Kählerの恒等式

$\omega=\frac i2\sum_j\theta_j\wedge\bar\theta_j$（エルミート計量 の定理「3 つの構造の対応」をユニタリ基底で書いたもの）から最初の式を得る。随伴をとると $(e_j\bar e_j)^*=\bar e_j^*e_j^*=4\bar\iota_j\iota_j$ で、係数 $\frac i2$ は共役の $-\frac i2$ になるので $\Lambda=-\frac i2\sum_j4\bar\iota_j\iota_j$ である。$\square$

lem-kid-local により $[L,\Lambda]=\sum_{j,l}[e_j\bar e_j,\bar\iota_l\iota_l]$ である（係数 $\frac i2\cdot(-2i)=1$）。$j\neq l$ なら、$e_j,\bar e_j$ と $\bar\iota_l,\iota_l$ はすべて互いに反可換なので、それぞれ 2 個の積である $e_j\bar e_j$ と $\bar\iota_l\iota_l$ は可換で、交換子は $0$ である。$j=l$ の項を計算する。添字 $j$ を省き、$N:=e\iota$、$\bar N:=\bar e\bar\iota$ とおく。$e$ は $\bar e$、$\bar\iota$ と反可換なので $\bar N$ と可換であり、
$$ e\bar e\,\bar\iota\iota=e\bar N\iota=\bar Ne\iota=\bar NN $$
である。一方、反交換関係を順に使うと
$$ \bar\iota\iota e\bar e=\bar\iota(1-e\iota)\bar e=\bar\iota\bar e-\bar\iota e\iota\bar e=(1-\bar N)-e\bar\iota\bar e\iota=(1-\bar N)-e(1-\bar e\bar\iota)\iota=1-\bar N-N+\bar NN $$
である（$\bar\iota e\iota\bar e=(-e\bar\iota)(-\bar e\iota)=e\bar\iota\bar e\iota$）。よって $[e\bar e,\bar\iota\iota]=N+\bar N-1$ である。$N_j=e_j\iota_j$ は、基底 $\theta_I\wedge\bar\theta_J$ を $j\in I$ なら自分自身に、$j\notin I$ なら $0$ に写す（$\iota_je_j+e_j\iota_j=1$ と $e_j^2=0$ による）。$\bar N_j$ も $J$ について同様である。型 $(p,q)$ の基底元の上で $\sum_jN_j=p$、$\sum_j\bar N_j=q$ なので、$[L,\Lambda]=p+q-n=k-n$ である。最後の主張は $k=0$ で $[L,\Lambda]1=-\Lambda\omega=-n$ による（$\Lambda1=0$）。$\square$

$\theta_j=dz_j$ ととると、$e_j,\bar e_j,\iota_j,\bar\iota_j$ はすべて定数係数の作用素で、偏微分と可換である。$\partial=\sum_ke_k\,\partial_{z_k}$、$\bar\partial=\sum_k\bar e_k\,\partial_{\bar z_k}$（$\partial_{z_k}$、$\partial_{\bar z_k}$ は係数ごとの偏微分）であり、Dolbeaultラプラシアン の定理「平坦な計量での Dolbeault ラプラシアン」により $\bar\partial^*=-2\sum_k\bar\iota_k\,\partial_{z_k}$ である。$\partial^*\alpha=\overline{\bar\partial^*\bar\alpha}$（$*$ が実の作用素であることから）なので、共役をとって $\partial^*=-2\sum_k\iota_k\,\partial_{\bar z_k}$ である。
lem-kid-local の $\Lambda=-2i\sum_j\bar\iota_j\iota_j$ も定数係数なので、$[\Lambda,\bar\partial]=\sum_k[\Lambda,\bar e_k]\,\partial_{\bar z_k}$ である。反交換関係から
$$ [\bar\iota_j\iota_j,\bar e_k]=\bar\iota_j\iota_j\bar e_k-\bar e_k\bar\iota_j\iota_j=-\bar\iota_j\bar e_k\iota_j-\bar e_k\bar\iota_j\iota_j=-(\bar\iota_j\bar e_k+\bar e_k\bar\iota_j)\iota_j=-\delta_{jk}\iota_j $$
なので $[\Lambda,\bar e_k]=2i\,\iota_k$ であり、
$$ [\Lambda,\bar\partial]=2i\sum_k\iota_k\,\partial_{\bar z_k}=-i\Bigl(-2\sum_k\iota_k\,\partial_{\bar z_k}\Bigr)=-i\,\partial^* $$
である。同様に $[\bar\iota_j\iota_j,e_k]=\bar\iota_j(\delta_{jk}-e_k\iota_j)-e_k\bar\iota_j\iota_j=\delta_{jk}\bar\iota_j$（$\bar\iota_je_k=-e_k\bar\iota_j$ による）なので $[\Lambda,e_k]=-2i\,\bar\iota_k$ であり、$[\Lambda,\partial]=-2i\sum_k\bar\iota_k\,\partial_{z_k}=i\,\bar\partial^*$ である。$\square$

