sin x/xの極限

$x$ は弧度法（ラジアン）で測る。関数電卓で $\dfrac{\sin x}{x}$ を計算すると次のようになる（小数第 9 位までで切り捨て）。

$x$ を $\dfrac1{10}$ にするたびに、$1$ とのずれはおよそ $\dfrac1{100}$ になる。値は $1$ に近づいているように見える。ただし、表は有限個の値を並べただけで、極限が $1$ であることの証明にはならない。

$\dfrac00$ の形というだけでは、極限の値は決まらない。$x\ne0$ で次のように約分できる。
(1) $\dfrac{x^2}{x}=x$ なので、$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x^2}{x}=0$ である。
(2) $\dfrac{3x}{x}=3$ なので、$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{3x}{x}=3$ である。
(3) $\dfrac{x}{x^3}=\dfrac1{x^2}$ なので、$x\to0$ で限りなく大きくなり、有限の極限はない。
どれも $x=0$ では $\dfrac00$ であるが、極限は $0$、$3$、なしと異なる。分子と分母が $0$ に近づく「速さ」の比べ方で決まる。$\dfrac{\sin x}{x}$ は約分できないので、別の方法で $\sin x$ と $x$ の大きさを比べる必要がある。

1. 半径 $1$、中心角 $60^\circ$ の扇形。$60^\circ=\dfrac\pi3$ なので、面積は $\dfrac12\cdot1^2\cdot\dfrac\pi3=\dfrac\pi6\approx0.5236$ である。
2. 半径 $1$、中心角 $0.8$ ラジアンの扇形。面積は $\dfrac12\cdot1^2\cdot0.8=0.4$ である。$0.8$ ラジアンは $0.8\cdot\dfrac{180}\pi\approx45.8^\circ$ である。
3. 半径 $2$、中心角 $\dfrac\pi4$ の扇形。面積は $\dfrac12\cdot2^2\cdot\dfrac\pi4=\dfrac\pi2$ である。

小数第 4 位まで（切り捨て）で比べる。

どの行でも $\sin x< x<\tan x$ である。$x$ が $0$ に近いほど 3 つは近く、$x$ が $\dfrac\pi2\approx1.5708$ に近づくと $\tan x$ は急に大きくなる。

1. $x=0.1$：$1-\cos0.1=0.0049958\ldots$、$\dfrac{x^2}2=0.005$ で、確かに $0\le0.0049958\le0.005$ である。
2. $x=1$：$1-\cos1=0.4596\ldots$、$\dfrac{x^2}2=0.5$ である。
3. $x=3$：$1-\cos3=1.9899\ldots$、$\dfrac{x^2}2=4.5$ である。$x$ が大きいと評価は粗いが、$0$ の近くでは $\dfrac{x^2}{2}$ とほとんど同じである。

1. $x=0.1$：$\cos0.1=0.99500\ldots$、$\dfrac{\sin0.1}{0.1}=0.99833\ldots$ で、$0.99500<0.99833<1$ である。
2. $x=-0.5$：$\cos(-0.5)=\cos0.5=0.87758\ldots$、$\dfrac{\sin(-0.5)}{-0.5}=\dfrac{\sin0.5}{0.5}=0.95885\ldots$ で、$0.87758<0.95885<1$ である。
   $x$ を $0$ に近づけると、下の $\cos x$ も上の $1$ も $1$ に近づくので、間にある $\dfrac{\sin x}{x}$ は逃げ場がない。

1. $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}$。$\dfrac{\sin3x}{x}=3\cdot\dfrac{\sin3x}{3x}$ と変形する。lem-sxx-scale を $c=3$ で使うと $\dfrac{\sin3x}{3x}\to1$ なので、極限は $3\cdot1=3$ である。数で確かめると、$x=0.1$ で $\dfrac{\sin0.3}{0.1}=2.9552\ldots$、$x=0.01$ で $2.99955\ldots$ である。
2. $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}$。$\dfrac{\tan x}{x}=\dfrac{\sin x}{x}\cdot\dfrac1{\cos x}$ である。$\dfrac{\sin x}{x}\to1$、$\cos x\to1$（lem-sxx-cos）なので、極限は $1\cdot\dfrac11=1$ である。$x=0.1$ で $\dfrac{\tan0.1}{0.1}=1.00334\ldots$ である。
3. $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin5x}{\sin2x}$。分子と分母をそれぞれ「中身」で割った形にする。
   $$ \frac{\sin5x}{\sin2x}=\frac{\sin5x}{5x}\cdot\frac{2x}{\sin2x}\cdot\frac{5x}{2x}=\frac{\sin5x}{5x}\cdot\frac{1}{\;\dfrac{\sin2x}{2x}\;}\cdot\frac52 $$
   lem-sxx-scale を $c=5$ と $c=2$ で使うと、極限は $1\cdot\dfrac11\cdot\dfrac52=\dfrac52$ である。$x=0.01$ で $\dfrac{\sin0.05}{\sin0.02}=2.49912\ldots$ である。

