非有向同境環
概要
非有向同境環（unoriented cobordism ring）とは、閉多様体（コンパクトで境界のない滑らかな多様体）の同境類の全体 $\mathfrak N_*=\bigoplus_n\mathfrak N_n$ に、非交和を和、直積を積として入れた $\mathbb Z/2$ 上の次数付き可換環である。Thom の定理により、$\mathfrak N_*$ は $i+1$ が $2$ の冪でない各正の整数 $i$ を次数とする生成元を 1 つずつもつ $\mathbb Z/2$ 上の多項式環であり、偶数次の生成元には実射影空間、奇数次には Milnor 超曲面がとれる。また閉多様体が境界になるのは、Stiefel–Whitney 数がすべて $0$ のときに限る。次元は Thom スペクトルの計算から、生成元の独立性は $s_\omega$ 数から得られる。
前提知識: 同境, Stiefel–Whitney類, Pontryagin–Thomの定理, Milnor超曲面
閉多様体を同境で分類すると、同境類の全体は非交和を和、直積を積として $\mathbb Z/2$ 上の次数付き環 $\mathfrak N_*$ になる（同境）。これを非有向同境環（unoriented cobordism ring）という。偶数次元の実射影空間 $\mathbb{RP}^{2k}$ は境界にならないので $\mathfrak N_*$ は $0$ でないが、その全体の形を決めたのは Thom である：$\mathfrak N_*$ は、$i+1$ が $2$ の冪でない各次数 $i$（$i=2,4,5,6,8,9,\dots$）に生成元を 1 つずつもつ $\mathbb Z/2$ 上の多項式環であり、閉多様体が境界になるのは、その Stiefel–Whitney 数がすべて $0$ のときに限る。
この記事ではこの 2 つを証明する。証明は 2 つの部分に分かれる。
- 上からの評価：$\mathfrak N_n$ の次元は、Pontryagin–Thomの定理 により Thom スペクトル $MO$ のホモトピー群の次元に等しく、それは Thomスペクトル の計算で多項式環の次数 $n$ の単項式の個数になる。
- 下からの評価：Newton 多項式を一般化した特性数（$s_\omega$ 数）を使うと、実射影空間と Milnor超曲面 の積の類が 1 次独立であることが、行列の三角性から分かる。
2 つの数が一致するので、これらの積の類が基底になる。Stiefel–Whitney 数による判定は、下からの評価の副産物として得られる。
定義
この記事では、多様体は Hausdorff かつ第 2 可算で、「滑らか」は $C^\infty$ 級を指す。閉多様体はコンパクトで境界のない滑らかな多様体で、連結とは限らず、空集合も各次元の閉多様体とみる。コホモロジーの係数はすべて $\mathbb Z/2$ とし、係数を省く。$n$ 次元の閉多様体 $M$ の $\mathbb Z/2$ 係数の基本類を $[M]\in H_n(M)$ と書く（基本類 の定理「基本類の存在と一意性」。連結でなければ各成分の基本類の和）。同境類も $[M]$ と書くが、どちらの意味かは文脈で分かる。
$n\ge0$ について、$n$ 次元の閉多様体の同境類の群を $\mathfrak N_n$ とする（同境 の命題「同境群」。和は非交和、零元は空集合の類で、すべての元の $2$ 倍は $0$）。
$$
\mathfrak N_*:=\bigoplus_{n\ge0}\mathfrak N_n,\qquad [M]\cdot[N]:=[M\times N]
$$
を非有向同境環という。
積が代表によらないことは 同境 の命題「同境群」の後の段落にある。$M\times N$ と $N\times M$、$(M\times N)\times P$ と $M\times(N\times P)$、$\mathrm{pt}\times M$ と $M$ はそれぞれ微分同相なので、$\mathfrak N_*$ は 1 点の類 $[\mathrm{pt}]$ を単位元とする $\mathbb Z/2$ 上の次数付き可換環である。
次数の集合と分割に名前を付ける。
- $i+1$ が $2$ の冪でない正の整数 $i$ の全体を $\mathcal I=\{2,4,5,6,8,9,10,11,12,13,14,16,\dots\}$ とする。$i=2^s-1$（$s\ge1$）の形の次数 $1,3,7,15,\dots$ が除かれている。
- $n\ge0$ の分割とは、和が $n$ になる正の整数の有限な多重集合 $\omega=(i_1,\dots,i_r)$ のことである（並べ方は区別しない）。$|\omega|:=n$ を大きさ、$\ell(\omega):=r$ を長さという。$0$ の分割は空の分割 $\emptyset$ だけである。
- すべての部分が $\mathcal I$ に入る $n$ の分割の全体を $\mathcal P(n)$、その個数を $p(n)$ とする。
