概周期関数

段 1（周波数ごとの位相に帰着）：任意の $\tau$ について
$$ \lvert p(x+\tau)-p(x)\rvert=\Bigl\lvert\sum_kc_ke^{i\lambda_kx}\bigl(e^{i\lambda_k\tau}-1\bigr)\Bigr\rvert\le\sum_k\lvert c_k\rvert\,\bigl\lvert e^{i\lambda_k\tau}-1\bigr\rvert $$
である。$\varepsilon>0$ に対して $\delta:=\varepsilon/\bigl(1+\sum_k\lvert c_k\rvert\bigr)$ とおくと、
$$ S(\delta):=\bigl\{\tau\in\mathbb{R}\ \big\vert\ \text{すべての }k\text{ で }\lvert e^{i\lambda_k\tau}-1\rvert\le\delta\bigr\} $$
は $E(p,\varepsilon)$ に含まれる。よって $S(\delta)$ が相対稠密であることを示せばよい。
段 2（位相の点の動き）：$K:=\{z\in\mathbb{C}^N\mid\lvert z_1\rvert=\dots=\lvert z_N\rvert=1\}$ とし、$z,w\in K$ の距離を $d(z,w):=\max_k\lvert z_k-w_k\rvert$ とする。$\varphi(\tau):=\bigl(e^{i\lambda_1\tau},\dots,e^{i\lambda_N\tau}\bigr)\in K$ とおくと、成分ごとの積について $\varphi(s+t)=\varphi(s)\varphi(t)$ であり、絶対値 $1$ の数を掛けても差の絶対値は変わらないので、$u\in K$ について $d(uz,uw)=d(z,w)$ である。$S(\delta)=\{\tau\mid d(\varphi(\tau),\mathbf 1)\le\delta\}$（$\mathbf 1=(1,\dots,1)$）である。
段 3（有限個のかけらに分ける）：$K$ の各点は、各成分の実部と虚部が $[-1,1]$ に入る。$[-1,1]$ を幅 $h:=\delta/2$ 以下の有限個の小区間に分け、$2N$ 個の座標それぞれで小区間を 1 つずつ選んで $K$ を有限個のかけら $Q_1,\dots,Q_M$ に分ける。同じかけらの 2 点は各成分の実部と虚部の差が $h$ 以下なので、$d(z,w)\le\sqrt2\,h<\delta$ である。$\varphi(\mathbb{R})$ と交わるかけらの番号の集合を $J$ とし（$\varphi(0)$ を含むかけらがあるので $J$ は空でない）、$j\in J$ ごとに $\varphi(t_j)\in Q_j$ となる $t_j$ を 1 つ選び、$T:=\max_{j\in J}\lvert t_j\rvert$ とおく。
段 4（どの区間にもある）：任意の実数 $a$ について、$\varphi(a)$ はあるかけら $Q_j$（$j\in J$）に入るので $d(\varphi(a),\varphi(t_j))<\delta$ である。$\tau:=a-t_j$ とおくと、段 2 から
$$ d\bigl(\varphi(\tau),\mathbf 1\bigr)=d\bigl(\varphi(a)\varphi(-t_j),\varphi(t_j)\varphi(-t_j)\bigr)=d\bigl(\varphi(a),\varphi(t_j)\bigr)<\delta $$
なので $\tau\in S(\delta)$ であり、$\lvert\tau-a\rvert\le T$ である。よって中点が $a$ で長さ $L:=2T+1$ の閉区間は $S(\delta)$ の点を含む。$a$ は任意なので、$S(\delta)$ は相対稠密である。$\square$

