正則値定理

$F(p)$ のまわりの座標近傍 $(V,\psi)$ と $p$ のまわりの座標近傍 $(U_0,\varphi_0)$ を、$\psi(F(p))=0$、$\varphi_0(p)=0$、$F(U_0)\subset V$ となるようにとる。局所表示 $\hat F:=\psi\circ F\circ\varphi_0^{-1}\colon\varphi_0(U_0)\to\mathbb{R}^n$ の Jacobi 行列 $D\hat F(0)$ は $n\times m$ 行列で階数 $n$ なので、$n$ 本の列を選ぶと正則な $n\times n$ 小行列ができる。$\varphi_0$ の成分を並べ替えても座標近傍であることは変わらないので、最初の $n$ 列からなる小行列 $A$ が正則であるとしてよい。
$C^\infty$ 級写像 $G\colon\varphi_0(U_0)\to\mathbb{R}^m$ を
$$ G(x):=\bigl(\hat F(x),\ x^{n+1},\dots,x^m\bigr) $$
で定める。$G(0)=0$ であり、Jacobi 行列はブロック表示で
$$ DG(0)=\begin{pmatrix}A&\ast\\0&I_{m-n}\end{pmatrix} $$
なので $\det DG(0)=\det A\neq0$ である。逆関数定理 の記事の定理（逆関数定理）により、$0$ を含む開集合 $W\subset\varphi_0(U_0)$ で、$G|_W$ が $W$ から開集合 $G(W)$ への微分同相写像となるものがある。
$U:=\varphi_0^{-1}(W)$、$\varphi:=G\circ\varphi_0|_U$ とおく。$\varphi$ は $U$ から開集合 $G(W)$ への微分同相写像なので、$(U,\varphi)$ は $M$ の座標近傍であり、$\varphi(p)=G(0)=0$ である。$z\in\varphi(U)$ に対し $x:=(G|_W)^{-1}(z)$ とおくと $G(x)=z$ なので、$\hat F(x)$ は $z$ の最初の $n$ 成分 $(z^1,\dots,z^n)$ に等しい。したがって
$$ \psi\circ F\circ\varphi^{-1}(z)=\hat F\bigl((G|_W)^{-1}(z)\bigr)=(z^1,\dots,z^n) $$
である。$U\subset U_0$ なので $F(U)\subset V$ である。
最後の主張：$U$ の各点 $u$ で局所表示は射影なので $\operatorname{rank}_uF=n$ であり、$U$ は $p$ を含む正則点からなる開集合である。$\square$

1 を示す。$N$ は Hausdorff 空間なので一点集合 $\{q\}$ は閉集合であり、$F$ は連続なので $S=F^{-1}(q)$ は閉集合である。$S\neq\emptyset$ とし、$p\in S$ をとる。$p$ は正則点なので $m\ge n$ であり、thm-rvt-local-form の座標近傍 $(U,\varphi)$、$(V,\psi)$ がとれる。$\psi(q)=\psi(F(p))=0$ であり、$\psi$ は単射なので、$u\in U$ について
$$ u\in S\iff F(u)=q\iff\psi(F(u))=0\iff\varphi(u)\text{ の最初の }n\text{ 成分がすべて }0 $$
である。最後の同値は局所表示が射影 $(x^1,\dots,x^m)\mapsto(x^1,\dots,x^n)$ であることによる。$\varphi$ の成分を $(x^{n+1},\dots,x^m,x^1,\dots,x^n)$ の順に並べ替えた座標近傍を $\varphi'$ とすると
$$ \varphi'(U\cap S)=\varphi'(U)\cap(\mathbb{R}^{m-n}\times\{0\}) $$
となり、$(U,\varphi')$ は $p$ のまわりの $m-n$ スライス座標である（はめ込みと埋め込み(可微分多様体) の記事の定義（部分多様体））。$p\in S$ は任意なので、$S$ は $m-n$ 次元の部分多様体である。
2 を示す。$F\circ\iota\colon S\to N$ は値 $q$ の定値写像である。定値写像の微分は $0$ である（$v\in T_pS$ と $g\in C^\infty(N)$ に対し $g\circ F\circ\iota$ は定数関数であり、導分は定数関数を $0$ に写す）。接空間 の記事の定理（連鎖律）により $dF_p\circ d\iota_p=d(F\circ\iota)_p=0$、すなわち $d\iota_p(T_pS)\subset\ker dF_p$ である。包含写像 $\iota$ は埋め込み（はめ込みと埋め込み(可微分多様体) の記事の命題（部分多様体の微分構造））なので $d\iota_p$ は単射であり、$\dim d\iota_p(T_pS)=m-n$ である。一方 $dF_p\colon T_pM\to T_qN$ は全射なので、次元定理により $\dim\ker dF_p=m-n$ である。次元が等しいので両者は一致する。$\square$

1 は、沈め込みではすべての点が正則値なので thm-rvt-main から従う。
2 を示す。部分多様体であることは各点のまわりのスライス座標の存在で決まる局所的な性質なので、$p\in F^{-1}(Z)$ の近くで示せばよい。$F(p)$ のまわりの $Z$ の $k$ スライス座標 $(V,\psi)$、$\psi=(y^1,\dots,y^n)$ をとり、$g:=(y^{k+1},\dots,y^n)\colon V\to\mathbb{R}^{n-k}$ とおく。スライス座標の定義により $V\cap Z=g^{-1}(0)$ である。$g$ は局所表示が射影なので沈め込みであり、開集合 $M':=F^{-1}(V)$ 上の写像 $g\circ F\colon M'\to\mathbb{R}^{n-k}$ は、連鎖律により $d(g\circ F)_u=dg_{F(u)}\circ dF_u$ が全射の合成なので沈め込みである。thm-rvt-main により $M'\cap F^{-1}(Z)=(g\circ F)^{-1}(0)$ は $M'$ の $m-(n-k)$ 次元の部分多様体であり、そのスライス座標は $M$ のスライス座標でもある。$\square$

1：thm-rvt-local-form の座標近傍 $(U,\varphi)$、$(V,\psi)$ をとる。$W:=\{y\in V\mid(\psi(y),0)\in\varphi(U)\}$ は、連続写像 $y\mapsto(\psi(y),0)$ による開集合 $\varphi(U)$ の逆像なので開集合であり、$\psi(F(p))=0$、$\varphi(p)=0$ より $F(p)\in W$ である。$\sigma(y):=\varphi^{-1}(\psi(y),0)$ と定めると $\sigma$ は $C^\infty$ 級で $\sigma(F(p))=\varphi^{-1}(0)=p$ であり、局所表示が射影であることから $\psi(F(\sigma(y)))=\psi(y)$、すなわち $F(\sigma(y))=y$ である。
2：$O\subset M$ を開集合、$p\in O$ とする。$F|_O$ は開部分多様体 $O$ からの沈め込みなので、1 により $F(p)$ の開近傍 $W$ と $F\circ\sigma=\mathrm{id}_W$ を満たす $\sigma\colon W\to O$ がある。$y\in W$ なら $y=F(\sigma(y))\in F(O)$ なので $W\subset F(O)$ である。よって $F(O)$ は開集合である。
3：$y\in N$ とし、全射性により $F(p)=y$ となる $p$ をとる。1 の局所切断 $\sigma\colon W\to M$ について、$W$ 上で $G=G\circ F\circ\sigma$ であり、右辺は $C^\infty$ 級写像の合成なので $C^\infty$ 級である。$C^\infty$ 級であることは各点の近くで確かめればよいので、$G$ は $C^\infty$ 級である。$\square$