解析的多面体
概要
解析的多面体（analytic polyhedron）とは、複素空間 $X$ 上の有限個の正則関数 $f_1,\dots,f_N$ について、すべての $|f_j|$ が $1$ より小さい点の集合の開かつ閉な部分集合で、$X$ の中で相対コンパクトなもののことである。多重円板や有界な開いた多項式多面体を特別な場合に含み、$(f_1,\dots,f_N)$ は解析的多面体から単位多重円板への固有写像を与える。正則凸包が自分自身に等しいコンパクト集合は、その任意の近傍の中で解析的多面体によって囲め、解析的多面体は正則凸で、Stein 空間の中では Stein である。Stein 多様体の Runge 性・近似定理・$\mathbb{C}^{2n+1}$ への埋め込みの議論で、空間を取り尽くす部品として使われる。
解析的多面体 は、有限個の正則関数 $f_1,\dots,f_N$ について「すべての $|f_j|$ が $1$ より小さい」点の集合の、相対コンパクトな一片である。$\mathbb{C}^n$ の多重円板は座標関数を半径で割った $N=n$ 個の関数で定まる解析的多面体であり、$\{|p_j|< 1\}$ が有界になる多項式 $p_j$ で定まる開いた多項式多面体もその特別な場合である（岡–Weilの近似定理 の定義「多項式多面体と岡の写像」の多項式多面体は、閉多重円板の中で $|p_j|\le1$ で定まる閉じた版である）。解析的多面体の上では、定める関数の組 $F=(f_1,\dots,f_N)$ が単位多重円板への固有写像になり、多重円板の上の議論（冪級数、Cauchy の積分公式）を持ち込める。
この記事では、正則凸包が自分自身に等しいコンパクト集合が、その任意の近傍の中で解析的多面体によって外から近似できること（thm-ap-insertion）、解析的多面体が正則凸であり Stein 空間の中では Stein であること（prop-ap-basic、thm-ap-stein）を示す。これから、Stein 空間は Stein な解析的多面体の増大列で尽くされる（cor-ap-exhaustion）。Stein 多様体の中の解析的多面体は Runge 性をもち（prop-ap-runge）、次数（関数の個数）を次元の 2 倍まで下げられることが、Stein 多様体の $\mathbb{C}^{2n+1}$ への埋め込みの出発点になる（thm-ap-order）。
定義
複素空間は 複素解析空間 の定義「複素解析空間と正則写像」の意味とし（Hausdorff で第 2 可算公理を満たす）、複素多様体を含む。複素空間 $X$ の大域正則関数の環を $\mathcal{O}(X)$、コンパクト集合 $K$ の正則凸包を $\widehat K_X$ と書く（Stein空間 の定義「正則凸包と正則凸性」。複素多様体では 正則凸包 の定義「正則凸包」と同じ）。$\widehat K_X=K$ のとき $K$ は $\mathcal{O}(X)$ 凸であるという。$f_1,\dots,f_N\in\mathcal{O}(X)$ に対し
$$
\Delta(f):=\{x\in X\mid |f_j(x)|< 1\ (j=1,\dots,N)\},\qquad \mathbb{D}^N:=\{w\in\mathbb{C}^N\mid |w_j|< 1\ (j=1,\dots,N)\}
$$
とおく。$\Delta(f)$ は $X$ の開集合で、$\mathbb{D}^N$ は単位多重円板である。
$X$ を複素空間とする。部分集合 $P\subset X$ が 解析的多面体（analytic polyhedron）であるとは、ある $f_1,\dots,f_N\in\mathcal{O}(X)$ について次の 2 条件が成り立つことをいう。
- $P$ は $\Delta(f)$ の開かつ閉な部分集合である。
- $P$ は $X$ の中で相対コンパクトである（閉包 $\overline P$ がコンパクト）。
このとき $P$ は $f_1,\dots,f_N$ で定まる 次数 $N$ の解析的多面体であるといい、$F:=(f_1,\dots,f_N)\colon X\to\mathbb{C}^N$ を 定める写像 と呼ぶ。
$X$ が複素多様体なら、開集合 $\Delta(f)$ の連結成分は開集合なので、条件 1 は「$P$ が $\Delta(f)$ のいくつかの連結成分の和である」ことと同値である。Hörmander は Stein 多様体の中でこの形で定義している（Hor90 §5.3、p. 133）。定める関数は 1 つに決まらず、次数は $P$ そのものでなく関数の組に付く数である。
