Wolstenholmeの定理

1：$a/b\pm c/d=(ad\pm bc)/(bd)$、$(a/b)(c/d)=ac/(bd)$ で、$p\nmid b,d$ なら $p\nmid bd$ である。約分しても分母は $bd$ の約数なので $p$ で割り切れない。逆数については、$a/b$ を既約分数とすると $b/a$ も既約で、$p\nmid a$ だから $b/a\in\mathbb Z_{(p)}$ である。
2：反射律・対称律は $0=p^k\cdot0$、$s-r=p^k(-c)$ から、推移律は $r-s=p^kc$、$s-t=p^kc'$ を足して $r-t=p^k(c+c')$ から従う（1 により $c+c'\in\mathbb Z_{(p)}$）。$r\equiv s$、$r'\equiv s'$ なら $(r+r')-(s+s')=p^k(c+c')$、$rr'-ss'=r(r'-s')+s'(r-s)=p^k(rc'+s'c)$ である。整数 $m,n$ について $m-n=p^kc$（$c=u/v$、$p\nmid v$）なら $v(m-n)=p^ku$ で、$p\nmid v$ なので $p^k\mid m-n$ である。逆は $c\in\mathbb Z$ ととればよい。
3：$1/r-1/s=(s-r)\cdot\frac1{rs}$ で、$\frac1{rs}=\frac1r\cdot\frac1s\in\mathbb Z_{(p)}$ なので、$s-r=p^k(-c)$ から $1/r-1/s=p^k\bigl(-c/(rs)\bigr)$ である。
4：$a/b-ab'=a(1-bb')/b$ で、$1-bb'$ は $p^k$ の倍数、$1/b\in\mathbb Z_{(p)}$ なので、$p^k$ を法として $0$ と合同である。$\square$

$1\le k\le p-1$ に対し、$kk'\equiv1\pmod p$ を満たす $1\le k'\le p-1$ がただ一つあり、$k\mapsto k'$ は $\{1,\dots,p-1\}$ の並べ替えである（$k'$ の逆元は $k$ だから全単射）。prop-wol-rational-rules の 4 と 2 により $1/k^2\equiv k'^2\pmod p$ なので、
$$ \sum_{k=1}^{p-1}\frac1{k^2}\equiv\sum_{k=1}^{p-1}k'^2=\sum_{j=1}^{p-1}j^2=\frac{(p-1)p(2p-1)}6\pmod p $$
である。右辺は平方の和なので整数であり、$(p-1)p(2p-1)$ は $6$ で割り切れる。$p\ge5$ なので $\gcd(p,6)=1$ であり、$(p-1)(2p-1)$ が $6$ で割り切れる。よって右辺は $p\cdot\frac{(p-1)(2p-1)}6$ と書けて $p$ の倍数である。$\square$

