ユニタリ群

1：$\det$ は積を保ち、値は絶対値 $1$ である。$\det d(z)=z$ なので全射で、核は定義により $\mathrm{SU}(n)$ である。

2：$z:=\det A$、$B:=Ad(z)^{-1}$ とおくと $\det B=1$ なので $A=Bd(z)$ と書ける。$Bd(z)=B'd(z')$ なら行列式を比べて $z=z'$、すると $B=B'$ である。$\mathrm{SU}(n)$ は核として正規部分群で、$\mathrm{SU}(n)\cap d(\mathrm{U}(1))=\{I\}$ なので、これは半直積の分解である。

3：$\Phi$ の成分は行列の成分の多項式と、絶対値 $1$ の数の逆数 $z^{-1}=\bar z$ で書けるので連続である。逆写像は $(B,z)\mapsto Bd(z)$ で、これも連続である。

4：$zI$ はすべての行列と可換なので $\mu$ は準同型である。$A\in\mathrm{U}(n)$ に対し、$\zeta^n=\det A$ となる $\zeta\in\mathrm{U}(1)$ をとると $\det(\zeta^{-1}A)=1$ なので $A=\mu(\zeta,\zeta^{-1}A)$ であり、全射である。$\mu(z,B)=I$ なら $B=z^{-1}I$ で、$\det B=z^{-n}=1$ である。逆に $\zeta^n=1$ なら $\zeta^{-1}I\in\mathrm{SU}(n)$ である。$\square$

thm-ug-center により $Z(\mathrm{U}(n))=\{zI\mid z\in\mathrm{U}(1)\}$ であり、その元で $x^n=I$ を満たすものは $\zeta I$（$\zeta^n=1$）の $n$ 個である。直積の中心は中心の直積なので（群の中心 の命題「直積の中心」）、$Z(\mathrm{SU}(n)\times\mathrm{U}(1))=\{\zeta I\mid\zeta^n=1\}\times\mathrm{U}(1)$ であり、$x^n=1$ を満たす元は $n\cdot n=n^2$ 個ある。同型な群の中心は同型で、$x^n=1$ を満たす元の個数も等しいので、$n\ge2$ では同型でない。$\square$

スカラー行列 $zI$ がすべての行列と可換なことは明らかで、$zI\in\mathrm{U}(n)$ は $\lvert z\rvert=1$ と、$zI\in\mathrm{SU}(n)$ は $z^n=1$ と同値である。$n=1$ では $\mathrm{U}(1)$ は可換で $\mathrm{SU}(1)=\{1\}$ なので主張は成り立つ。以下 $n\ge2$ とし、$A\in M_n(\mathbb{C})$ が $\mathrm{SU}(n)$ のすべての元と可換ならスカラー行列であることを示す。$\mathrm{SU}(n)\subset\mathrm{U}(n)$ なので、これで 1・2 の両方が従う。

段 1（対角行列になる）：$t_k:=k/n^2$（$1\le k\le n-1$）、$t_n:=-(t_1+\dots+t_{n-1})=-\frac{n-1}{2n}$ とおき、$D:=\operatorname{diag}(e^{2\pi it_1},\dots,e^{2\pi it_n})$ とする。$\det D=e^{2\pi i\sum_kt_k}=1$ なので $D\in\mathrm{SU}(n)$ である。$t_1,\dots,t_{n-1}\in(0,\frac1n)$ は相異なり、$t_n+1\in(\frac12,1)$ なので、$D$ の対角成分 $d_1,\dots,d_n$ は相異なる。$AD=DA$ の $(j,k)$ 成分を比べると $a_{jk}d_k=d_ja_{jk}$ であり、$j\ne k$ なら $d_j\ne d_k$ なので $a_{jk}=0$ である。よって $A=\operatorname{diag}(a_1,\dots,a_n)$ である。

