置換積分の使い方

前提知識: 微分係数と導関数の定義（高校数学）, 連鎖律（高校数学）, 微分積分学の基本定理, 原始関数, 指数関数, 対数関数

動機

置換積分は、合成関数の微分の公式を積分の側から読んだものであり、公式そのものは短い。実際の計算で難しいのは「何を $t$ と置けばよいか」を決めることである。以下では公式を証明したあと、7 つの例を易しい順に解く。各例では、被積分関数のどこに目をつけるか、考えられる手は何か、うまくいかない手はどこで・なぜ詰まるか、それをどう直すか、なぜ効いたか（同じ手が効く形と効かない例）の順に考え、最後に形から最初の一手を選ぶ表をまとめる。$x=\sin\theta$ のように $x$ を三角関数で置く置換は根号を含む関数の積分で、三角関数の有理式の置換は三角関数の有理式の積分で扱う。

定理と証明

以下、$\log$ は自然対数とし、微分可能で導関数が連続な関数を $C^1$ 級という。微分積分学の基本定理を次の 2 つの形で使う。

• (基本定理 I) $f$ が区間 $I$ で連続、$c\in I$ なら、$F(x):=\int_c^xf(s)\,ds$ は $I$ で微分可能で $F'=f$ である。
• (基本定理 II) $G$ が $[a,b]$ で $C^1$ 級なら、$\int_a^bG'(x)\,dx=G(b)-G(a)$ である。

置換 $x=\sin\theta$、$x=\tan\theta$ で積分を Wallis 積分に直す例は Gauss積分（高校数学） で扱う。
置換積分は合成関数の微分を積分の側から読んだものである。仮定は「$\varphi$ が $C^1$ 級」と「$\varphi$ のとる値の範囲全体で $f$ が連続」だけで、$\varphi$ が単調である必要はない。不定積分では、$F$ が $f$ の原始関数なら $F(g(x))$ が $f(g(x))\,g'(x)$ の原始関数である、という連鎖律そのものになる。「$t=g(x)$、$dt=g'(x)\,dx$」はこれを覚えやすくする記法である。
この定理は 2 つの向きに使う。

• 前向き：被積分関数の中に $g(x)$ と $g'(x)$ の組を見つけ、$f(g(x))\,g'(x)$ の形に書いて $t=g(x)$ とおく。
• 逆向き：$\int_a^bf(x)\,dx$ で $x=\varphi(t)$ とおく。$\varphi(\alpha)=a$、$\varphi(\beta)=b$ で、$\varphi([\alpha,\beta])$ が $f$ の連続な範囲に入っていればよい。
  前向きで $g'$ が区間で $0$ にならなければ、$g'$ は連続なので中間値の定理により符号が一定であり、平均値の定理により $g$ は狭義単調である。このとき逆関数 $g^{-1}$ も $C^1$ 級である（逆関数の微分法。ここでは証明しない。Leb26 Lemma 4.4.1）。そこで被積分関数 $h$ は $f(t):=\frac{h(g^{-1}(t))}{g'(g^{-1}(t))}$ により必ず $h(x)=f(g(x))\,g'(x)$ と書けるので、単調な置換は常に正しい。問題は $f$ が $h$ より簡単になるかどうかであり、以下の例で試しているのはこの点である。単調でない置換で $x$ を $t$ の式に戻すとき、$\pm$ を区別せず区間を分けないと答えが狂う（例 5）。途中で定義されない関数で置くときも同様である（ex-subs-reciprocal）。

例

例 1（中身の導関数がそのまま見える）

$(x^2+1)^4$ は中身 $x^2+1$ の 4 乗で、中身の導関数 $2x$ が定数倍を除いて掛かっている。考えられる手は、(a) 展開する、(b) 部分積分で $x$ を微分して消す、(c) $t=x^2+1$ と置く、の 3 つである。
(a) は確実に終わる。$x(x^2+1)^4=x^9+4x^7+6x^5+4x^3+x$ より、積分は $\frac1{10}+\frac48+\frac66+\frac44+\frac12=\frac{31}{10}$ である。ただし指数が $20$ なら 21 項になり、$\frac12$ なら展開できない。(b) は $(x^2+1)^4$ を積分する側に回すが、その原始関数を知るには結局展開が要る。ここで詰まる。
そこで (c) $t=x^2+1$、$dt=2x\,dx$ とする。$x=0,1$ に $t=1,2$ が対応する。$f(t)=\frac12t^4$ として被積分関数は $f(x^2+1)\cdot2x$ なので、
$$ \int_0^1x(x^2+1)^4\,dx=\frac12\int_1^2t^4\,dt=\frac12\cdot\frac{2^5-1}{5}=\frac{31}{10}. $$
効いたのは、合成関数と中身の導関数の積だったからである。定数倍のずれは調整できるが、$x$ のずれは調整できない。$x$ のない $\int_0^1(x^2+1)^4\,dx$ に $t=x^2+1$ を使うと $dx=\frac{dt}{2\sqrt{t-1}}$ となって根号が入り、かえって難しくなる。そのときは展開が正しい手である。

