加藤の平方根問題

前提知識: Hilbert空間, 自己共役作用素, Lax–Milgramの定理, Sobolev空間, 楕円型作用素

加藤の平方根問題（Kato square root problem）は、$\mathbb{R}^n$ 上の有界可測な複素係数をもつ発散形の楕円型作用素 $L=-\operatorname{div}(A\nabla)$ について、平方根 $\sqrt{L}$ の定義域が Sobolev 空間 $H^1(\mathbb{R}^n)$ に等しく、
$$ \|\sqrt{L}\,u\|_{L^2}\approx\|\nabla u\|_{L^2} $$
が成り立つか、という問いである。$A$ が Hermite 行列なら、これは $\|\sqrt{L}u\|^2=\int\langle A\nabla u,\nabla u\rangle$ からただちに従う。問題は $L$ が自己共役でないときで、そのとき $\sqrt{L}$ は非局所的で、$L$ の 2 次形式から直接には読めない。Kato 予想（Kato conjecture）とも呼ばれる。
問いの元の形は、加藤敏夫（Tosio Kato、1917–1999）が 1961 年の論文で、Hilbert 空間の抽象的な増大作用素について述べたものである。抽象的な形の答えは否定的であった。楕円型作用素の形は 2002 年に Auscher・Hofmann・Lacey・McIntosh・Tchamitchian が肯定的に解決した。この解決の証明は調和解析の大きな道具を使い、この記事では証明しない。
この記事では、問いの設定、自己共役の場合と定数係数の場合、片側の評価だけで足りること（抽象的な同値）を証明し、主定理の主張と証明の筋、反例を述べる。

形式と作用素

$H$ を複素 Hilbert 空間とし、内積 $(\cdot,\cdot)$ は第 1 変数について線形とする。$V$ を $H$ の稠密な部分空間で、それ自身のノルム $\|\cdot\|_V$ で Hilbert 空間になり、$\|u\|\le c\|u\|_V$ をみたすものとする。

$\mathfrak{a}^*(u,v):=\overline{\mathfrak{a}(v,u)}$ も同じ定数で有界かつ強圧的である。

2 の性質により $T$ は最大増大作用素（maximal accretive operator）である。すなわち $\operatorname{Re}(Tu,u)\ge0$ で、$t>0$ について $t+T$ が全射である。とくに $\|(t+T)^{-1}\|\le1/t$ である。

平方根

複素数 $z$（$\operatorname{Re}z>0$）について $\frac1\pi\int_0^\infty t^{-1/2}(t+z)^{-1}\,dt=z^{-1/2}$（主値）なので、自己共役作用素や Fourier 乗算作用素では、これはスペクトル分解や乗算子で定めた平方根と一致する。

自己共役の場合は問いの答えが肯定的である。

一般の $\mathfrak{a}$ では $\mathcal{D}(T)\ne\mathcal{D}(T^*)$ がふつうで、この議論は使えない。ただ、片側の包含はもう一方の包含と同値である。

これは Kat62 定理 1（p. 243）である。同 定理 2 と系（p. 244）により、$\mathcal{D}(T^{1/2})=\mathcal{D}(T^{*1/2})$ なら 3 つの空間は $V$ に一致する。$\mathcal{D}(T)=\mathcal{D}(T^*)$ のときも同じ結論である。これらは Lio62 §5 が補間空間の方法でも示している（この記事では証明しない）。