- 分割 $\omega$ が分割 $\lambda=(\lambda_1,\dots,\lambda_l)$ の細分であるとは、$\omega$ を $l$ 個の分割 $\omega^{(1)},\dots,\omega^{(l)}$ の和集合（重複度を足す）に分けて $|\omega^{(j)}|=\lambda_j$ とできることをいう。
$p(n)$ は、変数 $X_i$（$i\in\mathcal I$）に次数 $i$ を与えた多項式環 $\mathbb Z/2[X_i\mid i\in\mathcal I]$ の次数 $n$ の単項式の個数に等しい。単項式 $X_{\lambda_1}\cdots X_{\lambda_l}$ と分割 $\lambda=(\lambda_1,\dots,\lambda_l)\in\mathcal P(n)$ が 1 対 1 に対応するからである。
主定理
Milnor超曲面 の定義「$s$ 類と $s$ 数」の $s$ 数は、$n\ge1$ について $\mathfrak N_n$ から $\mathbb Z/2$ への準同型 $s_n$ を定める（同記事の命題「$s$ 数が定める準同型」）。$s_n(y)$ は $y\in\mathfrak N_n$ の代表の $s$ 数である。
各 $i\in\mathcal I$ について $x_i\in\mathfrak N_i$ を $s_i(x_i)=1$ となる元とし、$\lambda=(\lambda_1,\dots,\lambda_l)$ について $x_\lambda:=x_{\lambda_1}\cdots x_{\lambda_l}$（$x_\emptyset:=[\mathrm{pt}]$）とおく。
- 各 $n\ge0$ について、$\{x_\lambda\mid\lambda\in\mathcal P(n)\}$ は $\mathfrak N_n$ の $\mathbb Z/2$ 上の基底である。とくに $\dim\mathfrak N_n=p(n)$ である。
- $X_i\mapsto x_i$ で定まる環準同型 $\mathbb Z/2[X_i\mid i\in\mathcal I]\to\mathfrak N_*$（$\deg X_i=i$）は次数付き環の同型である。
- このような $x_i$ はある。偶数の $i$ では $x_i=[\mathbb{RP}^i]$、奇数の $i=2^p(2q+1)-1$（$p,q\ge1$）では $x_i=[H_{2^{p+1}q,\,2^p}]$（Milnor 超曲面）ととれる。
3 は Milnor超曲面 の例「偶数次元と奇数次元の $s$ 数」と系「分解できない元」の 2 である（どちらも Thom の定理を使わずに証明されている）。1・2 の証明は prf-ucr-polynomial で与える。
$M$ を $n$ 次元の閉多様体とする。
- $M$ が境界になる（零同境である）ことと、$M$ の Stiefel–Whitney 数 $\langle w_1(M)^{r_1}\cdots w_n(M)^{r_n},[M]\rangle$（$r_1+2r_2+\cdots+nr_n=n$）がすべて $0$ であることは同値である。
- 2 つの $n$ 次元の閉多様体が同境であることと、対応する Stiefel–Whitney 数がすべて等しいことは同値である。
$n=0$ では、すべての $r_k$ が $0$ の組（空の単項式 $1$）を含め、その数 $\langle1,[M]\rangle$ は $M$ の点の個数の偶奇である。
1 の「境界ならすべて $0$」は Pontryagin の定理（Stiefel–Whitney類 の定理「境界の Stiefel–Whitney 数（Pontryagin）」）で、Thom の定理はその逆である。
$s_\omega$ 数
Milnor超曲面 の $s$ 数は冪和 $\sum_jt_j^n$ を Stiefel–Whitney 類で書いたものだった。冪和を一般の単項対称多項式に替える。$\mathbb Z/2$ 係数のカップ積は可換なので（cup-i積 の系「mod 2 のカップ積の可換性」）、Stiefel–Whitney 類を多項式に代入してよい。
$\omega=(i_1,\dots,i_r)$ を $k$ の分割とし、$L\ge k$ とする。$\mathbb Z/2[t_1,\dots,t_L]$ の単項対称多項式 $m_\omega:=\sum t_{a_1}^{i_1}\cdots t_{a_r}^{i_r}$（相異なる $a_1,\dots,a_r$ から得られる相異なる単項式すべての和）は、基本対称多項式によりただ 1 通りに $m_\omega=P_\omega(e_1,\dots,e_L)$ と書け、$P_\omega$ は $E_j$ の重みを $j$ として重み $k$ の斉次式である（対称多項式 の定理「対称多項式の基本定理」）。
- 実ベクトル束 $F\to B$ について $s_\omega(F):=P_\omega\bigl(w_1(F),\dots,w_k(F)\bigr)\in H^k(B)$ とおく。$s_\emptyset(F)=1$ である。
