∞圏
概要
∞圏（infinity-category）とは、対象と射、射の間の高次の整合性を持つ圏の一般化である。本記事では(∞,1)-圏を準圏で定義し、写像空間・ホモトピー圏・単体的豊穣表示を説明する。
定義
本記事の∞圏は $(\infty,1)$-圏を意味する。1射は可逆とは限らず、2次以上の射はホモトピーの意味で可逆である。基本モデルには準圏を採用する。通常の圏と関手を前提とし、このモデルを定義するための単体的集合とホーンを説明する。
単体圏 $\Delta$ は有限全順序集合 $[n]=\{0,\ldots,n\}$ と順序を保つ写像からなる圏である。単体的集合は関手 $K:\Delta^{\mathrm{op}}\to\mathbf{Set}$ であり、$K_n$ の元を $n$-単体という。面写像は頂点を一つ抜き、退化写像は頂点を重複させる操作に対応する。
標準単体は $\Delta^n=\operatorname{Hom}_{\Delta}(-,[n])$ である。ホーン $\Lambda_i^n\subseteq\Delta^n$ は、第 $i$ 面以外の余次元1の面をすべて集めた部分単体的集合である。$0< i< n$ なら内部ホーンという。
準圏（quasicategory）とは、すべての $n\geq2,0< i< n$ と写像 $\Lambda_i^n\to\mathcal C$ に対して、これを延長する $\Delta^n\to\mathcal C$ が存在する単体的集合 $\mathcal C$ である。本記事ではこのモデルで $(\infty,1)$-圏を扱う。
頂点が対象、辺が射を表す。$\Lambda_1^2$ の充填は、二本の合成可能な射に対して、合成となる辺と合成を証言する2単体を与える。充填の一意性は要求しない。
定義は HTT09 Definition 1.1.2.4。すべてのホーン（外側も含む）を充填できる場合は Kan複体といい、空間、すなわち∞亜群を表す。一般の準圏とは区別する。
直感
通常の圏では合成を一つの射として指定する。∞圏では、合成の選択や選択の間のホモトピーを含めて扱う。3単体以上が結合性とその高次の整合性を記録する。合成が「勝手でよい」のではなく、整合性を等式だけに押し込めない定式化である。
ホモトピー圏（∞圏のホモトピー圏）を取れば合成を通常の圏で扱えるが、その際には射の間の高次情報が失われる。このため、ホモトピー圏が同じだけでは∞圏が同じとは限らない。
例
通常の圏 $A$ の脈体（脈体）$N(A)$ は、$n$-単体を $a_0\to\cdots\to a_n$ という合成可能な射の列とする単体的集合である。内部ホーンは一意に充填でき、従って準圏である。通常の圏はこの形で∞圏に含まれる。
$N(0\to1)=\Delta^1$ は準圏だがKan複体ではない。もしすべての外側ホーンも充填できれば、$0\to1$ に逆向きの射を作れるが、この圏には $1\to0$ がない。∞圏を単に空間と同一視してはいけない。
標準2単体の境界 $\partial\Delta^2$ には三本の辺があるが、非退化な2単体はない。$0\to1\to2$ で指定した内部ホーンを充填できないため準圏ではない。頂点と射の情報だけでは∞圏の公理は保証されない。
写像空間とホモトピー圏
対象 $x,y\in\mathcal C$ に対して
$$
\operatorname{Hom}^{R}_{\mathcal C}(x,y)_n
=\{\sigma:\Delta^{n+1}\to\mathcal C\mid
\sigma|_{\{0,\ldots,n\}}\text{ は }x\text{ で定値},\quad
\sigma(n+1)=y\}
$$
と定める。これはKan複体で、写像空間（写像空間(∞圏)）$\operatorname{Map}_{\mathcal C}(x,y)$ の一つの表示である。Kan性は HTT09 Proposition 1.2.2.3 による。この右写像空間 $\operatorname{Hom}^R$ のほか、左写像空間 $\operatorname{Hom}^L$ や円柱モデル（$\Delta^n\times\Delta^1\to\mathcal C$ で端を固定したもの）も用いられ、これらは互いに弱同値である（HTT09 §4.2.1）。