楕円型作用素の場合

$A=(A_{ij})$ を $\mathbb{R}^n$ 上の $n$ 次の複素行列値の可測関数で、定数 $0<\lambda\le\Lambda$ があって、ほとんどすべての $x$ とすべての $\xi,\eta\in\mathbb{C}^n$ について
$$ \lambda|\xi|^2\le\operatorname{Re}\langle A(x)\xi,\xi\rangle,\qquad|\langle A(x)\xi,\eta\rangle|\le\Lambda|\xi||\eta| $$
をみたすものとする。この条件をみたす $A$ の全体を $\mathcal{E}(n,\lambda,\Lambda)$ と書く。$H=L^2(\mathbb{R}^n)$、$V=H^1(\mathbb{R}^n)$ とし、
$$ \mathfrak{a}(u,v):=\int_{\mathbb{R}^n}\langle A\nabla u,\nabla v\rangle\,dx $$
とおく。$\mathfrak{a}+(\cdot,\cdot)$ は有界で強圧的なので、def-ksr-form の作用素 $1+L$ が定まる。$L$ を $L=-\operatorname{div}(A\nabla)$ と書く。$L$ は最大増大作用素で、$L^*$ は共役転置 $A^*$ に対応する。$A^*$ も $\mathcal{E}(n,\lambda,\Lambda)$ に入る。

片側の評価だけで足りることは、抽象論から従う。

Ken04 が述べるように、問題の中心は上からの評価である。

例

証明の筋

ここでは thm-ksr-main の証明の考え方だけを述べる。証明はしない。
動機． 加藤の関心は、自己共役な $A$ のまわりで $A\mapsto L^{1/2}$ が解析的かどうかで、双曲型の発展方程式の摂動論への応用があった（Ken04）。この解析性は、自己共役な $A_0$ の小さな摂動についての上からの評価と同値である。
$T(b)$ 定理の方法． Auscher と Tchamitchian は、特異積分の $T(b)$ 定理にならい、上からの評価を Carleson 測度の評価に帰着した。$\Phi(x)=x$ について $\gamma_t(x):=e^{-t^2L}tL\Phi(x)$ とおき、$|\gamma_t(x)|^2\,dx\,dt/t$ の Carleson 測度としての評価を示す問題である。そのために各立方体 $Q$ に、勾配の $Q$ の上の平均が単位行列に近い写像 $F_Q$ を選ぶ。$\ell(Q)$ を $Q$ の 1 辺の長さとして $F_Q=e^{-\varepsilon^2\ell(Q)^2L}\Phi$ の形のものが使われ、停止時間の議論で必要な評価を確かめるのが解決の鍵である。熱核の Gauss 評価が成り立つ場合（$n=2$ はこの場合である）の議論が HM02 にある。一般の次元では Gauss 評価が成り立たないことがあり、熱半群の代わりにレゾルベント $(1+t^2L)^{-1}$ の平均的な減衰評価を使う（Ken04）。
第 1 階の形． $L^2(\mathbb{R}^n)\oplus L^2(\mathbb{R}^n;\mathbb{C}^n)$ の上の作用素
$$ \Pi:=\begin{pmatrix}0&-\operatorname{div}A\\\nabla&0\end{pmatrix},\qquad\Pi^2=\begin{pmatrix}L&0\\0&-\nabla\operatorname{div}A\end{pmatrix} $$
を考える。AKM06 は $\Pi$ の 2 次評価
$$ \int_0^\infty\|t\Pi(1+t^2\Pi^2)^{-1}w\|^2\,\frac{dt}{t}\approx\|w\|^2 $$
（$w$ は $\Pi$ の値域の閉包の元）を示し、$\Pi$ が二重扇形の有界な正則関数計算をもつことを導く（同 定理 2.7、定理 2.10）。関数 $z\mapsto z/\sqrt{z^2}$ に当てると $\|\sqrt{\Pi^2}w\|\approx\|\Pi w\|$ で（同 系 2.11）、$w=(u,0)$ とすると thm-ksr-main の評価が得られる（同 定理 3.1）。

$n=1$ の評価は、Lipschitz 曲線の上の Cauchy 積分の $L^2$ 有界性と同値である（Kenig・Meyer。Ken04）。Lipschitz 領域の混合境界条件の問題も AKM04 が解いている。

反例：条件を外すと

関連項目

• 前提: Lax–Milgramの定理, 自己共役作用素, Sobolev空間
• 比較: 楕円型作用素, Hille–吉田の定理, 加藤–Rellichの定理
• 発展: Calderón–Zygmund作用素