川又–Viehwegの消滅定理

曲線は $X$ 自身だけなので、ネフ性は $\deg D\ge0$ と同値である。$\deg D>0$ なら、Riemann–Roch の定理から $h^0(mD)\ge m\deg D+1-g$ で、十分大きな $m$ で $\frac{\deg D}2m$ 以上になるので巨大である。$\deg D=0$ なら $h^0(mD)\le1$（次数 $0$ の可逆層の $0$ でない切断は零点をもたず、自明化を与える）、$\deg D<0$ なら $h^0(mD)=0$ で、どちらも巨大でない。曲線の上の因子が豊富であることは次数が正であることと同値である（豊富な可逆層 の命題「曲線上の豊富性と次数」）。$\square$

$H$ を豊富な因子とし、$mH$ が非常に豊富となる $m\ge1$ をとる。$mH$ と線形同値な有効因子 $\sum a_iC_i$（$a_i\ge0$）をとると、$D$ はネフなので $D\cdot mH=\sum a_iD\cdot C_i\ge0$、すなわち $D\cdot H\ge0$ である。$D\cdot H=0$ だとすると、Hodge 指数定理（Har77 V 定理 1.9, p. 364）により $D$ は数値的に $0$ であるか $D^2<0$ であり、どちらの場合も $D^2>0$ に反する。よって $D\cdot H>0$ で、代数曲面 の命題「自己交点数が正の因子の倍数」により、十分大きな $m$ で $h^0(mD)\ge cm^2$ となる $c>0$ がある。$\square$

thm-kv-main を $B=0$、$L=K_X+N$ に使えばよい（$L-(K_X+B)=N$）。豊富な因子はネフかつ巨大である。$\square$

prop-kv-curve-nef-big により $\deg L-\deg K_X-\deg B>0$ である。$B$ は有効なので $\deg B\ge0$、よって $\deg(K_X-L)<-\deg B\le0$ である。Serre 双対性により $h^1(\mathcal{O}_X(L))=h^0(\mathcal{O}_X(K_X-L))$ で、負の次数の因子は $0$ でない大域切断をもたないので、これは $0$ である。$\square$

順像．$\mathcal{O}_Y\to f_*\mathcal{O}_X\to f_*\mathcal{O}_X(E)$ は単射である。逆に、開集合 $U\subset Y$ と $s\in\Gamma(f^{-1}(U),\mathcal{O}_X(E))$ をとる。$s$ は $\operatorname{div}(s)+E\ge0$ をみたす有理関数で、$f$ が同型になる $f^{-1}(U)\setminus E\cong U\setminus\{P\}$ の上で正則である。$Y$ は正規で $\{P\}$ は余次元 $2$ なので、$s$ は $U$ 全体で正則である（代数的 Hartogs の補題。双有理幾何学 の補題「局所自由層の切断の延長」）。よって $f_*\mathcal{O}_X(E)=\mathcal{O}_Y$ である。
高次順像．$f$ のファイバーの次元は $1$ 以下なので $q\ge2$ で $R^qf_*=0$ である（Har77 III 系 11.2, p. 279）。$R^1f_*\mathcal{O}_X(E)$ は $Y\setminus\{P\}$ の上で $0$ なので、$P$ に台をもつ連接層であり、その完備化が $0$ であることを示せばよい。$\mathcal{I}=\mathcal{O}_X(-E)$ を $E$ のイデアル層、$E_r$ を $\mathcal{I}^r$ が定める閉部分スキームとする。点の爆発では $\mathfrak{m}_P\mathcal{O}_X=\mathcal{I}$ なので、$E_r$ は $\mathfrak{m}_P^r\mathcal{O}_X$ が定める閉部分スキーム（$P$ の上の $r$ 次の太ったファイバー）に等しい。すると、形式関数の定理（Har77 III 定理 11.1, p. 277）により
$$ \bigl(R^1f_*\mathcal{O}_X(E)\bigr)^\wedge_P\cong\varprojlim_rH^1\bigl(E_r,\mathcal{O}_X(E)|_{E_r}\bigr) $$
である。$E\cong\mathbb{P}^1$ で $\mathcal{I}^r/\mathcal{I}^{r+1}\cong\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(r)$、$\mathcal{O}_X(E)|_E\cong\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(-1)$ である（Har77 V 命題 3.4 の証明, pp. 387–388。$\deg\mathcal{O}_X(E)|_E=E^2=-1$）。$\mathcal{O}_X(E)$ は可逆なので、完全列 $0\to\mathcal{I}^r/\mathcal{I}^{r+1}\to\mathcal{O}_X/\mathcal{I}^{r+1}\to\mathcal{O}_X/\mathcal{I}^r\to0$ に $\mathcal{O}_X(E)$ をテンソルしても完全で、
$$ 0\to\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(r-1)\to\mathcal{O}_X(E)|_{E_{r+1}}\to\mathcal{O}_X(E)|_{E_r}\to0 $$
を得る。$r\ge1$ では $H^1(\mathbb{P}^1,\mathcal{O}(r-1))=0$ であり、$E_1=E$ では $H^1(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(-1))=0$ である。コホモロジー長完全列から $r$ についての帰納法で、すべての $r\ge1$ で $H^1(E_r,\mathcal{O}_X(E)|_{E_r})=0$ である。よって完備化は $0$ で、$R^1f_*\mathcal{O}_X(E)=0$ である。$\square$

$f^*A$ が豊富でないネフかつ巨大な因子であることは ex-kv-pullback で示した。曲面の交点形式とRiemann–Rochの定理 の定理「爆発と交点形式」の 3 により $K_X\sim f^*K_Y+E$ なので、$M:=\mathcal{O}_Y(K_Y+A)$ とおくと
$$ \mathcal{O}_X(K_X+f^*A)\cong\mathcal{O}_X(E)\otimes f^*M $$
である。$M$ は可逆なので、射影公式 $R^qf_*(\mathcal{O}_X(E)\otimes f^*M)\cong R^qf_*\mathcal{O}_X(E)\otimes M$ が成り立つ（$Y$ の開集合で $M\cong\mathcal{O}_Y$ と自明化すれば両辺は一致し、自然な写像が局所的に同型だから大域的にも同型である）。lem-kv-direct-image により、$q>0$ で右辺は $0$、$q=0$ で $M$ である。高次順像が消えるので、Lerayスペクトル系列 は退化して
$$ H^i(X,\mathcal{O}_X(K_X+f^*A))\cong H^i(Y,M)=H^i(Y,\mathcal{O}_Y(K_Y+A)) $$
となる。$A$ は豊富なので、小平の消滅定理（双有理幾何学 の定理「小平の消滅定理」、小平の消滅定理）により $i>0$ で右辺は $0$ である。$\square$