相対K群と完全列
概要
相対K群と完全列（relative K-theory and exact sequences）とは、コンパクト Hausdorff 空間 $X$ と閉集合 $A$ の対の相対 $K$ 群 $K(X,A)=\widetilde K(X/A)$（$A$ を 1 点につぶした空間の簡約 $K$ 群）と、それが満たす完全列のことである。$A$ が空でなく基点を $A$ にとるとき、$A$ の上で自明化した束をつぶす構成により $K(X,A)\to\widetilde K(X)\to\widetilde K(A)$ は完全で、$A$ が可縮なら商写像は同型を誘導する。写像錐と懸垂を使うと連結準同型を含む 5 項の完全列に延び、基点付きコンパクト Hausdorff 空間 2 つの直積の簡約 $K$ 群はスマッシュ積とウェッジ和の簡約 $K$ 群の直和に分かれる。
前提知識: 位相的K理論, ベクトル束の分類定理, 写像錐(位相), 懸垂
コンパクト空間 $X$ とその閉部分空間 $A$ の対について、相対K群 $K(X,A)$ は、$A$ を 1 点につぶした空間 $X/A$ の簡約 K 群 $\widetilde K(X/A)$ として定められる。$A$ の上で自明化した束を $A$ ごと 1 本のファイバーにつぶすと $X/A$ の上の束が得られる、という構成がすべての基礎になる。この構成から、制限と商写像による列 $K(X,A)\to\widetilde K(X)\to\widetilde K(A)$ が完全であること（thm-rk-exact）が従い、写像錐と懸垂を使ってこれを左へ延ばすと、特異コホモロジーの対の長完全列にあたる 5 項の完全列が得られる（thm-rk-puppe）。
この列は K 理論を一般コホモロジー理論として扱う出発点である。部分空間がレトラクトなら列は分裂し、その帰結として直積の K 群はスマッシュ積とウェッジ和の K 群に分かれる（prop-rk-smash）。
記号と定義
$\mathbb{F}$ は $\mathbb{R}$ または $\mathbb{C}$ とし、束は $\mathbb{F}$ ベクトル束とする。位相的K理論 の定義「K 群」と同じく、コンパクト Hausdorff 空間の上では階数が局所定数の束を許し、その同型類の Grothendieck 群を $K(X)$ と書く（$\mathbb{F}=\mathbb{C}$ なら $K(X)$、$\mathbb{F}=\mathbb{R}$ なら $KO(X)$ にあたる）。$\varepsilon^n:=X\times\mathbb{F}^n$ は自明束である。次の 3 つを使う。
- $K(X)$ の元は $[E]-[\varepsilon^N]$ と書け、$[E]=[G]$ となるのは、ある $m$ について $E\oplus\varepsilon^m\cong G\oplus\varepsilon^m$ のときに限る（同記事の系「安定同型」の 1・2。実の束では補束を ベクトル束の分類定理 の系「コンパクトな底空間」の 2 でとる）。
- $f_0\simeq f_1$ なら $f_0^*=f_1^*\colon K(X)\to K(Y)$ である（同記事の定義のあとの 2 つ目の段落）。
- 底がパラコンパクト Hausdorff 空間なら、ホモトピックな写像による束の引き戻しは同型である（ベクトル束の分類定理 の定理「引き戻しのホモトピー不変性」）。階数が局所定数の束には、底を階数が一定の有限個の開かつ閉な集合に分けて各片に当てる。
基点 $x_0\in X$ について、$\widetilde K(X):=\ker\bigl(K(X)\to K(\{x_0\})\bigr)$ を簡約 K 群という。定値写像による分裂で $K(X)=\widetilde K(X)\oplus\mathbb{Z}$ である。$X$ が連結なら階数は一定で、$\widetilde K(X)$ は階数 $0$ の元の全体であり、基点の選び方によらない。
本記事では、コンパクト対 $(X,A)$ とは、コンパクト Hausdorff 空間 $X$ とその閉集合 $A$ の組のこととする。$A\ne\emptyset$ なら $X/A$ はコンパクト Hausdorff 空間であり（スマッシュ積 の補題「コンパクトHausdorff空間の閉集合による商」）、つぶした点 $\ast$ を基点とする。商写像を $q\colon X\to X/A$、包含を $i\colon A\to X$ と書く。
コンパクト対 $(X,A)$ について
$$
K(X,A):=\widetilde K(X/A)
$$
と定め、$(X,A)$ の相対K群という。$A=\emptyset$ のときは $X/\emptyset:=X_+$（$X$ に離れた基点を 1 つ付け加えた空間）とし、$K(X,\emptyset)=\widetilde K(X_+)=K(X)$ である。さらに $n\ge0$ について $K^{-n}(X,A):=\widetilde K(\Sigma^n(X/A))$ とおく。ここで $\Sigma$ は被約懸垂（懸垂 の定義「被約懸垂」）である。
$A=\{x_0\}$ なら $X/A=X$ なので $K(X,\{x_0\})=\widetilde K(X)$ である。位相的K理論 の節「一般コホモロジー論として」の $K(X,A)$ と同じものである。
自明化した束のつぶし
束 $E$ の部分空間 $A$ の上の自明化とは、束の同型 $t\colon E|_A\to A\times\mathbb{F}^n$ のことである。$A$ の上の 2 点を「$t$ の第 2 成分が等しい」とき同一視すると、$A$ の上のファイバーが 1 本の $\mathbb{F}^n$ にまとまる。次の補題は、これが束になることを柱 $X\times[0,1]$ にも使える形で述べる。
