Bianchi恒等式
概要
Bianchi恒等式（Bianchi identities）とは、接続の曲率 $R$ が満たす 2 つの巡回和の恒等式である。第 1 恒等式 $R(X,Y)Z+R(Y,Z)X+R(Z,X)Y=0$ は接束の捩れのない接続で、第 2 恒等式 $\sum_{\mathrm{cyc}}(\nabla_XR)(Y,Z)=0$ は任意のベクトル束の接続で（共変微分に捩れのない接続を補助に使って）成り立つ。局所枠では曲率行列 $F$ が $dF=F\wedge A-A\wedge F$ を満たす。Riemann 多様体で第 2 恒等式を縮約すると $dS=2\operatorname{div}\mathrm{Ric}$ が得られ、Einstein テンソルの発散は $0$ になり、3 次元以上の連結な Riemann 多様体で各点の断面曲率が平面によらなければ定曲率である。
前提知識: Riemann曲率テンソル, 接続, Lie括弧, テンソル解析
曲率は「共変微分の順序を入れ替えたときのずれ」である。曲率そのものも、いくつかの決まった恒等式を必ず満たす。そのうち、3 つの引数を巡回させて足すと $0$ になる 2 つの恒等式を Bianchi 恒等式（Bianchi identities）という。
- 第 1 Bianchi 恒等式（代数的 Bianchi 恒等式）：捩れのない接続の曲率は、3 つのベクトルについて $R(X,Y)Z+R(Y,Z)X+R(Z,X)Y=0$ を満たす。
- 第 2 Bianchi 恒等式（微分 Bianchi 恒等式）：曲率の共変微分は $(\nabla_XR)(Y,Z)+(\nabla_YR)(Z,X)+(\nabla_ZR)(X,Y)=0$ を満たす。こちらは任意のベクトル束の接続で成り立つ（引数のベクトル場の共変微分には、接束の捩れのない接続を使う）。
第 1 の恒等式は曲率テンソルの対称性の一つで、Ricci テンソルが対称になる理由である。第 2 の恒等式を縮約すると、スカラー曲率 $S$ と Ricci テンソルの間に $dS=2\operatorname{div}\mathrm{Ric}$ という関係が出る。一般相対論の Einstein テンソル $\mathrm{Ric}-\frac S2g$ の発散が $0$ になるのはこのためであり、3 次元以上の連結な Riemann 多様体で、各点の断面曲率が平面によらなければ曲率は定数になる（Schur の補題）のもこのためである。
この記事では次のことを示す。 - 捩れのない接続の曲率は第 1 Bianchi 恒等式を満たす。→ thm-bi-first
- ベクトル束の接続の曲率は第 2 Bianchi 恒等式を満たす。局所枠では曲率行列 $F$ が $dF=F\wedge A-A\wedge F$ を満たす。→ thm-bi-second、prop-bi-matrix
- Riemann 多様体では、縮約すると $\operatorname{div}\mathrm{Rm}$、$\operatorname{div}\mathrm{Ric}$、$dS$ の関係が出る。→ thm-bi-contracted
- 応用として、3 次元以上の連結な Riemann 多様体では、各点で断面曲率が平面によらなければ定曲率である。→ thm-bi-schur
恒等式 成り立つ接続 形 第 1 接束の捩れのない接続 $R(X,Y)Z+R(Y,Z)X+R(Z,X)Y=0$ 第 2（作用素の形） 任意のベクトル束の接続 $\sum_{\mathrm{cyc}}\bigl([\nabla_X,R(Y,Z)]-R([X,Y],Z)\bigr)=0$ 第 2（テンソルの形） 同上（接束に捩れのない補助の接続をとる） $\sum_{\mathrm{cyc}}(\nabla_XR)(Y,Z)=0$ 第 2（行列の形） 同上（局所枠） $dF=F\wedge A-A\wedge F$ 縮約形 Levi-Civita 接続 $dS=2\operatorname{div}\mathrm{Ric}$
設定と記号
$M$ を可微分多様体、$\mathfrak X(M)$ をベクトル場の全体、$[X,Y]$ を Lie括弧 とする。$E\to M$ をベクトル束、$\Gamma(E)$ をその切断の全体、$\nabla$ を $E$ の 接続 とし、$\nabla_X\colon\Gamma(E)\to\Gamma(E)$ を $X$ 方向の共変微分と書く。
$X,Y\in\mathfrak X(M)$、$s\in\Gamma(E)$ に対し
$$