1. $x=0.1$：$\dfrac{1-\cos0.1}{0.01}=0.499583\ldots$ である。
2. $x=0.01$：$\dfrac{1-\cos0.01}{0.0001}=0.49999583\ldots$ である。
   どちらも $\dfrac12$ に近い。つまり $x$ が小さいとき $\cos x\approx1-\dfrac{x^2}2$ である。たとえば $\cos0.1\approx1-0.005=0.995$ で、本当の値 $0.995004\ldots$ とよく合う。lem-sxx-cos の不等式 $1-\cos x\le\dfrac{x^2}2$ の右辺は、$0$ の近くでは「ちょうどよい大きさ」だったことになる。

1. $x=\dfrac\pi3$、$h=0.01$。$\dfrac{\sin(\pi/3+0.01)-\sin(\pi/3)}{0.01}=0.49566\ldots$ で、$\cos\dfrac\pi3=0.5$ に近い。段 1 の 2 つの項に分けると、$\sin\dfrac\pi3\cdot\dfrac{\cos0.01-1}{0.01}=-0.00433\ldots$、$\cos\dfrac\pi3\cdot\dfrac{\sin0.01}{0.01}=0.49999\ldots$ である。1 つ目の項は $h$ を小さくすると $0$ に近づく。
2. $x=0$、$h=0.01$。$\dfrac{\sin0.01-\sin0}{0.01}=0.99998\ldots$ で、$\cos0=1$ に近い。$y=\sin x$ のグラフの原点での接線は $y=x$ である（図 4 の左）。
3. $x=\dfrac\pi2$、$h=0.01$。$\dfrac{\sin(\pi/2+0.01)-1}{0.01}=-0.0049999\ldots$ で、$\cos\dfrac\pi2=0$ に近い。グラフの山の頂上では接線が水平になる。

$c=\dfrac\pi{180}=0.0174532\ldots$ である。
(1) $x=1$：$\dfrac{\sin(1^\circ)}{1}=0.0174524\ldots$ で、$c$ とほぼ等しい。
(2) $x=10$：$\dfrac{\sin(10^\circ)}{10}=0.0173648\ldots$ である。
(3) $x=30$：$\dfrac{\sin(30^\circ)}{30}=\dfrac{1/2}{30}=\dfrac1{60}=0.016666\ldots$ である。
$x$ を $0$ に近づけると $c$ に近づき、$1$ には近づかない。導関数も $c\cos(x^\circ)$ になるので、$x=60$ での傾きは $c\cos60^\circ=\dfrac c2=0.0087266\ldots$ である。差の商を $h=0.01$ で計算すると $\dfrac{\sin(60.01^\circ)-\sin(60^\circ)}{0.01}=0.0087253\ldots$ で、よく合う。

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x}=0$ である。
段 1（はさむ）。すべての実数 $x$ で $-1\le\sin x\le1$ である。$x>0$ のとき、各辺を正の数 $x$ で割ると
$$ -\frac1x\le\frac{\sin x}{x}\le\frac1x $$
である。
段 2（両側の極限）。$x\to\infty$ で $\dfrac1x\to0$、$-\dfrac1x\to0$ である。はさみうちは $x\to\infty$ のときも同じ形で成り立つ（lem-sxx-squeeze の後の注）ので、$\dfrac{\sin x}{x}\to0$ である。
数で確かめると、$\dfrac{\sin100}{100}=-0.00506\ldots$ で、$\left|-0.00506\right|\le\dfrac1{100}$ である。$x\to0$ では分子と分母がどちらも $0$ に近づいて比が $1$ になったが、$x\to\infty$ では分子が $-1$ と $1$ の間にとどまり、分母だけが大きくなる。