$X,Z$ をコンパクト Hausdorff 空間、$p\colon X\to Z$ を連続な全射、$A\subset X$ を閉集合とし、$p^{-1}(p(A))=A$ で、$p$ は $X\setminus A$ の上で単射であるとする。$E$ を $X$ 上の束、$t\colon E|_A\to A\times\mathbb{F}^n$ を自明化とする。$E$ の点 $e\in E_a$ と $e'\in E_{a'}$ を、$a,a'\in A$、$p(a)=p(a')$、$\mathrm{pr}_2t(e)=\mathrm{pr}_2t(e')$ のとき同一視した商空間を $E/t$ とする。
- $E/t$ は射影 $[e]\mapsto p(\pi(e))$ により $Z$ 上の束であり、$e\mapsto(\pi(e),[e])$ は束の同型 $E\cong p^*(E/t)$ を与える。$t$ は $E/t$ の $p(A)$ の上の自明化 $\bar t$ を誘導する。
- $E'$ を $X$ 上の別の束、$t'$ をその自明化とし、束の同型 $\varphi\colon E\to E'$ が $A$ の上で $t'\circ\varphi=t$ を満たせば、$\varphi$ は同型 $E/t\cong E'/t'$ を誘導する。
- $G$ を $Z$ 上の束、$s$ をその $p(A)$ の上の自明化とし、$p^*s$ を $s$ の引き戻しとすると、$(p^*G)/(p^*s)\cong G$ である。
要点：自明化を $A$ の開近傍へ延ばし、$p$ で飽和した開近傍に縮める。その上では $E/t$ は $(\text{近傍の像})\times\mathbb{F}^n$ と同じ商であり、$A$ の外では $E$ と同じである。2・3 は束写像が商へ降りることによる。
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自明化の延長．$s_j(a):=t^{-1}(a,e_j)$（$1\le j\le n$）は $E|_A$ の連続な切断である。$X$ を、$E$ が自明化 $\phi_i\colon E|_{U_i}\to U_i\times\mathbb{F}^{r_i}$ をもつ有限個の開集合 $U_i$ で覆い、$\operatorname{supp}\rho_i\subset U_i$ となる 1 の分割 $(\rho_i)$ をとる。コンパクト集合 $A\cap\operatorname{supp}\rho_i$ の上の連続写像 $\mathrm{pr}_2\phi_is_j$ を Tietze の拡張定理で $f_i\colon X\to\mathbb{F}^{r_i}$ に延ばし、$U_i$ の上で $\rho_i(x)\phi_i^{-1}(x,f_i(x))$、$\operatorname{supp}\rho_i$ の外で $0$ とした切断を $i$ について足すと、$A$ の上で $\sum_i\rho_is_j=s_j$ に一致する $E$ の連続な切断 $\sigma_j$ が得られる。$E_x$ の次元が $n$ で $\sigma_1(x),\dots,\sigma_n(x)$ が線形独立である点の集合 $U'$ は、局所自明化の中で小行列式が $0$ でないという条件なので開であり、$A$ を含む。$U'$ の上で $\sum_jc_j\sigma_j(x)\mapsto(x,c)$ は $t$ を延ばす自明化 $t'$ である（逆向きの連続性は逆行列の連続性による）。
飽和した近傍．$p$ はコンパクト空間から Hausdorff 空間への写像なので閉写像である。$V:=X\setminus p^{-1}(p(X\setminus U'))$ は開集合で $p^{-1}(p(V))=V$ を満たす。$a\in A$ が $p^{-1}(p(X\setminus U'))$ に入るとすると、$p(a)=p(y)$、$y\notin U'$ となる $y$ があり、$y\in p^{-1}(p(A))=A\subset U'$ となって矛盾する。よって $A\subset V\subset U'$ である。
局所自明性．商写像 $\pi_E\colon E\to E/t$ の、飽和した開集合 $E|_V$、$E|_{X\setminus A}$ への制限は、それぞれの像への商写像である。$X\setminus A$ の上では同一視がなく、$p$ は $X\setminus A$ から開集合 $Z\setminus p(A)$ への同相写像（飽和した開集合への閉写像の制限は閉写像）なので、$(E/t)|_{Z\setminus p(A)}$ は $E|_{X\setminus A}$ と同相で局所自明である。$V$ の上では $t'$ により $E|_V\cong V\times\mathbb{F}^n$ で、同一視は「$x,x'\in A$、$p(x)=p(x')$ のとき $(x,c)\sim(x',c)$」になる。$p|_V\colon V\to p(V)$ は飽和した開集合への閉写像の制限なので商写像であり、$\mathbb{F}^n$ は局所コンパクト Hausdorff なので $p|_V\times\mathrm{id}$ も商写像である（Hat02 Proposition A.17、p. 532）。そのファイバーは上の同一視の類と一致するので、$(E/t)|_{p(V)}\cong p(V)\times\mathbb{F}^n$ であり、これはファイバーごとに線形である。よって $E/t$ は束である。
