平均値の定理の使い方

同義語：techniques of the mean value theorem

概要

前提知識: 微分係数と導関数の定義（高校数学）, 連続関数, 最大値・最小値の定理, 中間値の定理, 指数関数, 対数関数, 三角関数

平均値の定理とは

高校の数学 III で習う平均値の定理は、「グラフ上の 2 点を結ぶ弦の傾きは、その間のどこかの点での接線の傾きに等しい」という主張である。車の走行でいえば、「1 時間に 60 km 進んだなら、途中のどこかで速度計がちょうど 60 km/h を指した瞬間がある」ということになる。本記事は、この定理から生まれる技を扱う記事への案内である。定理と例をここで述べ、証明はそれぞれの記事に任せる。

平均値の定理（Lagrange の形）

$a< b$ とし、実数値関数 $f$ は閉区間 $[a,b]$ で連続、開区間 $(a,b)$ で微分可能とする。このとき
$$ f(b)-f(a)=f'(c)(b-a) $$
となる $c\in(a,b)$ が存在する。

証明の所在

証明は平均値の定理による差の評価の記事にある。「内部の最大点では接線が水平」という補題と最大値・最小値の定理から Rolle の定理（$f(a)=f(b)$ なら $f'(c)=0$ となる $c\in(a,b)$ がある）を示し、$f$ から弦の傾きの 1 次関数を引いて Rolle の定理に帰着する。

c を求める例と、求めずに使う例

$f(x)=x^2$、$[a,b]=[1,3]$：弦の傾きは $\frac{9-1}{3-1}=4$、$f'(c)=2c=4$ から $c=2$。この場合は $c$ が求まる。
$f(x)=\log x$、$[a,b]=[1,2]$：$\log2-\log1=\frac1c$（$1< c<2$）である。$c$ の値はわからないが、$\frac12<\frac1c<1$ なので $\frac12<\log2<1$ が得られる。実際 $\log2=0.6931\ldots$ である。

2 つ目の例のように、$c$ の値を求めずに、$c$ が $a$ と $b$ の間にあることだけを使うのが、平均値の定理を「技」として使うときの原理である。等式 $f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$ の $f'(c)$ を、$c$ の動く範囲で上下から押さえると、等式が不等式に変わる。

3 つの技

平均値の定理から生まれる技は、次の 3 つに整理できる。

技	形	何に使うか	記事
差を導関数で書く	$f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$	不等式、近似値の見積もり	平均値の定理による差の評価
差の縮みを導関数で書く	$a_{n+1}-\alpha=f'(c)(a_n-\alpha)$	漸化式の収束	縮小写像と漸化式
比を導関数の比で書く	$\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}$	$\frac00$ の形の極限	l'Hôpitalの定理（高校数学）
誤差を高階導関数で書く（既存の記事）	誤差 $=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$	近似の誤差の保証	関数の近似とテイラー展開

4 行目の Taylor の定理は、既存の記事で扱っている。

3 つの技の小さな例

差の評価：$\sqrt x$ に $[100,101]$ で平均値の定理を使うと $\sqrt{101}-10=\frac1{2\sqrt c}$（$100< c<101$）で、$10<\sqrt c<11$ から $10+\frac1{22}<\sqrt{101}<10+\frac1{20}$。実際 $\sqrt{101}=10.0498\ldots$ である。
漸化式：$a_0=1$、$a_{n+1}=\cos a_n$ とする。$\cos$ は $[0,1]$ を $[\cos1,1]\subset[0,1]$ に写し（$\cos1=0.540\ldots$）、$[0,1]$ で $|(\cos x)'|=\sin x\le\sin1=0.841\ldots$ なので、$\cos\alpha=\alpha$ の解 $\alpha=0.739\ldots$ との差は 1 回ごとに $0.842$ 倍以下になり、$a_n\to\alpha$ である。
極限：$\frac{e^x-1-x}{x^2}$ は $x\to0$ で $\frac00$ の形である。分母・分子の導関数の比 $\frac{e^x-1}{2x}$ が $\frac12$ に近づくので、元の極限も $\frac12$ である（$x=0.1$ で $0.5170\ldots$）。こうしてよい条件は ③ で確かめる。

