多項式の筆算と組立除法

同義語：polynomial long division and synthetic division

概要

前提知識: 多項式, 分配法則, 整数の筆算の仕組み, 剰余の定理と因数定理

整数の筆算は、数を $10$ の累乗のまとまりに分け、分配法則で計算し、最後に繰り上げる手続きである（整数の筆算の仕組み）。$10$ を文字 $x$ に置きかえると、同じ筆算で多項式の掛け算と割り算ができる。しかも多項式には繰り上がりがないので、筆算はかえって簡単になる。この記事では、多項式の筆算が整数の筆算とどう対応するかを確かめ、$x-a$ で割る筆算を短く書いた 組立除法 がなぜ正しいかを証明する。

高校での出発点：整数と多項式の筆算を並べる

整数の筆算と多項式の計算を、同じ形に並べてみる。

$132\times 23$ と $(x^2+3x+2)(2x+3)$

$132\times23$ の筆算は、$132\times3=396$ と、$132\times2=264$ を 1 桁ずらしたものを足して $3036$ である。
$(x^2+3x+2)(2x+3)$ を、同じ形で計算する。係数だけを書くと、$x^2+3x+2$ は $(1,3,2)$、$2x+3$ は $(2,3)$ である。

1 段目：$(x^2+3x+2)\times3=3x^2+9x+6$、係数は $(3,9,6)$。
2 段目：$(x^2+3x+2)\times2x=2x^3+6x^2+4x$、係数は $(2,6,4)$ を 1 列左にずらしたもの。
同じ列を足す：$x^3$ の列は $2$、$x^2$ の列は $3+6=9$、$x$ の列は $9+4=13$、定数の列は $6$。
よって $(x^2+3x+2)(2x+3)=2x^3+9x^2+13x+6$ である（図 1）。$x=10$ を入れると $x^2+3x+2$ は $132$、$2x+3$ は $23$ になり、積は $2000+900+130+6=3036$ で、整数の答えと一致する。整数の筆算では、$x$ の列の $13$ を繰り上げている。

132×23 と (x²+3x+2)(2x+3) の筆算。数字の並びは同じで、違いは 13 を繰り上げるかどうかだけ

$1452\mathbin{÷} 12$ と $(x^3+4x^2+5x+2)\mathbin{÷}(x+2)$

$1452\mathbin{÷}12$ の筆算は、$14-12=2$、$5$ を下ろして $25-24=1$、$2$ を下ろして $12-12=0$ で、商 $121$、余り $0$ である。
$(x^3+4x^2+5x+2)\mathbin{÷}(x+2)$ を、最高次の項を消していく筆算で計算する。

$x^3\mathbin{÷} x=x^2$。$x^2(x+2)=x^3+2x^2$ を引くと $2x^2+5x+2$。
$2x^2\mathbin{÷} x=2x$。$2x(x+2)=2x^2+4x$ を引くと $x+2$。
$x\mathbin{÷} x=1$。$1\cdot(x+2)=x+2$ を引くと $0$。
商は $x^2+2x+1$、余りは $0$ である。係数だけを書くと、2 つの筆算は数字まで同じになる（図 2）。$x=10$ を入れると $x^2+2x+1$ は $121$ である。

1452÷12 と (x³+4x²+5x+2)÷(x+2) の筆算。係数だけを書くと数字まで同じになる
2 つの例では、整数と多項式の筆算がほとんど同じに見える。この記事で答える問いは次の 4 つである。

整数の筆算と多項式の筆算が同じ形になるのはなぜか。違いは何か。→ prop-pld-mul、thm-pld-subst
多項式の割り算では、整数の割り算のように「仮の商」を試さなくてよいのはなぜか。→ prop-pld-leading
多項式の割り算に $x=10$ を入れると、いつ整数の割り算になるか。→ prop-pld-back、ex-pld-back-fail

組立除法はなぜ正しいか。くり返すと何ができるか。→ thm-pld-synthetic、prop-pld-shift
整数の筆算と多項式の筆算の対応は、次のとおりである。

整数の筆算	多項式の筆算	違い
各位の数字 $d_k$	$x^k$ の係数	係数は $0$〜$9$ に限らない（負や分数もよい）
$10^k$ の位	$x^k$ の列
1 桁ずらす（$10$ 倍）	1 列ずらす（$x$ 倍）
繰り上がり・借り	なし	多項式では列どうしが混ざらない
仮の商を試して直す	最高次の係数で割るだけ	prop-pld-leading
$10$ で割り続けて位を求める	$x-a$ で割り続けて $(x-a)^k$ の係数を求める	prop-pld-shift