引き戻し．$E\to p^*(E/t)$ は連続で、各ファイバーで線形同型なので束の同型である（ベクトル束の分類定理 の命題「普遍束とGauss写像」の 3 の証明と同じ議論）。2：$\pi_{E'}\circ\varphi$ は同一視と両立するので、連続な束写像 $E/t\to E'/t'$ を誘導し、各ファイバーで線形同型なので同型である。3：$p^*G\to G$、$(x,g)\mapsto g$ は $p^*s$ による同一視と両立し（$A$ の上で同じ値 $p(a)$ と同じ $s$ 座標をもつ元は $G$ の同じ元である）、連続な全単射の束写像 $(p^*G)/(p^*s)\to G$ を誘導するので同型である。$\square$
$p=q\colon X\to X/A$（$A\ne\emptyset$）のときが基本の場合で、$E/t$ を $E$ の $t$ によるつぶしという。3 により、$X/A$ 上のどの束もこの形に書ける。この構成は Hus94 第 10 章 Proposition 1.3（pp. 122–123）にある。
$(X,A)$ をコンパクト対、$A\ne\emptyset$、$E$ を $X$ 上の束とする。$E|_A$ の自明化の族 $t_s$（$s\in[0,1]$）が、$(a,s)$ について連続である（$\mathrm{pr}^*E|_{A\times[0,1]}$ の 1 つの自明化をなす）とする。このとき $E/t_0\cong E/t_1$ である。
要点：柱 $X\times[0,1]$ の上で各時刻ごとにつぶし、両端を引き戻しのホモトピー不変性で比べる。
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$p:=q\times\mathrm{id}\colon X\times[0,1]\to(X/A)\times[0,1]$ と閉集合 $A\times[0,1]$ は lem-rk-collapse の仮定を満たす。族 $(t_s)$ を $\mathrm{pr}^*E$ の $A\times[0,1]$ の上の自明化 $T$ とみて、$(X/A)\times[0,1]$ 上の束 $G:=(\mathrm{pr}^*E)/T$ を得る。$j_s(x):=(x,s)$ とし、$\bar j_s\colon X/A\to(X/A)\times[0,1]$ をその誘導する写像とする。合成 $E=j_s^*\mathrm{pr}^*E\to\mathrm{pr}^*E\to G$ は $t_s$ による同一視と両立するので、連続な束写像 $E/t_s\to\bar j_s^*G$ を誘導し、ファイバーごとに線形同型なので同型である。$\bar j_0\simeq\bar j_1$ であり、$X/A$ はコンパクト Hausdorff なのでパラコンパクトであるから、引き戻しのホモトピー不変性により $\bar j_0^*G\cong\bar j_1^*G$、よって $E/t_0\cong E/t_1$ である。$\square$
Hus94 第 10 章 Proposition 1.6（p. 124）は同じ主張である。
半完全性
$(X,A)$ をコンパクト対、$A\ne\emptyset$ とし、基点 $x_0\in A$ をとる。
- 列
$$ K(X,A)=\widetilde K(X/A)\xrightarrow{\ q^*\ }\widetilde K(X)\xrightarrow{\ i^*\ }\widetilde K(A) $$
は完全である。基点を付けない列 $K(X,A)\to K(X)\to K(A)$ も完全である。 - $A$ が可縮なら、$q^*\colon\widetilde K(X/A)\to\widetilde K(X)$ は同型である。
1：$q\circ i$ は定値写像なので、$i^*q^*$ は $\widetilde K(\{\ast\})=0$ を経由し、$0$ である。逆に $x\in\widetilde K(X)$ が $i^*x=0$ を満たすとする。$x=[E]-[\varepsilon^n]$ と書くと、基点での値が $0$ なので $E_{x_0}$ の次元は $n$ である。$K(A)$ で $[E|_A]=[\varepsilon^n]$ なので、ある $m$ について同型 $t\colon(E\oplus\varepsilon^m)|_A\to A\times\mathbb{F}^{n+m}$ がある。$H:=(E\oplus\varepsilon^m)/t$ とおくと、lem-rk-collapse の 1 により $q^*H\cong E\oplus\varepsilon^m$ であり、$H$ の基点 $\ast$ でのファイバーの次元は $n+m$ である。よって $y:=[H]-[\varepsilon^{n+m}]\in\widetilde K(X/A)$ について $q^*y=[E\oplus\varepsilon^m]-[\varepsilon^{n+m}]=x$ である。
基点を付けない列については、$K(X)=\widetilde K(X)\oplus\mathbb{Z}$、$K(A)=\widetilde K(A)\oplus\mathbb{Z}$ はどちらも $x_0$ での階数による分裂で、$i^*$ はこれを保ち、$\mathbb{Z}$ の成分の上では恒等写像である。よって $K(X)\to K(A)$ の核は $\widetilde K(X)\to\widetilde K(A)$ の核と同じであり、前半から従う。
