相対Euler列

1：別の基底を $e'_j=\sum_lg_{jl}e_l$（$(g_{jl})\in GL_r(A)$）とし、対応する変数を $x'_j=\sum_lg_{jl}x_l$、偏微分を $\partial'_j$ とする。$B=A[x'_1,\dots,x'_r]$ でもあり、$B$ の $A$ 導分の連鎖律 $\partial_l=\sum_j(\partial_lx'_j)\,\partial'_j=\sum_jg_{jl}\,\partial'_j$ が成り立つ（両辺は $A$ 導分で、各 $x'_k$ での値が等しい）。局所化への延長の一意性により、これは $B_h$ の上でも成り立つ。よって $\sum_l(\partial_lf)\,e_l=\sum_l\sum_jg_{jl}(\partial'_jf)\,e_l=\sum_j(\partial'_jf)\sum_lg_{jl}e_l=\sum_j(\partial'_jf)\,e'_j$ である。より小さいアフィン開集合 $U'=\operatorname{Spec}A'\subset U$ への制限と可換なことは、偏微分が係数ごとの操作で $A\to A'$ と可換なことによる。$D_+(hh')\subset D_+(h)$ への制限と可換なことは、偏微分の延長が局所化と可換なことによる。基本開集合は位相の基をなすので $\delta$ は層の射を定める。$\partial_j$ は $A$ 導分だから $\delta$ は Leibniz 則をみたし、$A$ の元を $0$ に送る。

2：$(q\otimes\mathrm{id})(\delta(f))=\sum_jx_j\,\partial_jf$ である。$f$ は次数 $0$ だから、Euler完全列 の補題「Euler の恒等式」によりこれは $0$ である。$\mathcal{O}(-1)$ は可逆なので、$\ker(q\otimes\mathrm{id})=\mathcal{K}(-1)$ である。$\square$

$\mathcal{F}''$ は局所自由なので、列は局所的に分裂し、$\mathcal{F}$ は局所的に $\mathcal{F}'\oplus\mathcal{F}''$ と同型で、階数 $a+b$ の局所自由層である。$\mathcal{F}'$ の局所切断 $s_1,\dots,s_a$ と $\mathcal{F}''$ の局所切断 $t_1,\dots,t_b$ について、$t_i$ の $\mathcal{F}$ への局所的な持ち上げ $\tilde t_i$ をとり、$(s_1\wedge\dots\wedge s_a)\otimes(t_1\wedge\dots\wedge t_b)\mapsto s_1\wedge\dots\wedge s_a\wedge\tilde t_1\wedge\dots\wedge\tilde t_b$ と定める。持ち上げを $\tilde t_i+v$（$v\in\mathcal{F}'$）に替えると、差の項は $s_1,\dots,s_a,v$ の $a+1$ 個の $\mathcal{F}'$ の元の外積を含み、$\wedge^{a+1}\mathcal{F}'=0$（$\mathcal{F}'$ は階数 $a$）だから $0$ である。多重線型性と交代性は明らかなので、持ち上げによらない射 $\det\mathcal{F}'\otimes\det\mathcal{F}''\to\det\mathcal{F}$ が定まり、貼り合わさる。$\mathcal{F}'$ の局所基底と $\mathcal{F}''$ の局所基底の持ち上げをあわせると $\mathcal{F}$ の局所基底になるので、この射は生成元を生成元に送り、同型である。後半は、$\mathcal{F}$ の局所基底 $f_1,\dots,f_{a+b}$ と $\mathcal{L}$ の局所生成元 $l$ について $(f_1\otimes l)\wedge\dots\wedge(f_{a+b}\otimes l)\mapsto(f_1\wedge\dots\wedge f_{a+b})\otimes l^{\otimes(a+b)}$ が基底の取り替えと両立することによる。$\square$

1：射影束 の命題「射影束の底変換」により $P_T\cong P\times_ST$ であり、$\mathcal{O}(1)$ と標準全射は引き戻しに対応する。局所座標では、$g^{-1}(U)$ のアフィン開集合 $\operatorname{Spec}A'$ の上で $\mathcal{E}_T$ は基底 $g^*e_j$ をもち、$P_T$ の局所座標の環は $B\otimes_AA'=A'[x_1,\dots,x_r]$ である。Kähler 微分は底変換と交換し（Kähler微分 の命題「底変換との交換」。$df\otimes1\mapsto d(f\otimes1)$）、偏微分 $\partial_j$ は係数ごとの操作なので $\partial_j(f\otimes1)=(\partial_jf)\otimes1$ である。したがって $\delta_T(f\otimes1)=h^*\delta(f)$、$\theta_T=h^*\theta$ であり、$q_T=h^*q$ である。

2：分裂するとし、$\sigma\colon\mathcal{O}_P\to(\pi^*\mathcal{E})(-1)$ を $(q\otimes\mathrm{id})\circ\sigma=\mathrm{id}$ となる射とする。点 $s\in S$ をとり、1 を $T=\operatorname{Spec}\kappa(s)\to S$ に当てる。$\mathcal{E}_T$ は階数 $r$ の自由層なので $P_T\cong\mathbb{P}^{r-1}_{\kappa(s)}$ であり、rem-res-conventions により引き戻した列は $\mathbb{P}^{r-1}_{\kappa(s)}$ の Euler完全列である。$h^*\sigma$ はその分裂を与えるが、Euler完全列 の命題「Euler完全列の拡大類」の 1（$\kappa(s)\ne0$、$r-1\ge1$）により Euler完全列は分裂しない。矛盾である。$\square$

$\pi$ は分離射なので、$\sigma(S)$ は $\mathrm{id}_P$ と $\sigma\circ\pi$ の一致点集合であり、$\sigma$ は閉埋め込みである（分離射 の命題「分離射への 2 つの射の一致点集合」）。第 2 基本完全列 $\mathcal{C}_{Z/P}\xrightarrow{\bar d}\Omega_{P/S}|_Z\to\Omega_{Z/S}\to0$（Har77 II Proposition 8.12、p. 176。Kähler微分 の命題「第2基本完全列」）があり、$Z\cong S$ なので $\Omega_{Z/S}=0$ である。$\bar d$ が同型であることを局所的に示す。点 $s\in S$ をとる。$u$ は全射で $\mathcal{L}$ は可逆なので、$s$ のアフィン近傍 $U=\operatorname{Spec}A$ と $\mathcal{E}|_U$ の基底 $e_1,\dots,e_r$ を、$u(e_1)$ が $\mathcal{L}|_U$ を生成するようにとれる。$\sigma^*x_1=u(e_1)$ がどこでも消えないので $\sigma(U)\subset D_+(x_1)=\operatorname{Spec}A[t_2,\dots,t_r]$ であり、$u(e_j)=c_ju(e_1)$（$c_j\in A$）とすると $\sigma$ は $t_j\mapsto c_j$ で定まる切断である。$y_j:=t_j-c_j$ とおくと $A[t_2,\dots,t_r]=A[y_2,\dots,y_r]$ で、$Z\cap D_+(x_1)=V(y_2,\dots,y_r)$、イデアル $J=(y_2,\dots,y_r)$ について $J/J^2$ は $y_j$ の類を基底とする自由 $A$ 加群である。$\bar d$ は $y_j$ の類を $dy_j|_Z=dt_j|_Z$ に送り、$dt_j$ は $\Omega_{P/S}$ の基底だから、$\bar d$ は基底を基底に送る同型である。よって $\mathcal{C}_{Z/P}\cong\sigma^*\Omega_{P/S}$ であり、prop-res-section と双対をとることで残りの同型を得る。$\square$