ホモトピー圏 $h\mathcal C$ は同じ対象を持ち、射集合を $\pi_0\operatorname{Map}_{\mathcal C}(x,y)$ とする。準圏の充填が合成を定める。$h\mathcal C$ で同型になる辺を $\mathcal C$ の同値射（同値射）という。ホモトピー圏・同値射の詳細は ∞圏のホモトピー圏、写像空間の詳細は 写像空間(∞圏) が扱う。
この写像空間のモデルに、一般に厳密に結合的な合成写像が自然に指定されているわけではない。計算には別の単体的豊穣表示を使うこともある。
Kan性の理由も述べる。右写像空間の $0< i\leq n$ のホーンを埋める問題は、定値な底面を付けることにより、$\mathcal C$ の内部ホーン $\Lambda_i^{n+1}$ の充填へ移る。よってすべての右ホーンを充填できる。右2ホーンからホモトピー圏の各射に右逆が得られ、右逆自身にも右逆を取ると両側逆になる。従ってこのホモトピー圏は亜群である。残る外側ホーンの充填には「同値を端に持つ外側ホーンは充填できる」という非自明な補題を使う。これは HTT09 Proposition 1.2.4.3とその双対による。Kan性と、別モデルの写像空間との比較同値は別の主張である。
準圏 $\mathcal C$ 全体についても同様の判定がある。準圏 $\mathcal C$ がKan複体であることと、ホモトピー圏 $h\mathcal C$ が亜群であることは同値である（HTT09 Proposition 1.2.5.1）。Kan複体を「すべての射が可逆な∞圏」と呼ぶ根拠はここにある。
通常の圏 $A$ と対象 $x,y\in A$ に対し、写像空間 $\operatorname{Hom}^R_{N(A)}(x,y)$ は集合 $\operatorname{Hom}_A(x,y)$ に対応する離散的な単体的集合であり、$hN(A)\cong A$ である。
$N(A)$ の上の $(n+1)$-単体は、最初の $n$ 本が $x$ の恒等射で最後が $f:x\to y$ となる列である。従ってすべての次元で $f$ だけにより決まり、写像空間は $\operatorname{Hom}_A(x,y)$ に対応する離散的な単体的集合になる。$\pi_0$ を取っても変わらないので $hN(A)\cong A$ である。
通常の圏 $A$ の脈体 $N(A)$ は、すべての内部ホーンを一意に充填できる。従って $N(A)$ は準圏である。
2次元の内部ホーンは合成可能な二本の射を与え、欠けた辺はその合成で一意に決まる。高次でも脈体の単体は連続する辺の列で決まり、その他の辺は部分列の合成となる。面の間の整合性は合成の結合律によって成立するので、内部ホーンから一意の射の列を復元できる。
単体的豊穣圏との接続
単体的圏（単体的豊穣圏）$\mathcal A$ はHomを単体的集合として持ち、合成が単体的写像である豊穣圏である。各HomがKan複体なら局所Kanという。
標準単体の単体的豊穣表示 $\mathfrak C[\Delta^n]$ は対象 $0,\ldots,n$ を持つ。$i< j$ のHomは、両端 $i,j$ を含む $\{i,\ldots,j\}$ の部分集合を包含で並べた半順序集合の脈体であり、合成は部分集合の和集合による。$i=j$ のHomは一点、$i>j$ では空である。単体的圏 $\mathcal A$ に対し、$n$-単体の集合を単体的関手の集合
$$
(N_{\mathrm{hc}}\mathcal A)_n
=\operatorname{Hom}_{\mathrm{sSet\text{-}Cat}}(\mathfrak C[\Delta^n],\mathcal A)
$$
で定めた単体的集合 $N_{\mathrm{hc}}\mathcal A$ をホモトピー整合的脈体という。局所Kanな $\mathcal A$ ならこれは準圏になり、$\mathcal A(x,y)$ は対応する写像空間を表示する。HTT09 §1.1.5、§2.2。
モデル圏のcofibrant–fibrant対象、単体的局所化・ハンモック局所化は、単体的豊穣表示を得る異なる入口である。必要な置換を行い、DK同値（Dwyer–Kan 同値、DK同値）や準圏の圏同値（圏同値(∞圏)）で比較する。完全Segal空間なども別のモデルだが、モデル間の比較定理を省略して同一の定義と呼ばない。Rie20 §§6, 8。
安定∞圏や∞トポスは、ここで定義した∞圏に追加条件を課したものとして学ぶ。一般の∞圏が安定的・トポス的であるわけではない。
関連項目
参考文献
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