入射次元

要点：1 ⇒ 2 は入射分解で Ext を計算すればよい。3 ⇒ 1 は、長さ $n-1$ まで入射分解を作った余核 $C$ について $\operatorname{Ext}^1(A/I,C)=\operatorname{Ext}^{n+1}(A/I,M)=0$ となることと Baer の判定法による。4 ⇒ 3 は $A/I$ の素因子列による。

$M=0$ なら両辺は $-\infty$ である。以下 $M\neq0$ とする。$N$ を任意に動かす場合は、$\operatorname{Hom}_A(M,M)\neq0$ なので右辺は $0$ 以上であり、thm-injdim-ext の 1 と 2 の同値から、各 $n\ge0$ について「右辺 $\le n$」と「$\operatorname{id}_AM\le n$」が同値になって等号が従う。$A$ が Noether 環で $N$ を $A/P$ に限る場合は、$M\neq0$ なので $\operatorname{Ass}_AM\neq\emptyset$ であり（随伴素イデアル の記事の定理「随伴素の存在」。$M$ の有限生成性は要らない）、$P\in\operatorname{Ass}_AM$ について $A/P$ は $M$ の部分加群と同型だから $\operatorname{Hom}_A(A/P,M)\neq0$ である。よって右辺は $0$ 以上で、thm-injdim-ext の 1 と 4 の同値から、同じく各 $n\ge0$ について「右辺 $\le n$」と「$\operatorname{id}_AM\le n$」が同値になり、等号が従う。とくに $\operatorname{id}_AM=0$ なら $P\in\operatorname{Ass}_AM$ で $\operatorname{Hom}_A(A/P,M)\neq0$ となり、$\operatorname{id}_AM=r$ が $1$ 以上の有限値なら、4 を $n=r-1$ に当てて $\operatorname{Ext}^r_A(A/P,M)\neq0$ となる素イデアル $P$ がある。$\square$

$0\to M\to I^\bullet$ を最小入射分解とする。入射包 の記事の定理「本質拡大と入射包の局所化」の 3 により、$P$ で局所化した $0\to M_P\to(I^\bullet)_P$ は $A_P$ 上の最小入射分解である。同じ記事の定理「$E(A/P)$ の性質」の 5・6 により
$$(I^i)_P\cong\bigoplus_{Q\subset P}E_{A_P}(A_P/QA_P)^{(\mu^i(Q,M))}$$
である。入射包 の記事の定理「入射加群の構造定理」の証明と同じく、$\operatorname{Hom}_{A_P}(\kappa(P),-)$ はこの直和と交換し、$Q\subsetneq P$ の成分からの寄与は零、$Q=P$ の各成分からの寄与は $\kappa(P)$ なので、
$$\dim_{\kappa(P)}\operatorname{Hom}_{A_P}(\kappa(P),(I^i)_P)=\mu^i(P,M)$$
である。
$\operatorname{Ext}^i_{A_P}(\kappa(P),M_P)$ は複体 $\operatorname{Hom}_{A_P}(\kappa(P),(I^\bullet)_P)$ のコホモロジーである。この複体の微分がすべて零であることを示す。$\operatorname{Hom}_{A_P}(\kappa(P),(I^i)_P)$ の元は、$PA_P$ で消える元 $y\in(I^i)_P$ と同一視される。$y\neq0$ なら $A_Py\cong\kappa(P)$ は単純加群である。最小性から $(I^i)_P$ は $B=\operatorname{im}(d^{i-1})_P$ の本質拡大なので $A_Py\cap B\neq0$、単純性から $A_Py\subset B$ である。$B=\ker(d^i)_P$ なので $d^i(y)=0$ となる。よって微分は零で、$\operatorname{Ext}^i_{A_P}(\kappa(P),M_P)\cong\operatorname{Hom}_{A_P}(\kappa(P),(I^i)_P)$ であり、1 つ目の等号を得る。
2 つ目の等号：$A$ は Noether 環なので、$A/P$ は各項が有限生成自由加群の自由分解をもつ。$A_P$ は $A$ 上平坦で $(A/P)\otimes_AA_P=\kappa(P)$ なので、Ext関手 の記事の命題「有限射影項をもつ分解とExt基底変換」により $\operatorname{Ext}^i_A(A/P,M)_P\cong\operatorname{Ext}^i_{A_P}(\kappa(P),M_P)$ である。$M$ が有限生成なら、$\operatorname{Ext}^i_A(A/P,M)$ は有限生成自由加群から $M$ への Hom の部分商として有限生成で、その局所化は $\kappa(P)$ 上有限次元である。$\square$

