Gauss曲率

同義語：Gaussian curvatureガウス曲率Gauss curvature

概要

前提知識: 曲率(曲線), 偏微分, 固有値, 行列式

球面はどの向きにも同じだけ曲がっている。円柱は円周の向きには曲がるが、軸の向きにはまっすぐである。馬の鞍の形の曲面は、前後の向きには上に、左右の向きには下に曲がる。曲面の 1 点での曲がり方は 1 つの数では表せず、向きごとの曲がり方の最大と最小（主曲率 $\kappa_1,\kappa_2$）の 2 つの数で表される。その積
$$ K=\kappa_1\kappa_2 $$
が Gauss 曲率 である。球面では正、円柱では $0$、鞍の形では負になる。
Gauss 曲率は、曲面が $\mathbb R^3$ の中でどう曲がっているかを使って定義されるのに、実は曲面の上で測った長さだけで決まる。これが Gauss の 驚異の定理（Theorema Egregium）である。曲面の上に住んでいて外が見えない生き物でも、自分の住む曲面の Gauss 曲率を測れる。この記事では、次の問いに答える。

曲面の曲がり方を点ごとにどう測るか。→ def-gc-shape、def-gc-gauss、prop-gc-normal
曲面の式からどう計算するか。→ thm-gc-formula
なぜ主曲率の「積」に意味があるのか。→ thm-gc-gauss-map

Gauss 曲率は曲面の上の長さだけで決まるか。→ thm-gc-egregium、cor-gc-isometry、cor-gc-map

曲面	主曲率 $\kappa_1,\ \kappa_2$	Gauss 曲率 $K$	平均曲率 $H$
平面	$0,\ 0$	$0$	$0$
半径 $r$ の球面（内向きの $\nu$）	$1/r,\ 1/r$	$1/r^2$	$1/r$
半径 $r$ の円柱（内向きの $\nu$）	$1/r,\ 0$	$0$	$1/(2r)$
鞍面 $z=xy$ の原点	$1,\ -1$	$-1$	$0$

表の値は ex-gc-basic で計算する。平面と円柱は Gauss 曲率が同じ $0$ で、実際に紙を丸めれば平面から円柱が作れる。球面は Gauss 曲率が $0$ でないので、紙を伸び縮みさせずに球面に貼ることはできない（cor-gc-map）。

曲面と 2 つの基本形式

曲面片と第 1 基本形式

正則曲面片と第 1 基本形式

$U\subset\mathbb R^2$ を開集合とし、$C^2$ 級の写像 $x\colon U\to\mathbb R^3$、$(u,v)\mapsto x(u,v)$ がすべての点で $x_u\times x_v\neq0$ を満たすとき、$x$ を 正則曲面片 という（$x_u=\partial x/\partial u$ などと書き、$\times$ はベクトルの外積）。$x_u,x_v$ の張る平面 $T_p$ を点 $p=x(u,v)$ での 接平面、
$$ \nu=\frac{x_u\times x_v}{|x_u\times x_v|} $$
を 単位法ベクトル という。
$$ E=\langle x_u,x_u\rangle,\qquad F=\langle x_u,x_v\rangle,\qquad G=\langle x_v,x_v\rangle $$
を 第 1 基本形式 の係数という。接ベクトル $X=ax_u+bx_v$ の長さの 2 乗は $Ea^2+2Fab+Gb^2$ である。

$x_u,x_v$ は 1 次独立なので、Cauchy–Schwarz の不等式から $EG-F^2=|x_u|^2|x_v|^2-\langle x_u,x_v\rangle^2=|x_u\times x_v|^2>0$ である。$W=\sqrt{EG-F^2}$ とおく。曲面の上の曲線 $c(t)=x\bigl(u(t),v(t)\bigr)$ の長さは $\displaystyle\int\sqrt{Eu'^2+2Fu'v'+Gv'^2}\,dt$、領域 $x(D)$ の面積は $\displaystyle\iint_DW\,du\,dv$ で、どちらも $E,F,G$ だけで決まる。$E,F,G$ だけから決まる量を、曲面の 内在的な 量という。

形作用素と第 2 基本形式

$|\nu|=1$ を微分すると $\langle\nu_u,\nu\rangle=\langle\nu_v,\nu\rangle=0$ なので、$\nu_u,\nu_v$ は接平面 $T_p$ に入る。曲面の曲がり方は、点を動かしたときの $\nu$ の向きの変わり方に表れる。