段 2（対角成分が等しい）：$j\ne k$ に対し、$P_{jk}e_j:=e_k$、$P_{jk}e_k:=-e_j$、ほかの $e_l$ は動かさない実行列 $P_{jk}$ をとる。これは $e_j,e_k$ の張る平面の 4 分の 1 回転で、直交行列であり行列式は $1$ なので $P_{jk}\in\mathrm{SU}(n)$ である。$AP_{jk}e_j=Ae_k=a_ke_k$、$P_{jk}Ae_j=a_jP_{jk}e_j=a_je_k$ なので、$AP_{jk}=P_{jk}A$ から $a_j=a_k$ である。よって $A$ はスカラー行列である。$\square$

1：$A^*A=I$ と $\det A=1$ は、成分の実部と虚部についての多項式の等式の集まりなので、$\mathrm{U}(n)$ と $\mathrm{SU}(n)$ は $\mathbb{R}^{2n^2}$ の閉集合である。ユニタリ行列の各列は長さ $1$ なので成分の絶対値は $1$ 以下であり、有界である。よってコンパクトである（コンパクト空間 の定理「有界閉集合とコンパクト性の一致」）。

2：$X\in\mathfrak{u}(n)$ とする。$(e^X)^*=\overline{e^X}^{\top}=e^{\overline{X}^{\top}}=e^{X^*}=e^{-X}$ であり（行列の指数関数 の命題「相似・転置・固有ベクトル」の (R2)）、$e^{-X}=(e^X)^{-1}$ である（同じ記事の系「逆行列と整数乗」）。よって $e^X\in\mathrm{U}(n)$ である。$\operatorname{tr}X=0$ なら $\det e^X=e^{\operatorname{tr}X}=1$（同じ記事の定理「指数関数の固有値と行列式」）なので $e^X\in\mathrm{SU}(n)$ である。

全射であること：$U\in\mathrm{U}(n)$ とすると、ユニタリ行列 $V$ と実数 $\theta_1,\dots,\theta_n$ で $U=V\operatorname{diag}(e^{i\theta_1},\dots,e^{i\theta_n})V^*$ となるものがある（ユニタリ行列 の定理「ユニタリ行列のユニタリ対角化」）。$X:=V\operatorname{diag}(i\theta_1,\dots,i\theta_n)V^*$ とおくと $X^*=V\operatorname{diag}(-i\theta_k)V^*=-X$ であり、$e^X=Ve^{\operatorname{diag}(i\theta_k)}V^{-1}=U$ である（同じ記事の命題「相似・転置・固有ベクトル」の (R1)）。さらに $\det U=1$ なら $e^{i\sum_k\theta_k}=1$、すなわち $\sum_k\theta_k\in2\pi\mathbb{Z}$ なので、$\theta_1$ を $\theta_1-\sum_k\theta_k$ に取り替えても $e^{i\theta_1}$ は変わらず、$\operatorname{tr}X=i\sum_k\theta_k=0$ にできる。

3：2 の $X$ について、$t\in[0,1]$ に $e^{tX}$ を対応させる道は連続で、$tX\in\mathfrak{u}(n)$（$\operatorname{tr}X=0$ なら $tX\in\mathfrak{su}(n)$）なので $\mathrm{U}(n)$（$\mathrm{SU}(n)$）の中にあり、$I$ と $U$ を結ぶ。$\square$

1：ユニタリ行列 の定理「ユニタリ行列のユニタリ対角化」により $A=VDV^*$（$V\in\mathrm{U}(n)$、$D\in T$）と書けるので、$D=V^{-1}AV$ である。

