標準基底

1：$P\in GL_n(K)$ の列 $Pe_1,\dots,Pe_n$ は $K^n$ の基底をなす（正則行列 の記事の定理「正則性の同値条件」の 1 と 8 の同値）。よって写像は定義されている。単射であること：$(Pe_j)_j=(Qe_j)_j$ なら $P$ と $Q$ は列がすべて等しいので $P=Q$ である（ex-sb-entries）。全射であること：基底 $(v_1,\dots,v_n)$ に対し $P:=(v_1\ \cdots\ v_n)$ とおくと、$Pe_j=v_j$ であり（ex-sb-entries）、列が基底をなすので同じ定理の 8 から 1 により $P$ は正則である。この $P$ が逆写像の値である。
2：$x=\sum_jc_jv_j$ と書くと、$c=(c_1,\dots,c_n)^{\top}$ として
$$ x=\sum_jc_jPe_j=P\Bigl(\sum_jc_je_j\Bigr)=Pc $$
である。$P$ は正則なので $c=P^{-1}x$ である。座標 $c$ は $x$ から一意に定まる（基底の線形独立性）ので、$\varphi_v(x)=P^{-1}x$ である。
3：1 により $v_j=Pe_j$、$u_j=Qe_j$ となる $P,Q\in GL_n(K)$ がある。$g:=QP^{-1}$ は正則で、$gv_j=QP^{-1}Pe_j=Qe_j=u_j$ を満たす。一意性：$g,g'$ がともに条件を満たせば $(g-g')v_j=0$（$j=1,\dots,n$）であり、$v_1,\dots,v_n$ は $K^n$ を生成するので、任意の $x=\sum_jc_jv_j$ について $(g-g')x=\sum_jc_j(g-g')v_j=0$ である。よって $g=g'$ である。$\square$

1：置換行列 $P_\sigma$ は $e_j$ を $e_{\sigma(j)}$ に写し、$\sigma$ は全単射なので、集合 $\{e_1,\dots,e_n\}$ をそれ自身に写す。逆に $g$ が集合 $\{e_1,\dots,e_n\}$ をそれ自身に写すとし、$ge_j=e_{\sigma(j)}$ で写像 $\sigma\colon\{1,\dots,n\}\to\{1,\dots,n\}$ を定める。$g$ は単射なので $\sigma$ も単射であり、有限集合の自己写像なので全単射、すなわち置換である。$g$ と $P_\sigma$ は各 $e_j$ で同じ値をとり、行列は列で決まる（ex-sb-entries）ので $g=P_\sigma$ である。また $P_\sigma P_\tau e_j=P_\sigma e_{\tau(j)}=e_{\sigma(\tau(j))}=P_{\sigma\tau}e_j$ から $P_\sigma P_\tau=P_{\sigma\tau}$ であり、$P_{\mathrm{id}}=I_n$ である。よって $\sigma\mapsto P_\sigma$ は群の準同型 $S_n\to GL_n(K)$ で、$P_\sigma=I_n$ なら $e_{\sigma(j)}=e_j$ から $\sigma=\mathrm{id}$ なので単射である。その像が置換行列の全体である。
2：$g$ は単射なので $ge_j\ne0$ であり、$g(Ke_j)=K\,ge_j$ は直線である。$g$ が直線の集合をそれ自身に写すとし、$g(Ke_j)=Ke_{\sigma(j)}$ で $\sigma$ を定める。$g(Ke_j)=g(Ke_k)$ なら $g^{-1}$ を施して $Ke_j=Ke_k$、すなわち $j=k$ なので、$\sigma$ は単射であり置換である。$ge_j\in Ke_{\sigma(j)}$ かつ $ge_j\ne0$ なので、$ge_j=d_je_{\sigma(j)}$（$d_j\ne0$）と書ける。$D:=\mathrm{diag}(d_1,\dots,d_n)$ とおくと $P_\sigma De_j=d_jP_\sigma e_j=d_je_{\sigma(j)}=ge_j$ なので、$g=P_\sigma D$ である。この行列の $(i,j)$ 成分は $d_j\delta_{i,\sigma(j)}$ で、第 $j$ 列は第 $\sigma(j)$ 行だけ、第 $i$ 行は第 $\sigma^{-1}(i)$ 列だけが $0$ でないので、単項行列である。逆に $g$ が単項行列なら、第 $j$ 列の $0$ でない成分の行を $\sigma(j)$、その値を $d_j$ とすると、各行にも $0$ でない成分がちょうど 1 つなので $\sigma$ は置換で、$ge_j=d_je_{\sigma(j)}$ から $g(Ke_j)=Ke_{\sigma(j)}$ である。
3：2 の記号で、各 $Ke_j$ を保つことは $\sigma=\mathrm{id}$、すなわち $g=D$ であることと同値である。$\square$

1：$x=\sum_jx_je_j$ なら $P_\sigma x=\sum_jx_je_{\sigma(j)}$ であり、$P_\sigma x$ の成分は $x$ の成分を並べ替えたものなので、成分の和は変わらない。よって $P_\sigma(W)\subset W$ である。$\sigma^{-1}$ についても同じなので $W=P_\sigma P_{\sigma^{-1}}(W)\subset P_\sigma(W)$ であり、$P_\sigma(W)=W$ である。
2：そのような基底 $B=\{w_1,w_2\}$（$w_1\ne w_2$）があったとして矛盾を導く。$\tau$ を巡回置換 $1\mapsto2\mapsto3\mapsto1$ とし、$c:=P_\tau$ とおく。仮定により $c$ は 2 元集合 $B$ の並べ替え $\pi$ を引き起こし、$c^3=P_{\tau^3}=I_3$ なので $\pi^3=\mathrm{id}$ である。2 元集合の並べ替えは $\pi^2=\mathrm{id}$ を満たすので、$\pi=\pi^3(\pi^2)^{-1}=\mathrm{id}$ である。したがって $cw_1=w_1$ かつ $cw_2=w_2$ である。
$cx=x$ を満たす $x\in K^3$ を求める。$cx=x_1e_2+x_2e_3+x_3e_1=(x_3,x_1,x_2)^{\top}$ なので、$cx=x$ は $x_1=x_2=x_3$ と同値であり、$x=t(1,1,1)^{\top}$（$t\in K$）である。よって $w_1,w_2$ はどちらも $(1,1,1)^{\top}$ の定数倍であり、線形独立でない。これは $\{w_1,w_2\}$ が基底であることに反する。$\square$

1：$x\in K^{(I)}$ とし、$x(i)\ne0$ となる $i$ の全体を $S$（有限集合）とする。$y:=\sum_{i\in S}x(i)e_i$ の $j$ での値は $\sum_{i\in S}x(i)\delta_{ij}$ で、$j\in S$ なら $x(j)$、$j\notin S$ なら $0=x(j)$ である。よって $x=y$ であり、$(e_i)$ は $K^{(I)}$ を生成する。線形独立であること：相異なる $i_1,\dots,i_r$ について $\sum_kc_ke_{i_k}=0$ なら、$i_l$ での値をとって $c_l=0$ である。
2：$K^I$ の中の線形独立性は 1 と同じ計算で分かる。線形包は $e_i$ の有限個の線形結合の全体であり、有限個の $e_i$ の線形結合は有限個の点でしか $0$ でない値をとらないので $K^{(I)}$ に含まれる。逆の包含は 1 による。$I$ が無限集合なら、定数写像 $\mathbf{1}(i)=1$ はすべての点で $0$ でないので $K^{(I)}$ に入らず、$K^{(I)}\ne K^I$ である。よって $(e_i)$ は $K^I$ を生成せず、基底ではない。$\square$