Fano平面

同義語：Fano planeファノ平面7点平面

概要

前提知識: 射影平面, 有限体, Steiner系

7 人の中から 3 人ずつの班をいくつか作り、どの 2 人もちょうど 1 つの班で一緒になるようにしたい。班は 7 つ必要で、作り方は人の名前の付け替えを除いて 1 通りしかない。この配置を幾何の言葉で「点」と「直線」と読むと、7 個の点と 7 本の直線からなり、どの 2 点もただ 1 本の直線で結ばれ、どの 2 直線もただ 1 点で交わる最小の射影平面になる。これを Fano 平面（Fano plane）という。
Fano 平面は、2 元体 $\mathbb F_2$ の上の射影平面 $\mathbb P^2(\mathbb F_2)$ として、Steiner 系 $S(2,3,7)$ として、長さ $7$ の Hamming符号の重み $3$ の符号語として、八元数の掛け算の表として、いくつもの場所に同じ形で現れる。どれも同じものになるのは、Fano 平面が同型を除いてただ 1 つしかないからである。
この記事では、Fano 平面を定義して射影平面の公理を満たすことを確かめ（prop-fano-basic）、同型を除いて一意であること（thm-fano-unique）、自己同型群が位数 $168$ の群 $\mathrm{GL}_3(\mathbb F_2)$ であること（thm-fano-aut）を証明する。さらに、体 $K$ の上の射影平面に、7 点を 1 本の直線に並べずに Fano 平面を直線どうしの関係ごと描けるのは $K$ の標数が $2$ のときに限ること（thm-fano-char）、Hamming 符号と 2 色の塗り分けとの関係（prop-fano-hamming、prop-fano-coloring）を示す。

定義

Fano 平面

7 元集合 $P$ と、$P$ の 3 元部分集合からなる族 $\mathcal L$ の組 $(P,\mathcal L)$ で、$P$ の相異なる 2 点を両方含む $\mathcal L$ の元がちょうど 1 つあるものを Fano 平面 という。$P$ の元を点、$\mathcal L$ の元を直線とよぶ。
2 つの Fano 平面 $(P,\mathcal L)$、$(P',\mathcal L')$ の同型とは、全単射 $\varphi\colon P\to P'$ で、$\ell\mapsto\varphi(\ell)$ が $\mathcal L$ から $\mathcal L'$ への全単射になるものをいう。$(P,\mathcal L)$ からそれ自身への同型を 自己同型 といい、その全体のなす群を $\operatorname{Aut}(P,\mathcal L)$ と書く。

Steiner系の言葉では、Fano 平面は Steiner 系 $S(2,3,7)$ のことである。相異なる点 $X,Y$ を通る直線を $XY$ と書き、その 3 つ目の点を $X\ast Y$ と書く。3 点が 1 本の直線に含まれることを共線という。

点と直線の基本性質

$(P,\mathcal L)$ を Fano 平面とする。

直線はちょうど 7 本あり、各点はちょうど 3 本の直線に含まれる。
相異なる 2 直線は、ちょうど 1 点で交わる。
直線 $\ell$ の補集合 $P\setminus\ell$ の 4 点は、どの 3 点も共線でない。
$(P,\mathcal L)$ は（点が直線に含まれることを「上にある」と読んで）位数 $2$ の射影平面である。逆に、位数 $2$ の射影平面は、直線をその上の点の集合と同一視すると Fano 平面である。