有界性：$\varepsilon=1$ に対する長さ $L$ をとり、連続関数 $\lvert f\rvert$ の $[0,L]$ での最大値を $C$ とする。任意の $x$ について、閉区間 $[-x,-x+L]$ に $\tau\in E(f,1)$ があり、$x+\tau\in[0,L]$ なので $\lvert f(x)\rvert\le\lvert f(x+\tau)\rvert+\lvert f(x)-f(x+\tau)\rvert\le C+1$ である。
一様連続性：$\varepsilon>0$ に対し、$\varepsilon/3$ に対する長さ $L$ をとる。$f$ は閉区間 $[-1,L+1]$ で一様連続なので（一様連続 の定理「Heine–Cantorの定理」）、$0<\delta<1$ を、$s,t\in[-1,L+1]$、$\lvert s-t\rvert<\delta$ なら $\lvert f(s)-f(t)\rvert<\varepsilon/3$ となるようにとれる。$\lvert x-y\rvert<\delta$ とし、$\tau\in E(f,\varepsilon/3)\cap[-x,-x+L]$ をとると、$x+\tau\in[0,L]$、$y+\tau\in[-1,L+1]$ なので
$$ \lvert f(x)-f(y)\rvert\le\lvert f(x)-f(x+\tau)\rvert+\lvert f(x+\tau)-f(y+\tau)\rvert+\lvert f(y+\tau)-f(y)\rvert<\varepsilon $$
である。$\square$

$x_0$ と $\varepsilon>0$ を固定する。$E(f,\varepsilon)$ はいくらでも大きい正の数 $\tau_1<\tau_2<\cdots\to\infty$ を含むので、$\lvert f(x_0)-c\rvert\le\lvert f(x_0)-f(x_0+\tau_n)\rvert+\lvert f(x_0+\tau_n)-c\rvert\le\varepsilon+\lvert f(x_0+\tau_n)-c\rvert$ である。$n\to\infty$ として $\lvert f(x_0)-c\rvert\le\varepsilon$ であり、$\varepsilon$ は任意なので $f(x_0)=c$ である。$\square$

$f$ は連続関数の一様極限なので連続である（一様収束 の定理「連続関数の一様極限の連続性」）。$\varepsilon>0$ に対し、すべての $x$ で $\lvert f(x)-f_n(x)\rvert\le\varepsilon/3$ となる $n$ をとる。$\tau\in E(f_n,\varepsilon/3)$ なら
$$ \lvert f(x+\tau)-f(x)\rvert\le\lvert f(x+\tau)-f_n(x+\tau)\rvert+\lvert f_n(x+\tau)-f_n(x)\rvert+\lvert f_n(x)-f(x)\rvert\le\varepsilon $$
なので $E(f_n,\varepsilon/3)\subset E(f,\varepsilon)$ であり、前者が相対稠密なので後者も相対稠密である。$\square$

1 は thm-apf-trig と thm-apf-limit による。2：$f$ が連続で周期 $T$ をもつとき、$g(y):=f(Ty/2\pi)$ は周期 $2\pi$ の連続関数なので、どんな $\varepsilon>0$ についても $\lvert g(y)-q(y)\rvert<\varepsilon$（すべての $y$）となる $\sum_{\lvert n\rvert\le K}b_ne^{iny}$ の形の $q$ がある（Parsevalの等式 の命題「部分和の平均の一様収束」）。$y=2\pi x/T$ を代入すると、$f$ は周波数 $2\pi n/T$ の三角多項式で一様に近似される。$f_1,\dots,f_m$ がそれぞれ周期 $T_1,\dots,T_m$ をもつなら、各 $f_j$ を誤差 $\varepsilon/m$ の三角多項式 $q_j$ で近似すれば、$q_1+\dots+q_m$ は三角多項式で、和 $f_1+\dots+f_m$ との差は $\varepsilon$ 未満である。よって和は三角多項式の一様極限であり、1 から概周期関数である。$\square$