係数を並べて書く

この記事では、係数が実数の多項式を扱う（係数が有理数や複素数でも同じである）。

多項式の係数の並び

多項式 $f(x)=c_nx^n+c_{n-1}x^{n-1}+\dots+c_1x+c_0$（$c_n\ne0$）について、$n$ を $f$ の次数、$c_n$ を 最高次の係数 という。係数を次数の高い順に並べた $(c_n,c_{n-1},\dots,c_1,c_0)$ を $f$ の 係数の並び という。ある次数の項がないときは、その係数を $0$ として並びに入れる。係数の並びだけで筆算をする書き方を 分離係数法 という。

係数の並びの例

$2x^3-5x+1$ の係数の並びは $(2,0,-5,1)$ である。$x^2$ の項がないので、$0$ を入れる。
$x^4-1$ の係数の並びは $(1,0,0,0,-1)$ である。
$132$ の数字の並び $(1,3,2)$ は、$x^2+3x+2$ の係数の並びと同じである。$x^2+3x+2$ に $x=10$ を入れると $100+30+2=132$ になる。

係数の $0$ は、整数の数字の $0$ と同じ役目をする。省くと列がずれる（ex-pld-zero-coef）。

多項式の掛け算の筆算

多項式の掛け算の筆算は、整数の筆算の仕組みの掛け算の命題の $10$ を $x$ に置きかえたものである。証明も同じく分配法則だけを使う。

多項式の掛け算の筆算

$f(x)=\sum_{i=0}^{m}a_ix^i$、$g(x)=\sum_{j=0}^{n}b_jx^j$ とする。このとき
$$ f(x)\,g(x)=\sum_{j=0}^{n}\bigl(b_j\,f(x)\bigr)x^j $$
であり（筆算の $j$ 段目は、$f$ の係数を $b_j$ 倍して $j$ 列ずらしたもの）、積の $x^k$ の係数は
$$ c_k=\sum_{i+j=k}a_ib_j\qquad(k=0,1,\dots,m+n) $$
である。ここで和は、$0\le i\le m$、$0\le j\le n$、$i+j=k$ を満たすすべての組 $(i,j)$ についてとる。

分配法則と指数法則

方針：$g$ を項に分けて分配法則を使い、次に $f$ も項に分けて同じ次数の項を集める。
段 1。$g(x)=\sum_{j=0}^{n}b_jx^j$ に分配法則を使うと
$$ f(x)\,g(x)=\sum_{j=0}^{n}f(x)\,b_jx^j=\sum_{j=0}^{n}\bigl(b_j\,f(x)\bigr)x^j $$
である。$b_jf(x)=\sum_{i}(b_ja_i)x^i$ に $x^j$ を掛けると $\sum_i(a_ib_j)x^{i+j}$ で、係数の並びはそのまま $j$ 列上の次数へ移る。これが「$j$ 列ずらす」ことである。
段 2。段 1 の式の $f(x)$ にも $\sum_ia_ix^i$ を入れて分配法則を使うと
$$ f(x)\,g(x)=\sum_{j=0}^{n}\sum_{i=0}^{m}a_ib_j\,x^{i}x^{j}=\sum_{j=0}^{n}\sum_{i=0}^{m}a_ib_j\,x^{i+j} $$
である（指数法則 $x^ix^j=x^{i+j}$）。
段 3。この $(m+1)(n+1)$ 個の項を、$x$ の次数 $k=i+j$ ごとにまとめる。分配法則で $x^k$ をくくり出すと、$x^k$ の係数は $i+j=k$ となる組についての $a_ib_j$ の和、つまり $c_k$ である。$\square$

多項式の掛け算を筆算でする

ex-pld-mul-start を公式で確かめる。$f=x^2+3x+2$（$a_2=1,a_1=3,a_0=2$）、$g=2x+3$（$b_1=2,b_0=3$）なので、$c_3=a_2b_1=2$、$c_2=a_2b_0+a_1b_1=3+6=9$、$c_1=a_1b_0+a_0b_1=9+4=13$、$c_0=a_0b_0=6$ である。
$(2x^2-x+3)(x^2+4)$。$x^2+4$ の係数の並びは $(1,0,4)$ で、$x$ の係数 $0$ を入れる。段ごとに
- 定数 $4$ の段：$(8,-4,12)$
- $0\cdot x$ の段：$(0,0,0)$ を 1 列ずらす
- $x^2$ の段：$(2,-1,3)$ を 2 列ずらす
  となり、列ごとに足すと $x^4$ から順に $2$、$-1+0=-1$、$3+0+8=11$、$0-4=-4$、$12$ である。よって積は $2x^4-x^3+11x^2-4x+12$ である。