2 点の組を数える

1：点 $X$ を固定する。$X$ 以外の 6 点はそれぞれ $X$ とちょうど 1 本の直線を共有し、$X$ を含む直線は $X$ 以外の点をちょうど 2 個含むので、$X$ を含む直線は $X$ 以外の 6 点を 2 個ずつに分け、その本数は $3$ である。相異なる 2 点の組は $\binom72=21$ 個あり、各組はちょうど 1 本の直線に含まれ、各直線は 3 組を含むので、直線は $21/3=7$ 本である。
2：相異なる直線 $\ell,m$ が 2 点 $X,Y$ を共有すると、$X,Y$ を含む直線が 2 本になって定義に反する。よって $\ell$ と $\ell$ 以外の直線は高々 1 点を共有する。$\ell$ の 3 点のそれぞれは $\ell$ 以外の直線にちょうど 2 本含まれる（1）ので、$\ell$ と共有点をもつ $\ell$ 以外の直線は $3\cdot2=6$ 本ある（$\ell$ の相異なる点を通るものは、$\ell$ と 2 点を共有しないので相異なる）。これは $\ell$ 以外の直線のすべてである（1）。
3：$P\setminus\ell$ の 3 点が共線なら、それらを含む直線は（3 点からなるので）その 3 点そのものであり、$\ell$ と交わらない。これは 2 に反する。
4：射影平面の公理（射影平面の公理「射影平面の公理」）の (i) は定義、(ii) は 2、(iii) は 3 である。各直線は 3 点を含むので、射影平面の定理「有限射影平面の位数」により位数は $2$ である。逆に、位数 $2$ の射影平面は同じ定理により 7 点をもち、各直線の上に 3 点がある。相異なる 2 直線はちょうど 1 点で交わるので、上にある点の集合が等しい 2 直線は一致し、直線をその点の集合と同一視できる。公理 (i) によりこれは Fano 平面である。$\square$

3 つの表し方

$\mathbb F_2^3$ による表し方. $P$ を $\mathbb F_2^3$ の $0$ でない 7 個のベクトルとし、相異なる $u,v$ に対して $\{u,v,u+v\}$ の形の集合（$2$ 次元部分空間から $0$ を除いたもの）を直線とする。相異なる $u,v$ を含む直線は $\{u,v,u+v\}$ だけなので Fano 平面であり、$u\ast v=u+v$ である。$\mathbb F_2^\times=\{1\}$ なので $P$ は射影平面 $\mathbb P^2(\mathbb F_2)$ の点の全体と一致し、これは射影平面の例「Fano 平面」と同じものである。この Fano 平面を $\mathrm{PG}(2,2)$ と書く。
2 進法の番号による表し方. 1 の点 $(a_1,a_2,a_3)$ を番号 $4a_1+2a_2+a_3\in\{1,\dots,7\}$ で表すと、和は各位ごとの繰り上がりのない和になり、7 本の直線は
$$ \{1,2,3\},\ \{1,4,5\},\ \{1,6,7\},\ \{2,4,6\},\ \{2,5,7\},\ \{3,4,7\},\ \{3,5,6\} $$
である。
7 を法とする平行移動による表し方. $\{1,\dots,7\}$ を $7$ を法とする剰余類の代表とし、$\{1,2,4\}$ に $s=0,\dots,6$ を足した 7 個の集合を直線とすると Fano 平面になる（Steiner系の例「Fano 平面」）。$x\mapsto x+1$ は 7 本の直線を巡回的に入れ替える位数 $7$ の自己同型であり、$x\mapsto2x$ は $\{1,2,4\}+s$ を $\{2,4,1\}+2s$ に移すので、$\{1,2,4\}$ を自分自身に移す位数 $3$ の自己同型である。

2 の 7 本の直線は、八元数の記事の節「基底と掛け算の表」で $e_ae_b=\pm e_c$ となる番号の 3 つ組と一致する。つまり、八元数の虚数単位 $e_1,\dots,e_7$ の掛け算は、Fano 平面の各直線に向きを付けた図で覚えられる（Bae02 §2.1、pp. 6–7）。

一意性

Fano 平面は、共線でない 3 点を選ぶと残りの 4 点と 7 本の直線がすべて決まってしまう。

Fano 平面の一意性

$(P,\mathcal L)$、$(P',\mathcal L')$ を Fano 平面とし、$(A,B,C)$ を $P$ の共線でない相異なる 3 点の列、$(A',B',C')$ を $P'$ の共線でない相異なる 3 点の列とする。このとき、$A\mapsto A'$、$B\mapsto B'$、$C\mapsto C'$ となる同型 $(P,\mathcal L)\to(P',\mathcal L')$ がちょうど 1 つある。とくに、すべての Fano 平面は $\mathrm{PG}(2,2)$ と同型である。