半径 $1$ の円に内接する正 $n$ 角形の周の長さの半分は $n\sin\dfrac\pi n$ である。1 辺は中心角 $\dfrac{2\pi}n$ の二等辺三角形の底辺で、その長さは $2\sin\dfrac\pi n$ だからである。
$$ n\sin\frac\pi n=\pi\cdot\frac{\sin\dfrac\pi n}{\dfrac\pi n} $$
と書き直す。$n\to\infty$ で $t=\dfrac\pi n\to0$ なので、thm-sxx-main により $n\sin\dfrac\pi n\to\pi\cdot1=\pi$ である。$n=6$ で $6\sin\dfrac\pi6=3$、$n=12$ で $3.10582\ldots$、$n=96$ で $3.14103\ldots$ である。これは円周率を正多角形で求める方法そのもので、詳しくは 正多角形で円周率を挟む で扱う。

$\dfrac{\sin x}{x}$ は $x\ne0$ で連続なので、$0$ 以外の点 $a$ では代入で極限が求まる。たとえば $a=\pi$ では、分子 $\sin x\to\sin\pi=0$、分母 $x\to\pi$ なので $\displaystyle\lim_{x\to\pi}\frac{\sin x}{x}=\frac0\pi=0$ である。$\dfrac00$ の形になるのは $x\to0$ のときだけであり、極限が $1$ になるという主張も $x\to0$ に限る。

1. $\dfrac{\sin x}{x^2}$ は $x\to0$ で有限の極限をもたない。$0< x<\dfrac\pi2$ では thm-sxx-main の不等式により
   $$ \frac{\sin x}{x^2}=\frac{\sin x}{x}\cdot\frac1x>\frac{\cos x}{x} $$
   である。$0< x<1$ なら $\cos x>\cos1>0.54$ なので、右辺は $\dfrac{0.54}{x}$ より大きく、$x\to+0$ で限りなく大きくなる。$x=0.1$ で $9.98\ldots$、$x=0.01$ で $99.998\ldots$ である。$x<0$ の側では負の方向に限りなく大きくなる。
2. 逆に $\dfrac{\sin(x^2)}{x}=x\cdot\dfrac{\sin(x^2)}{x^2}$ は、$x^2\to0$ と thm-sxx-main により $0\cdot1=0$ に近づく。$x=0.1$ で $0.0999983\ldots$ である。
   分子と分母が $0$ に近づく速さが等しい（どちらも $x$ の 1 乗の速さ）ときに限って、比が $0$ でも $\infty$ でもない値 $1$ になる。

$x=2$ では $\dfrac\pi2<2<\pi$ であり、$\sin2=0.909\ldots$、$\tan2=-2.185\ldots$ である。$\sin x< x$ はまだ成り立つが、$x<\tan x$ は成り立たない（右辺が負）。prf-sxx-ineq の段 1 で、交点 $T$ を $x=1$ の直線の上側にとれたのは $\cos x>0$ だったからで、$x>\dfrac\pi2$ では直線 $OP$ は $x=1$ と第 1 象限で交わらない。なお $\sin x< x$ はすべての $x>0$ で成り立つ（$x\ge\dfrac\pi2$ では $\sin x\le1< x$）。

$x\ne0$ で $f(x)=\sin\dfrac1x$ とする。$-1\le f(x)\le1$ であるが、下の関数の極限 $-1$ と上の関数の極限 $1$ が違うので、lem-sxx-squeeze は使えない。実際、$f$ は $x\to0$ で極限をもたない。$x=\dfrac1{\pi/2+2n\pi}$（$n=0,1,2,\ldots$。$0.6366\ldots$、$0.1273\ldots$、$0.0707\ldots$ と $0$ に近づく）では $f(x)=1$ であり、$x=\dfrac1{2n\pi}$（$n=1,2,3,\ldots$）では $f(x)=0$ である。$0$ のいくらでも近くに値 $1$ の点と値 $0$ の点があるので、1 つの値には近づかない（詳しい証明は 極限とε-δ の反例にある）。
これに対して $x\sin\dfrac1x$ は $-|x|\le x\sin\dfrac1x\le|x|$ で、両側の極限がどちらも $0$ なので、はさみうちにより $0$ に近づく。

段 3 の級数から、$x$ が小さいとき $1-\dfrac{\sin x}{x}\approx\dfrac{x^2}6$ である。ex-sxx-table の最後の列を $x^2$ で割ると次のようになる。

どれも $\dfrac16=0.16666\ldots$ に近づいている。ex-sxx-table で「$x$ を $\dfrac1{10}$ にするとずれがおよそ $\dfrac1{100}$ になる」と見えたのは、ずれが $x^2$ に比例するからである。級数による近似の証明は 関数の近似とテイラー展開 で扱う。