- $n$ 次元の閉多様体 $M$ と $n$ の分割 $\omega$ について、$s_\omega[M]:=\langle s_\omega(TM),[M]\rangle\in\mathbb Z/2$ を $s_\omega$ 数という。
重み $k$ の $P_\omega$ は $E_1,\dots,E_k$ だけを含み、$L>k$ で $t_L=0$ とおけば $L-1$ 変数の等式になるので、$P_\omega$ は $L\ge k$ によらない。整数係数の同じ構成が MS74 §16（p. 188）にある。$\omega=(n)$ では、$\mathbb Z/2[t][\![T]\!]$ で $w_T=\prod_j(1+t_jT)$ とおくと $Tw_T'/w_T=\sum_{n\ge1}\bigl(\sum_jt_j^n\bigr)T^n$ なので、一意性により $s_{(n)}$ は Milnor超曲面 の $s_n$ に一致する。$s_\omega(TM)$ は $w_j(M)$ の次数 $n$ の単項式の和なので、$s_\omega[M]$ は Stiefel–Whitney 数のいくつかの和である。
$F$、$F'$ を $B$ 上の実ベクトル束、$\omega$ を分割とすると
$$
s_\omega(F\oplus F')=\sum_{\omega'\cup\omega''=\omega}s_{\omega'}(F)\,s_{\omega''}(F')
$$
である。和は、和集合（重複度を足したもの）が $\omega$ になる分割の順序対 $(\omega',\omega'')$（空でもよい）のすべてにわたり、各対を 1 回ずつ数える。
要点：2 組の変数の単項対称多項式の分解を、基本対称多項式の代数的独立性で Stiefel–Whitney 類へ移す。
証明を開く
$k=|\omega|$、$L\ge k$ とし、$2L$ 個の変数 $t_1,\dots,t_L,t'_1,\dots,t'_L$ を考える。$m_\omega(t,t')$ の各単項式は、$t$ の部分と $t'$ の部分の積にただ 1 通りに分かれ、$t$ の部分の指数の多重集合を $\omega'$、$t'$ の部分のそれを $\omega''$ とすると $\omega'\cup\omega''=\omega$ である。逆に $m_{\omega'}(t)$ の単項式と $m_{\omega''}(t')$ の単項式の積は $m_\omega(t,t')$ の単項式で、異なる組からは異なる単項式が出る。よって $m_\omega(t,t')=\sum m_{\omega'}(t)m_{\omega''}(t')$ である。一方 $e_j(t,t')=\sum_{a+b=j}e_a(t)e_b(t')$（$e_0=1$）である。多項式環 $\mathbb Z/2[E_1,\dots,E_L,E'_1,\dots,E'_L]$ で $(E\ast E')_j:=\sum_{a+b=j}E_aE'_b$（$E_0=E'_0=1$）とおくと、$$Q:=P_\omega\bigl((E\ast E')_1,\dots,(E\ast E')_k\bigr)-\sum_{\omega'\cup\omega''=\omega}P_{\omega'}(E)\,P_{\omega''}(E')$$に $E=e(t)$、$E'=e(t')$ を代入すると $0$ になる。$Q=\sum_\beta Q_\beta(E)E'^\beta$ と書くと、$e(t)$ は $\mathbb Z/2[t]$ で代数的に独立で、$e(t')^\beta$ は $\mathbb Z/2[t']$ の 1 次独立な元なので $\mathbb Z/2[t,t']=\mathbb Z/2[t]\otimes\mathbb Z/2[t']$ の中で $\mathbb Z/2[t]$ 上 1 次独立であり、すべての $Q_\beta(e(t))=0$、したがって $Q_\beta=0$ となる。つまり $Q=0$ である。$E_a=w_a(F)$、$E'_b=w_b(F')$ を代入すれば、Whitney の和公式 $w_j(F\oplus F')=\sum_{a+b=j}w_a(F)w_b(F')$（Stiefel–Whitney類 の定義「Stiefel–Whitney 類の公理」の 3）により主張を得る。$\square$
整数係数の Chern 類の場合が MS74 Lemma 16.2（p. 190）で、証明も同じである。
$M$ を $m$ 次元、$N$ を $n-m$ 次元の閉多様体とし、$\omega$ を $n$ の分割とする。このとき
$$
s_\omega[M\times N]=\sum_{\substack{\omega'\cup\omega''=\omega\\|\omega'|=m}}s_{\omega'}[M]\,s_{\omega''}[N]
$$
である（和は lem-ucr-sum と同じく順序対にわたる）。