2 つ目の等号は Bass 数の定義による。$I^i=0$（$i>n$）なら $\operatorname{id}_AM\le n$ である。逆に $\mu^i(P,M)\neq0$ なら thm-injdim-bass-formula により $\operatorname{Ext}^i_A(A/P,M)_P\neq0$、したがって $\operatorname{Ext}^i_A(A/P,M)\neq0$ で、thm-injdim-ext により $\operatorname{id}_AM\ge i$ である。$\square$

要点：$d=1$ では、$x\in\mathfrak m\setminus P$ による完全列 $0\to A/P\xrightarrow{x}A/P\to A/(P+xA)\to0$ と、有限長の $A/(P+xA)$ の Ext の消滅から、$\operatorname{Ext}^i_A(A/P,M)$ 上の $x$ 倍が全射になり Nakayama の補題で零になる。一般の $d$ は、$P$ のすぐ上の素イデアル $Q$ で $A_Q$ に移って $d=1$ の場合を使う帰納法による。

2 つ目の等号は thm-injdim-bass-formula（$P=\mathfrak m$）による。$\operatorname{Ext}^i_A(k,M)\neq0$ なら $\operatorname{id}_AM\ge i$ である（thm-injdim-ext）。逆に、$\mu^i(P,M)\neq0$ となる $(i,P)$ があれば、lem-injdim-step により $\mu^{i+\dim A/P}(\mathfrak m,M)\neq0$ で、$i+\dim A/P\ge i$ である。cor-injdim-sup と合わせて、右辺は $\operatorname{id}_AM$ 以上である。$\square$

$r=\operatorname{id}_AM$ とする。$M\neq0$ なので $r\ge0$ であり、cor-injdim-residue により $\operatorname{Ext}^r_A(k,M)\neq0$ である。
$t=\operatorname{depth}A$ とし、$\mathfrak m$ 内の極大な $A$ 正則列 $x_1,\dots,x_t$ を取って $N=A/(x_1,\dots,x_t)$ とおく（$t=0$ なら空列で $N=A$）。$\mathfrak m$ に $N$ 正則な元はないので、$N$ の socle は零でない（深さ の記事の命題「深さ零の判定」）。すなわち単射 $k\to N$ がある。その余核を $N'$ とすると、長完全列
$$\operatorname{Ext}^r_A(N,M)\to\operatorname{Ext}^r_A(k,M)\to\operatorname{Ext}^{r+1}_A(N',M)=0$$
（右端は $r=\operatorname{id}_AM$ と thm-injdim-ext による）から $\operatorname{Ext}^r_A(N,M)\neq0$ である。
$x_1,\dots,x_t$ は $A$ 正則列なので、Koszul 複体 $K_\bullet(x_1,\dots,x_t;A)$ は $N$ の長さ $t$ の自由分解である（Koszul複体 の記事の定理「正則列のKoszulホモロジー」）。これで Ext を計算すると、$j>t$ で $\operatorname{Ext}^j_A(N,M)=0$ である。$\operatorname{Ext}^r_A(N,M)\neq0$ なので $r\le t$ である。
一方、Koszul 複体の最高次の微分 $K_t=A\to K_{t-1}=A^t$ は $1\mapsto(\pm x_1,\dots,\pm x_t)$ なので、$\operatorname{Hom}_A(-,M)$ を当てた複体の最高次は $M^t\to M$、$(m_j)\mapsto\sum_j\pm x_jm_j$ で、
$$\operatorname{Ext}^t_A(N,M)\cong M/(x_1,\dots,x_t)M$$
である。$M$ は零でない有限生成加群で $x_j\in\mathfrak m$ なので、Nakayama の補題によりこれは零でない。$\operatorname{Ext}^t_A(N,M)\neq0$ と thm-injdim-ext から $t\le r$ である。以上で $r=t$ となる。$\square$

