直線束

同義語：line bundle

概要

前提知識: 層, スキーム, 局所自由層, 切断

一本の線が点ごとに付く

平面上の各点に一本のベクトル空間を付け、その線を点とともに連続的に動かすと、局所的には平面と直線の直積に見える。それでも全体を一つの直積として表せるとは限らない。代数幾何での直線束は、この「局所的には一本の自由な線、全体ではねじれうる」という構造を、構造層上の加群で表したものである。複素射影直線上の $\mathcal O(1)$ と $\mathcal O(-1)$ は、局所的にはどちらも構造層と同じでありながら、全体では自明でない基本例である。
この記事ではまずスキーム上の直線束を定義する。開集合上で生成元を選ぶと、二つの生成元の比は零にならない関数になる。その関数を貼り合わせデータとして扱い、切断、双対、テンソル積、Picard 群を説明する。ファイバー束は束一般の局所自明性を、因子類群は Weil 因子の同値類を主題とする。本稿はその間にある階数一の層そのものを扱う（Sta01CR、Sta09NT）。

定義と局所枠

$X$ をスキーム、$\mathcal O_X$ をその構造層とする。点 $x$ の局所環を $\mathcal O_{X,x}$、剰余体を $\kappa(x)$ と書く。直線束の「線」は各点で $\kappa(x)$ 上一次元のベクトル空間であり、一般には全点の剰余体が同じとは限らない。

直線束

$X$ 上の直線束とは、$\mathcal O_X$ 加群の層 $\mathcal L$ で、各点 $x$ のある開近傍 $U$ について $\mathcal L|_U\cong\mathcal O_U$ となるものをいう。すなわち局所自由階数一の層である。全体で $\mathcal L\cong\mathcal O_X$ なら自明な直線束という。点 $x$ のファイバーは $\mathcal L(x)=\mathcal L_x\otimes_{\mathcal O_{X,x}}\kappa(x)$ であり、$\kappa(x)$ 上一次元である（Sta01CR Lemma 17.25.4）。

定義は「各茎だけが一次元なら十分」とは述べていない。開近傍で層として自由な生成元を選べることを要求する。スキームの構造層は局所環の層なので、テンソル積による意味で可逆な層と局所自由階数一の層は一致する。この同値は一般の環付き空間では局所環という仮定を落とせない（Sta0B8M）。本稿の「直線束」はこのスキーム上の意味で用いる。
開集合 $U$ 上の同型 $\mathcal O_U\to\mathcal L|_U$ は $1$ の像 $e$ で決まる。$e$ を局所枠、または局所生成元と呼ぶ。任意の切断 $s\in\mathcal L(U)$ は一意に $s=f e$ と書け、係数 $f$ は $\mathcal O_X(U)$ の元である。ただし局所枠を取り替えると係数も変わる。局所枠そのものは全体で存在するとは限らない。

自明性と消えない切断

$X$ 上の直線束 $\mathcal L$ が自明であることと、各点のファイバーで零でない大域切断 $s\in\Gamma(X,\mathcal L)$ が存在することは同値である。ここで「零でない」とは、切断全体が零でないだけでなく、すべての $x$ で $s(x)\ne0$ という意味である。

消えない切断が局所枠になる

自明なら $\mathcal O_X\cong\mathcal L$ の下で $1$ の像を取ればよい。逆に各点で $s(x)\ne0$ とする。局所枠 $e$ を持つ開集合 $U$ で $s=f e$ と書くと、$s(x)\ne0$ は $f$ の $\kappa(x)$ での像が零でないこと、すなわち $f_x\notin\mathfrak m_x$ を意味する。局所環では $f_x$ は単元であり、単元である点の集合は開く。従って $x$ の近傍を縮めれば $f$ は逆元を持ち、$s$ 自身が局所枠になる。射 $\mathcal O_X\to\mathcal L,\ 1\mapsto s$ は各点の近傍で同型だから全体で同型である。$\square$

大域切断が一つ非零であっても、ある点で消えるなら自明性は従わない。たとえば $\mathcal O(1)$ には非零の大域切断があるが、どの大域切断も射影直線上のどこかで零になる。この違いが、直線束を大域切断の集合だけで見分けようとするときの注意点である。

遷移関数から作る

開被覆 $X=\bigcup_i U_i$ 上で局所枠 $e_i$ を選ぶ。重なり $U_{ij}=U_i\cap U_j$ では $e_i=g_{ij}e_j$ と一意に書ける。二つとも枠なので $g_{ij}\in\mathcal O_X^\times(U_{ij})$、すなわちどの点でも逆元を持つ関数である。三重の重なりでは $g_{ij}g_{jk}=g_{ik}$。また $g_{ii}=1$、$g_{ji}=g_{ij}^{-1}$ である。