要点：接束は直和に分かれ、次元の合わない項は消え、残る項の基本類での値は積に分かれる。
証明を開く
射影を $\mathrm{pr}_1,\mathrm{pr}_2$ とすると $T(M\times N)\cong\mathrm{pr}_1^*TM\oplus\mathrm{pr}_2^*TN$ なので、lem-ucr-sum と自然性から $s_\omega(T(M\times N))=\sum\mathrm{pr}_1^*s_{\omega'}(TM)\smile\mathrm{pr}_2^*s_{\omega''}(TN)=\sum s_{\omega'}(TM)\times s_{\omega''}(TN)$ である（$\times$ は Künneth公式 の定義「コホモロジーのクロス積」）。閉多様体 $X$ について $i>\dim X$ なら $H_i(X)=0$（基本類 の定理「基本類の存在と一意性」の 3）で、普遍係数定理 の系「体を係数とする場合」により $H^i(X)=0$ である。よって $|\omega'|>m$ または $|\omega''|>n-m$ の項は $0$ で、残るのは $|\omega'|=m$ の項だけである。
あとは $a\in H^m(M)$、$b\in H^{n-m}(N)$ について $\langle a\times b,[M\times N]\rangle=\langle a,[M]\rangle\langle b,[N]\rangle$ を示せばよい。$M\times N$ の成分は $M$ の成分と $N$ の成分の積で、基本類は成分ごとの和なので、両辺の双線形性から $M$、$N$ が連結な場合に帰着する。このとき $H_m(M)=\mathbb Z/2\cdot[M]$（同定理）なので、同じ系により $H^m(M)=\mathbb Z/2\cdot u_M$、$\langle u_M,[M]\rangle=1$ となる $u_M$ がある。$N$、$M\times N$（連結な $n$ 次元の閉多様体）についても同様である。コンパクトな多様体は CW 複体とホモトピー同値で、そのホモロジーは有限生成なので（Hat02 Corollary A.12、p. 529、Corollary A.8・A.9、p. 527）、Künneth公式 の定理「コホモロジー環の Künneth の公式」とクロス積の自然性により $H^n(M\times N)\cong\bigoplus_{p+q=n}H^p(M)\otimes H^q(N)=H^m(M)\otimes H^{n-m}(N)$ であり、$u_M\times u_N\ne0$ が $H^n(M\times N)=\mathbb Z/2\cdot u_{M\times N}$ を張る。よって $u_M\times u_N=u_{M\times N}$ で、$\langle u_M\times u_N,[M\times N]\rangle=1$ である。$a=\langle a,[M]\rangle u_M$、$b=\langle b,[N]\rangle u_N$ なので主張が従う。$\square$
$n$ の分割 $\omega$ について、$[M]\mapsto s_\omega[M]$ は群の準同型 $s_\omega\colon\mathfrak N_n\to\mathbb Z/2$ を定める。$y\in\mathfrak N_n$ の値を $s_\omega(y)$ と書く。
要点：Stiefel–Whitney 数は非交和について加法的で、境界では $0$ である。
証明を開く
$s_\omega[M]$ は Stiefel–Whitney 数の和である。$T(M\sqcup M')$ の各成分への制限は $TM$、$TM'$ で、基本類は $[M]+[M']$ なので、Stiefel–Whitney 数は非交和について加法的である。$M_0$ と $M_1$ が同境なら $M_0\sqcup M_1$ は境界なので、Pontryagin の定理（Stiefel–Whitney類 の定理「境界の Stiefel–Whitney 数（Pontryagin）」）により $s_\omega[M_0]+s_\omega[M_1]=0$ である。よって値は同境類だけで決まり、加法的である。$\square$
同境群の次元
すべての $n\ge0$ について、$\mathfrak N_n$ は $\mathbb Z/2$ 上 $p(n)$ 次元である。
Pontryagin–Thomの定理 の命題「構造写像との両立」の 3 により、$\mathfrak N_n$ は Thom スペクトルのホモトピー群 $\pi_n(MO)=\operatorname{colim}_q\pi_{n+q}(TO(q))$ と群として同型である。Thomスペクトル の定理「Eilenberg–MacLane 空間の積との比較」から導かれる系「ホモトピー群の次元と Hurewicz 写像」の 1 により、$\pi_n(MO)$ は、多項式環 $\mathbb Z/2[u_i\mid i\in\mathcal I]$（$\deg u_i=i$）の次数 $n$ の部分と同じ次元の $\mathbb Z/2$ ベクトル空間である。その次元は次数 $n$ の単項式の個数で、def-ucr-partition の後の注意により $p(n)$ である。$\square$
