サイクロイド

方針：速度ベクトルを計算し、$\overrightarrow{PC}$ との内積が $0$ であること、$\overrightarrow{PT}$ と平行であることを確かめる。$P(t)$、$C(t)$、$T(t)$ を $P$、$C$、$T$ と書く。
段 1（速度ベクトル）。$x=a(t-\sin t)$、$y=a(1-\cos t)$ を $t$ で微分すると
$$ \vec v=\bigl(a(1-\cos t),\ a\sin t\bigr) $$
である。その大きさは $\lvert\vec v\rvert^2=a^2(1-2\cos t+\cos^2t+\sin^2t)=2a^2(1-\cos t)=4a^2\sin^2\dfrac t2$（半角の公式 $1-\cos t=2\sin^2\dfrac t2$）で、$0< t<2\pi$ では $0<\dfrac t2<\pi$ なので $\sin\dfrac t2>0$、つまり $\vec v\ne\vec0$ である。したがって接線と法線が決まる。
段 2（法線は $C$ を通る）。$\overrightarrow{PC}=C-P=\bigl(at-a(t-\sin t),\ 0-a(1-\cos t)\bigr)=\bigl(a\sin t,\ -a(1-\cos t)\bigr)$ である。内積は
$$ \vec v\cdot\overrightarrow{PC}=a(1-\cos t)\cdot a\sin t+a\sin t\cdot\bigl(-a(1-\cos t)\bigr)=0 $$
である。また $\lvert\overrightarrow{PC}\rvert^2=a^2\sin^2t+a^2(1-\cos t)^2=2a^2(1-\cos t)>0$ なので $\overrightarrow{PC}\ne\vec0$ である。よって直線 $PC$ は $P$ を通り $\vec v$ に垂直な直線、つまり法線である（ベクトルの内積）。
段 3（接線は $T$ を通る）。$\overrightarrow{PT}=T-P=\bigl(a\sin t,\ 2a-a(1-\cos t)\bigr)=\bigl(a\sin t,\ a(1+\cos t)\bigr)$ である。$\vec v=(p,q)$、$\overrightarrow{PT}=(r,s)$ とおいて $ps-qr$ を計算すると
$$ ps-qr=a(1-\cos t)\cdot a(1+\cos t)-a\sin t\cdot a\sin t=a^2(1-\cos^2t-\sin^2t)=0 $$
である。
段 4（$ps-qr=0$ なら平行）。$(p,q)\ne(0,0)$ で $ps-qr=0$ なら、$(r,s)=k(p,q)$ となる実数 $k$ がある。実際、$p\ne0$ なら $k=\dfrac rp$ とおくと $s=\dfrac{qr}p=kq$ である。$p=0$ なら $q\ne0$ で、$ps-qr=-qr=0$ から $r=0$ となり、$k=\dfrac sq$ とおけば $(r,s)=(0,s)=k(0,q)$ である。段 1 より $\vec v\ne\vec0$ なので、$\overrightarrow{PT}=k\vec v$ となる $k$ がある。よって $T=P+k\vec v$ は、$P$ を通り $\vec v$ の向きの直線、つまり接線の上にある。$\square$

要点：出発点から下がった高さは $a(\cos t_0-\cos t)$ なので、仮定 (i) から $Q(t)$ での速さは $V(t)=\sqrt{2ga(\cos t_0-\cos t)}$ である。滑り台に沿って測った長さ $s$ の増え方は $\dfrac{ds}{dt}=2a\sin\dfrac t2$ である。時刻を $\tau$ とすると、速さ $=\dfrac{ds}{dt}\cdot\dfrac{dt}{d\tau}$ から $\dfrac{d\tau}{dt}=\dfrac{ds/dt}{V(t)}$ となり、これを $t_0$ から $\pi$ まで積分すると時間になる。

