Noether加群

(i)$\Longrightarrow$(ii). まず $$N=\bigcup_{i=1}^\infty M_i$$
とおくと、$N$ も $M$ の部分左 $R$-加群となる。実際、$a, b\in N$ ならば $a\in M_i, b\in M_j$ となる $i, j$ をとって
$k=\max\{i, j\}$ とおくと $a+b\in M_k\in N$ となるし、$a\in N, r\in R$ のとき、$a\in M_i$ となる $i$ をとると、$ra\in M_i\in N$ となる。
したがって、$N$ は有限生成であるから、$N$ の生成元 $a_1, a_2, \ldots, a_r$ がとれる。
各 $j=1, \ldots, r$ について$a_j\in M_i$ となる最小の $i$ を $f(j)$ とし、$i_0=\max f(j)$ とおくと、$i\geq i_0$ のとき、
$a_1, a_2, \ldots, a_r\in M_i$ なので、$M_i=N$ となる。つまり $i, j\geq i_0$ のとき $M_i=M_j=N$ となる。

(ii)$\Longrightarrow$(iii). (iii) に反し $S\neq\emptyset$ が $M$ の部分左 $R$-加群からなる集合だが包含関係に関する極大元をもたないと仮定し、$M_1\in S$ をひとつとる。
$M_1$ は極大元ではないから、$$M_1\subset M_2\in S, M_2\neq M_1$$ となる $M_2$ がとれる。
一般に $$M_1\subset M_2\subset \cdots \subset M_n\in S, M_1\neq M_2\neq \cdots \neq M_n$$
となる $M_1, \ldots, M_n$ がとれたとすると、
$M_n$ は極大元ではないから、
$$M_n\subset M_{n+1}\in S, M_{n+1}\neq M_n$$ となる $M_{n+1}$ がとれる。
このようにして、$M$ の部分左 $R$-加群の無限上昇列
$$M_1\subset M_2\subset \cdots, ~ M_1\neq M_2\neq \cdots$$
がとれるが、これは (ii) に反する。

(iii)$\Longrightarrow$(i). (i) に反し $M$ の部分左 $R$-加群 $N$ が有限生成でないとし、$a_1\in N$ をひとつとる。$N$ は $a_1$ で生成されないから、$M_1=(a_1)$ に属さない $a_2\in N$ がとれる。同様にして $M_n=(a_1, a_2, \ldots, a_n)$ が $N$ の部分左 $R$-加群ならば、$M_n$ に属さない $a_{n+1}\in N$ がとれる。
このようにして $N$ の（したがって、$M$ の）部分左 $R$-加群の無限列 $M_n\ (n=1, 2, \ldots)$ がとれる。
$S=\{M_n: n=1, 2, \ldots\}$ とおく。$M_n\subset M_{n+1}$ だが $M_n\neq M_{n+1}$ なので $S$ は極大元をもたない。これは (iii) に反する。