主定理の証明
以下、thm-ucr-polynomial のとおり $x_i\in\mathfrak N_i$（$i\in\mathcal I$）を $s_i(x_i)=1$ となる元とする。Milnor超曲面 の $s_i$ は $s_{(i)}$ に等しいので、$s_{(i)}(x_i)=1$ である。
$\omega,\lambda\in\mathcal P(n)$ とする。
- $s_\omega(x_\lambda)\ne0$ なら、$\omega$ は $\lambda$ の細分であり、$\ell(\omega)\ge\ell(\lambda)$ である。
- $s_\omega(x_\lambda)\ne0$ かつ $\ell(\omega)=\ell(\lambda)$ なら $\omega=\lambda$ である。また $s_\lambda(x_\lambda)=1$ である。
要点：$x_{\lambda_j}$ の代表 $X_j$ の直積で $x_\lambda$ を代表して lem-ucr-product をくり返すと、$s_\omega(x_\lambda)$ は、$\omega$ を大きさ $\lambda_1,\dots,\lambda_l$ の分割 $l$ 個に分ける組ごとの積 $\prod_js_{\omega^{(j)}}[X_j]$ の和になる。各 $\lambda_j\ge2$ なので分けた部分は空でなく、長さが等しければ部分は 1 つずつで $\omega=\lambda$ となる。
証明を開く
$\lambda=\emptyset$（$n=0$）なら $\omega=\emptyset$ で、$s_\emptyset(x_\emptyset)=\langle1,[\mathrm{pt}]\rangle=1$ である。以下 $l:=\ell(\lambda)\ge1$ とし、$x_{\lambda_j}$ を閉多様体 $X_j$（$\dim X_j=\lambda_j$）で代表すると、$x_\lambda=[X_1\times\cdots\times X_l]$ である。
lem-ucr-product を $X_1\times(X_2\times\cdots\times X_l)$ に当て、$l$ についての帰納法で右の因子を展開すると$$s_\omega(x_\lambda)=\sum_{(\omega^{(1)},\dots,\omega^{(l)})}\ \prod_{j=1}^{l}s_{\omega^{(j)}}[X_j]$$を得る。和は、和集合が $\omega$ で $|\omega^{(j)}|=\lambda_j$ となる分割の $l$ 組 $(\omega^{(1)},\dots,\omega^{(l)})$ のすべてにわたり、各組を 1 回ずつ数える（1 つ目の因子に当てる $\omega'$ を決めると残りは $\omega''=\omega\setminus\omega'$ に決まるので、2 段の和が $l$ 組の和と 1 対 1 に対応する）。
1：和が $0$ でなければ、少なくとも 1 つの組があり、それが $\omega$ を $\lambda$ の細分として表す。$\lambda_j\ge2$ なので各 $\omega^{(j)}$ は空でなく、$\ell(\omega)=\sum_j\ell(\omega^{(j)})\ge l$ である。
2：$\ell(\omega)=l$ なら、各 $\omega^{(j)}$ は部分を 1 つだけもち、$|\omega^{(j)}|=\lambda_j$ からそれは $(\lambda_j)$ である。よって $\omega=\lambda$ である。$\omega=\lambda$ のとき和に現れる組は $\bigl((\lambda_1),\dots,(\lambda_l)\bigr)$ の 1 つだけなので、$s_\lambda(x_\lambda)=\prod_js_{(\lambda_j)}(x_{\lambda_j})=1$ である。$\square$
段 1（$s_\omega$ 数で係数が決まる）．$y=\sum_{\lambda\in\mathcal P(n)}c_\lambda x_\lambda$（$c_\lambda\in\mathbb Z/2$）がすべての $\omega\in\mathcal P(n)$ で $s_\omega(y)=0$ をみたすなら、すべての $c_\lambda$ は $0$ であることを示す。$c_\lambda\ne0$ となる $\lambda$ があるとして、その中で長さ $\ell(\lambda)$ が最小のもの $\lambda_0$ をとる。prop-ucr-hom により $s_{\lambda_0}$ は準同型なので
$$
0=s_{\lambda_0}(y)=\sum_{\lambda}c_\lambda\,s_{\lambda_0}(x_\lambda)