代入 $x=10$：整数の掛け算は多項式の掛け算と繰り上がり

多項式に数を代入してから計算しても、計算してから代入しても、結果は同じである。これが整数と多項式の筆算をつなぐ。

代入は和と積を保つ

多項式 $f,g$ と数 $c$ について
$$ (f+g)(c)=f(c)+g(c),\qquad (fg)(c)=f(c)\,g(c) $$
が成り立つ。とくに、$0$ 以上の整数 $a,b$ の数字の並びを係数とする多項式を $A(x),B(x)$ とすると（$A(10)=a$、$B(10)=b$）、$ab=(AB)(10)$ であり、$AB$ の係数（$0$ 以上の整数）を整数の筆算の仕組みの繰り上がりの補題の手順で繰り上げると、$ab$ の数字が得られる。

係数の式に数を入れる

方針：和は係数ごとの和なので、そのまま代入できる。積は prop-pld-mul の段 2 の式に $c$ を入れる。
段 1（和）。$f=\sum_ka_kx^k$、$g=\sum_kb_kx^k$（足りない係数は $0$）とすると $f+g=\sum_k(a_k+b_k)x^k$ である。$x=c$ を入れると、分配法則により
$$ (f+g)(c)=\sum_k(a_k+b_k)c^k=\sum_ka_kc^k+\sum_kb_kc^k=f(c)+g(c) $$
である。
段 2（積）。prop-pld-mul より $fg=\sum_kc_kx^k$、$c_k=\sum_{i+j=k}a_ib_j$ である。$x=c$ を入れると
$$ (fg)(c)=\sum_k\Bigl(\sum_{i+j=k}a_ib_j\Bigr)c^k=\sum_{i=0}^{m}\sum_{j=0}^{n}a_ib_j\,c^{i+j} $$
である（次数ごとにまとめる前の形に戻した）。一方、$f(c)\,g(c)=\bigl(\sum_ia_ic^i\bigr)\bigl(\sum_jb_jc^j\bigr)$ を分配法則で展開すると $\sum_i\sum_ja_ib_j\,c^ic^j$ であり、$c^ic^j=c^{i+j}$ なので同じ式になる。よって $(fg)(c)=f(c)g(c)$ である。
段 3（整数の場合）。段 2 で $c=10$ とすると $(AB)(10)=A(10)B(10)=ab$ である。$AB$ の係数 $c_k=\sum_{i+j=k}a_ib_j$ は、$0$ 以上の整数（数字）の積の和なので $0$ 以上の整数である。$ab=\sum_kc_k10^k$ に繰り上がりの補題を使うと、各位が $0$〜$9$ に直り、10 進法の表し方の一意性により、それが $ab$ の数字である。$\square$

代入してから計算しても同じ

$132\times23$：$A=x^2+3x+2$、$B=2x+3$ で、ex-pld-mul-start より $AB=2x^3+9x^2+13x+6$。$(AB)(10)=2000+900+130+6=3036=132\times23$ である。係数 $13$ が $10$ 以上なので、整数の筆算では $x$ の位から $1$ を繰り上げて、数字は $3,0,3,6$ になる。
$12\times12$：$A=B=x+2$ で $AB=x^2+4x+4$。係数はどれも $9$ 以下なので繰り上がりはなく、$12\times12=144$ の数字は係数の並び $(1,4,4)$ そのものである。
$9\times11$：$9$ を $x-1$、$11$ を $x+1$ と見ると、$(x-1)(x+1)=x^2-1$ で、$x=10$ を入れると $100-1=99=9\times11$ である。多項式では係数に $-1$ が出てもよいが、整数の数字に直すには $100-1=9\cdot10+9$ と借りる必要がある。

多項式の割り算の筆算

$g\ne0$ のとき、$f=gq+r$、$r=0$ または $\deg r<\deg g$ を満たす商 $q$ と余り $r$ がただ 1 組あること（多項式の割り算の定理）は、剰余の定理と因数定理で証明している。その証明は「最高次の項を 1 つずつ消す」手順であり、それを整数の割り算と同じ形に並べたものが多項式の割り算の筆算である。ここでは、まず筆算の例を見て、整数の割り算との違いを証明する。

2 次式で割る筆算

$(2x^4+3x^3-x^2+5x-4)\mathbin{÷}(x^2+x-1)$ を計算する。係数の並びは $(2,3,-1,5,-4)$ と $(1,1,-1)$ である。

