Fort空間

同義語：Fort space

概要

前提知識: 位相空間, 閉包, 分離公理, コンパクト空間, 一点コンパクト化

Fort 空間（Fort space）とは、無限集合 $X$ の一点 $p$ を固定し、「$p$ を含まない集合」と「補集合が有限な集合」を開集合とする位相空間である。$p$ 以外の点はすべて孤立点で、$p$ の近傍は有限個を除くすべての点を含む。これは無限離散空間 $X\setminus\{p\}$ の一点コンパクト化にほかならず、コンパクト Hausdorff で、開かつ閉な集合からなる開基をもつ。可算と非可算で性質が分かれ、可算 Fort 空間は収束点列 $\{0\}\cup\{1/n\}$ と同相で距離化可能だが、非可算 Fort 空間は正規なのに完全正規でなく、第1可算でもない。さらに $p$ を二つに割った修正 Fort 空間は、コンパクトで $T_1$ なのに Hausdorff でない空間の例になり、連結成分と準成分が食い違う。

定義

Fort 位相

$X$ を無限集合、$p\in X$ とする。
$$\tau_{\mathrm{F}}:=\{U\subset X\mid p\notin U\}\cup\{U\subset X\mid X\setminus U\ \text{が有限集合}\}$$
を $X$ 上の Fort 位相といい、$(X,\tau_{\mathrm{F}})$ を Fort 空間（Fort space）という。$X$ が可算無限なら可算 Fort 空間、非可算なら非可算 Fort 空間という。

$\tau_{\mathrm{F}}$ が位相であることを確かめる。$\emptyset$ は $p$ を含まず、$X$ の補集合は空である。合併が $p$ を含めば $p$ を含む元が一つあり、その元の補集合は有限で、合併の補集合はそれに含まれる。二つの元の共通部分が $p$ を含めば両方とも補集合が有限であり、共通部分の補集合は二つの有限集合の和である。$p$ を含まない場合はいずれも定義の第一の形である。
$p\neq q$ について $\{q\}$ は $p$ を含まないので開であり、$q$ は孤立点である。$p$ の開近傍は補集合が有限なので、$X$ が無限である限り $p$ は孤立点でない。台集合 $X$ の濃度が同じなら、$p$ を対応させる全単射によって Fort 空間どうしは同相であり、Fort 空間は $X$ の濃度だけで決まる。
$X$ が有限なら、同じ式で定めた位相はすべての部分集合を開とする離散位相になる（どの部分集合の補集合も有限だから）。そのため $X$ は無限集合と仮定する。
ほかの位相との関係． $p$ を含まない集合と $X$ だけを開とする除外点位相と、補集合が有限な集合を開とする補有限位相を考える。Fort 位相はこの二つを含む最小の位相である。実際、除外点位相の開集合 $U$ と補有限位相の開集合 $V$ の共通部分は、$U=X$ なら補集合が有限、$p\notin U$ なら $p$ を含まないので、どちらも Fort 位相で開である。逆に Fort 位相の開集合はどちらかの位相の開集合である。

直感

Fort 空間は「無限個の孤立点が、ただ一点 $p$ に向かって集まる」空間である。$p$ の近傍は有限個を除くすべての点を含むので、相異なる点を並べた点列はどの順に並べても $p$ に収束する。整数 $n$ を $1/n$ に、$p$ を $0$ に送れば、可算の場合は実数直線の収束点列 $\{0\}\cup\{1/n\}$ そのものになる。非可算の場合は点が多すぎて、$p$ に近づく方法を可算個の近傍で記述できなくなる。

基本の性質

閉包と閉集合

$X$ を Fort 空間とする。

閉集合は、$p$ を含む集合と、有限集合である。
$p\notin A$ のとき、$A$ が有限なら $\overline A=A$、無限なら $\overline A=A\cup\{p\}$ である。
$p$ を含む開集合と、一点集合 $\{q\}$（$q\neq p$）は開かつ閉である。

$F$ の補集合が開であることは、補集合が $p$ を含まない（$p\in F$）か、補集合の補集合 $F$ が有限であることである。
1 により、$p$ を含まない有限集合は閉であり、$p$ を含まない無限集合 $A$ は閉でない。$A$ を含む閉集合は $p$ を含む集合なので、最小のものは $A\cup\{p\}$ である。
$p$ を含む集合は 1 により閉なので、$p$ を含む開集合は開かつ閉である。$\{q\}$ は開で、有限集合なので閉である。$\square$

