Noether加群

(1 $\Rightarrow$ 2) $\mathcal{S}$ が極大元をもたないと仮定する。$N_1\in\mathcal{S}$ をとる。$N_1$ は極大元でないので $N_1\subsetneq N_2$ となる $N_2\in\mathcal{S}$ がある。$N_2$ も極大元でないので $N_2\subsetneq N_3$ となる $N_3\in\mathcal{S}$ がある。これを繰り返して（従属選択公理により）止まらない昇鎖 $N_1\subsetneq N_2\subsetneq N_3\subsetneq\cdots$ が得られ、1 に反する。
(2 $\Rightarrow$ 3) $N$ を $M$ の部分加群とし、$\mathcal{S}$ を $N$ の有限生成な部分加群全体の集合とする。$\{0\}=\langle\emptyset\rangle\in\mathcal{S}$ なので $\mathcal{S}\neq\emptyset$ であり、2 により極大元 $N_0=\langle x_1,\dots,x_r\rangle\in\mathcal{S}$ がある。$x\in N$ を任意にとると $\langle x_1,\dots,x_r,x\rangle\in\mathcal{S}$ は $N_0$ を含むので、極大性により $N_0$ に等しく、$x\in N_0$ である。よって $N=N_0$ は有限生成である。
(3 $\Rightarrow$ 1) $N_1\subset N_2\subset\cdots$ を部分加群の昇鎖とし、$N:=\bigcup_{k\ge1}N_k$ とおく。$N$ は部分加群である。実際、$x,y\in N$ なら $x\in N_i$、$y\in N_j$ となる $i,j$ があり、$k=\max\{i,j\}$ とすると $x,y\in N_k$ なので $x+y\in N_k\subset N$ であり、$c\in R$ について $cx\in N_i\subset N$ である。3 により $N=\langle x_1,\dots,x_r\rangle$ と書ける。各 $x_l$ は $N$ の元なのである $N_{k_l}$ に属し、$n:=\max_lk_l$ とおくと $x_1,\dots,x_r\in N_n$ である。よって $N=\langle x_1,\dots,x_r\rangle\subset N_n\subset N_{n+1}\subset\cdots\subset N$ となり、$N_n=N_{n+1}=\cdots=N$ である。$\square$

$\iota$ は単射なので $M'$ を $M$ の部分加群 $\iota(M')=\ker\pi$（核）と同一視する。
($\Rightarrow$) $M'$ の部分加群の昇鎖は $M$ の部分加群の昇鎖でもあるので止まる。$M''$ の部分加群の昇鎖 $L_1\subset L_2\subset\cdots$ に対し、$\pi^{-1}(L_1)\subset\pi^{-1}(L_2)\subset\cdots$ は $M$ の部分加群の昇鎖なのである $n$ で止まり、$\pi$ が全射であることから $L_k=\pi(\pi^{-1}(L_k))$ なので $L_n=L_{n+1}=\cdots$ である。
($\Leftarrow$) まず次を示す。$M$ の部分加群 $N\subset N'$ が $N\cap M'=N'\cap M'$ かつ $\pi(N)=\pi(N')$ を満たせば $N=N'$ である。実際 $x\in N'$ に対し $\pi(x)\in\pi(N')=\pi(N)$ なので $\pi(x)=\pi(y)$ となる $y\in N$ があり、$x-y\in\ker\pi\cap N'=M'\cap N'=M'\cap N\subset N$ である。よって $x=(x-y)+y\in N$ である。
さて $N_1\subset N_2\subset\cdots$ を $M$ の部分加群の昇鎖とする。$N_1\cap M'\subset N_2\cap M'\subset\cdots$ は $M'$ の部分加群の昇鎖、$\pi(N_1)\subset\pi(N_2)\subset\cdots$ は $M''$ の部分加群の昇鎖なので、ともにある $n$ 以降で一定になる。$k\ge n$ について $N_n\subset N_k$、$N_n\cap M'=N_k\cap M'$、$\pi(N_n)=\pi(N_k)$ なので、上の主張により $N_n=N_k$ である。
最後の主張は、短完全列 $0\to N\to M\to M/N\to0$ に適用すればよい。$\square$

$n$ に関する帰納法による。$n=1$ は明らかである。短完全列
$$ 0\longrightarrow M_1\oplus\cdots\oplus M_{n-1}\longrightarrow M_1\oplus\cdots\oplus M_n\longrightarrow M_n\longrightarrow0 $$
（左の写像は $(x_1,\dots,x_{n-1})\mapsto(x_1,\dots,x_{n-1},0)$、右の写像は最後の成分への射影）において、帰納法の仮定により左端の加群が、仮定により右端の加群が Noether なので、prop-noetherian-module-exact により中央も Noether である。$\square$

$M=Rx_1+\cdots+Rx_n$ とする。$R$ 加群の準同型 $\varphi\colon R^n\to M$ を $\varphi(c_1,\dots,c_n):=c_1x_1+\cdots+c_nx_n$ で定めると、$\varphi$ は全射であり、$M\cong R^n/\ker\varphi$ である。$R$ が左 Noether 環なので $R$ は Noether $R$ 加群であり、cor-noetherian-module-direct-sum により $R^n$ は Noether 加群、prop-noetherian-module-exact によりその剰余加群 $M$ も Noether 加群である。$\square$

1 は $f(M)\cong M/\ker f$ と prop-noetherian-module-exact から従う。2 は、和 $N:=\sum_\lambda N_\lambda$ が有限生成であることから従う。生成元 $x_1,\dots,x_r$ の各々は有限個の $N_\lambda$ の元の和なので、それらに現れる $\lambda$ をすべて集めた有限集合 $\{\lambda_1,\dots,\lambda_s\}$ について $N\subset N_{\lambda_1}+\cdots+N_{\lambda_s}\subset N$ である。3 は次のように示す。$f^k$ を $f$ の $k$ 回合成とすると $\ker f\subset\ker f^2\subset\cdots$ は部分加群の昇鎖なので、ある $n$ で $\ker f^n=\ker f^{2n}$ となる。$x\in\ker f$ とする。$f^n$ は全射なので $x=f^n(y)$ となる $y\in M$ があり、$f^{2n}(y)=f^n(x)=0$ より $y\in\ker f^{2n}=\ker f^n$ となるので $x=f^n(y)=0$ である。よって $f$ は単射であり、全射と合わせて同型である。$\square$