2：$A$ は可縮なので、恒等写像は 1 点への定値写像とホモトピックであり、$\widetilde K(A)=0$ である。1 により $q^*$ は全射である。単射を示す。$y\in\widetilde K(X/A)$ が $q^*y=0$ を満たすとし、$y=[G]-[\varepsilon^N]$（$G_\ast$ の次元は $N$）と書く。ある $m$ で $q^*G\oplus\varepsilon^m\cong\varepsilon^{N+m}$ となる。$H:=G\oplus\varepsilon^m$、$M:=N+m$、$E:=q^*H$ とおき、$E$ の大域的な自明化 $\Phi\colon E\to X\times\mathbb{F}^M$ を 1 つとる。$a\in A$ の上のファイバーは $E_a=H_\ast$ なので、同型 $\beta\colon H_\ast\to\mathbb{F}^M$ を 1 つ固定して $t(e):=(a,\beta(e))$（$e\in E_a$）とおくと、これは $\beta$ の引き戻しであり、lem-rk-collapse の 3 により $E/t\cong H$ である。$A$ の上で $g(a):=\beta\circ\Phi_a^{-1}\in\mathrm{GL}_M(\mathbb{F})$ とおくと、$g$ は連続で $t(e)=(a,g(a)\Phi_a(e))$ である。
可縮性を与えるホモトピー $h_s\colon A\to A$（$h_0=\mathrm{id}$、$h_1$ は点 $a_1$ への定値写像）をとり、$t_s(e):=(a,g(h_s(a))\Phi_a(e))$ とおく。これは自明化の連続な族で、$t_0=t$、$t_1=g(a_1)\Phi|_A$ である。prop-rk-homotopy により $E/t\cong E/t_1$ である。$t_1$ は $X$ 全体の自明化 $g(a_1)\Phi$ の制限なので、$e\mapsto\bigl(q(\pi(e)),\,g(a_1)\mathrm{pr}_2\Phi(e)\bigr)$ は $t_1$ による同一視と両立し、同型 $E/t_1\cong\varepsilon^M$ を誘導する。よって $H\cong\varepsilon^M$ であり、$y=[H]-[\varepsilon^M]=0$ である。$\square$
2 の証明で、$t$ と $\Phi|_A$ を直接結ぶのではなく、比較の行列を定数 $g(a_1)$ まで縮めたことに注意する。$\mathbb{F}=\mathbb{R}$ では $\mathrm{GL}_M(\mathbb{R})$ は連結でないので、$g(a_1)$ を単位行列に結べるとは限らない。有限 CW 対の場合の同じ主張は Hus94 第 10 章 Proposition 2.1（p. 125）である。
5 項の完全列
$(X,A)$ をコンパクト対、$A\ne\emptyset$、基点 $x_0\in A$ とする。錐は 錐(位相) の記事のとおり $CA:=(A\times[0,1])/(A\times\{1\})$ とし、その点を $[a,s]$ と書く。
$$
Y_1:=X\cup CA,\qquad Y_2:=Y_1\cup CX
$$
を、それぞれ包含 $A\to X$ と $X\to Y_1$ の写像錐（写像錐(位相) の定義「写像錐」。底面の点 $[a,0]$ を $a$ に貼る）とする。$SA$ は懸垂（懸垂 の定義「懸垂」）で、$v_-:=[A\times\{0\}]$、$v_+:=[A\times\{1\}]$ とおき、$v_-$ を基点とする。$\rho_A\colon SA\to\Sigma A$ は経線 $\{x_0\}\times[0,1]$ の像をつぶす商写像である。$SA$ は連結なので、基点を保たない写像も $\widetilde K(SA)$ の間の写像を与える。
$(Y,B)$ をコンパクト対、$B\ne\emptyset$ とする。$Y\cup CB$ はコンパクト Hausdorff 空間で、$Y$ と $CB$ はその閉集合であり、$CB$ は可縮である。さらに
$$
(Y\cup CB)/CB\cong Y/B,\qquad (Y\cup CB)/Y\cong SB
$$
であり、$B$ に基点 $b_0$ をとると $\rho_B^*\colon\widetilde K(\Sigma B)\to\widetilde K(SB)$ は同型である。
要点：連続関数で点を分けて Hausdorff 性を示し、可縮な閉集合をつぶすところは thm-rk-exact の 2 を使う。
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$Y\cup CB$ はコンパクト空間 $Y\sqcup(B\times[0,1])$ の商なのでコンパクトである。$Y$、$CB$ の逆像はそれぞれ $Y\sqcup(B\times\{0\})$、$B\sqcup(B\times[0,1])$ で閉なので、どちらも閉集合である。Hausdorff 性を示す。$f$ を $Y$ の上で $0$、$[b,s]$ で $s$ とすると、$f$ は連続である。$\varphi\in C(Y)$ に対し、$Y$ の上で $\varphi$、$[b,s]$ で $(1-s)\varphi(b)$ とした関数 $\tilde\varphi$ も連続である（頂点 $s=1$ で値は $0$）。相異なる 2 点は、$f$ の値が違うか、ともに $Y$ にあって Urysohn の補題による $\varphi$ で分かれるか、ともに同じ $s\in(0,1)$ の $[b,s]$、$[b',s]$ で、$b,b'$ を分ける $B$ 上の関数を Tietze の拡張定理で $Y$ に延ばした $\varphi$ の $\tilde\varphi$ で分かれる。よって連続関数で点が分かれるので Hausdorff である。$Y\to Y\cup CB$ と、商写像が $B\times\{1\}$ の上で一定であることから誘導される $CB\to Y\cup CB$ は単射であり（貼り合わせは底面の $[b,0]$ と $b\in Y$ を同一視するだけである）、どちらもコンパクト空間から Hausdorff 空間への連続な単射であり、像への同相写像である。よって $CB$ の可縮性は 錐(位相) の命題「錐は可縮」である。