R(X,Y)s:=\nabla_X\nabla_Ys-\nabla_Y\nabla_Xs-\nabla_{[X,Y]}s
$$
とおき、$\nabla$ の 曲率 という。作用素として書けば $R(X,Y)=[\nabla_X,\nabla_Y]-\nabla_{[X,Y]}$ である（$[P,Q]:=PQ-QP$ は作用素の交換子）。
$R(X,Y)s$ は $X,Y,s$ のそれぞれについて $C^\infty(M)$ 線形で、各点での値は $X,Y,s$ のその点での値だけで決まる（接続 の命題「導分の作用による記述」の 2 で、曲率 2 形式 $\nabla\circ\nabla$ を $X,Y$ で縮約したものに等しい。$E=TM$ で $\nabla$ が Levi-Civita 接続の場合の確かめは Riemann曲率テンソル の命題「曲率のテンソル性」）。定義から $R(X,Y)=-R(Y,X)$ である。
$E=TM$ のとき $\nabla$ を アフィン接続 といい、その 捩率 を $T(X,Y):=\nabla_XY-\nabla_YX-[X,Y]$ で定める。$T=0$ のとき $\nabla$ は 捩れがない という（捩率テンソル）。局所座標では、捩れがないことと Christoffel 記号が $\Gamma^k_{ij}=\Gamma^k_{ji}$ を満たすことが同値である。
3 つのベクトル場 $X,Y,Z$ について、$(X,Y,Z)\mapsto(Y,Z,X)\mapsto(Z,X,Y)$ と巡回させた 3 項の和を $\sum_{\mathrm{cyc}}$ と書く。たとえば $\sum_{\mathrm{cyc}}[X,[Y,Z]\,]=[X,[Y,Z]\,]+[Y,[Z,X]\,]+[Z,[X,Y]\,]$ で、これはベクトル場の Jacobi 恒等式により $0$ である。同じ形の恒等式 $\sum_{\mathrm{cyc}}[P,[Q,R]\,]=0$ は、線形作用素 $P,Q,R$ の交換子についても成り立つ（展開すると 12 項が 2 つずつ打ち消し合う）。
第 1 Bianchi 恒等式
$\nabla$ を捩れのないアフィン接続、$R$ をその曲率とする。$X,Y,Z\in\mathfrak X(M)$ について
$$
R(X,Y)Z+R(Y,Z)X+R(Z,X)Y=0
$$
が成り立つ。局所座標の成分 $R(\partial_k,\partial_l)\partial_j=R^i{}_{jkl}\partial_i$ では $R^i{}_{jkl}+R^i{}_{klj}+R^i{}_{ljk}=0$ である。
曲率の定義の 9 項を、$\nabla_X$ が外にある項ごとにまとめる。
$$
\sum_{\mathrm{cyc}}R(X,Y)Z=\sum_{\mathrm{cyc}}\bigl(\nabla_X\nabla_YZ-\nabla_Y\nabla_XZ-\nabla_{[X,Y]}Z\bigr)
$$
の右辺で、$-\nabla_Y\nabla_XZ$ を巡回させると $-\nabla_X\nabla_ZY$ になるので、
$$
\sum_{\mathrm{cyc}}\bigl(\nabla_X\nabla_YZ-\nabla_Y\nabla_XZ\bigr)=\sum_{\mathrm{cyc}}\nabla_X\bigl(\nabla_YZ-\nabla_ZY\bigr)=\sum_{\mathrm{cyc}}\nabla_X[Y,Z]
$$
である（捩れがないことを使った）。同じく $-\nabla_{[X,Y]}Z$ を巡回させると $-\nabla_{[Y,Z]}X$ になるので
$$
\sum_{\mathrm{cyc}}R(X,Y)Z=\sum_{\mathrm{cyc}}\bigl(\nabla_X[Y,Z]-\nabla_{[Y,Z]}X\bigr)=\sum_{\mathrm{cyc}}[X,[Y,Z]\,]
$$
である（もう一度、捩れがないことを使った）。右辺は Jacobi 恒等式により $0$ である。成分の式は $X=\partial_k$、$Y=\partial_l$、$Z=\partial_j$ を代入して $\partial_i$ の係数を読めばよい。$\square$
証明が使ったのは捩れのなさと Jacobi 恒等式だけで、計量は使っていない。捩率があるときは、右辺に捩率とその共変微分の項が加わる（捩率テンソル の定理「捩率を含む第 1 Bianchi 恒等式」）。