形作用素と第 2 基本形式

def-gc-patch の曲面片について、線形写像 $S\colon T_p\to T_p$ を
$$ S(ax_u+bx_v)=-(a\nu_u+b\nu_v) $$
で定め、点 $p$ での 形作用素（Weingarten 写像）という。また
$$ L=\langle x_{uu},\nu\rangle,\qquad M=\langle x_{uv},\nu\rangle,\qquad N=\langle x_{vv},\nu\rangle $$
を 第 2 基本形式 の係数とし、$\mathrm{II}(ax_u+bx_v,\ cx_u+dx_v)=Lac+M(ad+bc)+Nbd$ と書く。

曲面の上の曲線 $c(t)=x\bigl(u(t),v(t)\bigr)$ に沿って $\nu$ を微分すると $(\nu\circ c)'=u'\nu_u+v'\nu_v=-S(c')$ なので、$S(X)$ は「速度 $X$ で点を動かしたときの $\nu$ の変化の $-1$ 倍」であり、曲面片の径数のとり方によらない。

形作用素の自己随伴性

接ベクトル $X,Y\in T_p$ について $\langle S(X),Y\rangle=\mathrm{II}(X,Y)=\langle X,S(Y)\rangle$ である。

$\langle\nu,x_u\rangle=0$ を $u$、$v$ で微分すると $\langle\nu_u,x_u\rangle=-\langle\nu,x_{uu}\rangle=-L$、$\langle\nu_v,x_u\rangle=-\langle\nu,x_{uv}\rangle=-M$ である。同じく $\langle\nu,x_v\rangle=0$ から $\langle\nu_u,x_v\rangle=-M$、$\langle\nu_v,x_v\rangle=-N$ である。よって $\langle S(x_u),x_u\rangle=L$、$\langle S(x_u),x_v\rangle=\langle S(x_v),x_u\rangle=M$、$\langle S(x_v),x_v\rangle=N$ で、両辺の双線形性から主張が従う。$\square$

主曲率・Gauss 曲率・平均曲率

$S$ は 2 次元の内積空間 $T_p$ の自己随伴な線形写像なので、実数の固有値をもち、固有ベクトルからなる正規直交基底がとれる（固有値）。

主曲率・Gauss 曲率・平均曲率

点 $p$ での形作用素 $S$ の 2 つの固有値 $\kappa_1\ge\kappa_2$ を 主曲率、対応する固有ベクトルの向きを 主方向 という。
$$ K=\kappa_1\kappa_2=\det S,\qquad H=\frac{\kappa_1+\kappa_2}{2}=\frac12\operatorname{tr}S $$
をそれぞれ点 $p$ での Gauss 曲率、平均曲率 という。

単位法ベクトルを $-\nu$ に取りかえると $S$ は $-S$ になり、主曲率はどちらも符号を変える。このとき $H$ は符号を変えるが、$K=\det S$ は変わらない。Gauss 曲率は法ベクトルの向きのとり方によらない。

第 1・第 2 基本形式による表示

基底 $(x_u,x_v)$ に関する $S$ の表現行列は
$$ \begin{pmatrix}E&F\\ F&G\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}L&M\\ M&N\end{pmatrix} $$
であり、
$$ K=\frac{LN-M^2}{EG-F^2},\qquad H=\frac{EN-2FM+GL}{2(EG-F^2)} $$
である。

$S(x_u)=ax_u+cx_v$、$S(x_v)=bx_u+dx_v$ とし、$A=\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}$ とおく。prop-gc-self-adjoint の証明の式 $\langle S(x_u),x_u\rangle=L$ などに代入すると
$$ L=aE+cF,\quad M=aF+cG,\quad M=bE+dF,\quad N=bF+dG $$
で、これは行列の等式 $\begin{pmatrix}L&M\\ M&N\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}E&F\\ F&G\end{pmatrix}A$ のことである。$EG-F^2>0$ なので左の行列は可逆で、$A$ は主張の形になる。行列式をとると $\det S=\det A=\dfrac{LN-M^2}{EG-F^2}$ である。また
$$ \begin{pmatrix}E&F\\ F&G\end{pmatrix}^{-1}=\frac1{EG-F^2}\begin{pmatrix}G&-F\\ -F&E\end{pmatrix} $$
との積の対角成分は $\dfrac{GL-FM}{EG-F^2}$ と $\dfrac{-FM+EN}{EG-F^2}$ なので、$\operatorname{tr}S=\dfrac{EN-2FM+GL}{EG-F^2}$ である。$\square$

