Riemannゼータ関数

$n\geq2$ なら、$x\mapsto x^{-\sigma_0}$ は減少関数なので $n^{-\sigma_0}\leq\int_{n-1}^nx^{-\sigma_0}\,dx$ であり、
$$ \sum_{n=1}^\infty n^{-\sigma_0}\leq1+\int_1^\infty x^{-\sigma_0}\,dx=1+\frac{1}{\sigma_0-1}=\frac{\sigma_0}{\sigma_0-1} $$
を得る。$\operatorname{Re}s\geq\sigma_0$ なら $\lvert n^{-s}\rvert=n^{-\operatorname{Re}s}\leq n^{-\sigma_0}$ だから、Weierstrass の優級数判定法（Bec25 Proposition 7.3.7）により級数は $\operatorname{Re}s\geq\sigma_0$ で絶対かつ一様に収束する。各項 $n^{-s}=e^{-s\log n}$ は $\mathbb{C}$ 上の正則関数だから、部分和も正則である。$\operatorname{Re}s>1$ のどの点も、ある $\sigma_0>1$ について半平面 $\operatorname{Re}s>\sigma_0$ に含まれ、そこで正則関数の列が一様収束するので、下の lem-zeta-weierstrass により和は正則である。

正則性は局所的な性質なので、$a\in G$ のまわりの開円板 $D$ で、$\bar D\subset G$ かつ $D$ 上で $f_N\to f$ が一様収束するものについて、$f$ が $D$ 上正則であることを示せばよい。一様極限だから $f$ は $D$ 上連続である（Bec25 Proposition 7.3.4）。$D$ 内の区分的に滑らかな閉曲線 $\gamma$ について、Cauchyの積分定理 の記事の定理「円板に対する Cauchy の積分定理」により $\int_\gamma f_N=0$ であり、一様収束だから積分と極限が交換できて（Bec25 Proposition 7.3.6）$\int_\gamma f=\lim_N\int_\gamma f_N=0$ である。Morera の定理（Bec25 Corollary 5.2.1）により $f$ は $D$ 上正則である。

$\sigma=\operatorname{Re}s>1$ とし、$P\geq2$ を固定する。各素数 $p$ について $\lvert p^{-s}\rvert=p^{-\sigma}<1$ だから、等比級数 $\sum_{k\geq0}p^{-ks}$ は絶対収束して $(1-p^{-s})^{-1}$ に等しい。$P$ 以下の有限個の素数についてこれらの級数を掛けると、絶対収束する級数の積は項をどう並べて足しても同じ値になるので（絶対収束 の記事の定理「絶対収束する級数の積」）、
$$ \prod_{p\leq P}\frac1{1-p^{-s}}=\sum_{(k_p)_{p\leq P}}\prod_{p\leq P}p^{-k_ps}=\sum_{n\in A_P}n^{-s} $$
となる。ここで $A_P$ は、素因数がすべて $P$ 以下である正の整数（$1$ を含む）全体で、最後の等号は、$(k_p)_{p\leq P}\mapsto\prod_pp^{k_p}$ が $A_P$ への全単射であること（素因数分解の一意性）による。$n\notin A_P$ なら $n$ は $P$ より大きい素因数をもつので $n>P$ である。よって
$$ \left\lvert\zeta(s)-\prod_{p\leq P}\frac1{1-p^{-s}}\right\rvert=\left\lvert\sum_{n\notin A_P}n^{-s}\right\rvert\leq\sum_{n>P}n^{-\sigma} $$
で、右辺は収束する級数の尾部だから $P\to\infty$ で $0$ に近づく。これで等式が示された。
$\zeta(s)\neq0$ を示す。同じく $A_P$ を使うと、$\zeta(s)\prod_{p\leq P}(1-p^{-s})$ は $\zeta(s)$ の級数から $P$ 以下のいずれかの素数で割り切れる $n$ の項を取り除くことに当たり、$\zeta(s)\prod_{p\leq P}(1-p^{-s})=\sum_{n\in B_P}n^{-s}$（$B_P$ は $P$ 以下の素因数をもたない正の整数全体で、$1\in B_P$）となる。したがって
$$ \left\lvert\zeta(s)\prod_{p\leq P}(1-p^{-s})-1\right\rvert\leq\sum_{n>P}n^{-\sigma} $$
であり、$P$ を大きくとれば右辺は $1$ より小さいから、左辺の積は $0$ でなく、$\zeta(s)\neq0$ である。