方針：半角の公式で分母を $\cos\dfrac t2$ で書き、$u=\cos\dfrac t2\Big/\cos\dfrac{t_0}2$ と置換すると $\displaystyle\int\frac{du}{\sqrt{1-u^2}}$ の形になる。これを $u=\sin\theta$ で計算する（置換積分の使い方）。
段 1（半角で書き直す）。$c_0=\cos\dfrac{t_0}2$ とおく。$0\le t_0<\pi$ なので $0\le\dfrac{t_0}2<\dfrac\pi2$ で、$0< c_0\le1$ である。半角の公式 $\cos t=2\cos^2\dfrac t2-1$ を $t$ と $t_0$ に使うと
$$ \cos t_0-\cos t=\left(2c_0^2-1\right)-\left(2\cos^2\frac t2-1\right)=2\left(c_0^2-\cos^2\frac t2\right) $$
である。$t_0< t\le\pi$ では $\dfrac{t_0}2<\dfrac t2\le\dfrac\pi2$ で、$\cos$ はこの範囲で減少するので $0\le\cos\dfrac t2< c_0$、つまり括弧の中は正である。よって被積分関数は
$$ \frac{2a\sin\frac t2}{\sqrt{4ga\left(c_0^2-\cos^2\frac t2\right)}}=\frac{2a\sin\frac t2}{2\sqrt{ga}\sqrt{c_0^2-\cos^2\frac t2}}=\sqrt{\frac ag}\cdot\frac{\sin\frac t2}{\sqrt{c_0^2-\cos^2\frac t2}} $$
である（$\dfrac{a}{\sqrt{ga}}=\sqrt{\dfrac ag}$）。
段 2（$u=\cos\frac t2\big/c_0$ と置換する）。$\varepsilon>0$ を小さくとり、$t_0+\varepsilon\le t\le\pi$ で考える。$u=\dfrac1{c_0}\cos\dfrac t2$ とおくと
$$ \frac{du}{dt}=-\frac1{2c_0}\sin\frac t2,\qquad\text{つまり}\qquad \sin\frac t2\,dt=-2c_0\,du $$
である。$t=t_0+\varepsilon$ のとき $u=b_\varepsilon=\dfrac1{c_0}\cos\dfrac{t_0+\varepsilon}2$（$0< b_\varepsilon<1$）、$t=\pi$ のとき $u=0$ である。また $\sqrt{c_0^2-\cos^2\dfrac t2}=\sqrt{c_0^2-c_0^2u^2}=c_0\sqrt{1-u^2}$ である。よって
$$ \int_{t_0+\varepsilon}^{\pi}\sqrt{\frac ag}\cdot\frac{\sin\frac t2}{\sqrt{c_0^2-\cos^2\frac t2}}\,dt=\sqrt{\frac ag}\int_{b_\varepsilon}^{0}\frac{-2c_0}{c_0\sqrt{1-u^2}}\,du=2\sqrt{\frac ag}\int_0^{b_\varepsilon}\frac{du}{\sqrt{1-u^2}} $$
である（最後は積分の上端と下端を入れかえて符号を変えた）。
段 3（$u=\sin\theta$ と置換する）。$\sin\beta_\varepsilon=b_\varepsilon$ となる $\beta_\varepsilon$ を $0<\beta_\varepsilon<\dfrac\pi2$ の範囲にとる。$u=\sin\theta$（$0\le\theta\le\beta_\varepsilon$）とおくと $du=\cos\theta\,d\theta$ で、この範囲では $\cos\theta>0$ なので $\sqrt{1-\sin^2\theta}=\cos\theta$ である。よって
$$ \int_0^{b_\varepsilon}\frac{du}{\sqrt{1-u^2}}=\int_0^{\beta_\varepsilon}\frac{\cos\theta}{\cos\theta}\,d\theta=\beta_\varepsilon $$
である。
段 4（$\varepsilon\to+0$）。$\cos$ は連続なので、$\varepsilon\to+0$ のとき $b_\varepsilon\to\dfrac{c_0}{c_0}=1$ である。$\sin$ は $0\le\theta\le\dfrac\pi2$ で連続かつ増加し、$\sin\dfrac\pi2=1$ なので、$\sin\beta_\varepsilon=b_\varepsilon\to1$ から $\beta_\varepsilon\to\dfrac\pi2$ である（逆三角関数（高校数学））。以上から
$$ \int_{t_0}^{\pi}\frac{2a\sin\frac t2}{\sqrt{2ga(\cos t_0-\cos t)}}\,dt=\lim_{\varepsilon\to+0}2\sqrt{\frac ag}\,\beta_\varepsilon=2\sqrt{\frac ag}\cdot\frac\pi2=\pi\sqrt{\frac ag} $$
である。右辺に $t_0$ は現れない。lem-cyc-time と合わせて、時間は出発点によらない。$\square$