コンパクト性と分離公理

$X$ を Fort 空間とする。

$X$ はコンパクトであり、Hausdorff である。
$K\subset X$ がコンパクトであることと、$K$ が閉集合であること（$p\in K$ または $K$ が有限であること）は同値である。
$X$ は遺伝正規であり、$T_5$ 空間である。
$X$ は開かつ閉な集合からなる開基をもつ。とくに零次元空間であり、異なる二点は開かつ閉な集合で分けられる。したがって $X$ は完全不連結空間である。
空でない部分集合はどれも孤立点をもつ（$X$ は散在的である）。
$X$ の点列はかならず収束する部分列をもつ。とくに $X$ は点列コンパクト空間である。

開被覆から $p$ を含む元 $U$ を一つとると、$X\setminus U$ は有限なので、その各点を含む元を一つずつ加えれば有限部分被覆になる。相異なる二点の一方 $q$ は $p$ と異なり、$\{q\}$ と $X\setminus\{q\}$ は二点を分ける互いに素な開集合である（$X\setminus\{q\}$ は $p$ を含み補集合が有限）。
コンパクト Hausdorff 空間では、閉集合とコンパクト集合は一致する。閉集合の形は prop-fort-closure の 1 による。
分離された二集合 $A,B$（$\overline A\cap B=A\cap\overline B=\emptyset$）をとる。$p\notin A\cup B$ なら $A,B$ 自身が互いに素な開集合である。$p\in A$ なら $p\notin\overline B$ なので、prop-fort-closure の 2 により $B$ は有限で、$p$ を含まない有限集合として開かつ閉である。よって $X\setminus B\supset A$ と $B$ が互いに素な開集合である。$p\in B$ のときも同様である。一点集合は閉なので $T_1$ であり、$T_5$ である。
prop-fort-closure の 3 の開かつ閉な集合が開基をなす。開集合 $U$ と $x\in U$ について、$x=p$ なら $U$ 自身、$x\neq p$ なら $\{x\}$ が $x\in W\subset U$ となる開かつ閉な $W$ である。異なる二点の一方 $q\neq p$ について $\{q\}$ が二点を分ける。
空でない $Y$ が $q\neq p$ を含めば $q$ は $Y$ の孤立点であり、そうでなければ $Y=\{p\}$ である。
ある値が無限回現れれば、その値の定数部分列が収束する。そうでなければ、添字を増やしながら既出の値と異なる項を選んで、相異なる値からなる部分列 $(y_k)$ がとれる。$p$ の開近傍 $U$ の補集合は有限なので、$y_k\notin U$ となる $k$ は有限個であり、$(y_k)$ は $p$ に収束する。$\square$

一点コンパクト化としての Fort 空間

$X$ を Fort 空間とし、$D=X\setminus\{p\}$ に離散位相を入れる。$X$ は $D$ の一点コンパクト化 $D^+$（$p$ を無限遠点とする）と、$D$ の上で恒等写像、$p\mapsto\infty$ となる写像によって同相である。

一点コンパクト化の定義により、$D^+$ の開集合は、$D$ の開集合（$D$ の任意の部分集合）と、$D$ のコンパクトな閉集合 $C$ について $D^+\setminus C$ の形の集合である。離散空間 $D$ のコンパクト集合は有限集合なので、後者は $\infty$ を含み補集合が有限な集合である。これは Fort 位相の開集合の二つの形にちょうど対応する。$\square$

この見方では、一点コンパクト化の例「半開区間と収束列」の 2 が、可算 Fort 空間が収束点列 $\{0\}\cup\{1/n\mid n\ge1\}$ と同相であることを示している。次節ではこれを直接確かめる。

可算と非可算の違い

点 $x$ が $A$ の閉包に属するときにつねに $A$ の点列で $x$ に収束するものがとれる空間を Fréchet–Urysohn 空間という。第1可算空間は Fréchet–Urysohn 空間である（第1可算空間の定理「閉包の点列による判定」）。

可算性による分岐

$X$ を Fort 空間とする。

$X$ はつねに Fréchet–Urysohn 空間であり、とくに列型空間である。
$X$ が可算なら、$X$ は第2可算・第1可算・可分であり、完全正規である。さらに $X$ は $\mathbb{R}$ の部分空間 $K=\{0\}\cup\{1/n\mid n\ge1\}$ と同相であり、距離化可能である。
$X$ が非可算なら、閉集合 $\{p\}$ は $G_\delta$ 集合（Gδ集合）でなく、$X$ は完全正規でない。また $p$ は可算な基本近傍系をもたず、$X$ は第1可算でも可分でもなく、距離化可能でない。