$[L,\partial]=[L,\bar\partial]=0$．$\omega$ は 2 次形式なので Leibniz 則により $\bar\partial(\omega\wedge\alpha)=\bar\partial\omega\wedge\alpha+\omega\wedge\bar\partial\alpha$、すなわち $[L,\bar\partial]\alpha=-\bar\partial\omega\wedge\alpha$ である。Kähler 条件 $d\omega=0$ の型 $(1,2)$ 成分は $\bar\partial\omega=0$ なので $[L,\bar\partial]=0$ で、$[L,\partial]=0$ も同様である。随伴をとれば $[\Lambda,\partial^*]=[\Lambda,\bar\partial^*]=0$ である（段 3 の随伴のとり方による）。
段 2：$[\Lambda,\bar\partial]=-i\partial^*$．$P:=[\Lambda,\bar\partial]+i\partial^*$ とおく。$P$ は任意の Hermite 計量について定義される 1 階の微分作用素で、$P=0$ を示せばよい。点 $x\in X$ を固定し、$x$ を中心とする正則座標 $z$ で、$h_{j\bar k}(z)=\delta_{jk}+O(|z|^2)$ となるものをとる（Kähler形式 の定理「Kähler 条件の同値な言い換え」の 3）。座標近傍の上で、平坦な計量 $h_0=\sum dz_j\otimes d\bar z_j$ から作った作用素を $\Lambda_0$、$*_0$、$\partial^*_0$、$P_0$ と書く。prop-kid-flat により $P_0=0$ である。
行列値関数 $H(z):=(h_{j\bar k}(z))$ は $x$ で単位行列で、$dH(x)=0$ である。座標の基底 $dz_I\wedge d\bar z_J$ について、各点 $z$ での $\Lambda$ と $*$ の行列は $H(z)$ の成分の有理式 $A(H(z))$、$S(H(z))$ で与えられ、$\Lambda_0$、$*_0$ の行列はそれらの $H=I$ での値 $A(I)$、$S(I)$ である。

• $(\Lambda\bar\partial\alpha)(x)=A(H(x))(\bar\partial\alpha)(x)=A(I)(\bar\partial\alpha)(x)=(\Lambda_0\bar\partial\alpha)(x)$。
• $(\bar\partial\Lambda\alpha)(x)$ は $A(H(z))\alpha(z)$ の係数の 1 階偏導関数の $x$ での値から決まる。積の微分で $A(H)$ の偏導関数は $dH(x)=0$ から $x$ で $0$ になるので、$(\bar\partial\Lambda\alpha)(x)=(\bar\partial\Lambda_0\alpha)(x)$ である。
• $\partial^*\alpha=-*\bar\partial(*\alpha)$ について、同様に $(\bar\partial(*\alpha))(x)=(\bar\partial(*_0\alpha))(x)$ で、外側の $*$ は $x$ で $S(I)=*_0$ なので、$(\partial^*\alpha)(x)=(\partial^*_0\alpha)(x)$ である。
  よって $(P\alpha)(x)=(P_0\alpha)(x)=0$ で、$x$ は任意だから $P=0$ である。

段 3：$[\Lambda,\partial]=i\bar\partial^*$．$\Lambda$ と $*$ は複素共役と可換なので、$\overline{[\Lambda,\bar\partial]\bar\alpha}=[\Lambda,\partial]\alpha$、$\overline{\partial^*\bar\alpha}=\bar\partial^*\alpha$ である。段 2 の等式を $\bar\alpha$ に当てて共役をとると $[\Lambda,\partial]\alpha=\overline{-i\partial^*\bar\alpha}=i\bar\partial^*\alpha$ を得る。
段 3：随伴の式．コンパクトな台をもつ $\alpha,\beta$ について、$\Lambda$ は $L$ の各点の随伴、$\bar\partial^*$ は $\bar\partial$ の形式的随伴なので
$$ \langle\!\langle[\Lambda,\bar\partial]\alpha,\beta\rangle\!\rangle=\langle\!\langle\bar\partial\alpha,L\beta\rangle\!\rangle-\langle\!\langle\Lambda\alpha,\bar\partial^*\beta\rangle\!\rangle=\langle\!\langle\alpha,[\bar\partial^*,L]\beta\rangle\!\rangle $$
である。一方 $\langle\!\langle-i\partial^*\alpha,\beta\rangle\!\rangle=\langle\!\langle\alpha,i\partial\beta\rangle\!\rangle$ である。段 2 により左辺どうしが等しいので、形式的随伴の一意性（Dolbeaultラプラシアン の定理「$\bar\partial^*$ は $\bar\partial$ の形式的随伴」の後の段落）から $[\bar\partial^*,L]=i\partial$、すなわち $[L,\bar\partial^*]=-i\partial$ である。$[\Lambda,\partial]=i\bar\partial^*$ から同じようにして $[L,\partial^*]=i\bar\partial$ を得る。同じ論法で $[L,\bar\partial]=0$ の随伴が $[\Lambda,\bar\partial^*]=0$ である。$\square$