$2x^4\mathbin{÷} x^2=2x^2$。$2x^2(x^2+x-1)=2x^4+2x^3-2x^2$ を引くと、$(3-2)x^3+(-1+2)x^2+5x-4=x^3+x^2+5x-4$。
$x^3\mathbin{÷} x^2=x$。$x(x^2+x-1)=x^3+x^2-x$ を引くと、$(5+1)x-4=6x-4$。
$6x-4$ の次数 $1$ は割る式の次数 $2$ より小さいので、ここで止める。
商は $2x^2+x$、余りは $6x-4$ である。検算：$(x^2+x-1)(2x^2+x)=2x^4+3x^3-x^2-x$ に $6x-4$ を足すと $2x^4+3x^3-x^2+5x-4$ になる。

2 次式で割った余りは、別の場面でも役に立つ。$t^n$ を 2 次式で割った余りから行列の $n$ 乗を求める使い方は行列のn乗と割り算の余りで扱う。
整数の割り算では、商の数字を上の桁から見積もり、大きすぎたら直す必要があった（整数の筆算の仕組みの仮の商の例）。多項式ではその必要がない。

商の最高次の項は最高次の係数だけで決まる

$f$ を次数 $n$、最高次の係数 $a$ の多項式、$g$ を次数 $m\le n$、最高次の係数 $b$ の多項式とし、$f=gq+r$（$r=0$ または $\deg r< m$）とする。このとき $q$ の次数は $n-m$ で、最高次の項は
$$ \frac ab\,x^{n-m} $$
である。さらに $f_1=f-\frac ab\,x^{n-m}g$ は、$f_1=0$ か $\deg f_1< n$ を満たす。

最高次の項がどこから来るかを見る

方針：$f=gq+r$ の両辺の $x^n$ の項を比べる。$r$ は次数が低いので $x^n$ の項に関わらない。
段 1（$q\ne0$）。もし $q=0$ なら $f=r$ で、$r=0$ か $\deg r< m\le n$ となり、$f$ の次数が $n$ であることに反する。よって $q\ne0$ である。
段 2（次数）。$q$ の次数を $d$、最高次の係数を $e\ne0$ とする。$gq$ の最高次の項は、$g$ の $bx^m$ と $q$ の $ex^d$ の積 $be\,x^{m+d}$ であり（prop-pld-mul で $k=m+d$ となる組は $(m,d)$ だけ）、$be\ne0$ なので $\deg(gq)=m+d$ である。$r$ は $0$ か次数が $m$ 未満なので、$f=gq+r$ の次数は $m+d$ である（$m+d\ge m$ だから）。よって $m+d=n$、つまり $d=n-m$ である。
段 3（係数）。$f=gq+r$ の $x^n$ の係数を比べる。左辺は $a$、右辺は $gq$ の $x^n$ の係数 $be$（$r$ は $x^n$ の項をもたない）なので、$a=be$、つまり $e=\frac ab$ である。
段 4（引いたあと）。$\frac ab x^{n-m}g$ の最高次の項は $\frac ab x^{n-m}\cdot bx^m=ax^n$ で、$f$ の最高次の項と等しい。引くと $x^n$ の項は消えるので、$f_1=0$ か $\deg f_1< n$ である。$\square$

仮の商がいらない理由

ex-pld-div2 の最初の段：$f$ の最高次の係数 $2$、$g$ の最高次の係数 $1$、次数の差 $2$ なので、商の最高次の項は $\frac21x^2=2x^2$ と決まる。試す必要はない。
整数の $1728\mathbin{÷}27$ では、上の桁 $17\mathbin{÷}2$ から見積もった $8$ が大きすぎた。整数では、下の位の数が繰り上がって上の位に影響する（$27\times8=216$ のうち、$7\times8=56$ の繰り上がり $5$ が十の位に入る）ので、上の桁だけでは商の数字を決めきれない。多項式では $x^n$ の項に下の次数の項が混ざらないので、最高次の係数どうしの割り算だけで決まる。そのかわり、$(x^3+7x^2+2x+8)\mathbin{÷}(2x+7)$ の最初の商の項が $\frac12x^2$ になるように、係数が整数でも商に分数が出てくる。

$x=10$ を入れて整数の割り算に戻るとき

ex-pld-div-start では、多項式の割り算に $x=10$ を入れると、整数の割り算 $1452=12\times121$ になった。いつもそうなるわけではない。

代入して整数の商と余りになる条件

$f,g,q,r$ を整数係数の多項式とし、$f=gq+r$ とする。整数 $c$ について $g(c)>0$ とする。このとき、$q(c)$ と $r(c)$ が整数 $f(c)$ を $g(c)$ で割った商と余りであることは、
$$ 0\le r(c)< g(c) $$
と同値である。

