円分体

要点：$x\notin\mathbb{Z}[\alpha]$ なら、Eisenstein 性を使って $c\,\alpha^{m-1}/p$（$p\nmid c$）の形の代数的整数が作れるが、そのノルムの $p$ 進付値は $-1$ になって整数でない。

要点：$x\in\mathcal{O}_{K_1K_2}$ を $\sum_{i,j}c_{ij}\alpha_i\beta_j$ と書くと、$K_2$ 上の埋め込みで Cramer の公式を使って $d_1c_{ij}\in\mathbb{Z}$、対称に $d_2c_{ij}\in\mathbb{Z}$ が分かり、$\gcd(d_1,d_2)=1$ から $c_{ij}\in\mathbb{Z}$ となる。判別式は埋め込みの行列が Kronecker 積になることから計算できる。

1。 原始 $p^k$ 乗根は $X^{p^k}-1$ の根のうち $X^{p^{k-1}}-1$ の根でないものなので、$(X^{p^{k-1}}-1)\,\Phi_{p^k}(X)=X^{p^k}-1$ である。$X$ に $X+1$ を代入して係数を法 $p$ で還元すると、$\mathbb{F}_p[X]$ では $(X+1)^{p^j}=X^{p^j}+1$ なので $X^{p^{k-1}}\,\bar\Phi_{p^k}(X+1)=X^{p^k}$ となり、$\mathbb{F}_p[X]$ は整域だから $\bar\Phi_{p^k}(X+1)=X^{\varphi(p^k)}$ である。よって最高次以外の係数は $p$ で割り切れる。定数項は $\Phi_{p^k}(1)$ で、$\Phi_{p^k}(X)=\Phi_p(X^{p^{k-1}})=\sum_{j=0}^{p-1}X^{jp^{k-1}}$ から $\Phi_{p^k}(1)=p$ である。既約性は 既約多項式 の記事の定理「Eisenstein の判定法」による。
2。 $p=\Phi_{p^k}(1)=\prod_a(1-\zeta^a)$（$a$ は $1\le a\le p^k$、$p\nmid a$）である。各 $a$ について $(1-\zeta^a)/(1-\zeta)=1+\zeta+\dots+\zeta^{a-1}\in\mathbb{Z}[\zeta]$ であり、$ab\equiv1\pmod{p^k}$ となる $b$ をとると $\zeta=(\zeta^a)^b$ から $(1-\zeta)/(1-\zeta^a)=1+\zeta^a+\dots+\zeta^{a(b-1)}\in\mathbb{Z}[\zeta]$ でもある。よって $(1-\zeta^a)/(1-\zeta)$ は単元で、$p=\lambda^{\varphi(p^k)}\prod_a\frac{1-\zeta^a}{1-\zeta}$ である。
3。 $(X^{p^{k-1}}-1)\Phi_{p^k}(X)=X^{p^k}-1$ を微分して $X=\zeta$ を代入すると $(\zeta^{p^{k-1}}-1)\,\Phi_{p^k}'(\zeta)=p^k\zeta^{p^k-1}$ である。$\eta:=\zeta^{p^{k-1}}$ は $1$ の原始 $p$ 乗根で、ノルムの推移性（MilFT Proposition 5.48）から
$$ N_{K/\mathbb{Q}}(\eta-1)=N_{\mathbb{Q}(\eta)/\mathbb{Q}}(\eta-1)^{p^{k-1}}=\bigl(\pm\Phi_p(1)\bigr)^{p^{k-1}}=\pm p^{p^{k-1}} $$
である。$N(\zeta)=\pm1$、$N(p^k)=p^{k\varphi(p^k)}$ なので $N(\Phi_{p^k}'(\zeta))=\pm p^{k\varphi(p^k)-p^{k-1}}$ で、$k\varphi(p^k)-p^{k-1}=p^{k-1}(pk-k-1)$ である。最初の段落の公式から 3 が従う。
4。 3 により $\mathcal{O}_K/\mathbb{Z}[\zeta]$ は $p$ の冪で消える有限群である。これが $0$ でなければ位数 $p$ の元、すなわち $x\in\mathcal{O}_K\setminus\mathbb{Z}[\zeta]$ で $px\in\mathbb{Z}[\zeta]$ となるものがある。$\zeta-1$ の最小多項式 $\Phi_{p^k}(X+1)$ は 1 により Eisenstein 多項式で、$\mathbb{Z}[\zeta-1]=\mathbb{Z}[\zeta]$ なので、lem-cyc-eisenstein-index に反する。
5。 4 と、$\Phi_{p^k}$ が $\zeta$ の最小多項式であることから $\mathcal{O}_K=\mathbb{Z}[\zeta]\cong\mathbb{Z}[X]/(\Phi_{p^k})$ で、
$$ \mathcal{O}_K/\lambda\mathcal{O}_K\cong\mathbb{Z}[X]/(\Phi_{p^k}(X),\,1-X)\cong\mathbb{Z}/\Phi_{p^k}(1)\mathbb{Z}=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} $$
は体なので、$\lambda\mathcal{O}_K$ は素イデアルである。2 から $p\mathcal{O}_K=(\lambda\mathcal{O}_K)^{\varphi(p^k)}$ である。$\square$