共線でない 3 点から全体を組み立てる

3 点から決まる名前. $F:=A\ast B$、$D:=B\ast C$、$E:=C\ast A$ とおく。$A,B,C,D,E,F$ は相異なる：$F\notin\{A,B\}$ で、$F=C$ なら $A,B,C$ が共線になる。$D,E$ も同様に $A,B,C$ と異なる。$D$ と $E$ はそれぞれ直線 $BC$、$CA$ の上にあり、prop-fano-basic の 2 によりこの 2 直線の共有点は $C$ だけなので、$D\neq E$ である。$D\neq F$、$E\neq F$ も同様である。残りの 1 点を $G$ とする。
直線の決定. $A$ を含む直線は $A$ 以外の 6 点を 2 個ずつに分ける（prop-fano-basic の 1 の証明）。そのうち 2 本は $AB=\{A,B,F\}$、$AC=\{A,C,E\}$ なので、3 本目は $\{A,D,G\}$ である。同じく $B$ を含む直線は $\{A,B,F\}$、$\{B,C,D\}$ と $\{B,E,G\}$、$C$ を含む直線は $\{B,C,D\}$、$\{C,A,E\}$ と $\{C,F,G\}$ である。これで 6 本の直線が見つかった。$A,B,C,G$ はすでに 3 本ずつの直線に含まれ、$D,E,F$ は 2 本ずつにしか含まれていないので、7 本目の直線（prop-fano-basic の 1）は $\{D,E,F\}$ である。まとめると
$$ \mathcal L=\bigl\{\{A,B,F\},\{B,C,D\},\{C,A,E\},\{A,D,G\},\{B,E,G\},\{C,F,G\},\{D,E,F\}\bigr\}. $$
同型の構成と一意性. $(P',\mathcal L')$ でも $(A',B',C')$ から同じように $D',E',F',G'$ を定めると、$\mathcal L'$ は上の式にダッシュを付けた形になる。したがって $X\mapsto X'$（$X=A,\dots,G$）は直線を直線に移す全単射で、同型である。逆に、$\varphi$ が $A,B,C$ を $A',B',C'$ に移す同型なら、$\varphi$ は直線を直線に移すので $\varphi(A\ast B)=A'\ast B'$ などが成り立ち、$\varphi(D)=D'$、$\varphi(E)=E'$、$\varphi(F)=F'$ となる。$G$ は残りの 1 点なので $\varphi(G)=G'$ である。よって同型は 1 つに決まる。
最後の主張は、$P$ の 2 点 $A,B$ と直線 $AB$ の上にない点 $C$ をとり、$\mathrm{PG}(2,2)$ の側で標準基底 $(e_1,e_2,e_3)$ をとればよい（$e_3\neq e_1+e_2$ なので $e_1,e_2,e_3$ は共線でない）。$\square$

$\mathrm{PG}(2,2)$ で $A=e_1$、$B=e_2$、$C=e_3$ とおくと、$F=e_1+e_2$、$D=e_2+e_3$、$E=e_1+e_3$、$G=e_1+e_2+e_3$ である。図で描くと、$A,B,C$ を三角形の頂点、$D,E,F$ を辺の中点、$G$ を重心におき、3 辺・3 本の中線・3 つの中点を通る円が 7 本の直線になる（射影平面の例「Fano 平面」の図）。

自己同型群

$(P,\mathcal L)$ を Fano 平面とする。

$\operatorname{Aut}(P,\mathcal L)$ は、共線でない相異なる 3 点の列の全体に単純推移的に作用する（どの列もどの列にも、ちょうど 1 つの自己同型で移る）。とくに $\lvert\operatorname{Aut}(P,\mathcal L)\rvert=7\cdot6\cdot4=168$ である。
$\mathrm{PG}(2,2)$ では、$g\in\mathrm{GL}_3(\mathbb F_2)$ を $0$ でないベクトルの置換 $v\mapsto gv$ とみることで、同型 $\mathrm{GL}_3(\mathbb F_2)\cong\operatorname{Aut}(\mathrm{PG}(2,2))$ が得られる。