1 つ目の同相は 写像錐(位相) の定理「包含の写像錐と商空間」の証明の後半と同じ議論による。2 つ目：$CB$ の底面をつぶした $CB/(B\times\{0\})$ は $SB$ であり、包含 $CB\to Y\cup CB$ は連続な全単射 $SB\to(Y\cup CB)/Y$ を誘導する。$SB$ はコンパクト（錐(位相) の命題「コンパクト性とHausdorff性」）で、$(Y\cup CB)/Y$ は Hausdorff（スマッシュ積 の補題「コンパクトHausdorff空間の閉集合による商」）なので、これは同相写像である。最後に、経線 $\{b_0\}\times[0,1]$ の像は $[0,1]$ と同相な閉集合で可縮なので、thm-rk-exact の 2 により $\rho_B^*$ は同型である。$\square$
商写像 $c\colon Y_1\to Y_1/CA\cong X/A$ と $k\colon Y_1\to Y_1/X\cong SA$ をとる。lem-rk-cone と thm-rk-exact の 2 により $c^*$ は同型である。
$$
\delta:=(c^*)^{-1}\circ k^*\circ\rho_A^*\colon\widetilde K(\Sigma A)\to\widetilde K(X/A)=K(X,A)
$$
を $(X,A)$ の連結準同型という。
次の定理の証明では、写像 $\tau\colon SA\to SA$、$[a,s]\mapsto[a,1-s]$（$SX$ でも同じ記号）を使う。$d\colon Y_2\to Y_2/CX\cong Y_1/X\cong SA$ と $e\colon Y_2\to Y_2/Y_1\cong SX$ を商写像とする（lem-rk-cone を $(Y_1,X)$ に当てる）。
$e$ は $(Si)\circ\tau\circ d$ とホモトピックである。ここで $Si\colon SA\to SX$ は包含の懸垂である。
要点：$CX$ を頂点へ押しながら $CA$ を裏返す、明示的なホモトピーを書く。
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$r\in[0,1]$ について $H_r\colon Y_2\to SX$ を、$x\in X$ で $[x,r]$、$CX$ の点 $[x,s]$ で $[x,s+r(1-s)]$、$CA$ の点 $[a,s]$ で $[a,r(1-s)]$ と定める。$CX$ の底面 $[x,0]=x$ では最初の式と、$CA$ の底面 $[a,0]=a\in X$ でも最初の式と一致する。$CA$ の頂点（$s=1$）は $[a,0]=v_-$ に、$CX$ の頂点は $v_+$ に写り、$a,x$ によらない。よって $H$ は $\bigl(X\sqcup(A\times[0,1])\sqcup(X\times[0,1])\bigr)\times[0,1]$ 上の連続写像で同一視と両立し、$[0,1]$ が局所コンパクト Hausdorff なので商の直積は商写像であるから（Hat02 Proposition A.17、p. 532）、連続である。$H_0$ は $Y_1$ を $v_-$ に送り $CX$ の上で恒等的なので $e$ である。$H_1$ は $CX$ を $v_+$ に送り、$[a,s]\mapsto[a,1-s]$ である。一方 $d$ は $CX$ を $SA$ の $v_-$ に送り $CA$ の上で恒等的なので、$(Si)\tau d$ も $CX$ を $v_+$ に、$[a,s]$ を $[a,1-s]$ に送り、$H_1$ に一致する。$\square$
$(X,A)$ をコンパクト対、$A\ne\emptyset$、基点 $x_0\in A$ とする。列
$$
\widetilde K(\Sigma X)\xrightarrow{(\Sigma i)^*}\widetilde K(\Sigma A)\xrightarrow{\ \delta\ }K(X,A)\xrightarrow{\ q^*\ }\widetilde K(X)\xrightarrow{\ i^*\ }\widetilde K(A)
$$
は完全である。
$\widetilde K(X)$ での完全性は thm-rk-exact の 1 である。
$K(X,A)$ での完全性：thm-rk-exact の 1 を対 $(Y_1,X)$ に当てると、$\widetilde K(SA)\xrightarrow{k^*}\widetilde K(Y_1)\to\widetilde K(X)$ は完全である（2 つ目の写像は制限）。合成 $X\to Y_1\xrightarrow{c}X/A$ は $q$ なので、制限は $q^*\circ(c^*)^{-1}$ に等しい。同型 $c^*$ と $\rho_A^*$ で書き直すと、$\widetilde K(\Sigma A)\xrightarrow{\delta}\widetilde K(X/A)\xrightarrow{q^*}\widetilde K(X)$ は完全である。