例 2（余った因子を $t$ で書く）

根号の中身 $1+x^2$ の導関数は $2x$ で、$x^3=x^2\cdot x$ と分ければ $x$ が取り出せる。ただし $x^2$ が余る。候補は (a) $t=1+x^2$ と (b) 根号ごと $t=\sqrt{1+x^2}$ である。
(a) $dt=2x\,dx$ とすると $x^3\sqrt{1+x^2}\,dx=\frac12x^2\sqrt t\,dt$ となり、$x^2$ が残る。$x^2$ は $t$ とともに動くので、定数のように積分の外へ出すのは誤りである。このままでは $t$ だけの積分にならない。
余った $x^2$ を $t$ で書けばよい：$x^2=t-1$。
$$ \int_0^1x^3\sqrt{1+x^2}\,dx=\frac12\int_1^2(t-1)\sqrt t\,dt=\frac12\Bigl[\frac25t^{5/2}-\frac23t^{3/2}\Bigr]_1^2=\frac{2\sqrt2+2}{15}\;(=0.3218\ldots). $$
(b) では $t^2=1+x^2$ を微分して $t\,dt=x\,dx$、$x^2=t^2-1$ なので、$\int_1^{\sqrt2}(t^2-1)t^2\,dt=\bigl[\frac{t^5}5-\frac{t^3}3\bigr]_1^{\sqrt2}$ となり、同じ値が分数の指数なしで出る。
前向きの置換では、書き直した後に $x$ が 1 つも残ってはいけない。$x^2=t-1$ と書けたのは、$x$ の奇数乗 $x^3$ が「$x$ を 1 つ」と「$x^2$ の式」に分かれたからである。偶数乗では効かない。$\int_0^1x^2\sqrt{1+x^2}\,dx$ で $t=1+x^2$ とおくと $x^2\,dx=\frac12\sqrt{t-1}\,dt$ となり、$\frac12\int_1^2\sqrt{t(t-1)}\,dt$ が残る。置いても根号が消えない典型であり、$x=\sinh u$ などの置換が要る（値は $\frac{3\sqrt2-\log(1+\sqrt2)}8$）。奇数乗か偶数乗かが最初の見分け方になる。

例 3（導関数が見えないときは作る）

$e^x$ の式で、分母は $1+e^x$ だが、分子に $(1+e^x)'=e^x$ はない。考えられる手は、(a) $\frac{f'}{f}$ 型とみて $\log(1+e^x)$ を原始関数とする、(b) $t=e^x$ と置く、(c) 分子・分母に $e^{-x}$ を掛ける、である。
(a) は誤りである。$\bigl(\log(1+e^x)\bigr)'=\frac{e^x}{1+e^x}$ であり、そのまま計算した $\log(1+e)-\log2=0.6201\ldots$ は正しい値 $0.3798\ldots$ と違う。分子に $e^x$ がないという観察を無視したのが原因である。ただしこの失敗は役に立つ。$\frac{1}{1+e^x}+\frac{e^x}{1+e^x}=1$ なので、求める積分は $1-\bigl(\log(1+e)-\log2\bigr)$ である（実際 $0.6201\ldots+0.3798\ldots=1$）。
(b) では $x=\log t$、$dx=\frac{dt}t$、$x=0,1$ に $t=1,e$ が対応して
$$ \int_0^1\frac{dx}{1+e^x}=\int_1^e\frac{dt}{t(1+t)}=\int_1^e\Bigl(\frac1t-\frac1{1+t}\Bigr)dt=1+\log2-\log(1+e). $$
(c) $\frac{1}{1+e^x}=\frac{e^{-x}}{e^{-x}+1}$ は分子が分母の導関数の $-1$ 倍なので、積分は $-\bigl[\log(1+e^{-x})\bigr]_0^1=\log2-\log(1+e)+1$ で、一致する。
$e^x$ の有理式は、$t=e^x$ とおけば $dx=\frac{dt}t$ により $t$ の有理関数になり、有理関数は部分分数に分ければ必ず積分できる（ここでは証明しない。有理関数の積分）。したがって $t=e^x$ は「導関数が見えなくても必ず前に進む」手である。(c) のように導関数を作る手は、見つかれば最短だが、見つかる保証はない。