$$
である。$c_\lambda\ne0$ かつ $s_{\lambda_0}(x_\lambda)\ne0$ となる $\lambda$ では、lem-ucr-triangular の 1 により $\ell(\lambda_0)\ge\ell(\lambda)$、$\lambda_0$ のとり方により $\ell(\lambda)\ge\ell(\lambda_0)$ なので長さが等しく、同補題の 2 により $\lambda=\lambda_0$ である。よって右辺は $c_{\lambda_0}s_{\lambda_0}(x_{\lambda_0})=1$ となり、矛盾する。
段 2（基底）．段 1 を $y=0$ に使うと、$x_\lambda$（$\lambda\in\mathcal P(n)$）は 1 次独立である。その個数は $p(n)$ で、prop-ucr-dim により $\dim\mathfrak N_n=p(n)$ なので、これらは $\mathfrak N_n$ の基底である。これが 1 である。
段 3（環の同型）．$\mathfrak N_*$ は可換環なので、$X_i\mapsto x_i$ は環準同型 $\varphi\colon\mathbb Z/2[X_i\mid i\in\mathcal I]\to\mathfrak N_*$ を定め、次数を保つ。次数 $n$ の部分では、単項式の基底 $X_\lambda:=X_{\lambda_1}\cdots X_{\lambda_l}$（$\lambda\in\mathcal P(n)$）が $x_\lambda$ に写る。段 2 によりこれは基底を基底に写すので、$\varphi$ は各次数で同型であり、2 が従う。$\square$
段 1 は「$y\mapsto(s_\omega(y))_{\omega\in\mathcal P(n)}$ は $\mathfrak N_n$ から $(\mathbb Z/2)^{\mathcal P(n)}$ への単射」と言いかえられる。段 2 により $\mathfrak N_n$ のすべての元が $x_\lambda$ の 1 次結合だからである。行列 $\bigl(s_\omega(x_\lambda)\bigr)_{\omega,\lambda\in\mathcal P(n)}$ は、分割を長さの順に並べると対角成分が $1$ の三角行列である。$x_\lambda$ の 1 次独立性は MS74 Problem 16-F（p. 197）で読者に委ねられている主張で、上の段 1 がその証明である。
1：$M$ が境界なら Stiefel–Whitney 数はすべて $0$ である（Pontryagin）。逆に、すべての Stiefel–Whitney 数が $0$ なら、その和であるすべての $s_\omega[M]$（$\omega\in\mathcal P(n)$）も $0$ である。thm-ucr-polynomial の 1 により $[M]=\sum_\lambda c_\lambda x_\lambda$ と書けるので、prf-ucr-polynomial の段 1 によりすべての $c_\lambda$ が $0$、すなわち $[M]=0$ で、$M$ は境界になる。$n=0$ では $\mathcal P(0)=\{\emptyset\}$ で、使う数は $s_\emptyset[M]=\langle1,[M]\rangle$ だけである。
2：Stiefel–Whitney 数は非交和について加法的で、係数は $\mathbb Z/2$ である（prf-ucr-hom）。よって $M$ と $M'$ の数がすべて等しいことは、$M\sqcup M'$ の数がすべて $0$ であることと同値であり、1 によりそれは $[M]+[M']=[M\sqcup M']=0$、すなわち $[M]=[M']$ と同値である。$\square$
証明が使ったのは $s_\omega$ 数（$\omega\in\mathcal P(n)$）だけなので、次元 $n$ の閉多様体の同境類は $p(n)$ 個の $s_\omega$ 数で決まる。$n\ge1$ では Stiefel–Whitney 数は $n$ のすべての分割の個数だけあり、$p(n)$ より多いので、すべての $n$ 次元の閉多様体で成り立つ 1 次の関係がある（たとえば $n=1$ では $w_1[M]=0$）。
同じ議論から、$i\in\mathcal I$ について $y\in\mathfrak N_i$ が多項式環の生成元にとれるのは $s_i(y)=1$ のときに限ることも分かる。$\mathfrak N_i$ の分解できる元（正の次数の元の積の和）の全体は $\ell(\lambda)\ge2$ の $x_\lambda$ で張られる $p(i)-1$ 次元の部分空間で、$s_i$ はその上で $0$ なので（Milnor超曲面 の命題「$s$ 数が定める準同型」の 3）、それは $s_i$ の核に一致する。多項式環の生成元は分解できないので $s_i(y)=1$ であり、逆に $s_i(y)=1$ なら $x_i:=y$ として thm-ucr-polynomial を使えばよい。