2：(a) ⇒ (b) は明らか。(b) ⇒ (c)：$\det(xI-PAP^{-1})=\det\bigl(P(xI-A)P^{-1}\bigr)=\det(xI-A)$ である。(c) ⇒ (a)：1 により $A=VDV^{-1}$、$B=V'D'V'^{-1}$（$V,V'\in\mathrm{U}(n)$、$D,D'\in T$）と書ける。$D$ と $D'$ の対角成分は、それぞれ $A$ と $B$ の固有値を重複度込みで並べたものなので、(c) によりその並べ方の違いを除いて一致する。すなわち置換 $\sigma$ で $D'=\operatorname{diag}(d_{\sigma(1)},\dots,d_{\sigma(n)})$ となる。$\sigma$ の置換行列 $P_\sigma$（第 $k$ 列が $e_{\sigma(k)}$）は $\mathrm{U}(n)$ に属し、$P_\sigma^{-1}DP_\sigma e_k=P_\sigma^{-1}De_{\sigma(k)}=d_{\sigma(k)}e_k$ なので $D'=P_\sigma^{-1}DP_\sigma$ である。よって $B=WAW^{-1}$、$W:=V'P_\sigma^{-1}V^{-1}\in\mathrm{U}(n)$ である。

3：対角行列の固有多項式は $\prod_k(x-z_k)$ なので、2 の (a) ⇔ (c) と、複素係数の多項式の 1 次式への分解の一意性による。$\square$

推移性：$x\in S^{2n-1}$ とする。$x$ を最後に置く $\mathbb{C}^n$ の正規直交基底 $f_1,\dots,f_{n-1},x$ がある（$x$ と標準基底のうち $n-1$ 本で基底を作り、$x$ を先頭にして Gram–Schmidt の正規直交化を施す。Gram–Schmidtの直交化 の定理「Gram–Schmidtの直交化の基本定理」）。これらを列に並べた $A$ はユニタリ行列で $Ae_n=x$ である。$n\ge2$ なら、第 1 列 $f_1$ を $\overline{\det A}f_1$ に替える（$\lvert\det A\rvert=1$）と、列は正規直交のまま行列式が $\overline{\det A}\det A=1$ になり、$Ae_n=x$ は変わらない。

安定化群：$Ae_n=e_n$ なら第 $n$ 列が $e_n$ であり、行も正規直交基底をなす（ユニタリ行列 の定理「ユニタリ行列の特徴づけ」）ので、第 $n$ 行は長さ $1$ で第 $n$ 成分が $1$、ほかは $0$ である。よって $A=\operatorname{diag}(B,1)$、$B\in\mathrm{U}(n-1)$ であり、$\det A=\det B$ である。

同相：1・2 の写像は、推移性と安定化群の計算により全単射である（群の作用 の系「推移的な作用と剰余類」）。$A\mapsto Ae_n$ は連続で剰余類の上で一定なので、商位相の定義により剰余類の空間からの写像も連続である。$\mathrm{U}(n)$ はコンパクト（thm-ug-topology）なのでその連続像である剰余類の空間もコンパクトで、$S^{2n-1}$ は Hausdorff なので、コンパクト空間から Hausdorff 空間への連続な全単射として同相写像である（コンパクト空間 の命題「保存と閉性」）。$\mathrm{SU}(n)$ も同じである。$\square$

1：$n$ についての帰納法で示す。$\mathrm{SU}(1)=\{1\}$ は 1 点である。$n\ge2$ とし、$p\colon\mathrm{SU}(n)\to S^{2n-1}$、$p(A):=Ae_n$ を考える。$p$ はファイバーが $\mathrm{SU}(n-1)$ のファイバー束である（Hat02 §4.2 Example 4.53・4.55、pp. 381–383 は $\mathrm{U}(n)$ の場合を、§4.D、p. 434 は $\mathrm{SU}(n)$ の場合を述べる）。ファイバー束はホモトピー持ち上げ性質をもち（同書 Proposition 4.48、p. 379）、ホモトピー群の長い完全列$$\pi_1(\mathrm{SU}(n-1))\to\pi_1(\mathrm{SU}(n))\to\pi_1(S^{2n-1})$$がある（同書 Theorem 4.41、p. 376）。$2n-1\ge3$ なので $\pi_1(S^{2n-1})=0$ であり（同書 Proposition 1.14、p. 35）、左の写像は全射である。帰納法の仮定から左端は自明なので、$\pi_1(\mathrm{SU}(n))=0$ である。$\mathrm{SU}(n)$ は弧状連結（thm-ug-topology）なので単連結である。