Levi-Civita 接続では、$(0,4)$ 型の曲率 $\mathrm{Rm}(X,Y,Z,W):=g(R(Z,W)Y,X)$ を使うと、第 1 Bianchi 恒等式は $\mathrm{Rm}(X,Y,Z,W)+\mathrm{Rm}(X,Z,W,Y)+\mathrm{Rm}(X,W,Y,Z)=0$、成分で $R_{ijkl}+R_{iklj}+R_{iljk}=0$ と書ける。後ろの 2 引数と前の 2 引数についての反対称性と合わせると、対の入れ替えの対称性 $\mathrm{Rm}(X,Y,Z,W)=\mathrm{Rm}(Z,W,X,Y)$ が従う（Riemann曲率テンソル の命題「曲率テンソルの対称性」）。そこから Ricci テンソルの対称性 $\mathrm{Ric}(Y,Z)=\mathrm{Ric}(Z,Y)$ が出る（Ricciテンソル）。
第 2 Bianchi 恒等式
第 2 の恒等式は $E$ の接続なら何でも成り立つ。ただし「$R$ の共変微分」を作るには、引数のベクトル場を微分するために $TM$ の接続も要る。そこで 2 つの形で述べる。
$E$ の自己準同型に値をとるもの $\Phi$（各点で $E_p\to E_p$ の線形写像）に対し、$\nabla_X\Phi:=[\nabla_X,\Phi]$、すなわち $(\nabla_X\Phi)s=\nabla_X(\Phi s)-\Phi(\nabla_Xs)$ とおく。これは $E$ の接続から誘導される $\operatorname{End}E$ の接続である。$TM$ のアフィン接続 $\nabla'$ を 1 つ選び、
$$
(\nabla_XR)(Y,Z):=\nabla_X\bigl(R(Y,Z)\bigr)-R(\nabla'_XY,Z)-R(Y,\nabla'_XZ)
$$
と定める（$R$ を $\operatorname{End}E$ に値をとる $(0,2)$ 型テンソルとみたときの共変微分）。$E=TM$、$\nabla'=\nabla$ のときは、これは Riemann曲率テンソル の命題「第2 Bianchi 恒等式」の $(\nabla_XR)(Y,Z)W$ と同じものである。
$E$ の接続 $\nabla$ の曲率 $R$ と $X,Y,Z\in\mathfrak X(M)$ について、次が成り立つ。
- （作用素の形）$\displaystyle\sum_{\mathrm{cyc}}\Bigl(\bigl[\nabla_X,R(Y,Z)\bigr]-R([X,Y],Z)\Bigr)=0$。
- （テンソルの形）$TM$ の捩れのない接続 $\nabla'$ を 1 つ選ぶと、$\displaystyle\sum_{\mathrm{cyc}}(\nabla_XR)(Y,Z)=0$。
1：$R(Y,Z)=[\nabla_Y,\nabla_Z]-\nabla_{[Y,Z]}$ なので
$$
\bigl[\nabla_X,R(Y,Z)\bigr]=\bigl[\nabla_X,[\nabla_Y,\nabla_Z]\bigr]-\bigl[\nabla_X,\nabla_{[Y,Z]}\bigr]
$$
である。第 1 項の巡回和は、作用素の交換子の Jacobi 恒等式により $0$ である。第 2 項は $-[\nabla_X,\nabla_{[Y,Z]}]=[\nabla_{[Y,Z]},\nabla_X]$ で、巡回の付け替え $(X,Y,Z)\mapsto(Z,X,Y)$ により
$$
\sum_{\mathrm{cyc}}\bigl[\nabla_X,R(Y,Z)\bigr]=\sum_{\mathrm{cyc}}\bigl[\nabla_{[Y,Z]},\nabla_X\bigr]=\sum_{\mathrm{cyc}}\bigl[\nabla_{[X,Y]},\nabla_Z\bigr]
$$
である。一方、曲率の定義から
$$
\sum_{\mathrm{cyc}}R([X,Y],Z)=\sum_{\mathrm{cyc}}\bigl[\nabla_{[X,Y]},\nabla_Z\bigr]-\nabla_{\sum_{\mathrm{cyc}}[\,[X,Y],Z]}=\sum_{\mathrm{cyc}}\bigl[\nabla_{[X,Y]},\nabla_Z\bigr]
$$
である（$\nabla_W$ は $W$ について線形で、$\sum_{\mathrm{cyc}}[\,[X,Y],Z]=0$ はベクトル場の Jacobi 恒等式）。2 つの式を引けば 1 を得る。
2：定義から
$$