代入して除法の原理の一意性を使う

方針：thm-pld-subst で $x=c$ を入れ、商と余りの一意性（除法の原理。証明は整数の割り算と互除法）に持ち込む。逆向きは余りの定義から出る。
段 1。$f=gq+r$ の両辺に $x=c$ を入れると、thm-pld-subst により
$$ f(c)=g(c)\,q(c)+r(c) $$
である。係数が整数なので、$f(c),g(c),q(c),r(c)$ はどれも整数である。
段 2（$0\le r(c)< g(c)$ ならば商と余り）。$0\le r(c)< g(c)$ とする。除法の原理（証明は整数の割り算と互除法）により、$f(c)=g(c)Q+R$、$0\le R< g(c)$ を満たす整数の組 $(Q,R)$ はただ 1 組である。段 1 の式から、組 $(q(c),r(c))$ はこの 2 つの条件を満たすので、$Q=q(c)$、$R=r(c)$ である。つまり $q(c)$ と $r(c)$ は商と余りである。
段 3（商と余りならば $0\le r(c)< g(c)$）。逆に、$q(c)$ と $r(c)$ が $f(c)$ を $g(c)$ で割った商と余りであるとする。余りは $0$ 以上で割る数 $g(c)$ より小さい整数と定められているので、$0\le r(c)< g(c)$ である。$\square$

条件が成り立つ例

ex-pld-div-start：$r=0$ なので $0\le r(10)=0< g(10)=12$。$1452=12\times121$ である。
ex-pld-div2：$f(10)=20000+3000-100+50-4=22946$、$g(10)=100+10-1=109$、$q(10)=200+10=210$、$r(10)=60-4=56$ である。$0\le56<109$ なので、$22946=109\times210+56$ は整数の割り算の商と余りを与える。実際 $109\times210=22890$、$22890+56=22946$ である。

反例：代入しても整数の商と余りにならない

余りが大きすぎる：$x^2=(x-3)(x+3)+9$ である（右辺を展開すると $x^2-9+9$）。$x=10$ を入れると $100=7\times13+9$ だが、$9\ge7$ なので $9$ は $100$ を $7$ で割った余りではない。正しくは $100=7\times14+2$ である。多項式の余りの条件「次数が低い」は、数の大きさの条件「$g(10)$ より小さい」を保証しない。
余りが負になる：$x^3+4x^2+6x+3=(x+2)(x^2+2x+2)-1$ である（$(x+2)(x^2+2x+2)=x^3+4x^2+6x+4$）。$x=10$ を入れると $1463=12\times122-1$ で、余り $-1$ は負である。整数の割り算では $12$ を 1 つ戻して $1463=12\times121+11$ とする。これは引き算の筆算の「借り」にあたる。

組立除法：$x-a$ で割る筆算を短く書く

1 次式 $x-a$ で割るときは、筆算の多くの部分を書かずに済む。例で確かめてから、一般に証明する。

$x-2$ で割る筆算から書かなくてよい数を消す

$(2x^4-5x^3+7x-3)\mathbin{÷}(x-2)$ を、係数の並び $(2,-5,0,7,-3)$ と $(1,-2)$ で筆算する（図 3 の左）。

$2$ を立て、$2\times(1,-2)=(2,-4)$ を引く：$-5-(-4)=-1$。$0$ を下ろす。
$-1$ を立て、$-1\times(1,-2)=(-1,2)$ を引く：$0-2=-2$。$7$ を下ろす。
$-2$ を立て、$-2\times(1,-2)=(-2,4)$ を引く：$7-4=3$。$-3$ を下ろす。
$3$ を立て、$3\times(1,-2)=(3,-6)$ を引く：$-3-(-6)=3$。
商の係数は $(2,-1,-2,3)$、余りは $3$ である。この筆算を見ると、
引く行の左の数（薄い数）は、すぐ上の数と同じなので、書かなくてよい。
下ろす数は、もとの係数の並びにあるので、書き直さなくてよい。
立てる商は、その段の左端の数そのものである（割る式の最高次の係数が $1$ だから）。
「$-2$ 倍したものを引く」は「$2$ 倍したものを足す」と同じである。
これらを省くと、「前の結果を $2$ 倍して次の係数に足す」だけが残る。
$$ \begin{array}{c|rrrr|r} 2 & 2 & -5 & 0 & 7 & -3\\ & & 4 & -2 & -4 & 6\\ \hline & 2 & -1 & -2 & 3 & 3 \end{array} $$
これが組立除法である（図 3 の右）。

x−2 で割る筆算（左）から、書かなくてよい数を消すと組立除法（右）になる

組立除法の正しさ

$n\ge1$ とし、$f(x)=c_nx^n+c_{n-1}x^{n-1}+\dots+c_1x+c_0$、$a$ を数とする。
$$ b_{n-1}=c_n,\qquad b_{k-1}=c_k+a\,b_k\quad(k=n-1,n-2,\dots,1),\qquad r=c_0+a\,b_0 $$
と定める（前の結果を $a$ 倍して次の係数に足す）。このとき
$$ f(x)=(x-a)\bigl(b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\dots+b_1x+b_0\bigr)+r $$
であり、$f$ を $x-a$ で割った商は $b_{n-1}x^{n-1}+\dots+b_0$、余りは $r=f(a)$ である。