2：prop-ug-det の 3 の同相写像 $\Phi\colon\mathrm{U}(n)\to\mathrm{SU}(n)\times\mathrm{U}(1)$ は $I$ を $(I,1)$ に写し、第 2 成分は $\det$ である。弧状連結な空間の積の基本群は基本群の積なので（Hat02 Proposition 1.12、p. 34）、1 と $\pi_1(\mathrm{U}(1))\cong\mathbb{Z}$ から$$\pi_1(\mathrm{U}(n),I)\cong\pi_1(\mathrm{SU}(n),I)\times\pi_1(\mathrm{U}(1),1)\cong\mathbb{Z}$$であり、この同型の第 2 成分が $\det_*$ である。ループ $d(e^{2\pi it})$ は $\Phi$ で $(I,e^{2\pi it})$ に写るので、$\pi_1(\mathrm{U}(1))$ の生成元に対応する。$\square$

1：$A^*A$ は Hermite 行列で、$x\ne0$ なら $x^*A^*Ax=\|Ax\|^2>0$ なので正定値である。$P:=(A^*A)^{1/2}$ を $A^*A$ の正定値な平方根とする（正定値行列 の定理「半正定値な平方根の存在と一意性」）。$U:=AP^{-1}$ とおくと、$P^*=P$ から $U^*U=P^{-1}A^*AP^{-1}=P^{-1}P^2P^{-1}=I$ なので $U\in\mathrm{U}(n)$ である。一意性：$A=UP$ なら $A^*A=PU^*UP=P^2$ なので、平方根の一意性により $P=(A^*A)^{1/2}$、したがって $U=AP^{-1}$ である。

2：$m$ は連続で、1 により全単射である。逆写像の連続性を示す。$A_k\to A$ とし、$A_k=U_kP_k$、$A=UP$ とする。$(U_k,P_k)\not\to(U,P)$ と仮定すると、$\varepsilon>0$ と部分列で、$(U_k,P_k)$ が $(U,P)$ から距離 $\varepsilon$ 以上離れたままのものがある。$\mathrm{U}(n)$ はコンパクトなので、さらに部分列をとって $U_k\to U'\in\mathrm{U}(n)$ とできる。すると $P_k=U_k^*A_k\to U'^*A=:P'$ である。$P'$ は Hermite 行列の極限なので Hermite で、$x^*P'x=\lim x^*P_kx\ge0$ であり、$P'=U'^*A$ は正則なので固有値は正、すなわち $P'\in\mathcal{P}_n$ である。$A=U'P'$ と 1 の一意性から $(U',P')=(U,P)$ となり、仮定に反する。

変位レトラクト：$H(A,s):=U\bigl((1-s)P+sI\bigr)$（$A=UP$、$s\in[0,1]$）とおく。$(1-s)P+sI$ は正定値なので $H(A,s)\in\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ であり、$H$ は連続、$H(A,0)=A$、$H(A,1)=U\in\mathrm{U}(n)$、$A\in\mathrm{U}(n)$ なら $P=I$ で $H(A,s)=A$ である。

3：$A\in K$ を $A=UP$ と書くと、$U\in\mathrm{U}(n)\subset K$ なので $P=U^{-1}A\in K$ であり、すべての整数 $m$ について $P^m\in K$ である。$P=V\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)V^*$（$V$ はユニタリ、$\lambda_j>0$）と書くと、$\|P^mVe_j\|=\lambda_j^m$ である。ある $\lambda_j\ne1$ なら、$m\to\infty$ または $m\to-\infty$ でこれは有界でなく、$K$ がコンパクト、したがって $\mathbb{C}^{n^2}$ の有界集合であることに反する。よってすべての $\lambda_j=1$、$P=I$ で、$A=U\in\mathrm{U}(n)$ である。$\square$