実数 $s>1$ を考える。任意の $N$ について $\zeta(s)\geq\sum_{n\leq N}n^{-s}$ で、$s\to1+0$ とすると右辺は $\sum_{n\leq N}\frac1n$ に近づく。調和級数は発散するので、$s\to1+0$ のとき $\zeta(s)\to+\infty$ である。
(i)：素数が有限個なら、thm-zeta-euler-product の積は有限積で、$s\to1+0$ のとき有限の値 $\prod_p(1-p^{-1})^{-1}$ に近づくので、$\zeta(s)\to+\infty$ に反する。
(ii)：$s>1$ で各因子は正だから、Euler 積の対数をとって $\log\zeta(s)=\sum_p-\log(1-p^{-s})$ である。$0< x\leq\frac12$ なら $-\log(1-x)=\sum_{k\geq1}\frac{x^k}{k}\leq x+x^2\sum_{k\geq0}x^k\cdot\frac12\leq x+x^2$ だから、
$$ \log\zeta(s)\leq\sum_pp^{-s}+\sum_pp^{-2s}\leq\sum_p\frac1p+\zeta(2) $$
である。もし $\sum_p\frac1p$ が収束すれば、右辺は $s$ によらない有限の値で、$s\to1+0$ のとき $\log\zeta(s)\to+\infty$ に反する。

。$\operatorname{Re}s>1$ では $\lvert x^{1-s}\rvert=x^{1-\sigma}\to0$（$x\to\infty$）だから $\int_1^\infty x^{-s}\,dx=\Bigl[\frac{x^{1-s}}{1-s}\Bigr]_1^\infty=\frac1{s-1}$ であり、これを区間 $[n,n+1]$ に分けて $\zeta(s)=\sum_n\int_n^{n+1}n^{-s}\,dx$ から引けば等式を得る（どちらの級数も収束する）。
各項の評価。$x\in[n,n+1]$ なら、$u\mapsto u^{-s}$ の導関数が $-su^{-s-1}$ であることから
$$ \lvert n^{-s}-x^{-s}\rvert=\left\lvert s\int_n^xu^{-s-1}\,du\right\rvert\leq\lvert s\rvert\int_n^xu^{-\sigma-1}\,du\leq\lvert s\rvert\,n^{-\sigma-1} $$
であり、$\lvert f_n(s)\rvert\leq\lvert s\rvert\,n^{-\sigma-1}$ である。$K$ を $\operatorname{Re}s>0$ のコンパクト集合とすると、$K$ 上で $\lvert s\rvert\leq M$、$\operatorname{Re}s\geq\sigma_0>0$ となる定数 $M,\sigma_0$ があり、$\lvert f_n(s)\rvert\leq Mn^{-1-\sigma_0}$ である。$\sum_nn^{-1-\sigma_0}$ は収束するから（thm-zeta-convergence）、優級数判定法により $Z$ は $K$ 上で一様に収束する。
正則性。各 $f_n$ は $\mathbb{C}$ 上の正則関数である。実際、$n^{-s}$ は正則で、$\int_n^{n+1}x^{-s}\,dx$ は $x=e^u$ と置換すると $1-s$ の冪級数としてすべての $s$ で収束する形に書ける（下の「詳細」）。よって lem-zeta-weierstrass により $Z$ は $\operatorname{Re}s>0$ で正則である。$\frac1{s-1}+Z(s)$ は $\{\operatorname{Re}s>0\}\setminus\{1\}$ 上の正則関数で、$\operatorname{Re}s>1$ で $\zeta$ と一致するから、$\zeta$ の延長である。$Z$ は $s=1$ で正則なので $(s-1)\zeta(s)=1+(s-1)Z(s)\to1$（$s\to1$）であり、$s=1$ は留数 $1$ の 1 位の極である。

