Herbrand–Ribetの定理

前提知識: Stickelbergerの定理, 一般化Bernoulli数, Kummerの合同式, p進整数

Herbrand–Ribetの定理（Herbrand–Ribet theorem）とは、奇素数 $p$ について、円分体 $K=\mathbb Q(\zeta_p)$ のイデアル類群の $p$ 部分を Galois 群の指標で分けた成分と、Bernoulli数 の割り切れ方を 1 つずつ対応させる定理である。$p$ 部分 $A$ は $\operatorname{Gal}(K/\mathbb Q)\cong(\mathbb Z/p\mathbb Z)^\times$ の作用で $A=\bigoplus_iA_i$ と分かれ、$A_i$ では $\sigma_a$ が「$a^i$ 倍」として働く。定理は、奇数 $i$（$3\le i\le p-2$）について
$$ A_i\ne0\iff p\mid B_{p-i} $$
が成り立つと述べる。$\Rightarrow$ が Herbrand の定理、$\Leftarrow$ が Ribet の定理である。
正則素数 についての Kummer の判定法は「$p$ が類数を割る $\iff$ $p$ が $B_2,B_4,\dots,B_{p-3}$ のどれかの分子を割る」という全体についての主張だった。Herbrand–Ribet の定理はこれを成分ごとに精密にし、どの Bernoulli 数がどの成分に対応するかまで決める。例えば $37$ は $B_2,\dots,B_{34}$ のうち $B_{32}$ の分子だけを割り、$\mathbb Q(\zeta_{37})$ の類群の $37$ 部分は、$\sigma_a$ が $a^5$ 倍として働く位数 $37$ の群になる。
この記事では、成分への分解、成分ごとの Stickelberger 元の固有値、合同式 $B_{1,\omega^{-i}}\equiv B_{p-i}/(p-i)\pmod p$、Herbrand の向き、$p=37$ の成分の決定を完全に証明する。Ribet の向きは保型形式から Galois 表現を作る深い議論を要するので、所在を示して引用する。

類群の成分への分解

Teichmüller 指標と成分

以下 $p$ を奇素数、$K:=\mathbb Q(\zeta_p)$、$G:=\operatorname{Gal}(K/\mathbb Q)=\{\sigma_a\}$（$\sigma_a(\zeta_p)=\zeta_p^a$）とし、$A$ を $K$ のイデアル類群の $p$ シロー部分群とする（イデアル類群）。$A$ は加法的に書く。$p^NA=0$ となる $N$ をとり、$x\in\mathbb Z_p$ を $x\equiv n\pmod{p^N}$ となる整数 $n$ の倍として働かせると、$A$ は p進整数 環 $\mathbb Z_p$ 上の加群になり、$G$ の作用と合わせて群環 $\mathbb Z_p[G]$ 上の加群になる。
p進数体 の系「$\mathbb Q_p^\times$ の構造」により $\mathbb Z_p^\times$ は $1$ の $p-1$ 乗根の群 $\mu_{p-1}$ を含み、$X^{p-1}-1$ は法 $p$ で相異なる根をもつので、還元は同型 $\mu_{p-1}\cong\mathbb F_p^\times$ を与える。

$\omega$ は群の同型 $G\cong\mu_{p-1}$ なので、$\omega^0,\omega^1,\dots,\omega^{p-2}$ は $G$ から $\mathbb Z_p^\times$ への準同型をすべて尽くす。環準同型 $\varphi_i:\mathbb Q_p[G]\to\mathbb Q_p$ を $\varphi_i(\sigma_a):=\omega(a)^i$ で定めると、$x\in\mathbb Z_p[G]$ は $A_i$ の上でスカラー $\varphi_i(x)$ 倍として働く。

複素共役 $\sigma_{-1}$ は $A_i$ に $\omega(-1)^i=(-1)^i$ 倍で働く。奇数の $i$ の成分の和を $A^-$、偶数の $i$ の成分の和を $A^+$ と書く。$A^+$ は最大実部分体 $K^+$ の類群の $p$ 部分に対応し（Vandiver予想 の命題「実部分体の類群と偶数の成分」）、$A^-$ の位数は相対類数 $h_p^-$ の $p$ 部分である。

Stickelberger 元の固有値

$\theta:=\frac1p\sum_{a=1}^{p-1}a\,\sigma_a^{-1}$ を $K$ の Stickelberger 元とする（Stickelbergerの定理 の定義「Stickelberger元とStickelbergerイデアル」）。$i\not\equiv0\pmod{p-1}$ のとき
$$ B_{1,\omega^{-i}}:=\frac1p\sum_{a=1}^{p-1}a\,\omega(a)^{-i}\in\mathbb Q_p $$
とおく。$\omega^{-i}$ は法 $p$ の自明でない指標（導手 $p$）なので、これは 一般化Bernoulli数 の系「小さな番号の値」の 2 の $B_{1,\chi}$ を、$1$ の $p-1$ 乗根の同一視 $\mathbb Q(\mu_{p-1})\subset\mathbb Q_p$ で $\mathbb Q_p$ の元とみたものである。

$A_0=0$ はノルムの議論からも明らかで、$A_1=0$ の計算は $B_{1,\omega^{-1}}$ が $p$ 整数でない（分母に $p$ をもつ）ことに対応する（Was82 Proposition 6.16、p. 102。Lan90 Chapter 1 §3 の Corollary 2、p. 16）。