直感
$|f|<1$ という条件は、$f$ の大きさで点をふるい分ける。正則凸包 $\widehat K_X$ は「どの正則関数でも $K$ の上の最大値を超えない点」の集合だったので、$\widehat K_X=K$ なら、$K$ の外の点は、$K$ の上で小さく自分の上で大きい関数で切り離せる。コンパクト性によって有限個の関数で済ませたものが解析的多面体である（thm-ap-insertion）。
解析的多面体 $P$ の上では、$F$ が $P$ を単位多重円板の上に「固有に」写す（prop-ap-basic）。多重円板は正則関数の議論が最もよく効く領域で、岡潔（Kiyoshi Oka）は $\mathbb{C}^n$ の多項式多面体を、座標を付け足した写像で多重円板の閉部分多様体として埋め込み、多重円板の上の延長と冪級数展開から近似定理を導いた（岡–Weilの近似定理）。解析的多面体はこの方法を一般の空間に持ち込むための部品である。
例と反例
- $\mathbb{C}^n$ で $f_j:=z_j/r_j$（$r_j>0$）とすると $\Delta(f)$ は多重円板 $\{|z_j|< r_j\}$ そのもので、有界なので次数 $n$ の解析的多面体である。$\Delta(f)$ が有界な多項式 $p_1,\dots,p_N$ について $\{|p_j|< 1\}$ も解析的多面体で、多項式多面体と呼ばれる。たとえば $\{|z_1|< 1,\ |z_2|< 1,\ |z_1z_2|< 1/2\}\subset\mathbb{C}^2$ は次数 $3$ の多項式多面体で、凸集合ではない。
- $X=\mathbb{C}$、$f(z):=z(z-3)/2$ とすると、$\Delta(f)=\{|z(z-3)|< 2\}$ は有界である。直線 $\operatorname{Re}z=3/2$ の点 $z=3/2+it$ では $z(z-3)=-9/4-t^2$ で $|z(z-3)|>2$ なので、$\Delta(f)$ はこの直線と交わらず、$P_1:=\Delta(f)\cap\{\operatorname{Re}z< 3/2\}\ni0$ と $P_2:=\Delta(f)\cap\{\operatorname{Re}z>3/2\}\ni3$ に分かれる。$P_1$、$P_2$ はどちらも $\Delta(f)$ の開かつ閉な部分集合で有界なので、同じ関数 $f$ で定まる次数 $1$ の解析的多面体である。
$X=\mathbb{C}^n$ の解析的多面体 $P$ が $f_1,\dots,f_N$ で定まるとし、$\overline P\subset\{|z_j|< R\}$ となる $R>0$ をとる。$\Delta':=\Delta(z_1/R,\dots,z_n/R,f_1,\dots,f_N)$ とおくと $P\subset\Delta'\subset\Delta(f)$ で、$P$ は $\Delta(f)$ で開かつ閉なので $\Delta'$ でも開かつ閉である。よって $P$ は次数 $n+N$ の解析的多面体でもあり、定める写像
$$
\Phi(z):=\bigl(z/R,\ f_1(z),\dots,f_N(z)\bigr)
$$
は prop-ap-basic の 2 により $P$ から $\mathbb{D}^{n+N}$ への固有写像である。固有な連続写像の像は閉集合で（$\mathbb{D}^{n+N}$ のコンパクト集合の逆像がコンパクト）、像 $\Phi(P)$ は開集合 $P/R:=\{z/R\mid z\in P\}\subset\mathbb{D}^n$ の上の正則写像 $w\mapsto(f_j(Rw))_j$ のグラフである。したがって $\Phi$ は $P$ を $\mathbb{D}^{n+N}$ の閉複素部分多様体 $\{(w,v)\mid Rw\in P,\ v_j=f_j(Rw)\}$ に双正則に写す。これが 岡の写像 で、岡–Weilの近似定理 の定義「多項式多面体と岡の写像」は、閉じた多項式多面体に対する同じ形の写像 $z\mapsto(z,P_1(z),\dots,P_m(z))$ である。
性質
凸なコンパクト集合を囲む