例 4（根号を丸ごと $t$ と置く）

分母に 1 次式の根号 $\sqrt{x+1}$ があり、導関数らしい因子はない。候補は、(a) 中身を $t=x+1$ と置く、(b) 分母を有理化する、(c) 根号ごと $t=\sqrt{x+1}$ と置く、である。
(a) では $\int_1^4\frac{dt}{1+\sqrt t}$ となり、平行移動しただけで形は変わらない。(b) 分子・分母に $1-\sqrt{x+1}$ を掛けると $\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}$ になる。これを $\frac{\sqrt{x+1}}x-\frac1x$ と分けると、どちらの項も $x\to+0$ で $\frac1x$ のように大きくなり、$\int_\varepsilon^3\frac{dx}x=\log3-\log\varepsilon\to\infty$ なので各項は $[0,3]$ で積分できない。元の関数は連続なのに、分けたせいで扱えなくなった。有理化で根号は分子へ移っただけで、消えていない。
(c) では逆向きの置換 $x=\varphi(t):=t^2-1$ を使う。$\varphi$ は $[1,2]$ で $C^1$ 級、$\varphi(1)=0$、$\varphi(2)=3$、$\varphi'(t)=2t$ で、$t\ge0$ なので $\sqrt{\varphi(t)+1}=t$ である。よって
$$ \int_0^3\frac{dx}{1+\sqrt{x+1}}=\int_1^2\frac{2t}{1+t}\,dt=2\bigl[t-\log(1+t)\bigr]_1^2=2-2\log\frac32\;(=1.1890\ldots). $$
効いたのは、$x=t^2-1$ も $dx=2t\,dt$ も $t$ の多項式だからである。一般に $x$ と $\sqrt[n]{ax+b}$（$a\ne0$）の有理式は、$t=\sqrt[n]{ax+b}$、$x=\frac{t^n-b}a$ で $t$ の有理関数になる。「根号を消したいなら根号ごと置く」が原則である。根号の中が 2 次式だと効かない：$t=\sqrt{x^2+1}$ では $x=\sqrt{t^2-1}$ と別の根号が出る（例 2 は $x\,dx=t\,dt$ の組がたまたまあった）。2 次式の根号には三角関数・双曲線関数の置換を使う。

例 5（区間の対応を確かめる）

1. は中身 $x^2$ の導関数 $2x$ が定数倍を除いて掛かっている。ただし区間は $0$ をまたぎ、$x$ が $-1\to0\to2$ と動くと $t=x^2$ は $1\to0\to4$ と動いて単調でない。候補は、(a) そのまま $t=x^2$ とし端点だけ対応させる、(b) $[-1,0]$ と $[0,2]$ に分ける、である。
2. では $x\cos(x^2)=f(x^2)\cdot2x$、$f(t)=\frac12\cos t$ で、$f$ は $t$ のとる範囲 $[0,4]$ 全体で連続なので、thm-subs-main がそのまま使える：
   $$ \int_{-1}^2x\cos(x^2)\,dx=\frac12\int_1^4\cos t\,dt=\frac{\sin4-\sin1}2\;(=-0.7991\ldots). $$
   (b) で分けても $-\frac{\sin1}2+\frac{\sin4}2$ で同じである。$t$ が $1\to0$ と戻る部分と $0\to1$ と進む部分が打ち消し合っている。
3. に同じ手順を使い、$x=\sqrt t$、$dx=\frac{dt}{2\sqrt t}$ として端点だけ対応させると $\frac12\int_1^4t^{3/2}\,dt=\frac{31}5$ となり、$\frac{33}5$ と合わない。
4. の誤りは $x=\sqrt t$ と書いたことにある。実際 $\frac{31}5=\int_1^2x^4\,dx$ であり、$x=\sqrt t$ は $t=1$ を $x=-1$ ではなく $x=1$ に戻すので、$[1,2]$ の積分を計算していたことになる。$[-1,0]$ では $x=-\sqrt t$、$dx=-\frac{dt}{2\sqrt t}$、$t:1\to0$ なので $\int_{-1}^0x^4\,dx=\frac12\int_0^1t^{3/2}\,dt=\frac15$ であり、$[0,2]$ の $\frac{32}5$ と合わせて $\frac{33}5$ となる。ただし $x=-\sqrt t$ は $t=0$ で微分できず $[0,1]$ で $C^1$ 級でないので、この計算は逆向きの置換としてではなく、$[-1,0]$ 上で $x^4=f(x^2)\cdot2x$、$f(t)=-\frac{t^{3/2}}2$（$[0,1]$ で連続）と書いて thm-subs-main を前向きに使ったものとして読む。$[0,2]$ でも同様に $f(t)=\frac{t^{3/2}}2$（$[0,4]$ で連続）とすればよい。
   違いは、被積分関数を区間全体で 1 つの連続関数 $f$ により $f(x^2)\cdot2x$ と書けるかどうかである。(1) では因子 $x$ が符号を運ぶので書ける。(2) では $f(t)=\frac{x^4}{2x}$ が $x>0$ で $\frac{t^{3/2}}2$、$x<0$ で $-\frac{t^{3/2}}2$ となり、1 つの $f$ にならない。(2) の計算は「端点が対応していれば、$x$ を $t$ のどの式で表してもよい」という含意を破る反例である。実際の計算では、$x$ を $t$ で表すのに $\pm$ が要ったら区間を分ける。