右辺を展開して係数を比べる

方針：右辺を展開して、各次数の係数が $c_n,\dots,c_0$ になることを定義の式から確かめる。
段 1（展開）。$Q(x)=\sum_{k=0}^{n-1}b_kx^k$ とおく。分配法則により
$$ (x-a)Q(x)=\sum_{k=0}^{n-1}b_kx^{k+1}-\sum_{k=0}^{n-1}a\,b_kx^k $$
である。第 1 の和は $x^1$ から $x^n$ まで、第 2 の和は $x^0$ から $x^{n-1}$ までの項をもつ。
段 2（各次数の係数）。$(x-a)Q(x)$ の係数を次数ごとに読む。

$x^n$：第 1 の和の $k=n-1$ の項だけなので、係数は $b_{n-1}$。
$x^k$（$1\le k\le n-1$）：第 1 の和の $b_{k-1}x^k$ と第 2 の和の $-ab_kx^k$ なので、係数は $b_{k-1}-ab_k$。
$x^0$：第 2 の和の $k=0$ の項だけなので、係数は $-ab_0$。
段 3（定義と比べる）。$(x-a)Q(x)+r$ の係数は、段 2 の係数の定数項に $r$ を足したものである。定義から
$x^n$：$b_{n-1}=c_n$。
$x^k$（$1\le k\le n-1$）：$b_{k-1}=c_k+ab_k$ なので $b_{k-1}-ab_k=c_k$。
$x^0$：$r=c_0+ab_0$ なので $-ab_0+r=c_0$。
よって $(x-a)Q(x)+r$ と $f(x)$ はすべての係数が等しく、同じ多項式である。
段 4（商と余り、$r=f(a)$）。$r$ は定数なので、$0$ か次数 $0<1=\deg(x-a)$ であり、多項式の割り算の定理（剰余の定理と因数定理）の一意性により $Q$ と $r$ が商と余りである。段 3 の等式に $x=a$ を入れると、thm-pld-subst により $f(a)=(a-a)Q(a)+r=r$ である。$\square$

剰余の定理と因数定理でも、3 次式の例で同じ係数比較をして組立除法の理由を述べている。ここでは、それを一般の次数で示した。

組立除法の計算

ex-pld-long-linear の表を定理の式で読む。$a=2$、$(c_4,c_3,c_2,c_1,c_0)=(2,-5,0,7,-3)$ で、$b_3=2$、$b_2=-5+2\cdot2=-1$、$b_1=0+2\cdot(-1)=-2$、$b_0=7+2\cdot(-2)=3$、$r=-3+2\cdot3=3$ である。よって $2x^4-5x^3+7x-3=(x-2)(2x^3-x^2-2x+3)+3$。$f(2)=32-40+14-3=3$ とも一致する。
$(3x^3-4x^2+5)\mathbin{÷}(x+1)$。$x+1=x-(-1)$ なので $a=-1$、係数は $(3,-4,0,5)$ である。$b_2=3$、$b_1=-4+(-1)\cdot3=-7$、$b_0=0+(-1)\cdot(-7)=7$、$r=5+(-1)\cdot7=-2$。
$$ \begin{array}{c|rrr|r} -1 & 3 & -4 & 0 & 5\\ & & -3 & 7 & -7\\ \hline & 3 & -7 & 7 & -2 \end{array} $$
よって $3x^3-4x^2+5=(x+1)(3x^2-7x+7)-2$ である。$f(-1)=-3-4+5=-2$ と一致する。

組立除法の最後の数 $r$ は $f(a)$ なので、組立除法は多項式の値の計算法でもある。$r$ を定義の式でまとめて書くと、$f(a)=\bigl(\cdots\bigl((c_na+c_{n-1})a+c_{n-2}\bigr)a+\cdots\bigr)a+c_0$ となる。この計算法を Horner の方法 という（Sho08 Exercise 17.2）。掛け算は $n$ 回で済む。

