrac14\right)$（$\dfrac12+\dfrac12=1$）では $h(t)=t^2-t+\dfrac14=\left(t-\dfrac12\right)^2$ で、重解 $t=\dfrac12$ である。第 2 象限の点 $(-1,1)$ では $h(t)=t^2+t-1$ で、解 $t=\dfrac{-1+\sqrt5}2\approx0.618$ が区間の中にある。

ex-swp-hs-t の $\ell_t$：$t^2-2xt+y=0$ では $B=-2x$、$C=y$ で
$$ D=4x^2-4y=4(x^2-y) $$
である。
(1) thm-swp-envelope の 1 から通過領域は $x^2-y\ge0$、つまり $y\le x^2$ で、ex-swp-hs-t と一致する。
(2) $\ell_s$ の上で $D=0$ となる点は $B=-2s$、つまり $-2x=-2s$、$x=s$ の点で、$\ell_s$ の式から $y=2s\cdot s-s^2=s^2$、点は $(s,s^2)$ である。$\ell_s$ の上では $y=2sx-s^2$ なので $D=4(x^2-2sx+s^2)=4(x-s)^2$ で、たしかに $x=s$ で重解をもつ。
(3) 曲線 $D=0$ は $y=x^2$ で、点 $(s,s^2)$ での接線の傾きは $2s$、接線は $y=2s(x-s)+s^2=2sx-s^2$、つまり $\ell_s$ である。$s$ はすべての実数を動くので、$y=x^2$ のすべての点が接点になる。$y=x^2$ は族 $\ell_t$ の包絡線である。

ex-swp-ladder の $\ell_t$：$t^2+(y-x-1)t+x=0$（$0< t<1$）では $B=y-x-1$、$C=x$ で
$$ D=(y-x-1)^2-4x $$
である。
段 1（接点）。$\ell_s$ の上で $D=0$ となる点は $B=-2s$ の点である。点 $(s^2,(1-s)^2)$ を確かめると、$B=(1-s)^2-s^2-1=1-2s+s^2-s^2-1=-2s$ で、$\ell_s$ の式 $(1-s)x+sy=s(1-s)$ の左辺は $(1-s)s^2+s(1-s)^2=s(1-s)\{s+(1-s)\}=s(1-s)$ で成り立つ。$\ell_s$ の上で $B$ は一定でない（$\ell_s$ の方向ベクトル $(s,-(1-s))$ の向きに進むと、$B=y-x-1$ は $-(1-s)-s=-1$ ずつ変わる）ので、thm-swp-envelope の 3 により、接点はこの 1 点だけである。
段 2（曲線）。$x=s^2$、$y=(1-s)^2$（$0< s<1$）から $\sqrt x=s$、$\sqrt y=1-s$ なので、接点は曲線 $\sqrt x+\sqrt y=1$、つまり $y=(1-\sqrt x)^2$（$0< x<1$）の上を動く。
段 3（接することを微分で確かめる）。$\varphi(x)=(1-\sqrt x)^2$ とすると $\varphi'(x)=2(1-\sqrt x)\cdot\left(-\dfrac1{2\sqrt x}\right)=-\dfrac{1-\sqrt x}{\sqrt x}$ で、$x=s^2$ では $-\dfrac{1-s}s$ である。直線 $\ell_s$ は $y=(1-s)\left(1-\dfrac xs\right)$ なので傾きは $-\dfrac{1-s}s$ で、一致する。$\ell_s$ は点 $(s^2,(1-s)^2)$ を通り、そこでの接線と傾きが等しいので、その点での接線である。曲線 $\sqrt x+\sqrt y=1$（$0< x<1$）は族の包絡線である（図 3）。
段 4（曲線の正体）。$D=0$ を展開すると $x^2-2xy+y^2-2x-2y+1=0$ で、2 次の部分は $(x-y)^2$ である。曲線 $D=0$ は、直線 $y=x$ を軸とする放物線で、$\sqrt x+\sqrt y=1$ はその一部（両方の座標軸に接する弧）である。

直線 $\ell_t$：$y=x+t$（$t$ はすべての実数）。点 $(X,Y)$ を固定すると、$t$ の方程式は $t=Y-X$ で、いつもただ 1 つの解をもつ。通過領域は平面全体で、境界はない。$t$ の方程式が 1 次式なので重解が起こらず、包絡線に向かって直線が集まることもない。

直線 $\ell_t$：$y-1=t(x-2)$（$t$ はすべての実数）。点 $(X,Y)$ を固定すると、$t$ の方程式は $(X-2)t=Y-1$ である。

• $X\ne2$ なら $t=\dfrac{Y-1}{X-2}$ とただ 1 つの解がある。
• $X=2$ なら方程式は $0=Y-1$ で、$Y=1$ のときはすべての $t$ が解、$Y\ne1$ のときは解がない。
  通過領域は「平面から直線 $x=2$ を除き、点 $(2,1)$ を加えたもの」である。境界の直線 $x=2$ はどの $\ell_t$ にも接しておらず、包絡線ではない。$x=2$ は、2曲線の交点を通る図形（束） で見た「$f+kg=0$ の形から漏れる $g=0$ 自身」にあたる。実際、$\ell_t$ は $(y-1)-t(x-2)=0$ と書け、$f=y-1$、$g=x-2$ の束のうち $g=0$ だけが族に入っていない。点 $(2,1)$ は、すべての $\ell_t$ が通る点（$k$ によらず通る点）である。

曲線 $y=x^3$ の点 $(t,t^3)$ での接線は、傾きが $3t^2$ なので
$$ \ell_t:\ y=3t^2(x-t)+t^3=3t^2x-2t^3 $$
である。$y=x^3$ は、定義により族 $\ell_t$（$t$ はすべての実数）の包絡線である。
通過領域を求める。点 $(X,Y)$ を固定すると、$t$ の方程式は $2t^3-3Xt^2+Y=0$ で、3 次方程式である。$p(t)=2t^3-3Xt^2+Y$ は $t$ を大きくすると限りなく大きく、$t$ を小さくすると限りなく小さくなる（最高次の項 $2t^3$ が他の項より速く大きくなる）ので、正の値と負の値の両方をとり、中間値の定理により実数解をもつ（解の配置）。したがって通過領域は平面全体で、包絡線 $y=x^3$ は通過領域の境界ではない（図 4）。
曲線 $y=x^3$ の上側でも下側でも、点を通る接線がある。たとえば $(0,1)$ を通る接線は $2t^3+1=0$ から $t=-\dfrac1{\sqrt[3]2}$ のもの、$(0,-1)$ を通る接線は $t=\dfrac1{\sqrt[3]2}$ のものである。放物線の場合（ex-swp-envelope-parabola）と違うのは、$y=x^3$ が $x=0$ の前後で凹凸が変わり、接線が曲線の両側に出ることである（3次関数のグラフ）。