例 6（$t$ の大きさを選ぶ）

$\cos x=(\sin x)'$ が掛かっている。さらに $\sin^4x=(\sin^2x)^2$、$\sin x\cos x=\frac12(\sin^2x)'$ でもあり、$t$ の候補が (a) $t=\sin^4x$、(b) $t=\sin x$、(c) $t=\sin^2x$ と何通りもある。
(a) $dt=4\sin^3x\cos x\,dx$ なので $\sin x\cos x\,dx=\frac{dt}{4\sin^2x}=\frac{dt}{4\sqrt t}$ となり、$\int_0^1\frac{dt}{4\sqrt t\,(1+t)}$ が残る。根号が現れたのは、$t$ を大きく取りすぎて $g'$ の $\sin^3x$ が手元の $\sin x$ より多くを要求したからである。しかもこの積分は $t=0$ で被積分関数が有界でない広義積分であり、$f(t)=\frac1{4\sqrt t(1+t)}$ は $[0,1]$ 全体で連続でないので、thm-subs-main をそのままは使えない。$x\in[\varepsilon,\frac\pi2]$ で定理を使ってから $\varepsilon\to+0$ とすれば正当化できるが、これも $t$ が大きすぎる置換の代償である。$s=\sqrt t$ ともう一度置けば終わるが、遠回りである。(b) $dt=\cos x\,dx$ で $\int_0^1\frac{t\,dt}{1+t^4}$ となる。根号は出ないが、「$t^4=(t^2)^2$ と $t$」という例 1 の形がまた見える。$t$ が小さすぎて構造が 1 段残っている。
(c) $t=\sin^2x$、$dt=2\sin x\cos x\,dx$、$x=0,\frac\pi2$ に $t=0,1$ が対応して
$$ \int_0^{\pi/2}\frac{\sin x\cos x}{1+\sin^4x}\,dx=\frac12\int_0^1\frac{dt}{1+t^2}=\frac\pi8. $$
(a) は広義積分を経由するが、3 つの置き方はどれも $\frac\pi8$ に着き、(a)(b) ももう 1 回置けば終わる。置換を 2 回続けることは合成した関数で 1 回置くことと同じ（$t=\sin x$、$u=t^2$ は $u=\sin^2x$）なので、最初の選び方の誤りは致命的でない。同じかたまりの冪のどれを $t$ にするか迷ったときは、置いたあと根号が出たら $t$ が大きすぎ、同じ形が残ったら小さすぎる。 ちょうどよい $t$ は、繰り返し現れるかたまりで、その導関数が残りの因子と定数倍で一致するものである。この見分け方は、この例のように $g'$ の一部が手元にあるときのものである。例 1 の $\int_0^1(x^2+1)^4\,dx$ や例 2 の $\int_0^1x^2\sqrt{1+x^2}\,dx$ でも根号が出るが、原因は $g'$ がない・足りないことであり、$t$ を小さくしても直らない。