$x\in\overline A$ とする。$x\in A$ なら定数列でよい。$x\notin A$ なら prop-fort-closure の 2 により $x=p$ で $A$ は無限集合である。$A$ の相異なる点の列 $(a_n)$ をとれば、thm-fort-compact の 6 の証明と同じ理由で $a_n\to p$ である。Fréchet–Urysohn 空間では点列閉集合 $A$ の閉包の点が $A$ の点列の極限なので $A$ に属し、点列閉集合は閉である。
$X\setminus\{p\}=\{q_1,q_2,\dots\}$ と番号をつけ、$h(p)=0$、$h(q_n)=1/n$ とする。$K$ の点 $1/n$ は孤立点であり、$0$ を含む $K$ の部分集合が $K$ で開であることと、その補集合が有限であることは同値である（$0$ を含む開集合はある $(-\varepsilon,\varepsilon)$ を含み、$1/n\ge\varepsilon$ となる $n$ は有限個である。逆に補集合が有限なら、その点より $0$ に近い $\varepsilon$ をとればよい）。よって全単射 $h$ は開集合を開集合に対応させ、同相写像である。距離空間 $K$ は第2可算・第1可算・可分・完全正規であり（距離空間の閉集合は $G_\delta$ 集合）、これらは同相で保たれる。
$p$ を含む開集合の可算個 $U_1,U_2,\dots$ をとる。各 $X\setminus U_i$ は有限なので $\bigcup_i(X\setminus U_i)$ は可算であり、$X$ が非可算なので $\bigcap_iU_i$ は $p$ 以外の点 $q$ を含む。よって $\bigcap_iU_i\neq\{p\}$ で、$\{p\}$ は $G_\delta$ 集合でない。さらに $X\setminus\{q\}$ は $p$ の開近傍だがどの $U_i$ も含まないので、$\{U_i\}$ は基本近傍系でない。稠密な集合は開な一点集合 $\{q\}$（$q\neq p$）とすべて交わるので $X\setminus\{p\}$ を含み、非可算である。距離空間は第1可算なので、$X$ は距離化可能でない。$\square$

1 と 3 により、非可算 Fort 空間は Fréchet–Urysohn 空間だが第1可算でない。また非可算 Fort 空間はコンパクト Hausdorff なので正規だが、3 により完全正規でない。正規空間の例「反例：正規だが完全正規でない空間」は、非可算離散空間の一点コンパクト化としてこの空間そのものを扱っている。可算の場合に距離化可能であることは、一点コンパクト化の定理「一点コンパクト化の距離化可能性」（離散空間 $X\setminus\{p\}$ が第2可算であること）からも従う。

非可算性を変えた二つの空間との比較

非可算集合 $D$ に点 $p$ を足した $X=D\sqcup\{p\}$ の上で、$p$ の近傍を「補集合が有限」とした非可算 Fort 空間と、「補集合が高々可算」とした Fortissimo空間を比べる。

性質	非可算 Fort 空間	Fortissimo 空間
コンパクト	である	でない（Lindelöf）
コンパクト部分集合	閉集合	有限集合
$p\in\overline A$（$p\notin A$）となる $A$	無限集合	非可算集合
$p$ に収束する単射な点列	すべて	ない
第1可算	でない	でない
Fréchet–Urysohn	である	でない

Fortissimo 空間の列は同記事の定理・命題による。$p$ の近傍を大きく（補集合を可算まで）許すと位相が細かくなり、コンパクト性と点列による近づき方が同時に失われる。同じ集合 $\mathbb{Z}_{\ge0}^2$ の上で可算 Fort 位相を細かくした Arens–Fort空間でも、同様にコンパクト性と点列による近づき方が失われる。

修正 Fort 空間

Fort 空間の特別な点 $p$ を二つの点 $x_1,x_2$ に割ると、Hausdorff 性だけが壊れた空間ができる。

修正 Fort 空間

$N$ を無限集合、$x_1,x_2$ を $N$ に属さない相異なる二点とし、$X=N\cup\{x_1,x_2\}$ とおく。$U\subset X$ が開であるとは、$U\subset N$ であるか、または $U$ が $x_1,x_2$ の少なくとも一方を含み $N\setminus U$ が有限集合であることをいう。この空間を修正 Fort 空間（modified Fort space）という。