Horner の方法で値を計算する

$f(x)=2x^4-5x^3+7x-3$ の $f(2)$：$2\cdot2-5=-1$、$(-1)\cdot2+0=-2$、$(-2)\cdot2+7=3$、$3\cdot2-3=3$。組立除法の 3 段目 $2,-1,-2,3,3$ と同じ数が順に出てくる。
$x=10$ のとき：$2026=\bigl((2\cdot10+0)\cdot10+2\bigr)\cdot10+6$ である。$2x^3+0x^2+2x+6$ に $x=10$ を Horner の方法で入れる計算は、数字を上の位から読みながら「$10$ 倍して次の数字を足す」ことで、数字の並びから数を組み立てる計算そのものである。

組立除法をくり返す：$x-a$ の冪で書き直す

整数の筆算の仕組みでは、$10$ で割り続けて余りを並べると 10 進法の数字が得られた。同じことを $x-a$ で行うと、多項式を $x-a$ の冪で書き直せる。

$x-a$ で割り続けて係数を求める

$f$ を次数 $n\ge1$ の多項式、$a$ を数とする。$q_0=f$ とし、$k=0,1,\dots,n-1$ の順に $q_k$ を $x-a$ で割って
$$ q_k=(x-a)\,q_{k+1}+r_k\qquad(r_k\text{ は定数}) $$
とする。このとき $q_n$ は定数で、$r_n=q_n$ とおくと
$$ f(x)=r_0+r_1(x-a)+r_2(x-a)^2+\dots+r_n(x-a)^n $$
である。

割り算の式を順に代入する

方針：次数が 1 ずつ下がることを確かめ、割り算の式を下から順に代入していく。
段 1（次数）。prop-pld-leading により、次数 $d\ge1$ の多項式を $x-a$ で割った商の次数は $d-1$ である。$q_0=f$ の次数は $n$ なので、$q_k$ の次数は $n-k$ であり、$q_n$ の次数は $0$、つまり定数である。
段 2（代入）。$m=0,1,\dots,n$ について、
$$ f(x)=r_0+r_1(x-a)+\dots+r_{m-1}(x-a)^{m-1}+q_m(x)\,(x-a)^m $$
を $m$ についての数学的帰納法（数学的帰納法と整列性）で示す。$m=0$ では $f=q_0$ なので成り立つ。$m$ で成り立つとし、$m< n$ とする。$q_m=(x-a)q_{m+1}+r_m$ を代入すると、分配法則により
$$ q_m(x-a)^m=r_m(x-a)^m+q_{m+1}(x-a)^{m+1} $$
なので、$m+1$ の式が成り立つ。
段 3。$m=n$ の式で $q_n=r_n$ とすれば、求める式になる。$\square$

$x-1$ の冪で書き直す

$f(x)=x^3-3x^2+5x-2$ を $x-1$ で割り続ける（$a=1$）。各回で割るのは、前の回の最下段のうち余り（縦線の右）を除いた数を係数とする多項式、つまり前の回の商である。
1 回目（$f=x^3-3x^2+5x-2$ を $x-1$ で割る。係数 $1,-3,5,-2$）：
$$ \begin{array}{c|rrr|r} 1 & 1 & -3 & 5 & -2\\ & & 1 & -2 & 3\\ \hline & 1 & -2 & 3 & 1 \end{array} $$
余り $r_0=1$、商 $x^2-2x+3$。
2 回目（1 回目の商 $x^2-2x+3$ を割る。係数 $1,-2,3$）：
$$ \begin{array}{c|rr|r} 1 & 1 & -2 & 3\\ & & 1 & -1\\ \hline & 1 & -1 & 2 \end{array} $$
余り $r_1=2$、商 $x-1$。
3 回目（2 回目の商 $x-1$ を割る。係数 $1,-1$）：
$$ \begin{array}{c|r|r} 1 & 1 & -1\\ & & 1\\ \hline & 1 & 0 \end{array} $$
余り $r_2=0$、商は定数 $1$ で、$r_3=1$ である。よって
$$ x^3-3x^2+5x-2=1+2(x-1)+0\cdot(x-1)^2+(x-1)^3 $$
である。確かめると、$(x-1)^3=x^3-3x^2+3x-1$ に $2(x-1)+1=2x-1$ を足して $x^3-3x^2+5x-2$ になる。この式から、$f$ を $(x-1)^2$ で割った余りは $1+2(x-1)=2x-1$ だとすぐ分かる（$(x-1)^2$ 以上の項は $(x-1)^2$ で割り切れる）。