\sum_{\mathrm{cyc}}(\nabla_XR)(Y,Z)=\sum_{\mathrm{cyc}}\bigl[\nabla_X,R(Y,Z)\bigr]-\sum_{\mathrm{cyc}}\Bigl(R(\nabla'_XY,Z)+R(Y,\nabla'_XZ)\Bigr)
$$
である。最後の和の第 2 項 $R(Y,\nabla'_XZ)=-R(\nabla'_XZ,Y)$ を巡回の付け替え $(X,Y,Z)\mapsto(Y,Z,X)$ で書き直すと $-R(\nabla'_YX,Z)$ の巡回和になるので、最後の和は
$$
\sum_{\mathrm{cyc}}R\bigl(\nabla'_XY-\nabla'_YX,\ Z\bigr)=\sum_{\mathrm{cyc}}R([X,Y],Z)
$$
に等しい（$\nabla'$ に捩れがないことを使った）。よって左辺は 1 の左辺に等しく、$0$ である。$\square$
1 の形は $TM$ の接続を使わないので、$E$ の接続だけで決まる。2 の形では補助の接続 $\nabla'$ の捩れのなさが本質的で、捩率があると巡回和は $-\sum_{\mathrm{cyc}}R(T'(X,Y),Z)$ になり、一般に $0$ でない（ex-bi-counterexamples の 2 行目）。
$(M,g)$ を Riemann 多様体、$\nabla$ をその Levi-Civita 接続、$R$ を曲率テンソルとする。$X,Y,Z,W\in\mathfrak X(M)$ について
$$
(\nabla_XR)(Y,Z)W+(\nabla_YR)(Z,X)W+(\nabla_ZR)(X,Y)W=0
$$
であり、成分では $\nabla_iR^a{}_{bjk}+\nabla_jR^a{}_{bki}+\nabla_kR^a{}_{bij}=0$、$\nabla_iR_{abjk}+\nabla_jR_{abki}+\nabla_kR_{abij}=0$ である。ここで $\nabla_iR^a{}_{bjk}$ は $(1,4)$ 型テンソル $\nabla R$ の成分である。
thm-bi-second の 2 で $E=TM$、$\nabla'=\nabla$（Levi-Civita 接続は捩れがない）とする。$(\nabla_XR)(Y,Z)$ を $W$ に作用させたものは、$R$ を $(1,3)$ 型テンソルとみた共変微分
$$
\nabla_X(R(Y,Z)W)-R(\nabla_XY,Z)W-R(Y,\nabla_XZ)W-R(Y,Z)\nabla_XW
$$
に等しい。成分の式は $X=\partial_i$、$Y=\partial_j$、$Z=\partial_k$、$W=\partial_b$ を代入して $\partial_a$ の係数を読めば得られ、添字を下げた形は $\nabla g=0$ により共変微分が添字の上げ下げと可換であることから従う。$\square$
この系は Riemann曲率テンソル の命題「第2 Bianchi 恒等式」と同じ主張である。
局所枠での形
$U\subset M$ の上で $E$ の局所枠 $e_1,\dots,e_r$ をとり、$\nabla e_j=\sum_iA_{ij}\otimes e_i$ で 1 形式を成分とする行列 $A$（接続行列）を定める。このとき曲率は $R(X,Y)e_j=\sum_iF_{ij}(X,Y)\,e_i$ で、2 形式を成分とする行列 $F$（曲率行列）は
$$
F=dA+A\wedge A,\qquad(A\wedge A)_{ij}=\sum_kA_{ik}\wedge A_{kj}
$$
である（接続 の命題「接続行列と曲率行列」と、同じ記事の命題「導分の作用による記述」の 2）。
上の記号で $dF=F\wedge A-A\wedge F$ である。
$d\circ d=0$ と、1 形式を成分とする行列について $d(A\wedge A)=dA\wedge A-A\wedge dA$ であることから
$$
dF=dA\wedge A-A\wedge dA=(F-A\wedge A)\wedge A-A\wedge(F-A\wedge A)=F\wedge A-A\wedge F
$$
である（$(A\wedge A)\wedge A=A\wedge(A\wedge A)$ は結合法則）。$\square$
これは主束の言葉で書いた Bianchi の恒等式 $D\Omega=0$ を局所切断で引き戻したものである（曲率形式 の定理「主束の Bianchi の恒等式」）。不変多項式に $F$ を代入した微分形式が閉じていることは、この形から従う（Chern–Weil理論）。