これが位相であることは Fort 位相と同様に確かめられる（二つの開集合の共通部分が $x_1$ を含めば両方が $x_1$ を含み、$N$ での補集合は有限集合の和である。共通部分が $x_1,x_2$ をどちらも含まなければ $N$ の部分集合である）。$N$ の点は孤立点である。$N$ が有限なら、同じ式で定めた位相は離散位相になり、以下の否定的な性質はどれも成り立たない。以下 $N$ は無限集合とする。

修正 Fort 空間の性質

$X=N\cup\{x_1,x_2\}$ を修正 Fort 空間とする（$N$ は無限集合）。

$A\subset X$ について、$A\cap N$ が有限なら $\overline A=A$、無限なら $\overline A=A\cup\{x_1,x_2\}$ である。
$X$ はコンパクトで $T_1$ だが、Hausdorff でない。正則性条件・正規性条件・遺伝正規性条件はいずれも成り立たない。
連結成分はすべて一点集合である（$X$ は完全不連結空間である）。$x_1$ は連結な近傍をもたず、$X$ は局所連結空間でない。
$x_1$ と $x_2$ の準成分（完全不連結空間の定義「準成分」）はともに $\{x_1,x_2\}$ であり、$n\in N$ の準成分は $\{n\}$ である。したがって $X$ は完全分離でなく、開かつ閉な集合からなる開基をもたない。
空でない部分集合はどれも孤立点をもつ。
相異なる $N$ の点からなる点列は $x_1$ と $x_2$ の両方に収束する。$X$ は点列コンパクトである。
$x_1$ と $x_2$ を一点 $p$ に同一視する写像 $q\colon X\to N\cup\{p\}$ は商写像であり、商空間は $N\cup\{p\}$ の Fort 空間（特別な点 $p$）である。
$N$ が可算なら $X$ は第2可算で可分である。$N$ が非可算なら $X$ は第1可算でも可分でもない。

要点：$x_i$ の近傍はどれも $N$ の有限個を除く全部を含むので、$x_1$ と $x_2$ の近傍はかならず交わり、$x_1$ を含む開かつ閉な集合は $x_2$ も含む。そのほかの性質は Fort 空間と同じ議論で示せる。

詳しい証明を開く

1. $N$ の点は孤立点なので、$A$ の外の $N$ の点は閉包に入らない。$A\cap N$ が有限なら、$x_i\notin A$ について $\{x_i\}\cup(N\setminus A)$ は $x_i$ の開近傍で $A$ と交わらない。$A\cap N$ が無限なら、$x_i$ の近傍は $N$ の有限個の点しか除かないので $A$ と交わる。

2. 開被覆から $x_1$ を含む元 $U$ をとると、$X\setminus U$ は $(N\setminus U)\cup\{x_2\}$ に含まれて有限なので、有限部分被覆がとれる。$n\in N$ について $X\setminus\{n\}$ は $x_1$ を含み $N$ から一点しか除かないので開、$X\setminus\{x_1\}=N\cup\{x_2\}$ も開、$X\setminus\{x_2\}$ も同様なので、一点集合はすべて閉で $T_1$ である。$x_1$ の開近傍と $x_2$ の開近傍はどちらも $N$ の有限個を除く全部を含み、$N$ が無限なので交わる。よって Hausdorff でなく、閉集合 $\{x_2\}$ と点 $x_1$、互いに素な閉集合 $\{x_1\}$ と $\{x_2\}$、分離された二集合 $\{x_1\}$ と $\{x_2\}$ のどれも互いに素な開集合で分けられない。

3. 二点以上を含む $Y\subset X$ をとる。$Y$ が $n\in N$ を含めば、開かつ閉な $\{n\}$（2 により閉）で $Y$ が分かれる。そうでなければ $Y=\{x_1,x_2\}$ で、$\{x_i\}=Y\cap(N\cup\{x_i\})$ は相対開なので $Y$ は分かれる。よって連結な部分集合は一点集合だけである。$x_1$ の近傍は無限集合なので連結でない。