遷移関数による貼り合わせ

開被覆 $\{U_i\}$ と単元 $g_{ij}\in\mathcal O_X^\times(U_{ij})$ が $g_{ii}=1$ および $g_{ij}g_{jk}=g_{ik}$ を満たすとする。このデータから、各 $U_i$ 上で自明な直線束を貼り合わせ、$X$ 上の直線束を作れる。各 $U_i$ で枠を $e_i'=h_i e_i$（$h_i\in\mathcal O_X^\times(U_i)$）に取り替えると遷移関数は $g_{ij}'=h_i g_{ij}h_j^{-1}$ となる。この取り替えは同型な直線束を与える。

局所自由加群を貼り合わせる

各 $U_i$ に形式的な自由階数一の層 $\mathcal O_{U_i}e_i$ を置く。重なりでは $e_i=g_{ij}e_j$ と同一視する。二つの重なりで往復すると $g_{ij}g_{ji}=1$、三つの重なりを経由する二つの同一視は $g_{ij}g_{jk}=g_{ik}$ によって一致する。よってこれらは矛盾なく一つの層に貼り合わさり、各 $U_i$ で自由階数一のままである。枠の変更では $e_i'=h_i g_{ij}e_j=h_i g_{ij}h_j^{-1}e_j'$ となるから表示の式を得る。$\square$

この式は、遷移関数そのものが直線束に固有の数値ではないことを示す。局所枠の選択を変えたときに同じ束を表す関数列がある。単元の層 $\mathcal O_X^\times$ を用いると、この貼り合わせデータの同値類が一次コホモロジー $H^1(X,\mathcal O_X^\times)$ と対応する（Sta09NT Lemma 20.6.1）。ただしその等式を、任意の一つの開被覆で書いた関数列だけから直ちに得るわけではない。被覆の細分化と同値関係を含む層コホモロジーの主張である。

切断の貼り合わせ条件

局所枠 $e_i$ を用いて切断を $s|_{U_i}=f_i e_i$ と書くと、これらが一つの大域切断になる必要十分条件は、各 $U_{ij}$ で $f_j=g_{ij}f_i$ が成り立つことである。

係数の変換

重なりでは $f_i e_i=f_i g_{ij}e_j$ である。$e_j$ は自由加群の基底なので、これは $f_j e_j$ と等しいことと $f_j=g_{ij}f_i$ が等価である。層の貼り合わせ条件から、重なりで一致する局所切断は一意の大域切断を定める。$\square$

この表示で $f_i$ は局所的な「関数」だが、一般に一つの大域関数にはならない。直線束の切断は、局所関数を遷移関数で結び付けたものとして理解できる。

射影直線の二つの直線束

例を複素射影直線 $X=\mathbb P^1_{\mathbb C}$ で計算する。標準開集合 $U_0=\{[X_0:X_1]\mid X_0\ne0\}$ と $U_1=\{[X_0:X_1]\mid X_1\ne0\}$ は $X$ を覆い、$t=X_1/X_0$ は $U_0$ の座標、$s=X_0/X_1$ は $U_1$ の座標である。重なりでは $s=t^{-1}$。ここで言う正則関数は代数幾何の意味であり、$U_0$ と $U_1$ はそれぞれアフィン直線なので、大域正則関数は $\mathbb C[t]$ と $\mathbb C[s]$ である。

普遍的な線 $\mathcal O(-1)$

点 $[X_0:X_1]$ に、その点を表す $\mathbb C^2$ 内の一次元部分空間を対応させると、射影直線上の直線束 $\mathcal O(-1)$ を得る。$U_0$ では $e_0=(1,t)$、$U_1$ では $e_1=(s,1)$ が局所枠である。重なりでは $e_0=t e_1$。したがって遷移関数は $g_{01}=t$ であり、$t$ は重なり $\mathbb C^\times$ 上でだけ単元になればよい。$t=0$ にまで逆元を要求していない。

$\mathcal O(-1)$ に非零の大域切断はない

$\Gamma(\mathbb P^1_{\mathbb C},\mathcal O(-1))=0$。従って $\mathcal O(-1)$ は自明な直線束ではない。