$E=M\times\mathbb R$ を自明な実直線束とし、1 形式 $\alpha$ で $\nabla s:=ds+s\,\alpha$ と定める。接続行列は $1\times1$ 行列 $A=\alpha$ で、$\alpha\wedge\alpha=0$ なので曲率は $F=d\alpha$、すなわち $R(X,Y)$ は関数 $d\alpha(X,Y)$ を掛ける写像である。prop-bi-matrix は $d(d\alpha)=0$ にほかならない。たとえば $M=\mathbb R^3$、$\alpha=x^1dx^2$ なら $F=dx^1\wedge dx^2$ である。このように、直線束では第 2 Bianchi 恒等式は「曲率 2 形式は閉形式である」ことを言う。電磁場の 2 形式 $F=dA$ が $dF=0$（Maxwell 方程式の半分）を満たすのは、この場合にあたる。
縮約された Bianchi 恒等式
以下、$(M,g)$ を $n$ 次元 Riemann 多様体、$\nabla$ を Levi-Civita 接続とし、記号は Riemann曲率テンソル に従う：成分 $R(\partial_k,\partial_l)\partial_j=R^i{}_{jkl}\partial_i$、$R_{ijkl}=g_{im}R^m{}_{jkl}$。Ricci テンソルを $\mathrm{Ric}(Y,Z):=\operatorname{tr}\bigl(X\mapsto R(X,Y)Z\bigr)$、成分 $R_{ij}=R^a{}_{jai}$、スカラー曲率を $S:=g^{ij}R_{ij}$ とする（Ricciテンソル、スカラー曲率）。$\mathrm{Ric}$ は対称である。対称な $(0,2)$ 型テンソル $h$ の 発散 を、正規直交基底 $e_1,\dots,e_n$ について $(\operatorname{div}h)(Y):=\sum_i(\nabla_{e_i}h)(e_i,Y)$、成分で $(\operatorname{div}h)_j=g^{ab}\nabla_ah_{bj}$ と定める。
- $\nabla_aR^a{}_{bjk}=\nabla_jR_{kb}-\nabla_kR_{jb}$。
- $\nabla_jS=2\,g^{ab}\nabla_aR_{bj}$。すなわち $dS=2\operatorname{div}\mathrm{Ric}$ である。
- Einstein テンソル $G:=\mathrm{Ric}-\frac S2g$ は $\operatorname{div}G=0$ を満たす。
1：cor-bi-riemann の成分の式 $\nabla_iR^a{}_{bjk}+\nabla_jR^a{}_{bki}+\nabla_kR^a{}_{bij}=0$ で $a$ と $i$ を縮約する。共変微分は縮約と可換なので（テンソル解析）
$$
\nabla_aR^a{}_{bjk}+\nabla_j\bigl(R^a{}_{bka}\bigr)+\nabla_k\bigl(R^a{}_{baj}\bigr)=0
$$
である。$R_{ij}=R^a{}_{jai}$ から $R^a{}_{baj}=R_{jb}$、$R^a{}_{bka}=-R^a{}_{bak}=-R_{kb}$ なので、1 を得る。
2：1 に $g^{bk}$ を掛けて縮約する。共変微分は $g$ による縮約とも可換である（$\nabla g=0$）。右辺は $\nabla_j(g^{bk}R_{kb})-g^{bk}\nabla_kR_{jb}=\nabla_jS-g^{ab}\nabla_aR_{bj}$ である（$\mathrm{Ric}$ の対称性を使った）。左辺は、$\mathrm{Rm}$ の前後の 2 引数についての反対称性から $R_{mbjk}=R_{bmkj}$ なので
$$
g^{bk}R^a{}_{bjk}=g^{am}g^{bk}R_{bmkj}=g^{am}R^k{}_{mkj}=g^{am}R_{jm}
$$
であり、$g^{bk}\nabla_aR^a{}_{bjk}=\nabla_a(g^{am}R_{mj})=g^{ab}\nabla_aR_{bj}$ である。よって $g^{ab}\nabla_aR_{bj}=\nabla_jS-g^{ab}\nabla_aR_{bj}$ で、2 を得る。
3：$\nabla g=0$ なので $(\operatorname{div}(Sg))_j=g^{ab}\nabla_a(Sg_{bj})=\nabla_jS$ である。2 から $(\operatorname{div}G)_j=g^{ab}\nabla_aR_{bj}-\frac12\nabla_jS=0$ である。$\square$