$n$ の相異なる素因数の個数 $r$ についての帰納法で示す。$r=0$ なら $n=1$ で $\mathbb{Z}[\zeta_1]=\mathbb{Z}$ である。$r\ge1$ とし、$n=p^km$（$k\ge1$、$p\nmid m$）と書く。$K_1:=\mathbb{Q}(\zeta_m)$、$K_2:=\mathbb{Q}(\zeta_{p^k})$ とおく。

• 帰納法の仮定により $\mathcal{O}_{K_1}=\mathbb{Z}[\zeta_m]$、prop-cyc-prime-power の 4 により $\mathcal{O}_{K_2}=\mathbb{Z}[\zeta_{p^k}]$ で、それぞれ $\zeta$ の冪を基底にもつ。
• $\zeta_m\zeta_{p^k}$ は $1$ の原始 $n$ 乗根（位数は互いに素な $m$ と $p^k$ の積）なので $K_1K_2=\mathbb{Q}(\zeta_n)$ で、次数は $\varphi(n)=\varphi(m)\varphi(p^k)$（中国剰余定理 の記事の系「Euler関数の乗法性」）である。
• 基底の判別式は互いに素である。$K_2$ 側は prop-cyc-prime-power の 3 により $p$ の冪である。$K_1$ 側は $d(\zeta_m)=\pm N(\Phi_m'(\zeta_m))$ で、$X^m-1=\Phi_m(X)h(X)$（$h=\prod_{d\mid m,d< m}\Phi_d\in\mathbb{Z}[X]$）を微分して $X=\zeta_m$ を代入すると $m\zeta_m^{m-1}=\Phi_m'(\zeta_m)h(\zeta_m)$ なので、整数 $N(\Phi_m'(\zeta_m))$ は $N(m\zeta_m^{m-1})=\pm m^{\varphi(m)}$ を割り切り、$p$ と互いに素である。
  lem-cyc-compositum により $\mathcal{O}_{\mathbb{Q}(\zeta_n)}$ は $\zeta_m^i\zeta_{p^k}^j$ たちで生成され、これらは $\mathbb{Z}[\zeta_n]$ に属する（$\zeta_m$、$\zeta_{p^k}$ は $\zeta_n$ の冪）。逆の包含 $\mathbb{Z}[\zeta_n]\subset\mathcal{O}$ は明らかである。$\square$

thm-cyc-ring-of-integers により $d_K=d(\zeta_n)=(-1)^{\varphi(\varphi-1)/2}N(\Phi_n'(\zeta_n))$（$\varphi=\varphi(n)$）である。
符号。 $n\ge3$ なら原始 $n$ 乗根に実数はなく、複素共役は原始 $n$ 乗根を $\zeta^a\leftrightarrow\zeta^{-a}$ と組にする。$\Phi_n'$ は実数係数なので、$N(\Phi_n'(\zeta_n))=\prod_a\Phi_n'(\zeta_n^a)$ は $|\Phi_n'(\zeta_n^a)|^2$ たちの積で正である。$\varphi$ は偶数なので $\varphi(\varphi-1)/2\equiv\varphi/2\pmod2$ であり、$d_K$ の符号は $(-1)^{\varphi/2}$ である。
絶対値。 右辺の絶対値を $D(n)$ とおくと、$n=p^k$ では prop-cyc-prime-power の 3 に一致し、$n=p^km$（$p\nmid m$）では lem-cyc-compositum の判別式の式と $D(n)=D(m)^{\varphi(p^k)}D(p^k)^{\varphi(m)}$ から、素因数の個数についての帰納法で $|d_K|=D(n)$ となる。最後の主張は 差積と分岐 の記事の系「Dedekindの判別式定理」による。$\square$