段 1（三角多項式の場合）：$p=\sum_kc_ke^{i\lambda_kx}$（$\lambda_k$ は相異なるとしてよい）なら、三角関数の直交性 の定理「平均による直交性」を $\mu=0$ で使い、$A_T(p,a)$ は $a$ について一様に「周波数 $0$ の係数」（$\lambda_k=0$ となる $k$ があればその $c_k$、なければ $0$）に収束する。これを $M(p)$ とおく。
段 2（極限の存在）：$f\in\mathcal{A}$ を三角多項式 $p_n$ の一様極限とし、$\| g\|:=\sup_x\lvert g(x)\rvert$ と書く。積分の評価から $\lvert A_T(f,a)-A_T(p_n,a)\rvert\le\| f-p_n\|$ である。$\varepsilon>0$ に対して $\| f-p_n\|<\varepsilon/3$ となる $n$ をとり、段 1 から、$T,T'\ge T_0$ ならすべての $a,a'$ で $\lvert A_T(p_n,a)-A_{T'}(p_n,a')\rvert<\varepsilon/3$ となる $T_0$ をとる。すると $\lvert A_T(f,a)-A_{T'}(f,a')\rvert<\varepsilon$ である。Cauchy の判定法から、$a=a'$ を固定すれば $T\to\infty$ で極限があり、上の評価で $T'\to\infty$ とすれば、その極限は $a$ によらず、収束は $a$ について一様である。
段 3（性質）：線形性、$M(1)=1$、$\lvert A_T(f,a)\rvert\le\| f\|$ から $\lvert M(f)\rvert\le\| f\|$、$f\ge0$ なら $A_T(f,a)\ge0$ から $M(f)\ge0$ が出る。$A_T\bigl(f(\cdot+t),a\bigr)=A_T(f,a+t)$ と、収束が $a$ について一様であることから平行移動で変わらない。ここで $f(\cdot+t)$ も $\mathcal{A}$ に入る（$p_n(\cdot+t)$ は三角多項式で、$f(\cdot+t)$ に一様収束する）。
段 4（係数と不等式）：$\mathcal{A}$ は、和、複素共役、$e^{-i\lambda x}$ を掛けること、積で閉じている。積については、$f=\lim p_n$、$g=\lim q_n$ なら $\| fg-p_nq_n\|\le\| f\|\,\| g-q_n\|+\| q_n\|\,\| f-p_n\|$ で、$\| q_n\|$ は有界なので $p_nq_n\to fg$ は一様収束である（$f$ の有界性は thm-apf-bounded）。よって $a(\lambda)$ が定まる。$a_k:=a(\lambda_k)$、$g(x):=\sum_ka_ke^{i\lambda_kx}$ とおくと、$\lvert f-g\rvert^2=\lvert f\rvert^2-f\overline g-\overline fg+\lvert g\rvert^2$ は $\mathcal{A}$ に入り $0$ 以上なので、平均は $0$ 以上である。$M(f\overline g)=\sum_k\overline{a_k}M\bigl(fe^{-i\lambda_kx}\bigr)=\sum_k\lvert a_k\rvert^2$、その共役が $M(\overline fg)$ であり、三角関数の直交性 の系「一般の三角多項式の係数」の 2 から $M(\lvert g\rvert^2)=\sum_k\lvert a_k\rvert^2$ である。よって
$$ 0\le M\bigl(\lvert f-g\rvert^2\bigr)=M\bigl(\lvert f\rvert^2\bigr)-\sum_k\lvert a_k\rvert^2 $$
である。最後に、正の整数 $m$ について $\lvert a(\lambda)\rvert^2\ge1/m$ となる $\lambda$ は $m\,M(\lvert f\rvert^2)$ 個以下なので、$a(\lambda)\ne0$ となる $\lambda$ の集合は有限集合の可算個の和で、高々可算である。$\square$

1：$g(x):=f(x)e^{-i\lambda x}$ とおくと $g(x+T)=e^{-i\lambda T}g(x)$ である。thm-apf-mean の 2 から $M(g)=M\bigl(g(\cdot+T)\bigr)=e^{-i\lambda T}M(g)$ であり、$\lambda T\notin2\pi\mathbb{Z}$ なら $e^{-i\lambda T}\ne1$ なので $M(g)=0$ である。
2：$f$ は $\mathcal{A}$ に入る（cor-apf-closure の 2 の証明）。後半は 1 である。$g(x)=f(x)e^{-inx}$ は周期 $2\pi$ なので、$T=2\pi k$（$k$ は正の整数）では $A_T(g,0)=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}g=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}g$ であり、$k\to\infty$ とすればよい。
3：$p$ が周期 $T$ をもつとする。三角関数の直交性 の系「一般の三角多項式の係数」の 1 から $a(\lambda_k)=c_k\ne0$ なので、1 から $\lambda_kT\in2\pi\mathbb{Z}$ である。逆にすべての $k$ で $\lambda_kT\in2\pi\mathbb{Z}$ なら、各項が周期 $T$ をもつ。後半：$\lambda_1T=2\pi m$、$\lambda_2T=2\pi n$ で $\lambda_1,\lambda_2\ne0$ なら $\lambda_1/\lambda_2=m/n$ は有理数である。$\square$