法曲率

主曲率が「向きごとの曲がり方の最大と最小」であることを確かめる。

法曲率と Euler の公式

$c(s)$ を、曲面片の上にある弧長で径数付けられた $C^2$ 級の曲線とする。

$\langle c''(s),\nu\rangle=\mathrm{II}\bigl(c'(s),c'(s)\bigr)$ である。とくにこの値（法曲率）は、点と接ベクトル $c'(s)$ だけで決まり、曲線の選び方によらない。
点 $p$ の主方向の単位ベクトルを $e_1,e_2$（固有値 $\kappa_1,\kappa_2$）とし、単位接ベクトル $X=\cos\theta\,e_1+\sin\theta\,e_2$ に対して $\kappa_n(\theta)=\mathrm{II}(X,X)$ とおくと
$$ \kappa_n(\theta)=\kappa_1\cos^2\theta+\kappa_2\sin^2\theta $$
である。よって $\kappa_1$、$\kappa_2$ は単位接ベクトル全体での法曲率の最大値と最小値である。

$\langle c',\nu\circ c\rangle=0$ を微分すると $\langle c'',\nu\rangle=-\langle c',(\nu\circ c)'\rangle=\langle c',S(c')\rangle=\mathrm{II}(c',c')$ である（prop-gc-self-adjoint）。
$S(X)=\kappa_1\cos\theta\,e_1+\kappa_2\sin\theta\,e_2$ と $X$ の内積をとれば式を得る。$\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ なので $\kappa_n(\theta)$ は $\kappa_2$ と $\kappa_1$ の間の値をとり、$\theta=0$ で $\kappa_1$、$\theta=\pi/2$ で $\kappa_2$ になる。$\square$

曲線の曲率を $\kappa$、主法線ベクトルを $N_c$ とすると $c''=\kappa N_c$ なので、1 は $\kappa\langle N_c,\nu\rangle=\mathrm{II}(c',c')$ とも書ける（Meusnier の定理）。点 $p$ を通り $X$ と $\nu$ を含む平面で曲面を切った切り口の曲線では $N_c=\pm\nu$ なので、法曲率の絶対値はその切り口の曲率（曲率(曲線)）に等しい。

例

平面・球面・円柱・グラフ

平面 $x(u,v)=(u,v,0)$ では $\nu=(0,0,1)$ が一定なので $S=0$、$K=H=0$ である。
半径 $r$ の球面の曲面片 $x$（$|x|=r$）で内向きの $\nu=-x/r$ をとると、$\nu_u=-x_u/r$、$\nu_v=-x_v/r$ なので $S=\dfrac1r\,\mathrm{id}$ で、$\kappa_1=\kappa_2=\dfrac1r$、$K=\dfrac1{r^2}$、$H=\dfrac1r$ である。どの向きにも同じだけ曲がる。
半径 $r$ の円柱 $x(u,v)=(r\cos v,\ r\sin v,\ u)$ で内向きの $\nu=(-\cos v,\ -\sin v,\ 0)$ をとると、$\nu_u=0$、$\nu_v=(\sin v,\ -\cos v,\ 0)=-x_v/r$ なので、$S(x_u)=0$、$S(x_v)=x_v/r$ である。主曲率は $\dfrac1r$（円周の向き）と $0$（軸の向き）で、$K=0$、$H=\dfrac1{2r}$ である。
$C^2$ 級の関数 $f$ のグラフ $x(u,v)=\bigl(u,v,f(u,v)\bigr)$ では
$$ K=\frac{f_{uu}f_{vv}-f_{uv}^2}{\bigl(1+f_u^2+f_v^2\bigr)^2} $$
である。とくに $f_u=f_v=0$ となる点では、$K$ は $f$ の 2 階偏導関数を並べた行列（Hesse 行列）の行列式に等しい。鞍面 $f=uv$ の原点では $K=0\cdot0-1^2=-1$、放物面 $f=(u^2+v^2)/2$ の原点では $K=1$ である。

(4) の計算を開く

$x_u=(1,0,f_u)$、$x_v=(0,1,f_v)$ なので $E=1+f_u^2$、$F=f_uf_v$、$G=1+f_v^2$、$EG-F^2=1+f_u^2+f_v^2=W^2$ である。$x_u\times x_v=(-f_u,\ -f_v,\ 1)$ なので $\nu=(-f_u,-f_v,1)/W$ で、$x_{uu}=(0,0,f_{uu})$ などから $L=f_{uu}/W$、$M=f_{uv}/W$、$N=f_{vv}/W$ である。thm-gc-formula により $K=\dfrac{(f_{uu}f_{vv}-f_{uv}^2)/W^2}{W^2}$ である。鞍面の原点では $E=G=1$、$F=0$、$L=N=0$、$M=1$ なので $S$ の表現行列は $\begin{pmatrix}0&1\\ 1&0\end{pmatrix}$、主曲率は $1$ と $-1$、主方向は $u=\pm v$ の向きである。