次数 $2^s-1$ に生成元がない理由
Thomスペクトル の定理「mod 2 コホモロジーの自由性」により、$H^*(MO;\mathbb Z/2)$ は Steenrod 代数 $\mathcal A$ 上の自由加群で、その基底は $\mathbb Z/2[u_i\mid i\in\mathcal I]$ の単項式で添字づけられる。次数ごとの次元を母関数で比べると、この添字の集合が $\mathcal I$ になる理由が見える。
- $H^*(MO)$ は Thom 同型により、次数付きベクトル空間として多項式環 $\mathbb Z/2[w_1,w_2,\dots]$（$|w_i|=i$）と同型である（Thomスペクトル の補題「安定化した Thom 類」の 3）。$w_i$ はすべての次数 $i\ge1$ に 1 つずつあるので、母関数は $\prod_{i\ge1}(1-t^i)^{-1}$ である。
- $\mathcal A$ の次数 $d$ の部分の次元は、双対 $\mathcal A_*=\mathbb Z/2[\xi_1,\xi_2,\dots]$（$|\xi_s|=2^s-1$）の次数 $d$ の部分の次元に等しい（Steenrod代数 の定理「双対の多項式環構造」）。母関数は $\prod_{s\ge1}(1-t^{2^s-1})^{-1}$ である。
自由加群の基底の母関数を $b(t)$ とすると $\prod_{i\ge1}(1-t^i)^{-1}=\prod_{s\ge1}(1-t^{2^s-1})^{-1}\cdot b(t)$ なので、$b(t)=\prod_{i\in\mathcal I}(1-t^i)^{-1}$ である。数の上では、各次数 $i\ge1$ に 1 つずつある $w_i$ のうち、次数 $2^s-1$ の分は Steenrod 代数の $\xi_s$ が受けもち、残りの次数 $\mathcal I$ の分だけが同境環の生成元として現れる。
幾何の側では、次数 $i=2^s-1$ には生成元がないので $\mathfrak N_i$ のすべての元は分解でき、$s_i$ は $i$ 次元のすべての閉多様体で $0$ になる。$i=7$ では、$a+b=8$、$1\le b< a$ の $H_{a,b}$ の $s_7$ 数がすべて $0$ であることが Milnor超曲面 の例「反例の確かめ」の 2 行目で確かめられている。
例
$x_i$ を thm-ucr-polynomial の 3 のとおりにとると（$x_5=[H_{4,2}]$、$x_9=[H_{8,2}]$）、$\mathfrak N_n$ の基底は次のとおりである。
| $n$ | $p(n)$ | $\mathfrak N_n$ の基底 |
|---|---|---|
| $0$ | $1$ | $[\mathrm{pt}]$ |
| $1$ | $0$ | なし |
| $2$ | $1$ | $[\mathbb{RP}^2]$ |
| $3$ | $0$ | なし |
| $4$ | $2$ | $[\mathbb{RP}^4]$、$[\mathbb{RP}^2]^2$ |
| $5$ | $1$ | $[H_{4,2}]$ |
| $6$ | $3$ | $[\mathbb{RP}^6]$、$[\mathbb{RP}^4][\mathbb{RP}^2]$、$[\mathbb{RP}^2]^3$ |
| $7$ | $1$ | $[H_{4,2}][\mathbb{RP}^2]$ |
| $8$ | $5$ | $[\mathbb{RP}^8]$、$[\mathbb{RP}^6][\mathbb{RP}^2]$、$[\mathbb{RP}^4]^2$、$[\mathbb{RP}^4][\mathbb{RP}^2]^2$、$[\mathbb{RP}^2]^4$ |
| $9$ | $3$ | $[H_{8,2}]$、$[H_{4,2}][\mathbb{RP}^4]$、$[H_{4,2}][\mathbb{RP}^2]^2$ |
とくに $\mathfrak N_1=\mathfrak N_3=0$ で、1 次元と 3 次元の閉多様体はすべて境界になる。奇数次元の $\mathbb{RP}^{2k-1}$ が境界になること（Milnor超曲面 の命題「奇数次元の実射影空間は境界になる」）とも合う。
$\mathcal P(4)=\{(4),(2,2)\}$ である。$m_{(4)}=\sum_at_a^4=e_1^4$、$m_{(2,2)}=\sum_{a< b}t_a^2t_b^2=e_2^2$（$\mathbb Z/2$ 上）なので、$s_{(4)}=w_1^4$、$s_{(2,2)}=w_2^2$ である。Stiefel–Whitney類 の定理「実射影空間の Stiefel–Whitney 類」により $w(\mathbb{RP}^4)=(1+a)^5=1+a+a^4$、$w(\mathbb{RP}^2\times\mathbb{RP}^2)=(1+a+a^2)(1+b+b^2)$（$a,b$ は各因子の生成元）なので、