3 点の列を数える

1：自己同型は共線の 3 点を共線の 3 点に移すので、共線でない 3 点の列を共線でない 3 点の列に移す。thm-fano-unique を $(P',\mathcal L')=(P,\mathcal L)$ に当てはめると、作用は単純推移的である。したがって $\lvert\operatorname{Aut}\rvert$ は共線でない 3 点の列の個数に等しい。$A$ の選び方は 7 通り、$B$ は 6 通り、$C$ は直線 $AB$ の 3 点を除いた 4 通りで、$7\cdot6\cdot4=168$ である。
2：$g\in\mathrm{GL}_3(\mathbb F_2)$ は $0$ でないベクトルの全体を置換し、$\{u,v,u+v\}$ を $\{gu,gv,gu+gv\}$ に移すので自己同型を定める。これは群の準同型で、すべての $0$ でないベクトルを動かさない $g$ は単位行列なので単射である。一般線形群の命題「有限体上の一般線形群の位数」により $\lvert\mathrm{GL}_3(\mathbb F_2)\rvert=(8-1)(8-2)(8-4)=168$ で、1 と合わせて全単射である。$\square$

7 点の集合の上の Fano 平面の個数

7 元集合 $\Omega$ を固定すると、$\Omega$ を点の集合とする Fano 平面（$\Omega$ の 3 元部分集合の族 $\mathcal L$）はちょうど $30$ 個ある。

$\Omega$ の置換の群 $S_7$ は、$\Omega$ の上の Fano 平面の全体に $\mathcal L\mapsto\{\sigma(\ell)\mid\ell\in\mathcal L\}$ で作用する。thm-fano-unique により任意の 2 つは同型で、同型は $\Omega$ の置換なので、この作用は推移的である。$\mathcal L$ の安定化群は $\operatorname{Aut}(\Omega,\mathcal L)$ で、位数は $168$ である（thm-fano-aut）。群作用の定理「軌道・安定化群定理」により、個数は $7!/168=5040/168=30$ である。$\square$

$\mathbb F_2^\times=\{1\}$ なので $\mathrm{GL}_3(\mathbb F_2)=\mathrm{SL}_3(\mathbb F_2)=\mathrm{PSL}_3(\mathbb F_2)$ であり、これは単純群である（単純群の例「行列の群から得られる単純群」、Tay92 Theorem 4.5、p. 23）。さらにこの群は、同じ位数 $168$ の $\mathrm{PSL}_2(\mathbb F_7)$ と同型である（Tay92 Corollary 6.3、p. 43。証明は、位数 $168$ の単純群の部分群から Fano 平面を組み立てて、その群が $\mathrm{PSL}_3(\mathbb F_2)$ と同型になることを示す。この記事では証明しない）。この群は、種数 $3$ の曲線 Kleinの4次曲線の自己同型群としても現れる。ex-fano-models の 3 の位数 $7$ と位数 $3$ の自己同型は、この群の位数 $7$ と位数 $3$ の元の例である。

体の上の射影平面での実現

ex-fano-models の 1 は、Fano 平面を $\mathbb P^2(\mathbb F_2)$ の点と直線そのものとして実現している。では、実数や複素数の射影平面の中に、7 点を 1 本の直線に並べずに、Fano 平面の 7 本の直線がどれも本当の直線になるように置けるだろうか。答えは体の標数だけで決まる。

射影平面に描ける体

$K$ を体とする。$\mathbb P^2(K)$ の相異なる 7 点の集合 $P$ と、$P$ を点の集合とする Fano 平面 $(P,\mathcal L)$ で、次の (a)・(b) を満たすものがあるための必要十分条件は、$K$ の標数が $2$ であることである。
(a) $\mathcal L$ の各直線の 3 点は、$\mathbb P^2(K)$ の 1 本の直線の上にある。
(b) $P$ の 7 点の全部が $\mathbb P^2(K)$ の 1 本の直線の上にあることはない。
さらに、標数が $2$ のとき、そのような $P$ は可逆な行列による射影変換 $[x]\mapsto[Mx]$ で、座標が $0$ と $1$ だけの 7 点に移る。