1：$\dim A/P=d$ となる素イデアル $P$ を取る（$P$ は極小素イデアルである）。$A_P$ は 0 次元の Noether 局所環なので Artin 環で、極大イデアル $PA_P$ は冪零である。$(PA_P)^j\neq0$ となる最大の $j$ を取れば $(PA_P)^j$ の零でない元は $PA_P$ で消えるので、$\operatorname{Hom}_{A_P}(\kappa(P),A_P)\neq0$、すなわち $\mu^0(P,A)\neq0$ である。lem-injdim-step により $\mu^d(\mathfrak m,A)\neq0$、したがって $d\le\operatorname{id}_AA$ である。thm-injdim-bass と $\operatorname{depth}A\le\dim A$（長さ $t$ の正則列で割ると次元はちょうど $t$ 下がり、次元は負にならない。Cohen–Macaulay環 の記事の補題「有限加群の次元降下」）から $d\le\operatorname{id}_AA=\operatorname{depth}A\le d$ となり、すべて等しい。
2：$i>d$ では $\operatorname{id}_AA=d$ により、$i< d$ では $d=\operatorname{depth}A=\min\{i:\operatorname{Ext}^i_A(k,A)\neq0\}$（深さ の記事の定理「正則列とExtによる深さ」）により $\operatorname{Ext}^i_A(k,A)=0$ である。$i=d$ を調べる。極大な $A$ 正則列 $x_1,\dots,x_d$ を取り、$B=A/(x_1,\dots,x_d)$ とおく。Gorenstein環 の記事の補題「非零因子の商とExtの次数移送」を $L=k$ として $d$ 回使うと $\operatorname{Ext}^d_A(k,A)\cong\operatorname{Hom}_B(k,B)$ であり、同じ記事の定理「非零因子による商の同値性」を $d$ 回使うと $\operatorname{id}_BB< \infty$ である。正則元で割るごとに深さはちょうど 1 下がるので（深さ の記事の定理「正則列とExtによる深さ」）$\operatorname{depth}B=0$ で、thm-injdim-bass により $\operatorname{id}_BB=0$、すなわち $B$ は $B$ 加群として入射的である。局所環 $B$ の冪等元は $0,1$ だけなので $B$ は $B$ 加群として直既約であり、入射包 の記事の定理「$E(A/P)$ の性質」の 3 により、ある素イデアル $Q$ で $B\cong E_B(B/Q)$ となる。$\operatorname{depth}B=0$ より $\mathfrak m_B\in\operatorname{Ass}B$ で、同じ定理の 4 により $\operatorname{Ass}E_B(B/Q)=\{Q\}$ なので $Q=\mathfrak m_B$、$B\cong E_B(k)$ である。その socle は $k$ なので（Matlis双対 の記事の命題「$E$ の構造」の 1）、$\operatorname{Hom}_B(k,B)\cong k$ である。$\square$

1 ⇒ 2：$A_P$ は $\dim A_P=\operatorname{ht}P$ の Gorenstein 局所環なので、thm-injdim-bass-formula と cor-injdim-gorenstein-local の 2 により $\mu^i(P,A)=\dim_{\kappa(P)}\operatorname{Ext}^i_{A_P}(\kappa(P),A_P)=\delta_{i,\operatorname{ht}P}$ である。
2 ⇒ 1：素イデアル $P$ を固定する。thm-injdim-bass-formula の証明のとおり、$A$ の最小入射分解を $P$ で局所化したものは $A_P$ の最小入射分解で、その $i$ 番目の項は $\bigoplus_{Q\subset P}E_{A_P}(A_P/QA_P)^{(\mu^i(Q,A))}$ である。仮定から $\mu^i(Q,A)\neq0$ となるのは $i=\operatorname{ht}Q\le\operatorname{ht}P$ のときだけなので、$i>\operatorname{ht}P$ の項は零である。Noether 環の素イデアルの高さは有限なので（完備化 の記事の定理「Krullの一般高さ定理」）、$\operatorname{id}_{A_P}A_P\le\operatorname{ht}P< \infty$ であり、$A_P$ は Gorenstein である。最後の主張は Bass 数の定義（def-injdim-minimal）の言い換えである。$\square$