合同式と主定理

$B_{1,\omega^{-i}}$ と Bernoulli 数の合同式

Was82 Corollary 5.15（p. 61）はこの合同式を $p$ 進 $L$ 関数から導き、Lan90（Chapter 1 §3 の Corollary 3 の証明、p. 16）は次の章の定理に送っている。ここでは Kummerの合同式 の記事で証明された Voronoi 型の合同式だけから導いた。

主定理

これは Was82 Theorem 6.17（p. 102）、Lan90 Chapter 1 §3 の Corollary 3（p. 16）である。証明から、より精密に「$B_{1,\omega^{-i}}$ は $A_i$ を消す」ことがわかる（Was82 Proposition 6.16）。
2（Ribet の向き）はこの記事では証明しない。Rib76 の Main Theorem (1.1)（p. 151）がこの主張で、そこでは $C:=A/pA$ の $\chi^{1-k}$ 成分（$\chi$ は $\mu_p$ への作用を表す法 $p$ の指標、$k=p-i$）が $0$ でないことを示している。$A_i/pA_i$ は $C$ の $\omega^i$ 成分で、有限 $p$ 群 $A_i$ について $A_i\ne0$ と $A_i/pA_i\ne0$ は同値なので、これは 2 と同じ主張である。証明は、$p\mid B_k$ のとき、$\Gamma_1(p)$ の重さ $2$ の尖点形式で、$p$ と異なる素数 $l$ について係数が $a_l\equiv1+l^{k-1}$（$p$ の上のある素イデアルを法として）をみたす固有形式を作り、モジュラー多様体 $J_1(p)$ の $p$ 進表現から、$\begin{pmatrix}1&*\\0&\chi^{k-1}\end{pmatrix}$ の形の既約でない 2 次元表現で対角化できないものを取り出す。その像から、Galois 群が $\mathbb Z/p\mathbb Z$ の直積で $\sigma_a$ が $\omega^{i}$ に従って働く $\mathbb Q(\mu_p)$ の不分岐アーベル拡大が得られ、類体論により $A_i\ne0$ が従う（Rib76 Theorem (1.2)・(1.3)、p. 152、証明の方針 p. 153）。Was82 は Theorem 6.18（p. 102）として述べ、証明を Rib76 に送っている。

1 と 2 を合わせると、$A^-\ne0$ と「$p$ が非正則」は同値である。$A^+\ne0$ なら $A^-\ne0$ であること（Was82 Theorem 5.34、p. 78。この記事では証明しない）と合わせると 正則素数 の Kummer の判定法が得られる。2 の不等式が等式になるかは一般には知られておらず、$p\nmid h_p^+$（Vandiver予想）なら等式になる（Was82 p. 102、Corollary 10.15、p. 197）。

例

$p=37$ の成分

$p=37$ で、奇数 $i$（$3\le i\le35$）ごとに $B_{1,\omega^{-i}}$ と $B_{37-i}/(37-i)$ の法 $37$ での剰余を計算すると、次のようになる（有限計算。2 つの値は prop-hrb-congruence のとおり一致する）。

この証明は Ribet の向きを使わず、類数の値から $A_5\ne0$ を得ている。$B_{1,\omega^{-5}}$ はちょうど $37^1$ で割り切れ（有限計算）、Was82 Proposition 6.16 により $A_5$ を消すので、位数 $37$ と合っている。

$p=157$ の成分

$157$ は $B_{62}$ と $B_{110}$ の分子を割り、ほかの $B_k$（$k=2,\dots,154$ の偶数）の分子は割らない（有限計算。正則素数 の表）。$i=157-62=95$ と $i=157-110=47$ が対応する成分である。Herbrand の向きにより奇数の成分は $A_{47},A_{95}$ 以外 $0$ で、Ribet の向きによりこの 2 つは $0$ でない。$B_{1,\omega^{-47}}$ と $B_{1,\omega^{-95}}$ はどちらもちょうど $157^1$ で割り切れる（有限計算）ので、Was82 Proposition 6.16 により $157A_{47}=157A_{95}=0$ である。$\mathbb Q(\zeta_{157})$ の相対類数は
$$ h_{157}^-=5\cdot13^2\cdot157^2\cdot1093\cdot1873\cdot418861\cdot3148601 $$
で（Was82 表 §3、p. 355）、$157$ をちょうど $2$ 回含む。$A^-$ の位数は $h^-_{157}$ の $157$ 部分なので、$A^-=A_{47}\oplus A_{95}\cong(\mathbb Z/157\mathbb Z)^2$ である。

反例と注意

注意を 2 つ挙げる。

• $p$ 進 $L$ 関数との関係．$-B_{1,\omega^{-i}}$ は久保田–Leopoldt の $p$ 進 $L$ 関数 $L_p(s,\omega^{1-i})$ の $s=0$ での値である（Was82 Corollary 5.15 の証明、p. 61）。$A_i$ の位数が $B_{1,\omega^{-i}}$ の $p$ 部分に等しいことは Mazur と Wiles が無条件に証明した（Was82 p. 198 の注意。この記事では証明しない）。これは $\mathbb Q(\zeta_{p^n})$ の塔全体にわたる 岩澤理論 の主予想から従う。
• Ribet の方法．Ribet の証明は、Bernoulli 数の割り切れを保型形式の合同に移し、その Galois 表現から類体を作る。円分体の理論と保型形式のこの結びつきは、Mazur–Wiles による主予想の証明に至った（Lan90 序文、p. xiv）。

関連項目

• 前提: Stickelbergerの定理, 一般化Bernoulli数, Kummerの合同式, p進整数, イデアル類群
• 比較: 正則素数, Bernoulli数
• 直後に読む: Vandiver予想
• 発展: 岩澤理論