$X$ を複素空間、$K\subset X$ を $\widehat K_X=K$ となるコンパクト集合、$U\supset K$ を開集合とする。このとき、$\mathcal{O}(X)$ の有限個の関数で定まる解析的多面体 $P$ で、$K\subset P$ かつ $\overline P\subset U$ となるものが存在する。
複素空間は局所的に $\mathbb{C}^n$ の局所閉集合と同相なので局所コンパクトである。$K$ の各点に、閉包がコンパクトで $U$ に含まれる開近傍をとり、$K$ を覆う有限個の和を $\omega$ とする。$\omega\supset K$ は開集合で、$\overline\omega$ はコンパクトで $U$ に含まれる。$L:=\overline\omega\setminus\omega$ はコンパクトで、$K$ と交わらない。
各 $q\in L$ は $q\notin K=\widehat K_X$ なので、$f_q\in\mathcal{O}(X)$ で $|f_q(q)|>\sup_K|f_q|$ となるものがある。$\sup_K|f_q|< a_q< |f_q(q)|$ となる $a_q>0$ をとって $g_q:=f_q/a_q$ とおくと、$\sup_K|g_q|< 1$ かつ $|g_q(q)|>1$ である。開集合 $\{|g_q|>1\}$ が $q$ を含むので、$L$ のコンパクト性により、有限個 $g_1,\dots,g_m$ で $L\subset\bigcup_j\{|g_j|>1\}$ となるものがとれる（$L=\emptyset$ なら $m=1$、$g_1=0$ とする）。
$P:=\Delta(g)\cap\omega$ とおく。$\sup_K|g_j|< 1$ と $K\subset\omega$ から $K\subset P$ である。$\overline P\subset\overline\omega\cap\{|g_j|\le1\ (\text{すべての }j)\}$ で、$L$ の各点ではある $|g_j|$ が $1$ を超えるので $\overline P\cap L=\emptyset$、すなわち $\overline P\subset\omega\subset U$ である。$\overline P$ はコンパクトな $\overline\omega$ の閉部分集合なのでコンパクトである。最後に、$P$ は $\Delta(g)$ の開集合で、$\overline P\cap\Delta(g)\subset\omega\cap\Delta(g)=P$ なので $\Delta(g)$ の閉集合でもある。よって $P$ は $g_1,\dots,g_m$ で定まる解析的多面体である。$\square$
この定理と証明は Hor90 Lemma 5.3.7（p. 133）を、Stein 多様体から一般の複素空間に移したものである。$\mathbb{C}^n$ の多項式凸なコンパクト集合と多項式多面体については同 Lemma 2.7.4（p. 53）が同じことを述べている（閉じた多項式多面体で囲む形は 岡–Weilの近似定理 の補題「多項式多面体で囲む」）。
固有性と正則凸性
$P\subset X$ を $f_1,\dots,f_N\in\mathcal{O}(X)$ で定まる解析的多面体、$F=(f_1,\dots,f_N)$ とし、$0< r< 1$ について $P_r:=\{x\in P\mid |f_j(x)|\le r\ (\text{すべての }j)\}$ とおく。
- 境界の点 $x\in\overline P\setminus P$ では $\max_j|f_j(x)|=1$ である。
- $P_r$ はコンパクトである。したがって $F|_P\colon P\to\mathbb{D}^N$ は固有写像である。
- $P$ を開部分空間とみたとき、コンパクト集合 $L\subset P$ の正則凸包 $\widehat L_P$ は、$r:=\max_j\max_L|f_j|$ について $P_r$ に含まれる。とくに $P$ は正則凸である。
1：$\overline P\subset\{|f_j|\le1\ (\text{すべての }j)\}$ である。$P$ は $\Delta(f)$ の閉集合なので $\overline P\cap\Delta(f)=P$ であり、$x\in\overline P\setminus P$ は $\Delta(f)$ に属さない。よってある $j$ で $|f_j(x)|\ge1$ で、合わせて $\max_j|f_j(x)|=1$ である。