両座標での係数を比較する

大域切断を $U_0$ 上で $f_0(t)e_0$、$U_1$ 上で $f_1(s)e_1$ と書く。$f_0\in\mathbb C[t]$、$f_1\in\mathbb C[s]$ である。$e_0=t e_1$ なので、重なりでは $f_1(s)=t f_0(t)=s^{-1}f_0(s^{-1})$ が必要になる。$f_0(t)=\sum_{j=0}^{m}a_jt^j$ とすれば、右辺は $\sum_{j=0}^{m}a_js^{-j-1}$。これが $s$ の多項式にもなるのは、すべての $a_j$ が零のときだけである。従って切断は零に限る。一方、自明な束 $\mathcal O_X$ は定数切断 $1$ を持つから、両者は同型でない。$\square$

双対の直線束 $\mathcal O(1)=\mathcal O(-1)^\vee$ も重要である。双対枠を $e_0^\vee,e_1^\vee$ とすると $e_0^\vee=t^{-1}e_1^\vee$。従って $\mathcal O(1)$ の大域切断を $f_0(t)e_0^\vee=f_1(s)e_1^\vee$ と書く条件は $f_1(s)=s f_0(s^{-1})$。右辺が多項式になるには $f_0$ の次数は高々1であり、
$$ f_0(t)=a+bt,\qquad f_1(s)=as+b $$
となる。よって $\Gamma(\mathbb P^1_{\mathbb C},\mathcal O(1))$ は二次元である。例えば $f_0=1$ に対応する切断は $U_1$ で $f_1=s$ となり、$s=0$ の点で消える。非零の大域切断を持っても、prop-line-bundle-triviality の「どこでも消えない切断」にはならない。

$\mathcal O(1)$ の切断の次数制限

$f_0(t)=\sum_{j=0}^{m}a_jt^j$ を代入すると $s f_0(s^{-1})=\sum_j a_js^{1-j}$。これが $s$ の多項式なら $j\ge2$ の係数は全て零である。逆に $f_0=a+bt$ なら $f_1=as+b$ は多項式で、重なりの条件も満たす。従って $(a,b)\in\mathbb C^2$ と大域切断が一対一に対応する。$\square$

$\mathcal O(1)$ も非自明である。もし自明なら双対の $\mathcal O(-1)$ も自明になるが、先の命題に反する。$\mathcal O(n)=\mathcal O(1)^{\otimes n}$（$n<0$ なら双対を用いる）という記法を使う。実際、射影直線の Picard 群は $\mathbb Z$ で、$\mathcal O(n)$ が異なる整数を表すという定理がある（Sta0BXJ）。ここでの局所計算は $\mathcal O(\pm1)$ の切断と非自明性までを証明したものであり、Picard 群全体の分類証明には別の議論を要する。

双対・テンソル積・引き戻し

二つの直線束 $\mathcal L,\mathcal M$ のテンソル積 $\mathcal L\otimes_{\mathcal O_X}\mathcal M$ も直線束である。局所枠が $e_i$ と $m_i$ なら $e_i\otimes m_i$ がテンソル積の局所枠になる。各遷移関数が $g_{ij}$ と $h_{ij}$ なら、テンソル積の遷移関数は $g_{ij}h_{ij}$ である。双対 $\mathcal L^\vee=\mathcal Hom_{\mathcal O_X}(\mathcal L,\mathcal O_X)$ の遷移関数は $g_{ij}^{-1}$ となる。

直線束の同型類は群をなす

直線束の同型類はテンソル積を演算として可換群 $\operatorname{Pic}(X)$ をなす。単位元は $[\mathcal O_X]$、$[\mathcal L]$ の逆元は $[\mathcal L^\vee]$ である。

局所枠で逆元を確かめる

局所的には $\mathcal L$ と $\mathcal L^\vee$ に互いに双対な枠 $e_i,e_i^\vee$ があり、評価写像 $e_i\otimes e_i^\vee\mapsto1$ は $\mathcal L\otimes\mathcal L^\vee\to\mathcal O_X$ の局所同型である。重なりで枠の倍率は $g_{ij}g_{ij}^{-1}=1$ だから、局所同型は全体で貼り合わさる。テンソル積の結合性と交換性を同型類へ移せば群の公理を満たす。$\square$