完全四角形の対角点

標数が 2 の場合. $K$ は $\mathbb F_2=\{0,1\}$ を含む。座標が $0,1$ の $0$ でない 7 個のベクトルが表す点を $P$ とし、ex-fano-models の 1 と同じく $\{[u],[v],[u+v]\}$ を直線とする。$u=\lambda v$ なら、$v$ の成分が $1$ の座標を見て $\lambda\in\{0,1\}$、$\lambda\ne0$ なので $u=v$ であり、7 点は相異なる。$u+v$ は $u,v$ の張る平面に入るので (a) が成り立ち、$e_1,e_2,e_3$ は一次独立なので (b) が成り立つ。
逆向き. (a)・(b) を満たす $(P,\mathcal L)$ があるとする。

Fano 平面で共線でない 3 点は、$\mathbb P^2(K)$ でも共線でない. $X,Y,Z\in P$ が $\mathcal L$ では共線でなく、$\mathbb P^2(K)$ の直線 $L$ の上にあるとする。prf-fano-unique で $(A,B,C)=(X,Y,Z)$ とおくと、$F=A\ast B$、$D=B\ast C$、$E=C\ast A$、$G=A\ast D$ である。(a) により $A\ast B$ は $A$ と $B$ を通る $\mathbb P^2(K)$ の直線、つまり $L$ の上にある。同様に $D,E\in L$ で、$G$ も $A$ と $D$ を通る直線 $L$ の上にある。これは (b) に反する。
座標の正規化. $\mathcal L$ で共線でない $A,B,C$ をとり、prf-fano-unique のとおり $D,E,F,G$ を定める。$\{A,B,G\}$、$\{B,C,G\}$、$\{C,A,G\}$ はどれも $\mathcal L$ の直線でないので、1 により $A,B,C,G$ のどの 3 点も $\mathbb P^2(K)$ で共線でない。代表元 $a,b,c,g\in K^3$ をとると $a,b,c$ は一次独立で、$g=\alpha a+\beta b+\gamma c$ と書ける。$\alpha=0$ なら $G$ は直線 $BC$ の上にあるので $\alpha\ne0$、同様に $\beta,\gamma\ne0$ である。列が $\alpha a,\beta b,\gamma c$ の行列の逆行列を $M$ とすると、$[x]\mapsto[Mx]$ は直線を直線に移し、$A,B,C,G$ を $[1:0:0]$、$[0:1:0]$、$[0:0:1]$、$[1:1:1]$ に移す。(a)・(b) はこの変換で保たれるので、初めからこの座標であるとしてよい。
対角点の計算. $D$ は $\mathcal L$ の直線 $\{B,C,D\}$ と $\{A,D,G\}$ に含まれるので、(a) により直線 $BC$（$x=0$）と直線 $AG$（$y=z$）の交点で、$D=[0:1:1]$ である。同様に $E$ は $CA$（$y=0$）と $BG$（$x=z$）の交点 $[1:0:1]$、$F$ は $AB$（$z=0$）と $CG$（$x=y$）の交点 $[1:1:0]$ である。
結論. (a) により $\{D,E,F\}$ は共線なので
$$ 0=\det\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{pmatrix}=2 $$
であり、$K$ の標数は $2$ である。このとき 7 点は座標が $0,1$ の点そのものである。$\square$

4 点 $A,B,C,G$ は一般の位置にあり（どの 3 点も共線でない）、$D,E,F$ はその 6 本の結ぶ線のうち、頂点を共有しない 2 本ずつ（$BC$ と $AG$、$CA$ と $BG$、$AB$ と $CG$）の交点（完全四角形の対角点）である。定理の証明は、「完全四角形の 3 つの対角点が共線になるのは標数 $2$ のときに限る」という計算に帰着している。
とくに $\mathbb P^2(\mathbb R)$ や $\mathbb P^2(\mathbb C)$ には、(a)・(b) を満たすように Fano 平面を描くことはできない。図で 1 本の直線を円で描くのはこのためである。実数の場合は Sylvester–Gallaiの定理からも分かる：Fano 平面の 7 点では、どの 2 点を結ぶ直線も 3 点目を通るが、実平面の有限個の点が 1 本の直線に乗らないなら、ちょうど 2 点だけを通る直線がある（有限個の点を避ける直線を無限遠直線に選べば $\mathbb P^2(\mathbb R)$ でも同じである）。複素数の場合は Sylvester–Gallai の性質を満たす 9 点の配置があるので（Sylvester–Gallaiの定理の例「反例：複素射影平面の 9 点」）、thm-fano-char の計算が要る。
またマトロイドの例「Fano マトロイド」の $F_7$ を体 $K$ の上のベクトルで表せるのも、$K$ の標数が $2$ のときに限る。表すベクトルは 2 本ずつ一次独立なので $\mathbb P^2(K)$ の相異なる 7 点になり、直線にあたる 3 元集合が従属なので (a)、階数が $3$ なので (b) が成り立つからである。逆に標数 $2$ の体では、$0$ と $1$ を成分とする行列式が $\mathbb F_2$ で $0$ でないことと $K$ で $0$ でないことが同じなので、ex-fano-models の 1 のベクトルがそのまま $F_7$ を表す。