2：1 により $P_r=\{x\in\overline P\mid |f_j(x)|\le r\ (\text{すべての }j)\}$ であり、これはコンパクトな $\overline P$ の閉部分集合なのでコンパクトである。$\mathbb{D}^N$ のコンパクト集合 $C$ はある $r< 1$ について閉多重円板 $\{|w_j|\le r\}$ に含まれ、$(F|_P)^{-1}(C)$ は $P_r$ の閉部分集合なのでコンパクトである。
3：$L\subset P\subset\Delta(f)$ はコンパクトなので $r< 1$ である。$f_j|_P\in\mathcal{O}(P)$ なので、$x\in\widehat L_P$ なら $|f_j(x)|\le\max_L|f_j|\le r$、すなわち $\widehat L_P\subset P_r$ である。$\widehat L_P$ は $P$ の閉集合でコンパクトな $P_r$ に含まれるので、コンパクトである。$\square$
$X$ を Stein 空間、$P\subset X$ を解析的多面体とする。このとき $P$（開部分空間）は Stein 空間である。
Stein空間 の定義「Stein 空間」の 3 条件を確かめる。正則凸性は prop-ap-basic の 3 である。相異なる 2 点 $x,y\in P$ は、$X$ で分離する $f\in\mathcal{O}(X)$ の制限 $f|_P\in\mathcal{O}(P)$ で分離される。局所座標：$x\in P$ について、$X$ の条件 3 により、$g_1,\dots,g_M\in\mathcal{O}(X)$ と $x$ の開近傍 $W$ があって、$g=(g_1,\dots,g_M)$ は $W$ を開集合 $G\subset\mathbb{C}^M$ の閉解析的部分空間 $Z$ に同型に写す。$g|_W$ は $W$ から $Z$ への同相写像なので、$g(W\cap P)$ は $Z$ の開集合で、ある開集合 $G'\subset G$ について $Z\cap G'$ と書ける。よって $g|_P$ は $W\cap P$ を $G'$ の閉解析的部分空間 $Z\cap G'$ に同型に写す。$\square$
一般に、Stein 空間の正則凸な開部分空間は Stein である（GR79 第 V 章 §1.1 Theorem 1 a)、p. 125）。thm-ap-stein はその特別な場合を直接確かめたものである。
$X$ を正則凸な複素空間とする。このとき $X$ の解析的多面体 $P_1,P_2,\dots$ で、$\overline{P_m}\subset P_{m+1}$、$\bigcup_mP_m=X$ となるものがある。$X$ が Stein なら、各 $P_m$ は Stein である。
要点：$\mathcal{O}(X)$ 凸なコンパクト集合の増大列 $K_m\subset\operatorname{int}K_{m+1}$ で $X$ を尽くし、thm-ap-insertion で $K_m$ と $\operatorname{int}K_{m+1}$ の間に解析的多面体を挟む。
詳しい証明を開く
$X$ は局所コンパクトで第 2 可算公理を満たすので、正則凸包 の補題「コンパクト集合による取り尽くし」の証明と同じく、コンパクト集合 $L_1\subset L_2\subset\cdots$ で $L_j\subset\operatorname{int}L_{j+1}$、$\bigcup_jL_j=X$ となるものがあり、$X$ のコンパクト集合はある $\operatorname{int}L_j$ に含まれる。$K_1:=\widehat{(L_1)}_X$ とし、$K_m$ を決めたら $K_m\cup L_{m+1}\subset\operatorname{int}L_k$ となる $k$ をとって $K_{m+1}:=\widehat{(L_k)}_X$ とおく。$X$ は正則凸なので $K_m$ はコンパクトで、$\sup_{\widehat L_X}|f|=\sup_L|f|$ から $\widehat{(\widehat L_X)}_X=\widehat L_X$ なので $\mathcal{O}(X)$ 凸である。$K_m\subset\operatorname{int}L_k\subset\operatorname{int}K_{m+1}$、$L_{m+1}\subset K_{m+1}$ なので、$K_m\subset\operatorname{int}K_{m+1}$、$\bigcup_mK_m=X$ である。
