余因子行列

$\mathbb{Z}[x]$ は整域なので、分数体 $\mathbb{Q}(x)$ に単射で埋め込まれる。$F(X_1,\dots,X_k)$ と $G(X_1,\dots,X_k)$ の成分は $\mathbb{Z}[x]$ の元であり、$\mathbb{Q}(x)$ で等しいので $\mathbb{Z}[x]$ でも等しい。

$R$ と $A_1,\dots,A_k$ が与えられたとき、$x^{(s)}_{ij}\mapsto(A_s)_{ij}$ で定まる代入の環準同型 $\varphi\colon\mathbb{Z}[x]\to R$ がある（多項式環の普遍性。$\mathbb{Z}\to R$ は $1\mapsto1$ で決まる）。$\varphi$ は和と積を保つので、成分が整数係数の多項式で与えられる式とは可換であり、$\varphi(F(X_1,\dots,X_k))=F(A_1,\dots,A_k)$、$\varphi(G(X_1,\dots,X_k))=G(A_1,\dots,A_k)$ である。よって $F(A_1,\dots,A_k)=G(A_1,\dots,A_k)$ を得る。

最後の主張について、$\det X_s$ は $\mathbb{Z}[x]$ の元で、すべての $x^{(s)}_{ij}$ に $\delta_{ij}$ を代入すると $\det I_n=1$ になるから $0$ でない多項式である。よって $\det X_s$ は体 $\mathbb{Q}(x)$ の $0$ でない元、すなわち単元であり、cor-adj-inverse により $X_s$ は $\mathbb{Q}(x)$ の上で正則である。$\square$

1 は定義から直接示す。$A^{\top}$ から第 $i$ 行と第 $j$ 列を除いた行列は、$A$ から第 $j$ 行と第 $i$ 列を除いた行列 $M_{ji}$ の転置であり、転置しても行列式は変わらない（行列式 の記事の命題「転置と行列式」。証明は Leibniz の公式の項の並べ替えなので可換環の上でも通る）。よって $A^{\top}$ の $(i,j)$ 余因子は $C_{ji}$ であり、$\operatorname{adj}(A^{\top})$ の $(i,j)$ 成分は $A^{\top}$ の $(j,i)$ 余因子 $C_{ij}$、すなわち $(\operatorname{adj}A)$ の $(j,i)$ 成分である。

2〜4 は両辺の成分が $A$、$B$ の成分の整数係数の多項式なので、lem-adj-generic により、$\mathbb{Q}(x)$ の上の正則な行列 $X=X_1$、$Y=X_2$ について示せばよい。正則な行列 $Z$ については cor-adj-inverse より $\operatorname{adj}Z=(\det Z)Z^{-1}$ である。

2：$XY$ も正則で、 $$\operatorname{adj}(XY)=\det(XY)\,(XY)^{-1}=(\det Y\,Y^{-1})(\det X\,X^{-1})=\operatorname{adj}Y\,\operatorname{adj}X$$ である。

3：$\det(\operatorname{adj}X)=\det\bigl((\det X)X^{-1}\bigr)=(\det X)^{n}\det(X^{-1})=(\det X)^{n-1}$ である。ここで $\det(cZ)=c^n\det Z$（多重線形性）と $\det(X^{-1})=(\det X)^{-1}$ を使った。

4：3 より $\operatorname{adj}X$ は正則で、 $$\operatorname{adj}(\operatorname{adj}X)=\det(\operatorname{adj}X)\,(\operatorname{adj}X)^{-1}=(\det X)^{n-1}\bigl((\det X)X^{-1}\bigr)^{-1}=(\det X)^{n-2}X$$ である。$n\ge2$ なので $(\det X)^{n-2}X$ の成分は $X$ の成分の多項式であり、lem-adj-generic を適用できる。

5：2 を 2 回使うと $\operatorname{adj}(P^{-1}AP)=\operatorname{adj}P\,\operatorname{adj}A\,\operatorname{adj}(P^{-1})$ である。$P$ と $P^{-1}$ は正則なので $\operatorname{adj}P=(\det P)P^{-1}$、$\operatorname{adj}(P^{-1})=\det(P^{-1})P=(\det P)^{-1}P$ であり、スカラーは打ち消し合って $P^{-1}(\operatorname{adj}A)P$ を得る。$\square$

まず「$A$ の $n-1$ 次の小行列式 $\det M_{ij}$ のどれかが $0$ でないこと」と「$\operatorname{rank}A\ge n-1$」が同値であることを示す。