段 1：$p\nmid n$ の場合。 thm-cyc-ring-of-integers により $\mathcal{O}_K=\mathbb{Z}[\zeta]\cong\mathbb{Z}[X]/(\Phi_n)$ なので
$$ \mathcal{O}_K/p\mathcal{O}_K\cong\mathbb{F}_p[X]/(\bar\Phi_n) $$
である（$\bar\Phi_n$ は係数を法 $p$ で還元したもの）。$X^n-1$ の導関数 $nX^{n-1}$ は $\mathbb{F}_p$ 上 $X^n-1$ と共通根をもたない（$p\nmid n$ なので $\mathbb{F}_p$ で $n\cdot1\ne0$）ので、$X^n-1$ は $\overline{\mathbb{F}_p}$ で重根をもたず、その約数 $\bar\Phi_n$ も重根をもたない。よって $\bar\Phi_n=\bar g_1\cdots\bar g_r$ は相異なるモニック既約多項式の積で、中国剰余定理 の記事の定理「可換環における中国剰余定理」により
$$ \mathcal{O}_K/p\mathcal{O}_K\cong\prod_{i=1}^r\mathbb{F}_p[X]/(\bar g_i) $$
は有限体の直積である。
各 $\bar g_i$ の次数は $f=\operatorname{ord}_n(p)$ である。 $\bar\Phi_n$ の $\overline{\mathbb{F}_p}$ における根 $\eta$ は乗法的位数がちょうど $n$ である。実際 $\eta^n=1$ で、位数が $d< n$ なら $\eta$ は $X^d-1=\prod_{d'\mid d}\Phi_{d'}$ のある $\bar\Phi_{d'}$（$d'\le d< n$）の根にもなり、$X^n-1=\prod_{d\mid n}\bar\Phi_d$ の重根になって矛盾する。$\mathbb{F}_p(\eta)$ の元の個数を $p^{f'}$ とすると、$\eta\in\mathbb{F}_{p^{j}}$ は $\eta^{p^j-1}=1$、すなわち $n\mid p^j-1$ と同値なので（有限体 の記事の系「有限体における $x^q=x$」と、同記事の命題「有限体の部分体」による $\overline{\mathbb{F}_p}$ の中の $\mathbb{F}_{p^j}$ の一意性）、$f'=\operatorname{ord}_n(p)$ である。$\bar g_i$ は $\eta$ の最小多項式の 1 つなので $\deg\bar g_i=[\mathbb{F}_p(\eta):\mathbb{F}_p]=f$ で、$r=\varphi(n)/f$ である。
イデアルへの翻訳。 $p$ を含む $\mathcal{O}_K$ の極大イデアルは $\mathcal{O}_K/p\mathcal{O}_K$ の極大イデアルと 1 対 1 に対応し、体の直積 $\prod_i F_i$ の極大イデアルは「第 $i$ 成分が $0$」の $r$ 個だけである。よって $p$ の上の素イデアルはちょうど $r$ 個 $\mathfrak{P}_1,\dots,\mathfrak{P}_r$ で、$\mathcal{O}_K/\mathfrak{P}_i\cong\mathbb{F}_p[X]/(\bar g_i)$ は $p^f$ 個の元をもつ。$p\mathcal{O}_K=\prod_i\mathfrak{P}_i^{e_i}$ と書くと、$e_i=1$ である。実際 $e_1\ge2$ なら、素イデアル分解の一意性から $p\mathcal{O}_K\subsetneq\mathfrak{P}_1^{e_1-1}\prod_{i\ge2}\mathfrak{P}_i^{e_i}$ なので右辺の元 $y\notin p\mathcal{O}_K$ がとれ、$y^2\in\mathfrak{P}_1^{2e_1-2}\prod_{i\ge2}\mathfrak{P}_i^{2e_i}\subset p\mathcal{O}_K$（$2e_1-2\ge e_1$）となって、体の直積 $\mathcal{O}_K/p\mathcal{O}_K$ に $0$ でない冪零元 $\bar y$ があることになり矛盾する。以上で 1 が示された。
段 2：$p\mid n$ の場合。 要点：$\mathbb{Q}(\zeta_{p^k})$ 由来の完全分岐から $e\ge\varphi(p^k)$、$\mathbb{Q}(\zeta_m)$ 由来の不分岐な部分から $f\ge\operatorname{ord}_m(p)$ と素イデアルの個数 $\ge g$ が分かり、分岐指数と剰余次数の関係式 $\sum e_if_i=\varphi(n)$ ですべて等号になる。
関係式。$p\mathcal{O}_K=\prod_{i=1}^s\mathfrak{Q}_i^{e_i}$、$f_i:=f(\mathfrak{Q}_i|p)$ とすると、$\mathcal{O}_K$ は階数 $\varphi(n)$ の自由 $\mathbb{Z}$ 加群なので $|\mathcal{O}_K/p\mathcal{O}_K|=p^{\varphi(n)}$ であり、差積と分岐 の記事の補題「指数の乗法性」により $|\mathcal{O}_K/p\mathcal{O}_K|=\prod_i|\mathcal{O}_K/\mathfrak{Q}_i|^{e_i}=p^{\sum_ie_if_i}$ である。よって $\sum_ie_if_i=\varphi(n)$ である。