符号・彩色・グラフ

Hamming 符号の符号語と直線

$\mathrm{PG}(2,2)$ の 7 点を座標の番号とし、各点 $v\in\mathbb F_2^3$ を列とする $3\times7$ 行列 $H$ を検査行列とする長さ $7$ の二元 Hamming 符号 $\mathcal H_3$（Hamming符号の定義「Hamming 符号」）を考える。語を、成分が $1$ の座標の集合（台）で表す。

点の集合 $S$ が符号語の台であるのは、$\sum_{v\in S}v=0$ のときに限る。
符号語は 16 個で、重み $0,3,4,7$ のものがそれぞれ $1,7,7,1$ 個ある。重み $3$ の符号語の台は 7 本の直線で、重み $4$ の符号語の台は直線の補集合である。

1：$Hx^{\mathsf T}$ は $x$ の成分が $1$ の座標の列 $v$ の和である。
2：重み $3$ 以下の符号語を 1 によって数え、残りは補集合をとって対応させる。

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$v\ne0$ なので重み $1$ の符号語はなく、相異なる $u,v$ では $u+v\ne0$ なので重み $2$ の符号語もない。相異なる $u,v,w$ について $u+v+w=0$ は $w=u+v$、すなわち $\{u,v,w\}$ が直線であることと同値である。7 点の和は $0$ である（各座標で、その成分が $1$ の点は 4 個ある）。よって $S$ と補集合 $P\setminus S$ の和は等しく、$S$ が台であることと補集合が台であることは同値である。重み $4,5,6,7$ の符号語は重み $3,2,1,0$ の符号語と補集合で対応するので、それぞれ $7,0,0,1$ 個である。合計は $1+7+7+1=16=2^4$ で、$\mathcal H_3$ の次元 $4$ と合う。$\square$

Hamming符号の例「長さ $7$ の二元 Hamming 符号と三元の例」のように第 $j$ 列を $j$ の 2 進法の表示にとると、座標の番号は ex-fano-models の 2 の番号と一致し、重み $3$ の符号語の台は同じ例の 7 本の直線である。

2 色の塗り分け

Fano 平面の 7 点を 2 色で塗ると、3 点が同じ色の直線が必ずある。
どの 1 本の直線 $\ell$ を除いても、残りの 6 本の直線は、どれも 2 色を含むように 7 点を 2 色で塗り分けられる。

3 点で全直線と交わる集合

1：多い方の色の点の集合を $R$（$\lvert R\rvert\ge4$）、少ない方を $T$（$\lvert T\rvert\le3$）とする。$R$ が直線を含まないとすると、どの直線も $T$ と交わる。各点は 3 本の直線に含まれるので、$\lvert T\rvert\le2$ なら $T$ と交わる直線は高々 6 本で、7 本に足りない。$\lvert T\rvert=3$ で $T$ が直線でないなら、$T$ の 3 組の 2 点はそれぞれ相異なる直線を定め、その 3 本はそれぞれ $T$ の 2 点を含むので、$T$ と交わる直線は高々 $3\cdot3-3=6$ 本で、やはり足りない。よって $T$ は直線で、その 3 点は同じ色である。
2：$\ell$ の 3 点を赤、残りの 4 点を青で塗る。赤の点だけからなる直線は $\ell$ だけで、青の 4 点は prop-fano-basic の 3 により直線を含まない。$\square$

1 は、Fano 平面が 3 点ずつの辺をもつハイパーグラフとして 2-彩色できないことを述べている。確率論的方法の記事の反例の表では、局所補題による 2-彩色の定理の条件を外した例としても使われている。

