Cayleyの定理(群論)

1：$g,h,x\in G$ について、結合法則により
$$ \lambda_g\lambda_h(x)=g(hx)=(gh)x=\lambda_{gh}(x),\qquad \rho_g\rho_h(x)=(xh^{-1})g^{-1}=x(gh)^{-1}=\rho_{gh}(x) $$
である。よって $\lambda_{gh}=\lambda_g\lambda_h$、$\rho_{gh}=\rho_g\rho_h$ であり、$\lambda$ と $\rho$ は群準同型である。$\lambda_g=\lambda_h$ なら単位元 $e$ で値を比べて $g=ge=\lambda_g(e)=\lambda_h(e)=h$ である。同様に $\rho_g=\rho_h$ なら $g^{-1}=\rho_g(e)=\rho_h(e)=h^{-1}$ から $g=h$ である。よって $\lambda$、$\rho$ は単射である。単射な準同型はその像への同型を与えるので、$G\cong\lambda(G)$ である。
2：$G$ の元に番号を付けて全単射 $f\colon G\to\{1,\dots,n\}$ を選ぶ。$\pi\mapsto f\pi f^{-1}$ は同型 $S_G\to S_n$ なので、これと $\lambda$ の合成 $g\mapsto f\lambda_gf^{-1}$ は単射な群準同型 $G\to S_n$ であり、$G$ はその像と同型である。$\square$

1：$g,h,x\in G$ について $\lambda_g\rho_h(x)=gxh^{-1}=\rho_h\lambda_g(x)$ なので、$\rho(G)$ の元は $\lambda(G)$ のすべての元と可換である。逆に $\sigma$ がすべての $\lambda_g$ と可換であるとし、$a:=\sigma(e)$ とおく。$x\in G$ について
$$ \sigma(x)=\sigma(xe)=\sigma(\lambda_x(e))=\lambda_x(\sigma(e))=xa=\rho_{a^{-1}}(x) $$
なので、$\sigma=\rho_{a^{-1}}\in\rho(G)$ である。
2：$\lambda_g=\rho_h$ とする。$e$ で値を比べると $g=h^{-1}$ であり、すべての $x$ で $gx=xh^{-1}=xg$ なので $g\in Z(G)$ である。逆に $g\in Z(G)$ なら $\lambda_g(x)=gx=xg=\rho_{g^{-1}}(x)$ なので $\lambda_g\in\rho(G)$ である。$\square$

$P_\sigma P_\tau e_i=P_\sigma e_{\tau(i)}=e_{\sigma(\tau(i))}=P_{\sigma\tau}e_i$ なので $P_{\sigma\tau}=P_\sigma P_\tau$ であり、$P_{\mathrm{id}}$ は単位行列だから $P_\sigma P_{\sigma^{-1}}=P_{\sigma^{-1}}P_\sigma$ は単位行列で、$P_\sigma$ は可逆である。$P_\sigma=P_\tau$ なら $e_{\sigma(i)}=e_{\tau(i)}$ がすべての $i$ で成り立つので $\sigma=\tau$ である。後半は thm-cayley-main の 2 の単射 $G\to S_n$ と合成すればよい。$\square$

$S_n$ を $\{1,\dots,n+2\}$ の置換で $n+1$、$n+2$ を固定するものとみなし、$t:=(n+1\ \ n+2)$ とおく。$t$ は $S_n$ の元と動かす文字が交わらないので可換であり（置換 の補題「互いに素な置換は可換」）、$t^2=\mathrm{id}$ である。$\sigma\in S_n$ について、$\sigma$ が偶置換なら $\varphi(\sigma):=\sigma$、奇置換なら $\varphi(\sigma):=\sigma t$ と定める。符号を $\operatorname{sgn}\sigma=(-1)^{\varepsilon(\sigma)}$（$\varepsilon(\sigma)\in\{0,1\}$）と書くと $\varphi(\sigma)=\sigma t^{\varepsilon(\sigma)}$ であり、符号の乗法性（置換の符号 の定理「符号準同型」）により $t^{\varepsilon(\sigma\tau)}=t^{\varepsilon(\sigma)}t^{\varepsilon(\tau)}$ である。よって
$$ \varphi(\sigma)\varphi(\tau)=\sigma t^{\varepsilon(\sigma)}\tau t^{\varepsilon(\tau)}=\sigma\tau\, t^{\varepsilon(\sigma)}t^{\varepsilon(\tau)}=\varphi(\sigma\tau) $$
となり、$\varphi$ は準同型である。$\operatorname{sgn}\varphi(\sigma)=\operatorname{sgn}\sigma\cdot(-1)^{\varepsilon(\sigma)}=1$ なので像は $A_{n+2}$ に入り、$\varphi(\sigma)$ を $\{1,\dots,n\}$ に制限すると $\sigma$ に戻るので単射である。これと thm-cayley-main の 2 の単射を合成すればよい。$\square$

置換 $\sigma\neq\mathrm{id}$ の位数は、互いに素な巡回置換に分解したときの長さ $\ell_1,\dots,\ell_r$ の最小公倍数である（置換 の命題「位数と巡回型」）。また $\ell_1+\cdots+\ell_r$ は動かす文字の個数なので $m$ 以下である。
1：$C_{p^k}$ が $S_m$ に埋め込めれば、$S_m$ に位数 $p^k$ の元がある。$\operatorname{lcm}(\ell_1,\dots,\ell_r)=p^k$ なら各 $\ell_i$ は $p^k$ の約数、すなわち $p$ の冪で、最大のものが $p^k$ である。よって $m\ge p^k$ である。thm-cayley-main の 2 から $\mu\le p^k$ なので $\mu=p^k$ である。
2：$S_m$ の位数 $6$ の元は、長さの最小公倍数が $6$ なので、長さ $6$ の巡回置換を含むか、長さ $2$ と $3$ の巡回置換をともに含む。どちらでも $m\ge5$ である。逆に $(1\,2)(3\,4\,5)\in S_5$ は位数 $6$ で、$C_6$ はそれが生成する部分群と同型である。
3：$Q_8$ が $m$ 元集合 $X$ に忠実に作用しているとする。$Q_8$ の $\{1\}$ でない部分群は $\{1,-1\}$ と $-1$ を共有する（四元数群 の命題「自明でない部分群の共通部分」）ので、どれも $-1$ を含む。すべての $x\in X$ で安定化群 $G_x\neq\{1\}$ なら、$-1$ はすべての $G_x$ に入り、作用の核に入るので忠実性に反する。よって $G_x=\{1\}$ となる $x$ があり、群の作用 の定理「軌道・安定化群定理」により $x$ の軌道は $8$ 個の元をもつ。したがって $m\ge8$ であり、Cayley の定理と合わせて $\mu(Q_8)=8$ である。$\square$