$\widetilde K(\Sigma A)$ での完全性：thm-rk-exact の 1 を対 $(Y_2,Y_1)$ に当てると、$\widetilde K(SX)\xrightarrow{e^*}\widetilde K(Y_2)\to\widetilde K(Y_1)$ は完全である。$CX$ は可縮なので $d^*$ は同型であり、$d$ の $Y_1$ への制限は $k$ である。よって $\widetilde K(SX)\xrightarrow{(d^*)^{-1}e^*}\widetilde K(SA)\xrightarrow{k^*}\widetilde K(Y_1)$ は完全である。lem-rk-reflection により $(d^*)^{-1}e^*=\tau^*(Si)^*=(Si)^*\tau^*$ であり（$Si\circ\tau=\tau\circ Si$）、$SX$ の上の $\tau^*$ は同型（$\tau^2=\mathrm{id}$）なので、$(d^*)^{-1}e^*$ の像は $(Si)^*$ の像に等しい。したがって $\ker k^*=\operatorname{im}(Si)^*$ である。最後に $\rho_A\circ Si=\Sigma i\circ\rho_X$ から $(Si)^*\rho_X^*=\rho_A^*(\Sigma i)^*$ であり、$\rho_X^*$、$\rho_A^*$、$c^*$ は同型なので
$$
\ker\delta=(\rho_A^*)^{-1}(\ker k^*)=(\rho_A^*)^{-1}\bigl(\operatorname{im}(Si)^*\bigr)=\operatorname{im}(\Sigma i)^*
$$
である。$\square$
$e^*$ と $(Si)^*$ の間には裏返し $\tau^*$ がはさまるが、像だけを比べる完全性には影響しない。有限 CW 対の場合の同じ列は Hus94 第 10 章 Theorem 2.8（p. 127）にあり、裏返しを含む図式のホモトピー可換性は同章 Proposition 2.7（p. 126）にある。
連結準同型は、束の言葉では次のように書ける。$SA$ の下半分 $S_-:=\{[a,s]\mid s\le\frac12\}$ と上半分 $S_+$ はどちらも錐と同相で可縮である。
$E$ を $SA$ 上の階数 $n$ の束とし、自明化 $\tau_\pm\colon E|_{S_\pm}\to S_\pm\times\mathbb{F}^n$ をとる。赤道で $w(a):=\tau_+\circ\tau_-^{-1}$（点 $[a,\frac12]$ でのファイバーの変換）とおき、$X\times\mathbb{F}^n$ の $A$ の上の自明化を $t_w(a,v):=(a,w(a)v)$ とする。このとき
$$
(c^*)^{-1}k^*\bigl([E]-[\varepsilon^n]\bigr)=\bigl[(X\times\mathbb{F}^n)/t_w\bigr]-[\varepsilon^n]
$$
である。とくに $z\in\widetilde K(\Sigma A)$ について、$\rho_A^*z$ をこの形に書けば $\delta(z)$ が求まる。
要点：$k^*E$ の $CA$ の上の自明化を、下半分では $w\circ\tau_-$、上半分では $\tau_+$ として貼る。
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可縮なコンパクト空間の上の束は自明なので、$\tau_\pm$ は存在する。$k$ は $X$ を $v_-$ に送るので、$k^*E|_X=X\times E_{v_-}$ であり、これを $\tau_-$ の $v_-$ での値で $X\times\mathbb{F}^n$ と同一視する。$CA$ の点 $[a,s]$ でのファイバーは $E_{[a,s]}$ である。$s\le\frac12$ で $T:=w(a)\circ\tau_-$、$s\ge\frac12$ で $T:=\tau_+$ とおくと、$s=\frac12$ で一致し、頂点（$s=1$）では $\tau_+$ の $v_+$ での値なので $a$ によらない。よって $T$ は $k^*E|_{CA}$ の自明化である。$s=0$ では $T=w(a)\circ\tau_-(v_-)$ であり、上の同一視のもとで $t_w$ に一致する。lem-rk-collapse の 1 を $c$ と $CA$ に当てて $k^*E\cong c^*G$、$G:=(k^*E)/T$ を得る。合成 $X\times\mathbb{F}^n=k^*E|_X\to k^*E\to G$ は $t_w$ による同一視と両立し、ファイバーごとに線形な連続な全単射 $(X\times\mathbb{F}^n)/t_w\to G$ を誘導するので、$G\cong(X\times\mathbb{F}^n)/t_w$ である。自明束については $T$ を定数にとれて $(c^*)^{-1}k^*[\varepsilon^n]=[\varepsilon^n]$ である。$\square$
$w$ を逆向き $\tau_-\circ\tau_+^{-1}$ で定める流儀では、右辺は $t_{w^{-1}}$ になる。Hus94 第 10 章 Remark 2.9（p. 127）も同じ型の記述を与えている。
分裂とスマッシュ積
$(X,A)$ をコンパクト対、$A\ne\emptyset$、基点 $x_0\in A$ とし、$(\Sigma i)^*\colon\widetilde K(\Sigma X)\to\widetilde K(\Sigma A)$ が全射であるとする。このとき $0\to K(X,A)\xrightarrow{q^*}\widetilde K(X)\xrightarrow{i^*}\widetilde K(A)$ は完全である。とくに $A$ が $X$ のレトラクト（基点を保つ $r\colon X\to A$ で $r\circ i=\mathrm{id}_A$ となるものがある）なら、
$$