thm-ap-insertion を $K=K_m$、$U=\operatorname{int}K_{m+1}$ に使い、$K_m\subset P_m$、$\overline{P_m}\subset\operatorname{int}K_{m+1}$ となる解析的多面体 $P_m$ をとる。$\overline{P_m}\subset K_{m+1}\subset P_{m+1}$ であり、$\bigcup_mP_m\supset\bigcup_mK_m=X$ である。$X$ が Stein なら、各 $P_m$ は thm-ap-stein により Stein である。$\square$
Stein 多様体の中の解析的多面体
$X$ を Stein 多様体、$P\subset X$ を解析的多面体とする。
- コンパクト集合 $L\subset P$ について $\widehat L_X\subset P$ であり、$\widehat L_P=\widehat L_X$ である。
- $P$ 上の正則関数は、$P$ の各コンパクト集合の上で $\mathcal{O}(X)$ の関数の制限によって一様に近似できる。
$P$ を定める関数を $f_1,\dots,f_N$ とし、$M:=\widehat L_X$ とおく。$X$ は正則凸なので $M$ はコンパクトで $\mathcal{O}(X)$ 凸であり、$x\in M$ では $|f_j(x)|\le\max_L|f_j|< 1$ なので $M\subset\Delta(f)$ である。$P$ は $\Delta(f)$ で開かつ閉なので、$M_1:=M\cap P$ と $M_2:=M\setminus P$ は $M$ の互いに交わらない閉集合で、それぞれ開集合 $P$、$\Delta(f)\setminus P$ に含まれる。
$P$ の上で $0$、$\Delta(f)\setminus P$ の上で $1$ をとる関数 $u$ は $M$ の近傍で正則なので、岡–Weilの近似定理 の定理「Stein 多様体の上の近似定理」により、$h\in\mathcal{O}(X)$ で $M$ の上で $|h-u|< 1/3$ となるものがある。$L\subset M_1$ なので $\sup_L|h|< 1/3$ であり、$x\in M_2$ なら $|h(x)|>2/3$ となって $x\in\widehat L_X$ に反する。よって $M_2=\emptyset$、すなわち $\widehat L_X\subset P$ である。
2：$g\in\mathcal{O}(P)$ は $\widehat L_X\subset P$ の近傍で正則なので、同じ近似定理により $\widehat L_X\supset L$ の上で $\mathcal{O}(X)$ の関数で一様に近似できる。1 の後半：$\mathcal{O}(X)$ の関数の制限は $\mathcal{O}(P)$ に属するので $\widehat L_P\subset\widehat L_X\cap P=\widehat L_X$ である。逆に $x\in\widehat L_X$、$g\in\mathcal{O}(P)$ とし、2 で $h_k\in\mathcal{O}(X)$ を $\widehat L_X$ の上で $g$ に一様収束するようにとると、$|h_k(x)|\le\sup_L|h_k|$ の極限で $|g(x)|\le\sup_L|g|$ となるので $x\in\widehat L_P$ である。$\square$
$X$ を $n$ 次元の Stein 多様体とする。
- $K\subset P$ をコンパクト集合、$P$ を次数 $N+1$ の解析的多面体とする。$N\ge2n$ なら、$K\subset P'\subset P$ となる次数 $N$ の解析的多面体 $P'$ がある。とくに thm-ap-insertion の $P$ は次数 $2n$ にとれる。
- $f\in\mathcal{O}(X)^{2n+1}$ で、$X$ から $\mathbb{C}^{2n+1}$ への単射で固有なはめ込みを与えるものがある。