2 と 3 は スカラー曲率 の命題「2回縮約された第2 Bianchi 恒等式」と、1 は Ricciテンソル の命題「縮約された第2 Bianchi 恒等式」と同じ主張である。
3 の物理的な意味：一般相対論の Einstein方程式 $G+\Lambda g=8\pi T$（$\Lambda$ は定数、$T$ はエネルギー運動量テンソル）では、左辺の発散が 3 と $\nabla g=0$ により恒等的に $0$ になる。したがって方程式が解をもつためには $\operatorname{div}T=0$ が必要で、これはエネルギーと運動量の保存則である。計量の符号が Riemann 計量と異なるが、Bianchi 恒等式と thm-bi-contracted の証明（成分の計算）は計量の正定値性を使わないので、擬 Riemann 計量でもそのまま通る。
応用：Schur の補題
$(M,g)$ を連結な $n$ 次元 Riemann 多様体とし、$n\ge3$ とする。
- 各点 $p$ で、$T_pM$ のすべての 2 次元部分空間の 断面曲率 が同じ値 $c(p)$ をとるなら、$c$ は定数であり、$(M,g)$ は定曲率空間である。
- 滑らかな関数 $\lambda$ について各点で $\mathrm{Ric}=\lambda g$ なら、$\lambda$ は定数である。
1：各点で断面曲率が $c(p)$ なので、断面曲率 の系「定曲率の特徴づけ」により $R(Y,Z)W=c\,\bigl(g(Z,W)Y-g(Y,W)Z\bigr)$ である。両辺の Ricci テンソルをとると $\mathrm{Ric}=(n-1)c\,g$、$S=n(n-1)c$ なので（Ricciテンソル の命題「定曲率空間のリッチテンソル」）、$c=S/(n(n-1))$ は滑らかである。$R_0(Y,Z)W:=g(Z,W)Y-g(Y,W)Z$ は $g$ だけで作られるので、$\nabla g=0$ から $\nabla R_0=0$ である。よって $(\nabla_XR)(Y,Z)W=X(c)\,R_0(Y,Z)W$ で、cor-bi-riemann は
$$
X(c)\,R_0(Y,Z)W+Y(c)\,R_0(Z,X)W+Z(c)\,R_0(X,Y)W=0
$$
となる。ある点 $p$ で $dc_p\neq0$ と仮定する。$n\ge3$ なので、$T_pM$ の正規直交なベクトル $e_1,e_2,e_3$ を、$e_1$ が $c$ の勾配の向き、$e_2,e_3$ がそれに直交するようにとれる。このとき $e_1(c)=|\operatorname{grad}c|>0$、$e_2(c)=e_3(c)=0$ である。$X=e_1$、$Y=e_2$、$Z=W=e_3$ を代入すると、残るのは第 1 項だけで
$$
e_1(c)\bigl(g(e_3,e_3)e_2-g(e_2,e_3)e_3\bigr)=|\operatorname{grad}c|\,e_2\neq0
$$
となり、矛盾する。よって $dc=0$ で、$M$ は連結なので $c$ は定数である。
2：$\mathrm{Ric}=\lambda g$ の両辺のトレースをとると $S=n\lambda$ である。$\nabla g=0$ から $g^{ab}\nabla_aR_{bj}=g^{ab}\nabla_a(\lambda g_{bj})=\nabla_j\lambda$ なので、thm-bi-contracted の 2 は $n\,d\lambda=2\,d\lambda$、すなわち $(n-2)\,d\lambda=0$ となる。$n\ge3$ なので $d\lambda=0$ で、$M$ は連結なので $\lambda$ は定数である。$\square$
2 は スカラー曲率 の命題「Schur の補題」と同じ主張で、1 も同じ命題の後半にある（そこでは 2 から導いている）。ここでは 1 を第 2 Bianchi 恒等式から直接示した。
例
$c$ を定数とし、$R(X,Y)Z=c\bigl(g(Y,Z)X-g(X,Z)Y\bigr)$ とする（定曲率 $c$ の空間の曲率。空間形）。巡回和は
$$
c\bigl(g(Y,Z)X-g(X,Z)Y+g(Z,X)Y-g(Y,X)Z+g(X,Y)Z-g(Z,Y)X\bigr)=0
$$