0\to K(X,A)\xrightarrow{q^*}\widetilde K(X)\xrightarrow{i^*}\widetilde K(A)\to0
$$
は $r^*$ で分裂する完全列であり、$\widetilde K(X)\cong K(X,A)\oplus\widetilde K(A)$ である。
thm-rk-puppe の完全性により $\delta$ の核は $\widetilde K(\Sigma A)$ 全体、すなわち $\delta=0$ なので、$K(X,A)$ での完全性から $q^*$ は単射である。$A$ がレトラクトなら $i^*r^*=\mathrm{id}$、$(\Sigma i)^*(\Sigma r)^*=\mathrm{id}$ なので、$(\Sigma i)^*$ と $i^*$ は全射で、$r^*$ が $i^*$ の右逆を与える。$\square$
基点付きコンパクト Hausdorff 空間 $X,Y$ のウェッジ和 $X\vee Y$ は、スマッシュ積 の定義のとおり $X\times Y$ の閉部分空間 $(X\times\{y_0\})\cup(\{x_0\}\times Y)$ とする。包含を $j_X,j_Y$、反対側の因子を基点につぶす写像を $p_X\colon X\vee Y\to X$、$p_Y\colon X\vee Y\to Y$ と書く。
$(a,b)\mapsto p_X^*a+p_Y^*b$ は同型 $\widetilde K(X)\oplus\widetilde K(Y)\to\widetilde K(X\vee Y)$ であり、逆写像は $(j_X^*,j_Y^*)$ である。
要点：$Y$ はレトラクトで、商は $X$ である。
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$Y$ は $p_Y$ により $X\vee Y$ のレトラクトであり、$(X\vee Y)/Y$ は $p_X$ により $X$ と同相である（コンパクト空間から Hausdorff 空間への連続な全単射）。prop-rk-split により $\widetilde K(X\vee Y)=p_X^*\widetilde K(X)\oplus p_Y^*\widetilde K(Y)$ である。$p_X\circ j_X=\mathrm{id}$ で、$p_Y\circ j_X$ は定値写像なので $j_X^*p_Y^*=0$ である。$Y$ についても同じなので、$(j_X^*,j_Y^*)$ が逆写像である。$\square$
$X,Y$ を基点付きコンパクト Hausdorff 空間、$W:=X\vee Y\subset T:=X\times Y$、$q\colon T\to X\wedge Y$ を商写像とする。このとき
$$
0\to\widetilde K(X\wedge Y)\xrightarrow{q^*}\widetilde K(X\times Y)\to\widetilde K(X\vee Y)\to0
$$
は分裂する完全列であり、$(c,a,b)\mapsto q^*c+\mathrm{pr}_X^*a+\mathrm{pr}_Y^*b$ は同型
$$
\widetilde K(X\wedge Y)\oplus\widetilde K(X)\oplus\widetilde K(Y)\xrightarrow{\ \cong\ }\widetilde K(X\times Y)
$$
である。
要点：$W$ への制限は射影の引き戻しで分裂し、懸垂しても同じなので、prop-rk-split の前半が使える。
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$\iota\colon W\to T$ を包含とすると $\mathrm{pr}_X\circ\iota=p_X$、$\mathrm{pr}_Y\circ\iota=p_Y$ なので、$s(a,b):=\mathrm{pr}_X^*a+\mathrm{pr}_Y^*b$ について $\iota^*\circ s$ は cor-rk-wedge の同型であり、$\iota^*$ は分裂する全射である。
$(\Sigma\iota)^*$ も全射であることを示す。$\Sigma j_X$、$\Sigma j_Y$ は連続な全単射 $h\colon\Sigma X\vee\Sigma Y\to\Sigma W$ を誘導し、コンパクト空間から Hausdorff 空間への写像なので $h$ は同相写像である。$\Sigma p_X\circ\Sigma j_X=\mathrm{id}$、$\Sigma p_X\circ\Sigma j_Y$ は定値写像なので、$\Sigma p_X\circ h$ は $\Sigma Y$ をつぶす写像 $p_{\Sigma X}$ であり、$\Sigma p_Y$ についても同じである。cor-rk-wedge を $\Sigma X\vee\Sigma Y$ に当てると、$\widetilde K(\Sigma W)$ は $(\Sigma p_X)^*$ と $(\Sigma p_Y)^*$ の像で生成される。$(\Sigma p_X)^*=(\Sigma\iota)^*(\Sigma\mathrm{pr}_X)^*$ なので、これらの像は $(\Sigma\iota)^*$ の像に含まれる。
$T/W=X\wedge Y$ なので、prop-rk-split の前半により $q^*$ は単射で、列は完全である。$s$ による分裂から主張の同型を得る。$\square$