| $s_{(4)}=w_1^4$ | $s_{(2,2)}=w_2^2$ | |
|---|---|---|
| $\mathbb{RP}^4$ | $\langle a^4,[\mathbb{RP}^4]\rangle=1$ | $0$（$w_2=0$） |
| $\mathbb{RP}^2\times\mathbb{RP}^2$ | $\langle(a+b)^4,\cdot\rangle=0$ | $\langle(a^2+ab+b^2)^2,\cdot\rangle=\langle a^2b^2,\cdot\rangle=1$ |
となり、行列は単位行列である。よって 4 次元の閉多様体 $M$ について $[M]=w_1^4[M]\,[\mathbb{RP}^4]+w_2^2[M]\,[\mathbb{RP}^2]^2$ であり、$M$ が境界になるのは $w_1^4[M]=w_2^2[M]=0$ のときに限る。
反例と注意
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 同境に向きを課さない | 向き付けられた同境での $[\mathbb{CP}^2]$ | 各元の $2$ 倍が $0$（$\mathbb Z/2$ 上の多項式環であること） |
| Stiefel–Whitney 数をすべて比べる | $\mathbb{RP}^4$ と $\mathbb{RP}^2\times\mathbb{RP}^2$ を $w_4$ の数だけで比べる | 数が等しければ同境 |
| 生成元の $s$ 数が $1$ | $x_4$ に $[\mathbb{RP}^2]^2$ を選ぶ | $X_i\mapsto x_i$ が同型 |
1 行目：向き付けられた閉多様体の向き付けられた同境類の群 $\Omega_4$（同境 の定義「向き付けられた同境」）で $[\mathbb{CP}^2]+[\mathbb{CP}^2]=0$ なら、$\mathbb{CP}^2\sqcup\mathbb{CP}^2$ は向き付けられたコンパクトな多様体の向き付けられた境界になる。その符号数は $2\sigma(\mathbb{CP}^2)=\pm2\ne0$ で（符号数(多様体) の命題「非交和と向きの反転」と例「基本的な例」）、同記事の定理「境界の符号数は 0（Thom）」に反する。向きを課すと各元の $2$ 倍が $0$ とは限らず、$\mathbb Z/2$ 上の環にならない。
2 行目：ex-ucr-dim4 の計算で、$w_4$ の数は $\mathbb{RP}^4$ では $\langle a^4,\cdot\rangle=1$、$\mathbb{RP}^2\times\mathbb{RP}^2$ では $\langle a^2b^2,\cdot\rangle=1$ で等しい。しかし $w_1^4$ の数は $1$ と $0$ で異なるので、Pontryagin の定理により 2 つは同境でない。
3 行目：$s_4([\mathbb{RP}^2]^2)=0$（Milnor超曲面 の命題「$s$ 数が定める準同型」の 3）。$X_2^2$ と $X_4$ がともに $[\mathbb{RP}^2]^2$ に写るので、準同型は単射でない。ほかの $x_i$ は条件をみたしたままである。
補足
- 法束の Stiefel–Whitney 数：$M$ を $\mathbb R^N$ に埋め込み、法束を $\nu$ とすると $TM\oplus\nu$ は自明なので $w(\nu)=w(TM)^{-1}$ である（Stiefel–Whitney類 の命題「基本性質」の 2）。$w_j(\nu)$ は $w_k(TM)$ の重み $j$ の多項式で、逆も同様なので、次数 $n$ の単項式の張る空間は接束と法束で一致する。したがって cor-ucr-sw は法束の Stiefel–Whitney 数で述べても成り立つ（May99 Chapter 25 §1、p. 220 はこの形で述べている）。
- Hurewicz 準同型による見方：Thom の元の道筋では、$\pi_*(MO)$ を mod 2 Hurewicz 準同型で $H_*(MO)$ に写し、それが単射で、像が双対 Steenrod 代数の余作用で動かない元からなることから多項式環を読み取る。Stiefel–Whitney 数は、この像を Thom 同型で $H_*(BO)$ に移したものの値になる（May99 Chapter 25 §4–§6、pp. 226–232。この記事では証明しない）。
関連項目
- 前提: 同境, Stiefel–Whitney類, Pontryagin–Thomの定理, Milnor超曲面
- 証明に使う: Thomスペクトル, 対称多項式, Künneth公式, 基本類
- 比較: 符号数(多様体), 複素コボルディズム, Steenrod代数
参考文献
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