Gauss 曲率の符号は、点の近くでの曲面の形を表す。$K>0$ の点の近くでは曲面は接平面の片側にあり（球面の形）、$K<0$ の点の近くでは接平面の両側にまたがる（鞍の形）。これは、点を原点、接平面を $z=0$、主方向を座標軸にとって曲面をグラフ $z=f(u,v)$ で表すと $f=\dfrac12(\kappa_1u^2+\kappa_2v^2)+o(u^2+v^2)$ となることによる（滑らかな曲面について Lee18 Proposition 8.24（p. 247））。$K>0$ なら $\kappa_1,\kappa_2$ は同符号で $f$ は原点の近くの原点以外で同じ符号をとり、$K<0$ なら 2 つの主方向で $f$ の符号が異なる。
原点（赤い点）での接平面（灰色）と 3 つの曲面。左：球面の一部（K > 0）は接平面の片側にある。中：放物柱面 z = 0.6u²（K = 0）は一方向にだけ曲がる。右：鞍面 z = uv（原点で K = −1）は接平面の両側にまたがる

Gauss の球面像

主曲率の積に意味があることは、単位法ベクトル $\nu$ を単位球面の点とみる写像（Gauss 写像）から分かる。Gauss 曲率の絶対値は、Gauss 写像による面積の拡大率である。

Gauss 写像と面積

def-gc-patch の曲面片（$x$ は $C^2$ 級なので $\nu$ は $C^1$ 級）について、各点で
$$ \nu_u\times\nu_v=K\,(x_u\times x_v) $$
が成り立つ。したがって、$U$ の中の有界な閉領域 $D$ について、$\nu$ の像の面積（重なりを込めて数えたもの）$\displaystyle\iint_D|\nu_u\times\nu_v|\,du\,dv$ は $\displaystyle\iint_D|K|\,W\,du\,dv$ に等しい。さらに $p=x(u_0,v_0)$ で $K(p)\neq0$ なら、$(u_0,v_0)$ を中心とする半径 $\varepsilon$ の円板 $D_\varepsilon\subset U$ について
$$ \lim_{\varepsilon\to0}\frac{\nu(D_\varepsilon)\ \text{の面積}}{x(D_\varepsilon)\ \text{の面積}}=|K(p)| $$
である。

要点：$\nu_u=-S(x_u)$、$\nu_v=-S(x_v)$ で、2 次元の線形写像 $A$ について $Aa\times Ab=(\det A)(a\times b)$ が成り立つから、$\nu_u\times\nu_v=\det S\,(x_u\times x_v)$ である。面積の式はこの長さを積分したもので、極限は $|K|W$ の連続性による。

詳しい証明を開く

段 1（線形代数）。2 次元部分空間 $P\subset\mathbb R^3$ とその上の線形写像 $A\colon P\to P$、$a,b\in P$ について $Aa\times Ab=(\det A)(a\times b)$ を示す。$P$ の正規直交基底 $e_1,e_2$ をとり $e_3=e_1\times e_2$ とすると、$a=a_1e_1+a_2e_2$、$b=b_1e_1+b_2e_2$ について $a\times b=(a_1b_2-a_2b_1)e_3$ である。$Aa$、$Ab$ の成分の行列は $A$ の表現行列と $\begin{pmatrix}a_1&b_1\\ a_2&b_2\end{pmatrix}$ の積なので、行列式の積の公式から $Aa\times Ab=\det A\,(a_1b_2-a_2b_1)e_3$ である。

段 2。$P=T_p$、$A=-S$ とすると $\nu_u=-S(x_u)$、$\nu_v=-S(x_v)$ で、$\det(-S)=\det S=K$（2 次元なので符号は変わらない）だから、段 1 により $\nu_u\times\nu_v=K\,(x_u\times x_v)$ である。両辺の長さをとれば $|\nu_u\times\nu_v|=|K|\,W$ で、積分の等式を得る。

段 3（極限）。$K(p)\neq0$ なら $\nu_u\times\nu_v\neq0$ なので、$(u,v)\mapsto\nu(u,v)$ は $(u_0,v_0)$ の近くで単射で、その像は球面の正則曲面片である（逆関数定理）。小さい $\varepsilon$ では $\nu(D_\varepsilon)$ の面積は $\displaystyle\iint_{D_\varepsilon}|K|W$ に等しい。$|K|W$ と $W$ は連続なので、$\varepsilon\to0$ のとき $\displaystyle\iint_{D_\varepsilon}|K|W\Big/\iint_{D_\varepsilon}W\to|K(u_0,v_0)|$ である。$\square$

球面では $\nu$ の像は球面全体を 1 回覆い、面積は $4\pi$ である。これは $\displaystyle\iint K\,dA=4\pi$ のことで、Gauss–Bonnetの定理の球面の場合にあたる。平面や円柱では $\nu$ の像は点や円周（面積 $0$）で、$K=0$ に対応する。