例 7（変換で変わらない量を $t$ と置く）

有理関数で、分母は $(x^2)^2+1$ である。分子・分母は $x$ を $\frac1x$ に変えると形がよく似ている。候補は、(a) 例 6 にならって $t=x^2$ と置く、(b) 部分分数分解、(c) 分子・分母を $x^2$ で割って $t=x+\frac1x$ と置く、である。
(a) 被積分関数に $x$ の因子がないので、$dx=\frac{dt}{2\sqrt t}$ から $\int_1^4\frac{t-1}{t^2+1}\cdot\frac{dt}{2\sqrt t}$ となり、根号が出て詰まる。例 6 では $\sin x\cos x$ の中に $g'$ があったが、ここにはない。(b) は必ず終わる手（ここでは証明しない。有理関数の積分）だが山が 2 つある。$x^4+1=(x^2+1)^2-2x^2=(x^2+\sqrt2x+1)(x^2-\sqrt2x+1)$ と因数分解し、係数を 4 つ決めて
$$ \frac{x^2-1}{x^4+1}=\frac{\sqrt2x-1}{2(x^2-\sqrt2x+1)}-\frac{\sqrt2x+1}{2(x^2+\sqrt2x+1)} $$
を得る。$\sqrt2x\mp1$ は各分母の導関数の $\frac1{\sqrt2}$ 倍なので、原始関数は $\frac1{2\sqrt2}\log\frac{x^2-\sqrt2x+1}{x^2+\sqrt2x+1}$ である。
(c) では、$x\ne0$ で
$$ \frac{x^2-1}{x^4+1}=\frac{1-\frac1{x^2}}{x^2+\frac1{x^2}}=\frac{\bigl(x+\frac1x\bigr)'}{\bigl(x+\frac1x\bigr)^2-2} $$
となり、中身 $x+\frac1x$ とその導関数の組が現れる。$t=x+\frac1x$ とおくと $x=1,2$ に $t=2,\frac52$ が対応し、$\frac1{t^2-2}=\frac1{2\sqrt2}\bigl(\frac1{t-\sqrt2}-\frac1{t+\sqrt2}\bigr)$ は $[2,\frac52]$ で連続なので
$$ \int_1^2\frac{x^2-1}{x^4+1}\,dx=\int_2^{5/2}\frac{dt}{t^2-2}=\frac1{2\sqrt2}\Bigl[\log\frac{t-\sqrt2}{t+\sqrt2}\Bigr]_2^{5/2}=\frac1{2\sqrt2}\log\frac{19+6\sqrt2}{17}\;(=0.1698\ldots). $$
$\frac{t-\sqrt2}{t+\sqrt2}$ に $t=x+\frac1x$ を代入して分子・分母に $x$ を掛けると (b) の原始関数に一致する。
$h(x):=\frac{x^2-1}{x^4+1}$ は $h\bigl(\frac1x\bigr)\frac1{x^2}=-h(x)$ を満たすので、$x=\frac1s$ と置換すると $h(x)\,dx=h\bigl(\frac1s\bigr)\bigl(-\frac{ds}{s^2}\bigr)=h(s)\,ds$ となり、$h(x)\,dx$ が $x\mapsto\frac1x$ で変わらない。$x+\frac1x$ はこの変換で変わらない最も簡単な量である。$dx$ まで込めて被積分関数を変えない変換があれば、その変換で変わらない量を $t$ の候補にする。 分子が $x^2+1$ なら $t=x-\frac1x$ が効き、$x>0$ で $\int\frac{x^2+1}{x^4+1}\,dx=\frac1{\sqrt2}\arctan\frac{x-1/x}{\sqrt2}+C$ となる。このとき $\frac{x^2+1}{x^4+1}\,dx$ は $x\mapsto\frac1x$ で符号が変わり、それに合わせて符号の変わる量 $x-\frac1x$ を置いている。これは発見の手がかりであって、一般の定理として主張するものではない。

反例・注意

例 5 (2) も同じ種類の誤りであり、そこでは置換 $t=x^2$ そのものではなく、$[-1,0]$ でも $x=\sqrt t$ と書いたことが答えを狂わせた。

補足

判断の目安

例 1〜7 で確かめた範囲で、形から最初の一手を選ぶ目安を表にまとめる。

どの行でも、置換の前に置換の関数が区間全体で $C^1$ 級か、置換の後に $x$ が残っていないかを確かめる。

多変数の置換

2 変数以上の積分では、置換 $(x,y)=\Phi(u,v)$ の $\varphi'(t)$ にあたるものが、偏導関数を並べた行列の行列式の絶対値 $|\det D\Phi|$ になる（重積分の変数変換公式、ヤコビアン）。1 変数では $\varphi'$ の符号を積分の向きの約束 $\int_p^q=-\int_q^p$ が吸収するので、絶対値が要らない。例 5 で見た「向きが戻る部分は打ち消し合う」という現象は、この約束の表れである。

関連項目

• 前提: 微分係数と導関数の定義（高校数学）, 連鎖律（高校数学）, 微分積分学の基本定理, 原始関数, 指数関数, 対数関数
• 全体像: 積分計算の技法
• 次に読む: 部分積分の使い方
• 関連（高校数学）: 有理関数の積分, 対称性を用いた積分, Gauss積分（高校数学）, Wallis積分（高校数学）
• 置換の発展: 三角関数の有理式の積分, 根号を含む関数の積分
• 発展: ヤコビアン, 初等関数で表せない原始関数