1. の証明：$p$ は奇数なので、$k$ と $p-k$（$1\le k\le(p-1)/2$）を組にすると
   $$ \sum_{k=1}^{p-1}\frac1k=\sum_{k=1}^{(p-1)/2}\Bigl(\frac1k+\frac1{p-k}\Bigr)=p\sum_{k=1}^{(p-1)/2}\frac1{k(p-k)} $$
   である。したがって $S:=\sum_{k=1}^{(p-1)/2}\frac1{k(p-k)}\equiv0\pmod p$ を示せばよい（$S\in\mathbb Z_{(p)}$ なので、$S=pc$ から和は $p^2c$ になる）。$k(p-k)=pk-k^2\equiv-k^2\pmod p$ で、両辺とも $p$ で割り切れない整数なので、prop-wol-rational-rules の 3 により $\frac1{k(p-k)}\equiv-\frac1{k^2}\pmod p$ である。よって
   $$ S\equiv-\sum_{k=1}^{(p-1)/2}\frac1{k^2}\pmod p $$
   である。一方、$(p-k)^2\equiv k^2\pmod p$ から同様に $\frac1{(p-k)^2}\equiv\frac1{k^2}$ なので、
   $$ \sum_{k=1}^{p-1}\frac1{k^2}=\sum_{k=1}^{(p-1)/2}\Bigl(\frac1{k^2}+\frac1{(p-k)^2}\Bigr)\equiv2\sum_{k=1}^{(p-1)/2}\frac1{k^2}\pmod p $$
   である。左辺は lem-wol-inverse-squares により $p$ を法として $0$ と合同であり、$2$ は $p$ を法として逆数をもつので、$\sum_{k=1}^{(p-1)/2}\frac1{k^2}\equiv0$、したがって $S\equiv0\pmod p$ である。
2. の証明：
   $$ \binom{2p-1}{p-1}=\frac{(p+1)(p+2)\cdots(p+p-1)}{1\cdot2\cdots(p-1)}=\prod_{k=1}^{p-1}\Bigl(1+\frac pk\Bigr) $$
   である。$e_j$ を $\frac11,\frac12,\dots,\frac1{p-1}$ の $j$ 次の基本対称式（$j$ 個の異なる数の積の和、$e_0=1$）とすると、右辺を展開して
   $$ \binom{2p-1}{p-1}=1+pe_1+p^2e_2+\sum_{j=3}^{p-1}p^je_j $$
   である。各 $e_j$ は $\mathbb Z_{(p)}$ に入る（prop-wol-rational-rules の 1）ので、$j\ge3$ の項は $p^3$ を法として $0$ と合同である。$e_1=\sum1/k$ は (1) により $p^2$ を法として $0$ と合同なので、$pe_1\equiv0\pmod{p^3}$ である。$e_2$ については、展開 $e_1^2=\sum_k\frac1{k^2}+2e_2$ から
   $$ e_2=\frac12\Bigl(e_1^2-\sum_{k=1}^{p-1}\frac1{k^2}\Bigr) $$
   で、$e_1\equiv0$ と lem-wol-inverse-squares により括弧の中は $p$ を法として $0$ と合同、$\frac12\in\mathbb Z_{(p)}$ なので $e_2\equiv0\pmod p$、よって $p^2e_2\equiv0\pmod{p^3}$ である。以上から $\binom{2p-1}{p-1}\equiv1\pmod{p^3}$ であり、両辺は整数なので通常の合同式として成り立つ（prop-wol-rational-rules の 2）。$\binom{2p}p=\frac{2p}p\binom{2p-1}{p-1}=2\binom{2p-1}{p-1}$ なので、$\binom{2p}p\equiv2\pmod{p^3}$ でもある。
   $p^2$ を法とする主張：$p\ge3$ なら、上の組にする式から $e_1=pS$ で $S\in\mathbb Z_{(p)}$ なので $pe_1\equiv0\pmod{p^2}$、また $p^je_j\equiv0\pmod{p^2}$（$j\ge2$）である。よって $\binom{2p-1}{p-1}\equiv1\pmod{p^2}$ である。$\square$

Wilsonの定理 の記事の証明「多項式の因数分解による証明」で示されているとおり、多項式として
$$ (x-1)(x-2)\cdots(x-p+1)\equiv x^{p-1}-1\pmod p $$
が成り立つ（両辺の差は $p-2$ 次以下で、Fermatの小定理 により $1,\dots,p-1$ を法 $p$ の根にもつので、体 $\mathbb Z/p\mathbb Z$ 上の多項式として $0$ になる）。係数を比べると、$x^{p-1-i}$（$1\le i\le p-2$）の係数から $\pm A_i\equiv0$、定数項から $A_{p-1}\equiv-1\pmod p$ を得る。$p-1$ は偶数なので定数項の符号は $+$ である。$\square$

$p\ge5$ とする。lem-wol-polynomial の等式に $x=p$ を代入すると、左辺は $(p-1)!=A_{p-1}$ なので
$$ 0=p^{p-1}-A_1p^{p-2}+A_2p^{p-3}-\dots+A_{p-3}p^2-A_{p-2}p $$
となる（$p-1$ が偶数なので $A_i$ の項の符号は $(-1)^i$）。両辺を $p$ で割って
$$ A_{p-2}=p^{p-2}-A_1p^{p-3}+\dots+A_{p-3}p $$
を得る。$p\ge5$ なので $p-2\ge3$ で $p^{p-2}$ は $p^2$ の倍数であり、$1\le i\le p-3$ の項 $A_ip^{p-2-i}$ は $p\mid A_i$ と $p-2-i\ge1$ から $p^2$ の倍数である。よって $p^2\mid A_{p-2}$ である。一方 $A_{p-2}$ は $1,\dots,p-1$ から $1$ 個を除いた積の和なので $A_{p-2}=(p-1)!\sum_{k=1}^{p-1}\frac1k$ である。$(p-1)!$ は $p$ と互いに素なので、$\sum_{k=1}^{p-1}\frac1k=A_{p-2}/(p-1)!\equiv0\pmod{p^2}$ である。$\square$