主定理：驚異の定理

$K=\dfrac{LN-M^2}{EG-F^2}$ の分子は、$\mathbb R^3$ の中での曲がり方を表す第 2 基本形式でできている。それでも $K$ は第 1 基本形式だけで決まる。

驚異の定理（Brioschi の公式）

$x\colon U\to\mathbb R^3$ を $C^3$ 級の正則曲面片とする。下付きの添字で偏微分を表すと
$$ K\,(EG-F^2)^2=\det\begin{pmatrix}-\frac12E_{vv}+F_{uv}-\frac12G_{uu}&\frac12E_u&F_u-\frac12E_v\\ F_v-\frac12G_u&E&F\\ \frac12G_v&F&G\end{pmatrix}-\det\begin{pmatrix}0&\frac12E_v&\frac12G_u\\ \frac12E_v&E&F\\ \frac12G_u&F&G\end{pmatrix} $$
が成り立つ。とくに、各点の Gauss 曲率は、その点での $E,F,G$ とその 2 階までの偏導関数だけで決まる。

方針：$LN-M^2$ を、ベクトルを並べた行列式の積として書き、それを内積の行列式に直す。内積のほとんどは $E,F,G$ の偏導関数で書け、残る 2 つの内積も差をとると書ける。
段 1（第 2 基本形式を行列式で書く）。$W\nu=x_u\times x_v$ と $\langle a,b\times c\rangle=\det(a,b,c)$（列ベクトルを並べた行列式）から
$$ WL=\det(x_{uu},x_u,x_v),\qquad WM=\det(x_{uv},x_u,x_v),\qquad WN=\det(x_{vv},x_u,x_v) $$
である。
段 2（内積の行列式に直す）。3 次正方行列 $P,Q$ について $\det P\det Q=\det(P^{\mathsf T}Q)$ であり、$P^{\mathsf T}Q$ の $(i,j)$ 成分は $P$ の第 $i$ 列と $Q$ の第 $j$ 列の内積である。$P=(x_{uu},x_u,x_v)$、$Q=(x_{vv},x_u,x_v)$、$R=(x_{uv},x_u,x_v)$ とすると
$$ W^2(LN-M^2)=\det\begin{pmatrix}\langle x_{uu},x_{vv}\rangle&\langle x_{uu},x_u\rangle&\langle x_{uu},x_v\rangle\\ \langle x_u,x_{vv}\rangle&E&F\\ \langle x_v,x_{vv}\rangle&F&G\end{pmatrix}-\det\begin{pmatrix}\langle x_{uv},x_{uv}\rangle&\langle x_{uv},x_u\rangle&\langle x_{uv},x_v\rangle\\ \langle x_u,x_{uv}\rangle&E&F\\ \langle x_v,x_{uv}\rangle&F&G\end{pmatrix} $$
である。
段 3（$E,F,G$ の 1 階の偏導関数で書ける内積）。$E=\langle x_u,x_u\rangle$ などを微分して
$$ \langle x_{uu},x_u\rangle=\tfrac12E_u,\quad \langle x_{uv},x_u\rangle=\tfrac12E_v,\quad \langle x_{uv},x_v\rangle=\tfrac12G_u,\quad \langle x_{vv},x_v\rangle=\tfrac12G_v $$
である。また $F_u=\langle x_{uu},x_v\rangle+\langle x_u,x_{uv}\rangle$ から $\langle x_{uu},x_v\rangle=F_u-\frac12E_v$、同じく $\langle x_{vv},x_u\rangle=F_v-\frac12G_u$ である。
段 4（残る 2 つの内積の差）。$x$ は $C^3$ 級なので偏微分の順序を入れ替えられる。$E_v=2\langle x_{uv},x_u\rangle$ をさらに $v$ で、$G_u=2\langle x_{uv},x_v\rangle$ をさらに $u$ で、$F_u$ をさらに $v$ で微分すると
$$ E_{vv}=2\langle x_{uvv},x_u\rangle+2|x_{uv}|^2,\quad G_{uu}=2\langle x_{uuv},x_v\rangle+2|x_{uv}|^2,\quad F_{uv}=\langle x_{uuv},x_v\rangle+\langle x_{uu},x_{vv}\rangle+|x_{uv}|^2+\langle x_u,x_{uvv}\rangle $$
である。よって
$$ \langle x_{uu},x_{vv}\rangle-|x_{uv}|^2=-\tfrac12E_{vv}+F_{uv}-\tfrac12G_{uu} $$
である。
段 5（まとめ）。段 2 の 2 つの行列式を第 1 行で展開すると、$(1,1)$ 成分以外の項はどちらも段 3 の式で $E,F,G$ の 1 階の偏導関数で書ける。$(1,1)$ 成分は、それぞれ $(EG-F^2)$ を掛けて加わる。そこで 2 つ目の行列式の $(1,1)$ 成分 $|x_{uv}|^2$ を 1 つ目の $(1,1)$ 成分へ移すと（行列式は $(1,1)$ 成分について 1 次式なので、差は変わらない）、1 つ目の $(1,1)$ 成分は段 4 の $-\frac12E_{vv}+F_{uv}-\frac12G_{uu}$、2 つ目の $(1,1)$ 成分は $0$ になる。これが主張の右辺である。左辺は thm-gc-formula により $W^2(LN-M^2)=K\,(EG-F^2)^2$ である。$\square$