$\det M_{ij}\ne0$ とする。$M_{ij}$ の $n-1$ 個の行は線形独立である（行列式 の記事の定理「正則性の判定」）。$A$ の第 $i$ 行以外の $n-1$ 個の行の間に自明でない線形関係があれば、第 $j$ 成分を除いた同じ関係が $M_{ij}$ の行の間にも成り立ってしまう。よって $A$ の第 $i$ 行以外の行は線形独立であり、$\operatorname{rank}A\ge n-1$ である。

逆に $\operatorname{rank}A\ge n-1$ とする。$A$ には線形独立な $n-1$ 個の行があり、それが第 $i$ 行以外の行であるとする。それらを並べた $(n-1)\times n$ 行列 $B$ の行階数は $n-1$ なので、列階数も $n-1$ であり、$B$ には線形独立な $n-1$ 個の列がある。それが第 $j$ 列以外の列であるとすると、$B$ からその $n-1$ 列を取り出した正方行列は $M_{ij}$ そのものであり、列が線形独立なので $\det M_{ij}\ne0$ である。

以上から、$\operatorname{rank}A\le n-2$ ならすべての余因子が $0$ で、$\operatorname{adj}A=O$ である。

$\operatorname{rank}A=n$ なら、cor-adj-inverse より $\operatorname{adj}A=(\det A)A^{-1}$ は正則で、階数は $n$ である。

$\operatorname{rank}A=n-1$ とする。上の同値により $\operatorname{adj}A\ne O$ であり、$\det A=0$ なので thm-adj-fundamental から $A\operatorname{adj}A=O$ である。よって $\operatorname{adj}A$ の各列は $A$ の核 $\{x\in K^n\mid Ax=0\}$ に属する。核の次元は次元定理により $n-\operatorname{rank}A=1$ なので、核は $0$ でないベクトル $v$ で張られ、$\operatorname{adj}A$ の第 $k$ 列は $w_kv$（$w_k\in K$）と書ける。$w^{\top}:=(w_1,\dots,w_n)$ とおくと $\operatorname{adj}A=vw^{\top}$ であり、$\operatorname{adj}A\ne O$ なので $w^{\top}\ne0$、階数は $1$ である。最後に $\operatorname{adj}A\,A=O$ から $v(w^{\top}A)=O$ であり、$v\ne0$ なので $w^{\top}A=0$ である。$\square$

1：第 $i$ 行に関する余因子展開 $\det A=\sum_{k}a_{ik}C_{ik}$ において、余因子 $C_{ik}$ は第 $i$ 行を除いた成分だけで作られるので $a_{ij}$ を含まない。よって $a_{ij}$ で偏微分すると $C_{ij}$ だけが残る。

2：$\det A$ は成分の多項式なので、合成関数の微分（連鎖律）と 1 から $$\frac{d}{dt}\det A(t)=\sum_{i,j}C_{ij}(t)\,a_{ij}'(t)=\sum_{i,j}(\operatorname{adj}A(t))_{ji}(A'(t))_{ij}=\operatorname{tr}\bigl(\operatorname{adj}A(t)\,A'(t)\bigr)$$ である。$A(t)$ が正則なら $\operatorname{adj}A(t)=\det A(t)\,A(t)^{-1}$ を代入すればよい。

3：$K[t]$ の形式的な微分 $D$ は $K$ 線形で積の微分法則 $D(fg)=D(f)g+fD(g)$ を満たす。このことから、多変数の多項式 $F\in K[y_1,\dots,y_m]$ と $g_1,\dots,g_m\in K[t]$ について $$D\bigl(F(g_1,\dots,g_m)\bigr)=\sum_{k=1}^{m}\frac{\partial F}{\partial y_k}(g_1,\dots,g_m)\,D(g_k)$$ が成り立つ（両辺は $F$ について線形なので単項式 $F=y_1^{e_1}\cdots y_m^{e_m}$ で確かめればよく、それは積の微分法則を繰り返し使うと得られる）。$F=\det$、$g$ を $tI_n-A$ の成分とすると、$D(tI_n-A)=I_n$ なので、2 と同じ計算で $\chi_A'=\sum_{i}C_{ii}=\operatorname{tr}(\operatorname{adj}(tI_n-A))$ を得る。ここで $C_{ii}$ は $tI_n-A$ の余因子である。$\square$