thm-kid-main から $i\bar\partial^*=[\Lambda,\partial]$、$\partial^*=i[\Lambda,\bar\partial]$、$\bar\partial^*=-i[\Lambda,\partial]$ である。
1．$\partial^2=0$ を使うと
$$ i(\partial\bar\partial^*+\bar\partial^*\partial)=\partial[\Lambda,\partial]+[\Lambda,\partial]\partial=\partial\Lambda\partial-\partial^2\Lambda+\Lambda\partial^2-\partial\Lambda\partial=0 $$
である。2 番目の式は、$\partial$ と $\bar\partial$ の役割を入れ替えて $[\Lambda,\bar\partial]=-i\partial^*$ から同様に得る。
2．上の表示を代入すると
$$ \Delta_\partial=\partial\partial^*+\partial^*\partial=i\bigl(\partial\Lambda\bar\partial-\partial\bar\partial\Lambda+\Lambda\bar\partial\partial-\bar\partial\Lambda\partial\bigr), $$
$$ \Delta_{\bar\partial}=\bar\partial\bar\partial^*+\bar\partial^*\bar\partial=-i\bigl(\bar\partial\Lambda\partial-\bar\partial\partial\Lambda+\Lambda\partial\bar\partial-\partial\Lambda\bar\partial\bigr) $$
である。$\bar\partial\partial=-\partial\bar\partial$ を 2 番目の式の第 2 項と第 3 項に使うと、2 番目の式は $i\bigl(\partial\Lambda\bar\partial-\partial\bar\partial\Lambda+\Lambda\bar\partial\partial-\bar\partial\Lambda\partial\bigr)$ となり、1 番目の式に一致する。
3．$d=\partial+\bar\partial$、$d^*=\partial^*+\bar\partial^*$ を展開すると
$$ \Delta=\Delta_\partial+\Delta_{\bar\partial}+(\partial\bar\partial^*+\bar\partial^*\partial)+(\bar\partial\partial^*+\partial^*\bar\partial) $$
で、1 と 2 から $\Delta=2\Delta_{\bar\partial}$ である。$\Delta_{\bar\partial}$ は型を保つ。$\Delta$ は実の作用素（$d$ も $*$ も実）なので複素共役と可換である。
4．$d\omega=0$ から $[L,d]=0$ である。thm-kid-main により $[L,d^*]=[L,\partial^*]+[L,\bar\partial^*]=i(\bar\partial-\partial)$ なので
$$ [L,\Delta]=d[L,d^*]+[L,d^*]d=i\bigl((\partial+\bar\partial)(\bar\partial-\partial)+(\bar\partial-\partial)(\partial+\bar\partial)\bigr)=i\bigl(\partial\bar\partial+\bar\partial\partial-\bar\partial\partial-\partial\bar\partial\bigr)=0 $$
である（$[L,dd^*]=d[L,d^*]$、$[L,d^*d]=[L,d^*]d$ は $[L,d]=0$ による。$\partial^2=\bar\partial^2=0$ を使った）。$\Delta$ は形式的に自己随伴なので、随伴をとって $[\Lambda,\Delta]=0$ である。$\square$

1：Dolbeaultラプラシアン の記事で見たように、コンパクトな $X$ の上で正則 $p$ 形式は $\Delta_{\bar\partial}$ 調和である（$(p,0)$ 形式の上で $\Delta_{\bar\partial}=\bar\partial^*\bar\partial$）。thm-kid-laplacians の 3 により $\Delta\alpha=2\Delta_{\bar\partial}\alpha=0$ で、コンパクトな多様体上の調和形式は閉かつ余閉である（Laplace–de Rham作用素 の定理「閉多様体上の調和形式の特徴づけ」）。$\alpha=d\beta$ なら $\|\alpha\|^2=\langle\!\langle\alpha,d\beta\rangle\!\rangle=\langle\!\langle d^*\alpha,\beta\rangle\!\rangle=0$ である。
2：定数関数 $1$ は $\Delta1=0$ をみたす。thm-kid-laplacians の 4 から $\Delta(\omega^k)=\Delta L^k1=L^k\Delta1=0$ である。$\square$

要点：$\Lambda$ は $e^{-\varphi}\Lambda_0$ に、$\partial^*$ は $e^{-\varphi}\partial^*_0$ に 0 階の項 $-2(n-1)e^{-\varphi}\sum_ja_j\,\partial\varphi/\partial\bar z_j$ を足したものに変わる。平坦な計量の恒等式で $e^{-\varphi}$ 倍の部分は打ち消し合い、この 0 階の項だけが残る。