で、第 1 Bianchi 恒等式を満たす。$\nabla g=0$ から $\nabla R=0$ なので、第 2 Bianchi 恒等式は自明に成り立つ。Ricci テンソルは $(n-1)c\,g$、スカラー曲率は $n(n-1)c$ で、$dS=0=2\operatorname{div}\mathrm{Ric}$ である。
$n=2$ では、どちらの Bianchi 恒等式も対称性から自動的に成り立ち、新しい情報を含まない。
確かめを開く
成分 $R_{ijkl}$ が前の 2 添字と後ろの 2 添字のそれぞれで反対称なら、$0$ でない可能性があるのは $R_{1212}=-R_{2112}=-R_{1221}=R_{2121}$ だけである（Riemann曲率テンソル の系「2次元の曲率テンソル」）。第 1 恒等式の巡回和は、たとえば $R_{1212}+R_{1122}+R_{1221}=R_{1212}+0-R_{1212}=0$ で、ほかの添字でも同様である。第 2 恒等式の巡回和 $\nabla_iR_{abjk}+\nabla_jR_{abki}+\nabla_kR_{abij}$ では、$i,j,k\in\{1,2\}$ のうち 2 つが等しい。たとえば $i=j$ なら第 1 項と第 2 項は $R_{ab\,ik}$ と $R_{ab\,ki}$ の共変微分で打ち消し合い、第 3 項は $R_{ab\,ii}=0$ の共変微分である。
このため、2 次元では thm-bi-schur の証明が使えず、実際に結論も成り立たない（ex-bi-counterexamples の 3 行目）。曲面の Gauss 曲率 $K$ について $\mathrm{Ric}=Kg$、$S=2K$ で（Ricciテンソル）、thm-bi-contracted の 2 は $2\,dK=2\,dK$ という自明な式になる。
反例：条件を外すと
各行は条件を 1 つだけ外している。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 接続に捩れがない（thm-bi-first） | $\mathbb R^3$ で $\nabla_{\partial_2}\partial_3:=x^1\partial_1$、ほかの $\nabla_{\partial_i}\partial_j$ を $0$ とした接続 | $\sum_{\mathrm{cyc}}R(\partial_1,\partial_2)\partial_3=0$ |
| 補助の接続 $\nabla'$ に捩れがない（thm-bi-second の 2） | $\mathbb R^3$ の自明な直線束の接続 $ds+s\,x^1dx^2$ と、$\nabla'_{\partial_2}\partial_3:=\partial_2$、ほかを $0$ とした $\nabla'$ | $\sum_{\mathrm{cyc}}(\nabla_{\partial_1}R)(\partial_2,\partial_3)=0$ |
| $n\ge3$（thm-bi-schur の 1） | 放物面 $z=\frac12(x^2+y^2)$ | 断面曲率が定数である |
| $M$ が連結（thm-bi-schur の 1） | 半径 $1$ と半径 $2$ の 3 次元球面の非交和 | 断面曲率が定数である |
要点：1 行目は $R(\partial_1,\partial_2)\partial_3=\partial_1$ だけが残り、2 行目は $(\nabla_{\partial_2}R)(\partial_3,\partial_1)=1$ だけが残る。3 行目の放物面の Gauss 曲率 $1/(1+x^2+y^2)^2$ は定数でなく、4 行目の断面曲率は成分ごとに $1$ と $\frac14$ である。
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1 行目：座標ベクトル場は可換なので $R(\partial_i,\partial_j)=\nabla_{\partial_i}\nabla_{\partial_j}-\nabla_{\partial_j}\nabla_{\partial_i}$ である。$\nabla_{\partial_1}\partial_1=0$ から $R(\partial_1,\partial_2)\partial_3=\nabla_{\partial_1}(x^1\partial_1)-\nabla_{\partial_2}0=\partial_1$ である。$\nabla_{\partial_3}\partial_1=\nabla_{\partial_2}\partial_1=\nabla_{\partial_3}\partial_2=\nabla_{\partial_1}\partial_2=0$ から $R(\partial_2,\partial_3)\partial_1=0$、$R(\partial_3,\partial_1)\partial_2=0$ である。巡回和は $\partial_1\neq0$ である。捩率は $T(\partial_2,\partial_3)=x^1\partial_1$ で、$x^1\neq0$ の点で $0$ でない。