点と直線の接続グラフ

点と直線を頂点とし、点が直線に含まれるとき辺で結んだグラフ $\Gamma$ を考える。$\Gamma$ は 14 頂点の二部グラフで、prop-fano-basic の 1 と直線が 3 点からなることにより、どの頂点の次数も $3$ である。4 頂点の閉路 $X$–$\ell$–$Y$–$m$–$X$ があると、相異なる 2 点 $X,Y$ が相異なる 2 直線 $\ell,m$ に含まれて定義に反するので、長さ $4$ の閉路はない。二部グラフなので奇数の長さの閉路もない。一方、共線でない 3 点 $A,B,C$ について $A$–$AB$–$B$–$BC$–$C$–$CA$–$A$ は長さ $6$ の閉路なので、$\Gamma$ の最短の閉路の長さ（内周）は $6$ である。このグラフは Heawood グラフ と呼ばれ、3 正則で内周が $6$ のグラフのうち頂点が最も少ないもの（(3,6)-ケージ）である（BM76 付録 III の Cages の項、p. 236。最少であることはこの記事では証明しない）。

反例

外す条件	反例	成り立たなくなること
thm-fano-char の、標数が $2$ であること	$K=\mathbb R$（$\mathbb Q$、$\mathbb C$ でも同じ）	条件 (a)・(b) を満たす 7 点の置き方があること
thm-fano-char の条件 (b)	$K=\mathbb R$ で、$x$ 軸の上の相異なる 7 点に ex-fano-models の 3 の直線を入れたもの	$K$ の標数が $2$ であること
def-fano-plane の「ちょうど 1 つ」	$\{1,2,4\}+s$ と $\{3,5,6\}+s$（$7$ を法とし $s=0,\dots,6$）の 14 個の 3 元集合	相異なる 2 直線が交わること（prop-fano-basic の 2）
prop-fano-coloring の 1 の、直線を 7 本すべて使うこと	1 本の直線を除いた残りの 6 本	3 点が同じ色の直線が必ずあること

反例の確かめ

各行の確かめを開く

1 行目：$\mathbb R$ の標数は $0$ なので、thm-fano-char によりそのような置き方はない。証明の 4 のとおり、完全四角形 $[1:0:0],[0:1:0],[0:0:1],[1:1:1]$ の対角点 $[0:1:1],[1:0:1],[1:1:0]$ は、行列式が $2\neq0$ なので共線でない。

2 行目：7 点はすべて 1 本の直線の上にあるので、どの 3 点も共線で (a) が成り立つ。(b) だけが成り立たず、$\mathbb R$ の標数は $2$ でない。

3 行目：$\{1,2,4\}$ と $\{3,5,6\}$ の 2 点の差は、どちらも $7$ を法として $1,\dots,6$ をちょうど 1 回ずつとるので（$\{3,5,6\}$ では $5-3,6-5,6-3$ が $2,1,3$）、それぞれの平行移動の 7 個は Fano 平面になる（ex-fano-models の 3 と同じ議論）。合わせた 14 個では、相異なる 2 点を含む集合がちょうど 2 つになる。$\{1,2,4\}$ と $\{3,5,6\}$ は共有点をもたない。

4 行目：prop-fano-coloring の 2 のとおりである。

参照箇所

射影平面としての Fano 平面と、Fano 平面がただ 1 つであること（7 点の集合と、どの 2 つも 1 点で交わる 7 個の 3 元部分集合から $\mathbb F_2$ 上の 3 次元空間を作る議論）：Tay92 第 6 章の冒頭（pp. 40–41）。7 点の集合の上の Fano 平面が 30 個あること：同 p. 43。$\mathrm{PSL}_3(\mathbb F_2)$ の単純性：同 Theorem 4.5（p. 23）。$\mathrm{PSL}_2(\mathbb F_7)\cong\mathrm{PSL}_3(\mathbb F_2)$：同 Theorem 6.1（p. 41）と Corollary 6.3（p. 43）。
八元数の掛け算と Fano 平面：Bae02 §2.1（pp. 6–7）。
射影平面の接続グラフとケージ：BM76 付録 III（p. 236）。