高校の計算と大学の概念

高校の計算	大学の概念	記事
$f'>0$ なら増加、$f'=0$ なら定数	平均値の定理の帰結（区間であることが必要）	平均値の定理による差の評価
$\log$、$\sqrt{\ }$、$\sin$ の値の見積もり	導関数の範囲による差の評価（Lipschitz 評価）	平均値の定理による差の評価
漸化式の極限を $\alpha=f(\alpha)$ で求める	縮小写像の不動点	縮小写像と漸化式
分母・分子を微分して極限を求める	Cauchy の平均値の定理と l'Hôpital の定理	l'Hôpitalの定理（高校数学）
近似式 $\sin x\approx x-\frac{x^3}6$	Lagrange の剰余項	関数の近似とテイラー展開

読む順番

図1：3 つの技の記事を読む順番
最初に ① を読む。② と ③ は ① だけを前提にしているので、どちらを先に読んでもよい。
① 平均値の定理による差の評価：Rolle の定理と平均値の定理を証明し、「$f'=0$ なら定数」「$|f'|\le M$ なら $|f(x)-f(y)|\le M|x-y|$」を導く。$\log$ の差、調和数 $1+\frac12+\cdots+\frac1n$ と $\log n$、$\sqrt{101}$、$\cos x\ge1-\frac{x^2}2$ などを評価し、仮定を外した 4 つの反例を見る。
② 縮小写像と漸化式：$f$ が有界な閉区間 $I$ を $I$ に写し、$I$ 上で $|f'|\le k<1$ なら、$a_{n+1}=f(a_n)$（$a_0\in I$）は $f(\alpha)=\alpha$ の $I$ の中のただ 1 つの解 $\alpha$ に近づき、差は $k^n$ で押さえられることを示す。$\alpha$ を知らなくても使える誤差の評価も導く。
③ l'Hôpitalの定理（高校数学）：Cauchy の平均値の定理から l'Hôpital の定理を証明し、「分母・分子を微分してよい」条件をはっきりさせる。条件を外すと答えが変わる例、逆向きに使う誤り、循環論法の注意を見る。

どの疑問にどの記事が答えるか

疑問	答える記事
平均値の定理はなぜ成り立つのか	①
$f'>0$ なのに増加しない関数はあるか	①（定義域が区間でない例）
$\log2$ や $\sqrt{101}$ を、電卓なしで挟めるか	①
漸化式の極限の候補を求めたが、本当に近づくのか	②
何回くり返せば、誤差が $0.001$ 未満になるか	②
分母・分子を微分してよいのはいつか	③
$\lim\frac{\sin x}x$ に l'Hôpital の定理を使ってよいか	③（循環論法になる）

反例：微分できない点があると平均値の定理は成り立たないことがある

$f(x)=|x|$ を $[-1,2]$ で考えると、弦の傾きは $\frac{2-1}{2-(-1)}=\frac13$ だが、$x\ne0$ での $f'$ の値は $1$ か $-1$ だけで、$\frac13$ になる点はない。$x=0$ で微分できないので「$(a,b)$ で微分可能」という仮定を満たしていない。ほかの仮定（端点での連続性、定義域が区間であること、値が実数であること）を外した反例は平均値の定理による差の評価で見る。

さらに先へ

多変数。 平面や空間の関数でも、2 点を結ぶ線分の上で 1 変数の平均値の定理を使うことができる（偏微分）。
不動点定理。 ② の結果は、Banachの不動点定理の特別な場合である。
導関数の性質。 導関数は連続とは限らないが、中間値の性質はもつ（Darbouxの定理）。③ の反例に現れる。