2 行目：ex-bi-line により $R(\partial_1,\partial_2)=1$、$R(\partial_2,\partial_1)=-1$、そのほかの $R(\partial_i,\partial_j)$ は $0$ で（数を掛ける写像とみる）、どれも定数である。$\operatorname{End}E$ は自明な直線束で、$\nabla_X\Phi=[\nabla_X,\Phi]$ は関数 $\Phi$ の微分 $X(\Phi)$ である。よって $(\nabla_XR)(Y,Z)=-R(\nabla'_XY,Z)-R(Y,\nabla'_XZ)$ で、$\nabla'$ の $0$ でない値は $\nabla'_{\partial_2}\partial_3=\partial_2$ だけなので
$$(\nabla_{\partial_1}R)(\partial_2,\partial_3)=0,\qquad(\nabla_{\partial_2}R)(\partial_3,\partial_1)=-R(\partial_2,\partial_1)=1,\qquad(\nabla_{\partial_3}R)(\partial_1,\partial_2)=0$$
であり、巡回和は $1$ である。$\nabla'$ の捩率は $T'(\partial_2,\partial_3)=\partial_2$ で $0$ でなく、巡回和は thm-bi-second の後に述べた $-\sum_{\mathrm{cyc}}R(T'(X,Y),Z)=-R(\partial_2,\partial_1)=1$ に一致する。作用素の形（thm-bi-second の 1）は $\nabla'$ を使わないので、この場合も成り立つ。
3 行目：曲面では接平面は 2 次元の部分空間 1 つだけなので、断面曲率が平面によらないという仮定はいつも満たされ、その値は Gauss 曲率である（断面曲率 の系「2次元多様体の断面曲率」と定理「Gauss の驚異の定理」）。放物面の Gauss 曲率は $K=1/(1+x^2+y^2)^2$ で（Gauss曲率 の例「平面・球面・円柱・グラフ」の (4)）、定数でない。
4 行目：半径 $a$ の球面の断面曲率は $1/a^2$ なので（空間形）、各点で断面曲率は平面によらず、値は一方の成分で $1$、他方で $\frac14$ である。各連結成分の上では定数だが、全体では定数でない。
補足
第 1 Bianchi 恒等式を 代数的 Bianchi 恒等式、第 2 を 微分 Bianchi 恒等式 ともいう。Lee18 は Riemann 多様体について、第 1 を Proposition 7.12 の (d)（pp. 202–204）、第 2 を Proposition 7.13（pp. 204–205）、縮約形を Proposition 7.18（p. 209）、Schur の補題を Proposition 7.19（p. 210）として述べる。Lee の証明は第 2 恒等式を正規座標で示しているが、この記事では接続の作用素の Jacobi 恒等式で示した（任意のベクトル束で通る）。曲率の符号を逆にとる流儀（$R(X,Y)=\nabla_Y\nabla_X-\nabla_X\nabla_Y+\nabla_{[X,Y]}$）でも、両辺が $R$ について線形なので、Bianchi 恒等式の形は変わらない。縮約形は、Ricci テンソルの縮約の位置を流儀に合わせて選べば同じ形になる（Riemann曲率テンソル の注意「符号と添字の流儀」）。
関連項目
- 前提: Riemann曲率テンソル, 接続, Lie括弧, テンソル解析
- 比較: 捩率テンソル, 曲率形式
- 次に読む: Ricciテンソル, スカラー曲率, 断面曲率, 空間形
- 応用: Einstein方程式, Chern–Weil理論
参考文献
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