スキームの射 $f:Y\to X$ に沿って $\mathcal L$ を引き戻すと、$f^*\mathcal L$ は $Y$ 上の直線束になる。実際、$\mathcal L|_{U_i}$ が自由階数一なら、$f^*\mathcal L|_{f^{-1}(U_i)}$ も自由階数一である。遷移関数は $f^\#(g_{ij})$ に引き戻される。これは $\operatorname{Pic}(X)\to\operatorname{Pic}(Y)$ の群準同型を与える（Sta01CR Lemma 17.25.3）。ただし引き戻しで非自明な束が自明になる場合もあるので、この準同型が単射とは限らない。
アフィンスキーム $X=\operatorname{Spec}A$ では、直線束は有限生成射影 $A$ 加群で局所階数一のものに対応する（Sta00NX Lemma 10.78.2）。この場合も「射影」は「自由」を意味せず、一般のアフィンスキーム上で全直線束が自明とはいえない。局所的に一本の生成元があることと、その生成元を全体で一つ選べることは別である。

Cartier 因子と零点

直線束の切断が消える場所を考えると、因子との関係が現れる。ただし切断が零点を持つだけで常に「よい余次元一の因子」になるわけではない。零因子や非被約な構造があるときは、切断が局所的に非零因子を与えるという追加条件が重要である。

有効 Cartier 因子から直線束

$D\subset X$ を有効 Cartier 因子とし、そのイデアル層を $\mathcal I_D$ とする。$\mathcal I_D$ は直線束であり、
$$ \mathcal O_X(D)=\mathcal Hom_{\mathcal O_X}(\mathcal I_D,\mathcal O_X) \cong\mathcal I_D^\vee $$
も直線束である。イデアルの包含 $\mathcal I_D\hookrightarrow\mathcal O_X$ は $\mathcal O_X(D)$ の標準切断を与え、その零点スキームは $D$ である（Sta01WQ Definition 31.14.1、Sta01WX Definition 31.15.1）。

イデアルを局所的に計算する

有効 Cartier 因子は各点の近傍で零因子でない一つの関数 $f$ により定義される。その近傍では $\mathcal I_D=f\mathcal O_X$ であり、乗算 $\mathcal O_X\to f\mathcal O_X,\ a\mapsto fa$ は零因子でないことから同型である。従って $\mathcal I_D$ は局所自由階数一、双対も同様である。双対枠 $f^{-1}$ で $\mathcal O_X(D)$ を書けば、包含 $\mathcal I_D\to\mathcal O_X$ に対応する切断の局所係数は $f$ となる。その零点スキームは局所的に $(f)$ で定義され、貼り合わせると $D$ になる。$\square$

逆方向にも、直線束の大域切断が各局所枠に関して非零因子の関数で表されるなら、その零点スキームは有効 Cartier 因子である（Sta01X0 Lemma 31.15.10）。「非零の切断」と「各点で消えない切断」と「零点を定義する正則な切断」は別の条件である。第一は切断全体が零でないこと、第二は零点が空で自明化を与えること、第三は局所係数が零因子でなく、零点が Cartier 因子になることを指す。
因子類群で扱う Weil 因子は余次元一の既約閉集合を整数係数で足したもので、定義の出発点が異なる。滑らかな複素多様体では Cartier 因子・Weil 因子・直線束の関係がよく振る舞う一方、特異なスキームでは階数一の層が必ず局所自由になるとは限らない。したがって「因子の同値類」と「全ての直線束の同型類」を仮定なしに同一視しない。

三つの見方を使い分ける

直線束は、局所自由階数一の層、各点に一本の線を付けた幾何的な束、単元値遷移関数の貼り合わせという三通りの姿を持つ。局所自由層の姿はテンソル積や双対を計算しやすく、幾何的な姿はファイバーと切断を理解しやすい。遷移関数の姿は、局所的には自明なのに大域的にはねじれる理由を一つの式にする。
複素多様体上で「正則直線束」という場合は、構造層を正則関数の層に取り替え、遷移関数を零にならない正則関数にする。同じ底空間の上でも、連続直線束・正則直線束・代数的直線束は、許す関数と同型の種類が異なる。ここまでの射影直線の計算は代数的直線束として行った。複素点の空間へ移した正則直線束との対応には別の定理が関わるため、単に定義の語を言い換えただけとはしない。