第 1 基本形式の等しい曲面片

$C^3$ 級の正則曲面片 $x,y\colon U\to\mathbb R^3$ の第 1 基本形式の係数 $E,F,G$ が $U$ 上で等しいなら、各点 $(u,v)$ での $x$ と $y$ の Gauss 曲率は等しい。

thm-gc-egregium の右辺は $E,F,G$ とその偏導関数だけでできているので、$x$ と $y$ で同じ値になり、$(EG-F^2)^2>0$ で割れば $K$ も等しい。$\square$

第 1 基本形式が等しいことは、$x(u,v)\mapsto y(u,v)$ が曲面の上の曲線の長さを保つ（局所的な等長写像である）ことと同じである。こうして Gauss 曲率は、曲面を伸び縮みさせずに曲げても変わらない。Riemann 計量の言葉では、Gauss 曲率は 2 次元 Riemann 多様体の断面曲率（断面曲率の定理「Gauss の驚異の定理」）であり、スカラー曲率の半分に等しい（Lee18 Theorem 8.27（p. 249））。

直交座標と等角座標

$F=0$ のとき（座標曲線が直交するとき）、thm-gc-egregium の式は扱いやすい形になる。

直交座標・等角座標での Gauss 曲率

$C^3$ 級の正則曲面片で $F=0$ なら
$$ K=-\frac{1}{2\sqrt{EG}}\left(\frac{\partial}{\partial v}\frac{E_v}{\sqrt{EG}}+\frac{\partial}{\partial u}\frac{G_u}{\sqrt{EG}}\right) $$
である。さらに $E=G=\lambda^2$（$\lambda>0$）、$F=0$ なら
$$ K=-\frac{\Delta\log\lambda}{\lambda^2},\qquad \Delta=\frac{\partial^2}{\partial u^2}+\frac{\partial^2}{\partial v^2} $$
である。

要点：$F=0$ を thm-gc-egregium に代入して 2 つの行列式を展開し、右辺の微分を展開した式と比べる。$E=G=\lambda^2$ ではさらに $E_v/\sqrt{EG}=2\lambda_v/\lambda=2(\log\lambda)_v$ となる。

詳しい計算を開く

$F=0$ では、1 つ目の行列式は第 1 行で展開して

$$\Bigl(-\tfrac12E_{vv}-\tfrac12G_{uu}\Bigr)EG+\tfrac14E_uG_uG+\tfrac14E_vG_vE$$

2 つ目の行列式は $-\frac14E_v^2G-\frac14G_u^2E$ である。よって

$$(EG)^2K=-\tfrac12EG\,(E_{vv}+G_{uu})+\tfrac14\bigl(E_uG_uG+E_vG_vE+E_v^2G+G_u^2E\bigr)$$

である。一方、主張の右辺の微分を展開すると

$$\frac{\partial}{\partial v}\frac{E_v}{\sqrt{EG}}=\frac{E_{vv}}{\sqrt{EG}}-\frac{E_v(E_vG+EG_v)}{2(EG)^{3/2}}$$

で、$u$ の項も同様なので、右辺に $(EG)^2$ を掛けたものは $-\frac12EG(E_{vv}+G_{uu})+\frac14\bigl(E_v^2G+EE_vG_v+E_uG_uG+EG_u^2\bigr)$ となり、上の式と一致する。$E=G=\lambda^2$ のときは $\sqrt{EG}=\lambda^2$、$E_v/\lambda^2=2\lambda_v/\lambda=2(\log\lambda)_v$、$G_u/\lambda^2=2(\log\lambda)_u$ なので、$K=-\dfrac{1}{2\lambda^2}\cdot2\bigl((\log\lambda)_{vv}+(\log\lambda)_{uu}\bigr)$ である。$\square$

等角座標の式は、双曲計量の記事で Gauss 曲率の定義として使われている式であり、上半平面に長さ $\displaystyle\int\frac{\sqrt{du^2+dv^2}}{v}$ を入れた双曲幾何学の平面の曲率が $-1$ であることも、この式から分かる。