$X=Y=S^0$ では $\widetilde K(T)\cong\mathbb{Z}^3$、$\widetilde K(W)\cong\mathbb{Z}^2$ であり、制限 $\widetilde K(T)\to\widetilde K(W)$ は全射だが単射でない。有限 CW 複体の場合は Hus94 第 10 章 Proposition 3.4（p. 129）である。
$X,Y$ を基点付きコンパクト Hausdorff 空間とする。双線形写像 $\widetilde K(X)\times\widetilde K(Y)\to\widetilde K(X\wedge Y)$、$(a,b)\mapsto a\ast b$ で、$q^*(a\ast b)=\mathrm{pr}_X^*a\cdot\mathrm{pr}_Y^*b$ となるものがただ 1 つある。コンパクト対 $(X,A)$、$(Y,B)$（$A,B\ne\emptyset$）については、同相 $(X/A)\wedge(Y/B)\cong(X\times Y)/(X\times B\cup A\times Y)$（スマッシュ積 の命題「商のスマッシュ積」）により、これは相対積 $K(X,A)\otimes K(Y,B)\to K(X\times Y,\,X\times B\cup A\times Y)$ を与える。
要点：外積は $W$ の上で消えるので $q^*$ の像に入る。
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$\mathrm{pr}_Y\circ j_X$ は $y_0$ への定値写像なので $j_X^*\mathrm{pr}_Y^*b=0$、よって $j_X^*(\mathrm{pr}_X^*a\cdot\mathrm{pr}_Y^*b)=a\cdot0=0$ であり、$j_Y^*$ についても同じである。cor-rk-wedge により $W$ への制限は $0$ なので、prop-rk-smash の完全性から $\mathrm{pr}_X^*a\cdot\mathrm{pr}_Y^*b$ は $q^*$ の像に入り、$q^*$ の単射性から元 $a\ast b$ はただ 1 つに決まる。双線形性は積の双線形性と $q^*$ の単射性による。$\square$
例
- $n\ge1$ について、$D^n$ は基点への線分のホモトピーで基点を止めたまま縮むので、$D^n$ と $\Sigma D^n$ は可縮であり、thm-rk-puppe の列から $\delta\colon\widetilde K(\Sigma S^{n-1})\to K(D^n,S^{n-1})=\widetilde K(S^n)$ は同型である（$D^n/S^{n-1}\cong S^n$）。
- $\mathbb{F}=\mathbb{C}$ とする。prop-rk-smash と $S^2\wedge S^2\cong S^4$（スマッシュ積 の命題「球面のスマッシュ積」）、位相的K理論 の定理「Bott の周期性定理」の $\widetilde K(S^{2m})\cong\mathbb{Z}$ により、$\widetilde K(S^2\times S^2)\cong\mathbb{Z}^3$ である。これは Bott周期性定理 の例「積空間の K 環」の 1 の階数 $4$ と合う。
- $\mathbb{F}=\mathbb{C}$ では $\widetilde K(S^1)=0$（位相的K理論 の命題「円周上の複素ベクトル束」）なので、トーラスについて $\widetilde K(S^1\times S^1)\cong\widetilde K(S^2)\cong\mathbb{Z}$ である。$\mathbb{F}=\mathbb{R}$ では $\widetilde{KO}(S^1)\cong\mathbb{Z}/2$（Hus94 第 9 章 Corollary 5.2、p. 121）なので、$\widetilde{KO}(S^1\times S^1)$ は $(\mathbb{Z}/2)^2$ を直和因子にもつ。
反例
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $A$ が可縮（thm-rk-exact の 2） | 対 $(D^2,S^1)$、$\mathbb{F}=\mathbb{C}$ | $q^*\colon K(X,A)\to\widetilde K(X)$ が単射 |
| 簡約 K 群を使う（thm-rk-exact の 1） | $X=A=$ 1 点で、基点を付けない $K$ の列 $K(X/A)\to K(X)\to K(A)$ | 列の完全性 |
| $A$ が $X$ のレトラクト（prop-rk-split） | 対 $(D^2,S^1)$、$\mathbb{F}=\mathbb{R}$ | $i^*$ が全射 |
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1 行目：$D^2/S^1\cong S^2$ で $\widetilde K(S^2)\cong\mathbb{Z}$、一方 $D^2$ は可縮なので $\widetilde K(D^2)=0$ である。2 行目：$X/A$ は 1 点で $K(X/A)\to K(X)$ も $K(X)\to K(A)$ も同型 $\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ なので、前者の像 $\mathbb{Z}$ は後者の核 $0$ と一致しない。3 行目：$\widetilde{KO}(D^2)=0$ だが、Möbius 束 $M$ について $[M]-1\ne0\in\widetilde{KO}(S^1)$ である（位相的K理論 の命題「円周上の複素ベクトル束」の直後の段落）。
関連項目
参考文献
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