4. $x_1$ を含む開かつ閉な集合 $C$ は、開なので $C\cap N$ が無限であり、1 により $x_2\in\overline C=C$ である。一方 $n\in N$ について $X\setminus\{n\}$ は $x_1$ を含む開かつ閉な集合なので、$x_1$ の準成分は $\{x_1,x_2\}$ である。$x_2$ も同様であり、$n$ の準成分は開かつ閉な $\{n\}$ である。開かつ閉な集合からなる開基があれば、開集合 $X\setminus\{x_2\}\ni x_1$ の中に $x_1$ を含む開かつ閉な集合があるはずだが、それは $x_2$ を含むので矛盾する。

5. 空でない $Y$ が $N$ の点を含めばそれが孤立点であり、そうでなければ $Y$ は $\{x_1,x_2\}$ の空でない部分集合で、3 によりその相対位相は離散である。

6. $x_i$ の近傍は $N$ の有限個の点しか除かないので、相異なる $N$ の点の列は最終的にその近傍に入る。任意の点列は、ある値が無限回現れれば定数部分列をもち、そうでなければ相異なる値からなる部分列をもつ。後者から $x_1,x_2$ に等しい高々二項を除けば、相異なる $N$ の点からなる部分列が残り、それは $x_1$ に収束する。

7. Fort 空間 $F=N\cup\{p\}$ の開集合 $V$ について、$p\notin V$ なら $q^{-1}(V)=V\subset N$ は開であり、$p\in V$ なら $q^{-1}(V)$ は $x_1,x_2$ を含み $N\setminus q^{-1}(V)=N\setminus V$ は有限なので開である。よって $q$ は連続である。逆に $q^{-1}(V)$ が開とする。$p\notin V$ なら $V\subset N$ で $F$ の開集合である。$p\in V$ なら $q^{-1}(V)$ は $x_1$ を含む開集合なので $N\setminus V$ は有限であり、$F\setminus V=N\setminus V$ も有限で $V$ は開である。よって $F$ の位相は $q$ による商位相（商位相）である。

8. $N$ が可算なら、一点集合 $\{n\}$（$n\in N$）と $\{x_i\}\cup(N\setminus E)$（$i=1,2$、$E\subset N$ は有限集合）の全体は可算な開基であり、$X$ 自身が可算な稠密集合である。$N$ が非可算なら、$x_1$ の開近傍の可算個 $U_j$ について $\bigcup_j(N\setminus U_j)$ は可算なので、それに属さない $n\in N$ がある。$X\setminus\{n\}$ は $x_1$ の開近傍だがどの $U_j$ も含まないので、$x_1$ は可算な基本近傍系をもたない。稠密な集合は孤立点をすべて含むので $N$ を含み、非可算である。$\square$

2 と 6 から、修正 Fort 空間では点列の極限が一意でない。4 は、完全不連結空間の定理「コンパクトHausdorff空間の準成分」で Hausdorff 性を外せないことを示している。7 は、Hausdorff でない空間の商が Hausdorff になりうることを示す。商写像 $q$ は $x_1,x_2$ の上でだけ単射でないが、その二点の「分けられなさ」がちょうど商で消える。

反例の表

外す条件	反例	成り立たなくなること
Hausdorff 性（$T_1$ では足りない）	修正 Fort 空間	コンパクト空間は正規である
Hausdorff 性	修正 Fort 空間	コンパクト空間の準成分は連結成分に一致する
Hausdorff 性	修正 Fort 空間	完全不連結なコンパクト空間は開かつ閉な集合からなる開基をもつ
Hausdorff 性	修正 Fort 空間	収束する点列の極限はただ一つである
台集合の可算性	非可算 Fort 空間	コンパクト Hausdorff 空間 $X$ の閉集合 $\{p\}$ は $G_\delta$ 集合である
台集合の可算性	非可算 Fort 空間	Fréchet–Urysohn であるコンパクト Hausdorff 空間は第1可算である

1〜4 行目は thm-mfort の 2・3・4・6 による。コンパクト Hausdorff 空間ではどれも成り立つ（2 行目は完全不連結空間の定理「コンパクトHausdorff空間の準成分」、3 行目は同記事の系「局所コンパクトな完全不連結空間は零次元」）。完全不連結空間の例「反例：極限点が二つある列」の空間 $\mathbb{N}\sqcup\{a,b\}$ は、$N=\mathbb{N}$ とした修正 Fort 空間である（零次元空間の反例の表でも使われている）。5・6 行目は thm-fort-countability の 1・3 による。可算 Fort 空間は距離化可能なので、5・6 行目の結論をみたす。