$f_n(1)=\frac1n-\int_n^{n+1}\frac{dx}{x}=\frac1n-\log(n+1)+\log n$ だから、$\sum_{n=1}^Nf_n(1)=\sum_{n=1}^N\frac1n-\log(N+1)$ である。左辺は $N\to\infty$ で $Z(1)$ に収束し、$\log(N+1)-\log N=\log(1+\frac1N)\to0$ だから、$\gamma$ を定める極限は存在して $Z(1)$ に等しい。$Z$ は $s=1$ で連続なので、$\zeta(s)-\frac1{s-1}=Z(s)\to Z(1)=\gamma$ である。

実数 $s>0$ と $x\in[n,n+1]$ について $(n+1)^{-s}\leq x^{-s}\leq n^{-s}$ だから $0\leq f_n(s)\leq n^{-s}-(n+1)^{-s}$ である。右辺の和は望遠鏡和で、$n^{-s}\to0$ より $\sum_{n=1}^\infty\bigl(n^{-s}-(n+1)^{-s}\bigr)=1$ となる。よって $0\leq Z(s)\leq1$ で、thm-zeta-continuation の等式から $\frac1{s-1}\leq\zeta(s)\leq\frac1{s-1}+1=\frac{s}{s-1}$ である。$s>1$ なら下からの評価と $\zeta(s)=1+\sum_{n\geq2}n^{-s}>1$、$0< s<1$ なら $\frac{s}{s-1}<0$ である。

(i) は thm-zeta-euler-product である。残りの要点：$\operatorname{Re}s<0$ なら関数等式の右辺は $0$ でない有限の値なので、$\zeta(s)=0$ となるのは左辺の $\Gamma(\frac s2)$ が極をもつ $s=-2n$ に限られ、そこでは極を打ち消すために $\zeta$ が 1 位の零点をもつ。帯の中の対称性も、関数等式の $\Gamma$ と $\pi$ の冪がそこで $0$ でも無限大でもないことから従う。

$\lvert\mu(n)n^{-s}\rvert\leq n^{-\sigma}$ だから絶対収束する。絶対収束する 2 つの級数の積は、すべての項の積 $\mu(d)d^{-s}\cdot m^{-s}$ をどんな順序で足しても同じ値になる（絶対収束 の記事の定理「絶対収束する級数の積」）。$n=dm$ の小さい順に並べ、同じ $n$ の項（有限個）をまとめると
$$ \Bigl(\sum_{d=1}^\infty\frac{\mu(d)}{d^s}\Bigr)\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty\Bigl(\sum_{d\mid n}\mu(d)\Bigr)\frac1{n^s}=1 $$
である。$\zeta(s)\neq0$（thm-zeta-euler-product）で割れば最初の等式を得る。$\varphi$ については、$0<\varphi(n)\leq n$ より $\operatorname{Re}s>2$ で $\sum\varphi(n)n^{-s}$ は絶対収束し、$\sum_{d\mid n}\varphi(d)=n$（Eulerのφ関数 の記事の定理「Gaussの約数和公式」）を使って同じようにまとめると $\zeta(s)\sum_n\varphi(n)n^{-s}=\sum_nn\cdot n^{-s}=\zeta(s-1)$ となる。

$\sum_{d\mid g}\mu(d)$ は $g=1$ のとき $1$、$g\geq2$ のとき $0$ だから、
$$ C(N)=\sum_{a,b\leq N}\ \sum_{d\mid\gcd(a,b)}\mu(d)=\sum_{d\leq N}\mu(d)\Bigl\lfloor\frac Nd\Bigr\rfloor^2 $$
である（$d$ で割り切れる $a\leq N$ は $\lfloor N/d\rfloor$ 個）。$\lfloor N/d\rfloor^2$ を $N^2/d^2$ で置き換えた誤差は $N\log N$ 程度、和を $d\leq N$ で打ち切った誤差は $1/N$ 程度なので、$C(N)/N^2$ は $\sum_d\mu(d)/d^2=1/\zeta(2)$（thm-zeta-mobius）に近づく。$\zeta(2)=\frac{\pi^2}6$ は Basel問題 による。