回転面と擬球

平面の曲線 $\bigl(f(u),\ g(u)\bigr)$（$f>0$、$f'^2+g'^2=1$、弧長の径数）を $z$ 軸のまわりに回した回転面 $x(u,v)=\bigl(f(u)\cos v,\ f(u)\sin v,\ g(u)\bigr)$ では $E=1$、$F=0$、$G=f^2$ なので、cor-gc-orthogonal により
$$ K=-\frac1{2f}\cdot\frac{\partial}{\partial u}\frac{2ff'}{f}=-\frac{f''}{f} $$
である（Lee18 Problem 8-3（p. 256））。
(1) 半径 $r$ の球面は $f=r\sin(u/r)$ で、$K=\dfrac1{r^2}$ である。
(2) 中心の円の半径 $R$、管の半径 $r$（$R>r>0$）のトーラスは $f=R+r\cos(u/r)$ で、$K=\dfrac{\cos(u/r)}{r\bigl(R+r\cos(u/r)\bigr)}$ である。外側（$\cos>0$）で正、内側で負になる。
(3) $u<0$ で $f(u)=e^u$、$g(u)=\displaystyle\int_0^u\sqrt{1-e^{2w}}\,dw$ とすると $f''=f$ なので $K\equiv-1$ である。この回転面は擬球とよばれ、Gauss 曲率がいつも $-1$ の曲面の例である。

懸垂面と螺旋面

懸垂面 $x(u,v)=(\cosh u\cos v,\ \cosh u\sin v,\ u)$ と螺旋面 $y(u,v)=(\sinh u\cos v,\ \sinh u\sin v,\ v)$ は、どちらも
$$ E=\cosh^2u,\qquad F=0,\qquad G=\cosh^2u $$
である。cor-gc-isometry によって Gauss 曲率は等しく、cor-gc-orthogonal で $\lambda=\cosh u$ とすると $(\log\cosh u)''=1/\cosh^2u$ なので
$$ K=-\frac{1}{\cosh^4u} $$
である。$\mathbb R^3$ の中では、懸垂面は回転面、螺旋面はねじれた面で、形はまったく違うが、曲面の上で測る長さは同じである。

懸垂面と螺旋面の第 1 基本形式の計算を開く

懸垂面：$x_u=(\sinh u\cos v,\ \sinh u\sin v,\ 1)$、$x_v=(-\cosh u\sin v,\ \cosh u\cos v,\ 0)$ なので $E=\sinh^2u+1=\cosh^2u$、$F=0$、$G=\cosh^2u$ である。螺旋面：$y_u=(\cosh u\cos v,\ \cosh u\sin v,\ 0)$、$y_v=(-\sinh u\sin v,\ \sinh u\cos v,\ 1)$ なので $E=\cosh^2u$、$F=0$、$G=\sinh^2u+1=\cosh^2u$ である。

地図の不可能性

球面の地図は長さを保てない

球面の開集合 $V$ から平面への $C^3$ 級の写像 $\varphi$ で、各点の微分 $d\varphi$ が単射なものを考える。$\varphi$ が、接ベクトルどうしのなす角と、面積（各点での面積の拡大率が $1$）の両方を保つことはない。とくに、曲線の長さを保つ $\varphi$ はない。

段 1（角と面積を保つ線形写像）。$A$ を 2 次元の内積空間 $P$ から $\mathbb R^2$ への線形写像で、ベクトルのなす角を保つとする。$P$ の正規直交基底 $e_1,e_2$ について、$e_1\perp e_2$ から $Ae_1\perp Ae_2$、$(e_1+e_2)\perp(e_1-e_2)$ から $A(e_1+e_2)\perp A(e_1-e_2)$、つまり $|Ae_1|^2=|Ae_2|^2$ である。よって $\lambda=|Ae_1|>0$ として $A/\lambda$ は長さを保ち、$A$ による面積の拡大率は $\lambda^2$ である。面積も保つなら $\lambda=1$ で、$A$ は長さを保つ。
段 2。$\varphi$ が角と面積を保つとすると、段 1 により各点の $d\varphi$ は長さを保つ。$V$ の中の点の近くで球面の $C^3$ 級の正則曲面片 $x$ をとり、平面を $\mathbb R^3$ の $z=0$ とみて $y=\varphi\circ x$ とおく。連鎖律により $y_u=d\varphi(x_u)$、$y_v=d\varphi(x_v)$ なので、$y$ は正則曲面片で、第 1 基本形式の係数は $x$ と等しい。cor-gc-isometry により Gauss 曲率も等しいはずだが、球面では $K=1/r^2$（ex-gc-basic）、平面では $K=0$ で、矛盾する。長さを保つ写像は角と面積を保つので、後半も従う。$\square$