分岐指数。$\lambda:=1-\zeta_{p^k}\in\mathcal{O}_K$ とすると、prop-cyc-prime-power の 2 により $p=u\lambda^{\varphi(p^k)}$（$u$ は単元）である。$p\in\mathfrak{Q}_i$ から $\lambda\in\mathfrak{Q}_i$ なので、$e_i=v_{\mathfrak{Q}_i}(p)=\varphi(p^k)\,v_{\mathfrak{Q}_i}(\lambda)\ge\varphi(p^k)$ である。
剰余次数。$\zeta_m$ の像は $\mathcal{O}_K/\mathfrak{Q}_i$ の中で位数がちょうど $m$ である。実際 $\prod_{\eta^m=1,\eta\ne1}(1-\eta)=m$ で $m\notin\mathfrak{Q}_i$（$\mathfrak{Q}_i\cap\mathbb{Z}=p\mathbb{Z}$、$p\nmid m$）なので、$1$ でない $1$ の $m$ 乗根は $\mathfrak{Q}_i$ を法として $1$ にならない。段 1 と同じ理由で、位数 $m$ の元を含む $\mathbb{F}_p$ の有限次拡大の次数は $\operatorname{ord}_m(p)$ 以上なので、$f_i\ge f$ である。
素イデアルの個数。段 1 を $\mathbb{Q}(\zeta_m)$ に使うと、$\mathcal{O}_{\mathbb{Q}(\zeta_m)}$ には $p$ の上の素イデアル $\mathfrak{q}_1,\dots,\mathfrak{q}_g$ がある。$A:=\mathcal{O}_{\mathbb{Q}(\zeta_m)}$ と書く。各 $\mathfrak{q}_j$ について $\mathfrak{q}_j\mathcal{O}_K\ne\mathcal{O}_K$ である。実際、$\mathfrak{q}_j^{-1}=A$ なら $A=\mathfrak{q}_j\mathfrak{q}_j^{-1}=\mathfrak{q}_j$ となるので、$x\in\mathfrak{q}_j^{-1}\setminus A$ がとれ、$x\mathfrak{q}_j\subset A$ である。もし $\mathfrak{q}_j\mathcal{O}_K=\mathcal{O}_K$ なら $x\mathcal{O}_K=x\mathfrak{q}_j\mathcal{O}_K\subset A\mathcal{O}_K=\mathcal{O}_K$ から $x\in\mathcal{O}_K\cap\mathbb{Q}(\zeta_m)=A$ となり、矛盾する。よって $\mathfrak{q}_j\mathcal{O}_K$ を含む素イデアル $\mathfrak{Q}$ があり、$\mathfrak{Q}\cap\mathcal{O}_{\mathbb{Q}(\zeta_m)}$ は $\mathfrak{q}_j$ を含む素イデアルなので $\mathfrak{q}_j$ に等しい（$\mathfrak{q}_j$ は極大）。$j$ が異なれば $\mathfrak{Q}$ も異なるので、$s\ge g$ である。
結論。$\varphi(n)=\sum_{i=1}^se_if_i\ge s\,\varphi(p^k)f\ge g\,\varphi(p^k)f=\varphi(m)\varphi(p^k)=\varphi(n)$ なので、すべて等号で、$s=g$、$e_i=\varphi(p^k)$、$f_i=f$ である。
段 3：2 と 3。 3：$p$ が分岐するのは $\varphi(p^k)>1$ のときで、これは $k\ge1$ かつ $(p,k)\ne(2,1)$、すなわち $p\mid n$ で「$p=2$ かつ $n\equiv2\pmod4$」でないことと同値である。2：$p\nmid n$ なら、素イデアルの個数 $\varphi(n)/\operatorname{ord}_n(p)$ が $\varphi(n)$ に等しいのは $\operatorname{ord}_n(p)=1$、すなわち $p\equiv1\pmod n$ のときに限る。$p\mid n$ なら $p\equiv1\pmod n$ ではなく、素イデアルの個数 $g=\varphi(m)/f$ は $\varphi(n)$ より小さい。実際 $\varphi(p^k)>1$ なら $g\le\varphi(m)<\varphi(n)$ であり、$\varphi(p^k)=1$（$p=2$、$n=2m$、$m$ は奇数）なら $n\ge3$ から $m\ge3$ で、$2\not\equiv1\pmod m$ より $f\ge2$、$g<\varphi(m)=\varphi(n)$ である。$\square$