$x-2$ の冪で書き直す

$x^3$ を $x-2$ で割り続ける。係数 $(1,0,0,0)$ に $a=2$ の組立除法を使うと、1 回目：$1,2,4$ と余り $8$。2 回目（係数 $1,2,4$）：$1,4$ と余り $12$。3 回目（係数 $1,4$）：$1$ と余り $6$。最後の商は $1$。よって
$$ x^3=8+12(x-2)+6(x-2)^2+(x-2)^3 $$
である。$x=3$ を入れると、左辺 $27$、右辺 $8+12+6+1=27$ で一致する。

1 次式 $px+q$ で割る

最高次の係数が $1$ でない 1 次式で割るときは、$x$ の係数でくくってから組立除法を使う。

$2x-1$ で割る

$(6x^3+x^2-4x+5)\mathbin{÷}(2x-1)$。$2x-1=2\bigl(x-\frac12\bigr)$ なので、まず $a=\frac12$ の組立除法をする。係数 $(6,1,-4,5)$ から、$6$、$1+\frac12\cdot6=4$、$-4+\frac12\cdot4=-2$、$5+\frac12\cdot(-2)=4$。よって
$$ 6x^3+x^2-4x+5=\Bigl(x-\frac12\Bigr)(6x^2+4x-2)+4=(2x-1)(3x^2+2x-1)+4 $$
である（$x-\frac12$ に $2$ を掛け、商を $2$ で割った）。商は $3x^2+2x-1$、余りは $4$ である。
$(4x^2+4x+3)\mathbin{÷}(2x+1)$。$a=-\frac12$ の組立除法で、$4$、$4+\bigl(-\frac12\bigr)\cdot4=2$、$3+\bigl(-\frac12\bigr)\cdot2=2$。よって $4x^2+4x+3=\bigl(x+\frac12\bigr)(4x+2)+2=(2x+1)(2x+1)+2$ である。

余りは変わらず、商だけを $x$ の係数で割ればよい。$f=(x-a)Q+r$ なら、$p\ne0$ について $f=(px-pa)\cdot\frac Qp+r$ だからである。

例と反例：どの条件が効いているか

外した条件	崩れる主張	ボックス
係数の $0$ も並びに入れる	列がそろうこと	ex-pld-zero-coef
$0\le r(10)< g(10)$	$x=10$ で整数の商と余りになる（prop-pld-back）	ex-pld-back-fail
割る式の最高次の係数が $1$	組立除法の表の数がそのまま商の係数。整数係数の多項式の商と余りが整数係数	ex-pld-linear、ex-pld-int-coef

反例：係数の 0 を省くと別の多項式になる

$2x^4-5x^3+7x-3$ の係数の並びを、$x^2$ の $0$ を省いて $(2,-5,7,-3)$ と書くと、これは $2x^3-5x^2+7x-3$ の並びである。$a=2$ の組立除法をすると $2$、$-5+4=-1$、$7-2=5$、$-3+10=7$ で、余り $7$ が出る。これは $2x^3-5x^2+7x-3$ の $x=2$ での値 $16-20+14-3=7$ であり、正しい余り $3$（ex-pld-synthetic）とは違う。整数の $305$ を $35$ と書いてしまうのと同じ誤りである。

反例：整数係数どうしでも商は整数係数とは限らない

$x^2\mathbin{÷}(2x+1)$。最初の商の項は $x^2\mathbin{÷}2x=\frac12x$ である。続けると $x^2=(2x+1)\bigl(\frac12x-\frac14\bigr)+\frac14$ となる。検算：$(2x+1)\bigl(\frac12x-\frac14\bigr)=x^2-\frac12x+\frac12x-\frac14=x^2-\frac14$。
割る式の最高次の係数が $1$ なら、prop-pld-leading の割り算 $\frac ab$ は $b=1$ で割るだけなので、整数係数の多項式の商と余りは整数係数になる。組立除法（$x-a$、$a$ は整数）で分数が出ないのはこのためである。

さらに先へ

$x-a$ の冪で書き直したときの係数 $r_k$ は、$f$ の $k$ 階導関数を使って $r_k=\frac{f^{(k)}(a)}{k!}$ と書ける。多項式の Taylor 展開である（関数の近似とテイラー展開）。
係数が体（有理数・実数・複素数など）の多項式では、割り算の定理を使って整数と同じく互除法で最大公約数が求まる（整数の割り算と互除法）。多項式の筆算が整数より簡単なこと（繰り上がりがない）と、その計算の手間は Sho08 §17.1 に述べられている。
2 つの多項式が等しいことを係数の比較で確かめる考え方は、恒等式と未定係数法で扱う。
掛け算の筆算の「列ごとの和」$\sum_{i+j=k}a_ib_j$ は、数列の畳み込みと呼ばれる。これを使うと、整数の掛け算で繰り上がりを最後まで後回しにできる（掛け算の筆算と畳み込み）。