反例：条件を外すと崩れること

直線束の定義と本文の命題について、条件を一つ外した反例を並べる。

外す条件	反例	成り立たなくなること
開近傍での自由性（def-line-bundle、茎だけで判定）	$\mathbb A^1_{\mathbb C}$ 上の「整数点で一位の極を許す」層	各茎が階数一の自由加群なら直線束
各点で消えない（prop-line-bundle-triviality）	$\mathcal O(1)$ の切断 $f_0=1$	零でない大域切断があれば自明
引き戻しの単射性	点 $\operatorname{Spec}\mathbb C\to\mathbb P^1_{\mathbb C}$ に沿う $\mathcal O(1)$	$\operatorname{Pic}(X)\to\operatorname{Pic}(Y)$ が単射
局所的な単項性だけでは足りない（アフィンでも）	$\mathbb Z[\sqrt{-5}]$ のイデアル $(2,1+\sqrt{-5})$	アフィンスキーム上の直線束は自明
係数が非零因子（Cartier 因子の条件）	$X=\operatorname{Spec}\mathbb C[x,y]/(xy)$ の切断 $x$	零でない切断の零点は有効 Cartier 因子

各行の確認は次のとおりである。

茎だけでは直線束にならない：$K=\mathbb C(t)$ とし、開集合 $U$ に対し $\mathcal F(U)$ を、$U$ の閉点 $x$ で $\operatorname{ord}_x f\ge-1$（$x\in\mathbb Z$ のとき）または $\operatorname{ord}_x f\ge0$（それ以外）を満たす $f\in K$ の集合とする。これは $\mathcal O_X$ 加群の層で、整数点 $n$ の茎は $\mathcal O_{X,n}\cdot(t-n)^{-1}$、それ以外の閉点の茎は $\mathcal O_{X,x}$ であり、どの茎も階数一の自由加群である。しかし $\mathbb A^1_{\mathbb C}$ の空でない開集合は有限集合の補集合なので、無限個の整数点を含む。$\mathcal F|_U\cong\mathcal O_U$ なら、その生成元 $e\in K$ は $U$ の各整数点でちょうど一位の極をもつので、極が無限個ある有理関数になり、矛盾する。どの点の近傍でも自由でないので直線束ではない。
零点をもつ切断では自明にならない：本文のとおり $\mathcal O(1)$ の切断 $f_0=1$ は $U_1$ で $f_1=s$ と書け、$s=0$ で消える。$\mathcal O(1)$ は非自明なので、「零でない大域切断」と「各点で消えない切断」の区別が要る。
引き戻しで自明になる：一点 $Y=\operatorname{Spec}\mathbb C$ 上の直線束は $\mathbb C$ 上の一次元ベクトル空間なので全て自明で、$\operatorname{Pic}(Y)=0$ である。点 $y:Y\to\mathbb P^1_{\mathbb C}$ に沿う $y^*\mathcal O(1)$ も自明だが、$\mathcal O(1)$ は自明でない。したがって $\operatorname{Pic}(\mathbb P^1_{\mathbb C})\to\operatorname{Pic}(Y)$ は単射でない。
アフィンでも非自明な直線束がある：$A=\mathbb Z[\sqrt{-5}]$、$I=(2,1+\sqrt{-5})$ とする。$I^2=(4,\ 2+2\sqrt{-5},\ -4+2\sqrt{-5})=2\,(2,\ 1+\sqrt{-5},\ -2+\sqrt{-5})$ で、後の括弧は $(1+\sqrt{-5})-(-2+\sqrt{-5})=3$ と $2$ を含むので $A$ 全体である。よって $I^2=(2)$、$I\cdot 2^{-1}I=A$ となり $I$ は可逆イデアル、従って局所自由階数一の射影加群で、$\operatorname{Spec}A$ 上の直線束 $\widetilde I$ を与える。もし $I=(\alpha)$ なら、ノルム $N(a+b\sqrt{-5})=a^2+5b^2$ について $N(\alpha)$ は $N(2)=4$ と $N(1+\sqrt{-5})=6$ を割るので $1$ か $2$ である。$a^2+5b^2=2$ は整数解をもたず、$N(\alpha)=1$ なら $\alpha$ は単元で $I=A$ だが、$A/I\cong\mathbb F_2$（$\sqrt{-5}\equiv-1$ となり $A/I=\mathbb F_2[x]/(x+1,x^2+1)$）なので $I\ne A$。よって $I$ は単項でなく、$\widetilde I$ は自明でない。
零因子の係数では Cartier 因子にならない：$X=\operatorname{Spec}\mathbb C[x,y]/(xy)$ で $x$ は $\mathcal O_X$ の零でない大域切断だが、$xy=0$、$y\ne0$ なので零因子である。零点スキーム $V(x)$ は直線 $\{x=0\}$（$X$ の既約成分）で、原点での局所的な生成元はどれも $x$ の単元倍で零因子だから、非零因子一つで定義されず、有効 Cartier 因子でない。prop-line-bundle-cartier の逆向きに非零因子の条件が要る理由である。