$x=\sum_ia_i\zeta^i$（$a_i\in\mathbb{Z}$）と書く（thm-cyc-ring-of-integers）。$\mathcal{O}_K/p\mathcal{O}_K$ は標数 $p$ の可換環なので $p$ 乗は和を保ち（二項定理 の記事の命題「$p$ 乗が和を保つこと」）、Fermat の小定理 $a_i^p\equiv a_i\pmod p$ から
$$ x^p\equiv\sum_ia_i^p\zeta^{ip}\equiv\sum_ia_i\zeta^{ip}=\sigma_p(x)\pmod{p\mathcal{O}_K} $$
である。$x\in\mathfrak{P}$ なら $\sigma_p(x)\equiv x^p\in\mathfrak{P}$ で、$p\mathcal{O}_K\subset\mathfrak{P}$ なので $\sigma_p(x)\in\mathfrak{P}$、すなわち $\sigma_p(\mathfrak{P})\subset\mathfrak{P}$ である。$\sigma_p(\mathfrak{P})$ は極大イデアルなので等号が成り立つ。剰余体での主張は合同式そのものである。$\sigma_p^j(\zeta)=\zeta^{p^j}$ なので $\sigma_p^j=\mathrm{id}$ は $p^j\equiv1\pmod n$ と同値で、位数は $\operatorname{ord}_n(p)$ であり、これは thm-cyc-decomposition の $f$ に等しい。$\square$

$K=\mathbb{Q}(\zeta_p)$ の埋め込みは $\sigma_a$（$1\le a\le p-1$）で、行列 $V=(\sigma_a(\zeta^j))_{a,j}=(\zeta^{aj})$（$0\le j\le p-2$）の成分は $K$ に属するので $\delta:=\det V\in K$ である。$\delta^2=d(\zeta)=d_K$ で、thm-cyc-discriminant により $d_K=(-1)^{(p-1)/2}p^{p-2}=p^*\cdot\bigl(p^{(p-3)/2}\bigr)^2$ である。よって $\sqrt{p^*}=\pm\delta/p^{(p-3)/2}\in K$ である。$\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q})\cong(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times$ は位数 $p-1$ の巡回群（有限体 の記事の定理「有限体の乗法群の構造」）なので、指数 $2$ の部分群はただ 1 つで、Galois 理論の基本定理（Galois理論）により 2 次部分体もただ 1 つである。$\square$