正定値行列

$LL^*=MM^*$ で、$L,M$ が対角成分が正の下三角行列であるとする。$M$ は正則で、下三角行列の逆行列と積はまた下三角行列であり、対角成分はそれぞれ逆数と積になる（三角行列）。$LL^*=MM^*$ から $M^{-1}L=M^*(L^*)^{-1}=M^*(L^{-1})^*$ であり、左辺は下三角、右辺は上三角なので、これは対角行列 $D=\operatorname{diag}(d_1,\dots,d_n)$ で、$d_i=\ell_{ii}/m_{ii}>0$ である。$L=MD$ を $LL^*=MM^*$ に代入すると $MDD^*M^*=MM^*$、$M$ は正則なので $DD^*=I_n$、すなわち $d_i^2=1$ であり、$d_i>0$ から $d_i=1$ である。よって $L=M$ である。$\square$

1. $x^*(A+B)x=x^*Ax+x^*Bx$、$x^*(tA)x=t\,x^*Ax$ から明らかである。

2. $(P^*AP)^*=P^*A^*P=P^*AP$ である。$x\in K^m$、$x\ne0$ なら、$P$ の列が 1 次独立なので $Px\ne0$ であり、$x^*(P^*AP)x=(Px)^*A(Px)>0$ である。$P$ を標準基底 $e_j$（$j\in J$）を列に並べた行列とすれば $P^*AP=A_J$ である。$J=\{i,j\}$ に thm-pd-main の 1 ⇒ 3 を使うと、$\det A_J=a_{ii}a_{jj}-a_{ij}\overline{a_{ij}}>0$ である。

3. thm-pd-main の 6 により $A=B_0^*B_0$（$B_0$ は正則）なので $\det A=|\det B_0|^2\ne0$ であり、$A$ は正則である。$(A^{-1})^*=(A^*)^{-1}=A^{-1}$ なので $A^{-1}$ は Hermite 行列であり、$x\ne0$ に対し $y:=A^{-1}x\ne0$ とおくと $x^*A^{-1}x=(Ay)^*y=y^*Ay>0$ である。$\square$

$A$ の第 $j$ 列を $a_j$ とすると、$A+tI_m$ の第 $j$ 列は $a_j+te_j$ である。行列式は列についても多重線形なので（行列式 の記事の定理「多重線形性と交代性」と命題「転置と行列式」）、各列で $a_j$ と $te_j$ のどちらをとるかで展開すると、$\det(A+tI_m)=\sum_Tt^{|T|}\det M_T$ となる。ここで $M_T$ は、$j\in T$ の列を $e_j$ に、$j\notin T$ の列を $a_j$ にした行列である。$M_T$ を $j\in T$ の列で順に余因子展開すると（行列式 の記事の定理「行と列に関する余因子展開」）、第 $j$ 列は第 $j$ 行の成分だけが $1$ なので、第 $j$ 行と第 $j$ 列を取り除いた行列の行列式に、符号 $(-1)^{j+j}=1$ を掛けたものになる。取り除いたあとも残りの行と列の番号は同じ順で詰まるので、次の展開でも $1$ は対角の位置にある。こうして $\det M_T=\det A_{\{1,\dots,m\}\setminus T}$ を得る。$\square$

1 ⇔ 5：$x^*(A+tI_n)x=x^*Ax+t\|x\|^2$ である。1 なら、$x\ne0$ で右辺は $t\|x\|^2>0$ 以上である。逆に 5 なら、各 $x$ について $x^*Ax>-t\|x\|^2$ がすべての $t>0$ で成り立つので、$t\to0$ として $x^*Ax\ge0$ である。

1 ⇔ 2：prf-pd-main の 1 ⇔ 2 と同じく $x^*Ax=\sum_i\lambda_i|y_i|^2$ と書けることから従う。

2 ⇒ 4：$A=UDU^*$、$D=\operatorname{diag}(\lambda_i)$、$\lambda_i\ge0$ と書き、$B:=\operatorname{diag}(\sqrt{\lambda_i})\,U^*$（$m=n$）とすれば $B^*B=UDU^*=A$ である。4 ⇒ 1：$x^*Ax=\|Bx\|^2\ge0$ である。

1 ⇒ 3：prf-pd-main の 1 ⇒ 4 と同じ理由で $A_J$ は半正定値であり、1 ⇒ 5 により $t>0$ で $A_J+tI$ は正定値なので、thm-pd-main により $\det(A_J+tI)>0$ である。$\det(A_J+tI)$ は $t$ の多項式で連続なので、$t\to+0$ として $\det A_J\ge0$ である。

3 ⇒ 5：$t>0$ とし、$A+tI_n$ の首座小行列式を調べる。$A_k+tI_k$ に lem-pd-det-shift を使うと、$\det(A_k+tI_k)=\sum_Tt^{|T|}\det A_{\{1,\dots,k\}\setminus T}$ であり、3 によりすべての項は $0$ 以上で、$T=\{1,\dots,k\}$ の項は $t^k>0$ である。よって $\det(A_k+tI_k)>0$（$k=1,\dots,n$）であり、thm-pd-main の 3 ⇒ 1 により $A+tI_n$ は正定値である。$\square$

存在：$A=UDU^*$、$D=\operatorname{diag}(\lambda_i)$、$\lambda_i\ge0$ と書き（thm-pd-semidefinite の 2）、$C:=U\operatorname{diag}(\sqrt{\lambda_i})U^*$ とおく。$C$ は Hermite 行列で固有値 $\sqrt{\lambda_i}\ge0$ をもつので半正定値であり、$C^2=U\operatorname{diag}(\lambda_i)U^*=A$ である。

一意性：$C$ を $C^2=A$ となる任意の半正定値行列とする。$\lambda\in K$ について $W_\lambda(A):=\{x\mid Ax=\lambda x\}$ と書く。$C$ も Hermite 行列なので、$K^n$ は $C$ の固有空間 $W_\mu(C)$（$\mu$ は $C$ の相異なる固有値、すべて $\mu\ge0$）の直和である（Hermite行列 の記事の定理「ユニタリ対角化できる行列」の 3。$K=\mathbb{R}$ では 2次形式 の記事の定理「実対称行列の主軸定理」）。$Cx=\mu x$ なら $Ax=C^2x=\mu^2x$ なので $W_\mu(C)\subseteq W_{\mu^2}(A)$ であり、$\mu\mapsto\mu^2$ は $[0,\infty)$ 上で単射である。$A$ の相異なる固有値を $\lambda_1,\dots,\lambda_s$ とすると、$W_{\lambda_i}(A)$ の和は直和なので$$n=\sum_\mu\dim W_\mu(C)\le\sum_{i=1}^s\dim W_{\lambda_i}(A)\le n$$であり（左の不等号は、各 $W_\mu(C)$ が $\mu^2=\lambda_i$ となる $W_{\lambda_i}(A)$ に含まれ、異なる $\mu$ は異なる $\lambda_i$ に行くことによる）、等号が成り立つ。よって各 $i$ で $W_{\sqrt{\lambda_i}}(C)=W_{\lambda_i}(A)$ である（$\sqrt{\lambda_i}$ が $C$ の固有値でなければ左辺は $0$ と読む。等号からそれは起こらない）。すなわち $C$ は各 $W_{\lambda_i}(A)$ の上で $\sqrt{\lambda_i}$ 倍として働き、$K^n=\bigoplus_iW_{\lambda_i}(A)$ なので $C$ は $A$ だけから決まる。

後半：$A^{1/2}$ の固有値は $A$ の固有値の平方根なので、thm-pd-main の 1 ⇔ 2 から従う。$\square$