地図の図法には、角を保つもの（Mercator 図法など）や、面積を保つもの（Archimedesの帽子箱定理の節「応用 3：正積円筒図法」）があるが、両方を同時に満たす図法はない。地球儀を平面の地図に写すと必ずどこかがゆがむのは、球面の Gauss 曲率が $0$ でないからである。

例と反例

cor-gc-isometry は「第 1 基本形式が等しい $\Rightarrow$ Gauss 曲率が等しい」という主張である。量を取りかえたり、向きを逆にしたりすると成り立たない。

外す条件	反例	成り立たなくなること
量が Gauss 曲率である（平均曲率に替える）	平面 $(u,v,0)$ と円柱 $(\cos v,\ \sin v,\ u)$	第 1 基本形式が等しければ値が等しい
第 1 基本形式が等しい（Gauss 曲率が等しいだけにする）	螺旋面 $(u\cos v,\ u\sin v,\ v)$ と回転面 $(u\cos v,\ u\sin v,\ \log u)$	同じ $(u,v)$ の点の対応が長さを保つ

反例の確かめ

1 行目：平面 $(u,v,0)$ と円柱 $(\cos v,\ \sin v,\ u)$ はどちらも $E=G=1$、$F=0$ で、Gauss 曲率はどちらも $0$ である。平均曲率は平面で $0$、半径 $1$ の円柱で $\pm\dfrac12$（$\nu$ の向きによる。ex-gc-basic の (3)）で、等しくない（Lee18 Exercise 8.26（p. 249））。平均曲率は $\mathbb R^3$ の中での曲がり方により、内在的な量ではない。
2 行目：$u>0$ とする。螺旋面 $(u\cos v,\ u\sin v,\ v)$ は $E=1$、$F=0$、$G=1+u^2$、回転面 $(u\cos v,\ u\sin v,\ \log u)$ は $E=1+\dfrac1{u^2}$、$F=0$、$G=u^2$ で、cor-gc-orthogonal からどちらも
$$ K=-\frac1{(1+u^2)^2} $$
である。同じ $(u,v)$ の点どうしで Gauss 曲率は等しいが、$E$ が異なるので、$u$ 方向の曲線の長さが一致しない。たとえば $v=0$、$1\le u\le2$ の曲線の長さは、螺旋面では $1$、回転面では $\displaystyle\int_1^2\sqrt{1+u^{-2}}\,du>1$ である。驚異の定理の逆は成り立たない。

2 行目の Gauss 曲率の計算を開く

螺旋面：$\sqrt{EG}=\sqrt{1+u^2}$、$G_u/\sqrt{EG}=2u/\sqrt{1+u^2}$ で、その $u$ による微分は $2/(1+u^2)^{3/2}$ なので、$K=-\dfrac{1}{2\sqrt{1+u^2}}\cdot\dfrac{2}{(1+u^2)^{3/2}}=-\dfrac1{(1+u^2)^2}$ である。回転面：$EG=u^2+1$ なので $\sqrt{EG}=\sqrt{1+u^2}$、$G_u/\sqrt{EG}=2u/\sqrt{1+u^2}$ で、$E_v=0$ だから同じ計算になる。

補足

全曲率と位相。 閉曲面の Gauss 曲率を面積で積分した値は、曲面の形によらず $2\pi\chi$（$\chi$ は Euler標数）になる（Gauss–Bonnetの定理）。測地線の三角形では、内角の和と $\pi$ の差が三角形の上の $K$ の積分に等しい（Gauss–Bonnetの定理の命題「測地三角形の角度の過不足」）。
一般の次元へ。 曲面の上の長さだけを使って Gauss 曲率を定めることができ、Riemann 多様体の Riemann曲率テンソルと断面曲率はその高次元への一般化である。Gauss 曲率がいつも $1$、$0$、$-1$ の 2 次元の幾何が、それぞれ球面の幾何、平面の幾何、双曲幾何学である。

参考文献

[1]

John M. Lee, Introduction to Riemannian Manifolds, Graduate Texts in Mathematics 176, Springer, 2018, Chapter 8：形作用素（shape operator、p. 235）、主曲率・Gauss 曲率・平均曲率の定義（pp. 237–238）、Proposition 8.24（主曲率によるグラフ表示、p. 247）、Exercise 8.26（平面と円柱の平均曲率、p. 249）、Theorem 8.27（Gauss’s Theorema Egregium、p. 249）、Problem 8-3（回転面の Gauss 曲率、p. 256）、Problem 8-9（Gauss 写像、p. 257）

Mathpediaは寄付と、参考文献の書籍リンク（Amazonアソシエイト）の紹介料で運営されています。支援について／寄付する