1 は Hor90 Lemma 5.3.8（pp. 133–135。Bishop による）、2 は同 Theorem 5.3.9（pp. 135–136）で、この記事では証明しない。1 では、定める関数を $f_j/f_{N+1}$ の形の比が $\{|f_{N+1}|\ge c\}$ の上で階数 $n$ になるよう摂動し、$|f_j^\nu-f_{N+1}^\nu|< c^\nu$ の形の $N$ 個の不等式で新しい多面体を作る。2 では、1 で得た次数 $2n$ の多面体による取り尽くしを使って、無限遠で大きくなる関数を級数で組み立てる。
反例：仮定を外した場合
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $K$ が $\mathcal{O}(X)$ 凸 | $X=\mathbb{C}$、$K$ は単位円周、$U=\{1/2< \lvert z\rvert< 2\}$ | $K\subset P$、$\overline P\subset U$ となる $P$ の存在（thm-ap-insertion） |
| $P$ が相対コンパクト | $X=\mathbb{C}^2\setminus\{0\}$、$P=\Delta(z_1,z_2)$（穴あき 2 重円板） | $P$ の正則凸性（prop-ap-basic の 3） |
| $P$ が $\Delta(f)$ で閉 | $X=\mathbb{C}$、$f=z$、$P=\{\lvert z\rvert< 1,\ \operatorname{Re}z>0\}$ | $F$ の $P$ への制限 $P\to\mathbb{D}$ の固有性（prop-ap-basic の 2） |
| $X$ が Stein | $X=\mathbb{P}^1(\mathbb{C})$、$f_1=0$、$P=X$ | $P$ が Stein（thm-ap-stein） |
1 行目：解析的多面体 $P\supset K$ が $f_1,\dots,f_N$ で定まるとする。$K$ の上で $|f_j|< 1$ なので、最大値原理（開写像定理(複素解析)）により閉単位円板 $\overline{\mathbb{D}}$ の上で $|f_j|\le\max_K|f_j|< 1$ であり、$\overline{\mathbb{D}}\subset\Delta(f)$ である。$\overline{\mathbb{D}}$ は連結で $P$ と交わり、$P$ は $\Delta(f)$ で開かつ閉なので $\overline{\mathbb{D}}\subset P$ となり、$\overline P\subset U$ ではありえない。$K$ は 正則凸包 の例「単位円周の正則凸包」により $\mathcal{O}(\mathbb{C})$ 凸でなく、外れているのはこの条件だけである。
2 行目：$P=\Delta(z_1,z_2)$ は $\Delta(f)$ そのものなので開かつ閉だが、$X$ での閉包は原点を除いた閉 2 重円板でコンパクトでない。$g\in\mathcal{O}(P)$ は Hartogsの拡張定理 の系「1 点を除いた開集合からの延長」により 2 重円板全体の正則関数に延び、閉多重円板 $\{|z_j|\le1/2\}$ の上での絶対値の最大はトーラス $T=\{|z_1|=|z_2|=1/2\}$ の上でとられる（各変数ごとの最大値原理）。よって $\widehat T_P$ は $\{0< \max_j|z_j|\le1/2\}$ を含み、原点に近づく点列を含むのでコンパクトでない。
3 行目：$P$ は $\Delta(z)=\mathbb{D}$ の開集合で相対コンパクトだが、$\Delta(z)$ の閉集合ではない。$\mathbb{D}$ のコンパクト集合 $C=\{|w|\le1/2\}$ の逆像 $P\cap C=\{|z|\le1/2,\ \operatorname{Re}z>0\}$ はコンパクトでない。
4 行目：$\Delta(0)=X$ はコンパクトなので $P=X$ は解析的多面体で、prop-ap-basic のとおり正則凸である。しかし $\mathbb{P}^1(\mathbb{C})$ 上の正則関数は定数だけなので点を分離せず、Stein でない（Stein空間 の例「反例：コンパクトな複素多様体」）。
関連項目
- 前提: 複素解析空間, 正則凸包, Stein空間
- 比較: 多重円板, 岡–Weilの近似定理
- 道具: コンパクト空間, 開写像定理(複素解析)
- 直後に読む: Stein多様体, Stein代数
- 応用: 大域切断空間のFréchet位相, 複素空間の被約化
参考文献
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