Titsの建物

存在は (B2) で $A=C$ とすればよい。一意性：$\Sigma'$ は (B0) により Coxeter 複体と同型なので薄い部屋複体であり（Coxeter複体 の定理「Coxeter複体は薄い部屋複体」）、$\Sigma$ と $\Sigma'$ は部屋 $C$ を共有するので階数が等しい。単体複体の同型は部屋を部屋に、隣接する 2 つの部屋を異なる部屋に写すので、非退化な部屋複体の射である。$C$ の各頂点で一致する 2 つの同型は、Coxeter複体 の補題「一意性補題」により等しい。
$A$ を $\Sigma\cap\Sigma'$ の単体とすると、(B2) により $A$ と $C$ の各頂点を固定する同型 $\varphi_A\colon\Sigma\to\Sigma'$ がある。$\varphi_A$ も $C$ の各頂点を固定するので、一意性から $\varphi_A=\varphi$ であり、$\varphi$ は $A$ の各頂点を固定する。$\square$

段 1：アパートメントの形（(B0)）。 枠 $F=\{\ell_1,\dots,\ell_n\}$ について $0$ でない $v_i\in\ell_i$ をとると $V$ の基底になり、$\ell_I$ は $I$ の外の座標が $0$ のベクトルの全体である。よって $\dim\ell_I=\lvert I\rvert$、$\ell_I\cap\ell_J=\ell_{I\cap J}$ であり、$\ell_I\subset\ell_J$ と $I\subset J$ は同値である。したがって $I\mapsto\ell_I$ は、$\{1,\dots,n\}$ の空でない真部分集合の全体から $\Sigma_F$ の頂点の全体への順序を保つ全単射で、$\Sigma_F$ は「空でない真部分集合の包含の鎖」のなす単体複体と同型である。Coxeter複体 の例「対称群のCoxeter複体」により、これは $\Sigma(S_n,S)$ と同型である。$\Sigma_F$ の部屋は、$F$ の直線の並べ方 $(\ell_{\pi(1)},\dots,\ell_{\pi(n)})$ ごとの完全旗 $\ell_{\pi(1)}\subset\ell_{\pi(1)}\oplus\ell_{\pi(2)}\subset\cdots$ であり、$\Delta(V)$ の部屋である。
段 2：(B1)。 $e_1,\dots,e_n$ を $V$ の基底、$C_0$ を完全旗 $\langle e_1\rangle\subset\langle e_1,e_2\rangle\subset\cdots$、$F_0:=\{Ke_1,\dots,Ke_n\}$ とする。完全旗は、それに沿う基底（$V_i$ が最初の $i$ 個で張られる基底）をとれば $gC_0$ の形に書ける。$C_0$ の固定部分群は可逆な上三角行列の群 $B$ であり、置換行列は $F_0$ の直線を入れ替えるので $\Sigma_{F_0}$ を保つ。2 つの完全旗 $C=gC_0$、$D=hC_0$ をとる。Bruhat分解 の定理「一般線形群の Bruhat 分解」により $g^{-1}h=bwb'$（$b,b'\in B$、$w$ は置換行列）と書ける。アパートメント $\Sigma_{gbF_0}=gb\,\Sigma_{F_0}$ は $gbC_0=gC_0=C$ と $gbwC_0=gbwb'C_0=hC_0=D$ を含む。任意の 2 つの単体は部屋の面で、アパートメントは部分複体なので、それらを含む部屋 $C,D$ を含むアパートメントに含まれる。とくに任意の 2 つの部屋は部屋複体 $\Sigma_F$ の中で回廊で結ばれ、$\Delta(V)$ は部屋複体である。
段 3：(B2)。 $\Sigma_F$ と $\Sigma_{F'}$ が部屋 $C=(V_1\subset\cdots\subset V_{n-1})$ を共通に含むとする。段 1 により各 $V_k$ は $\ell_{I_k}$（$\lvert I_k\rvert=k$、$I_1\subset I_2\subset\cdots$）と書けるので、$F$ の番号を付け替えて $V_k=\ell_1\oplus\cdots\oplus\ell_k$ とし、$F'$ も同様に $V_k=\ell'_1\oplus\cdots\oplus\ell'_k$ とする。$\varphi(\ell_I):=\ell'_I$ は段 1 の同型を 2 つ合成したもので、同型 $\Sigma_F\to\Sigma_{F'}$ であり、$C$ の各頂点を固定する。$U$ を $\Sigma_F\cap\Sigma_{F'}$ の頂点とし、$U=\ell_I=\ell'_J$ と書く。各 $k$ について $U\cap V_k=\ell_{I\cap\{1,\dots,k\}}=\ell'_{J\cap\{1,\dots,k\}}$ なので、次元を比べて $\lvert I\cap\{1,\dots,k\}\rvert=\lvert J\cap\{1,\dots,k\}\rvert$ であり、$k$ を $1$ から順に動かすと $I=J$ を得る。よって $\varphi(U)=\ell'_I=U$ であり、$\varphi$ は $\Sigma_F\cap\Sigma_{F'}$ の各頂点を固定する。とくに (B2) が成り立つ。
段 4：厚さ。 部屋 $C$ から $V_j$ を除いた壁面を含む部屋は、$V_{j-1}\subset U\subset V_{j+1}$（$V_0=0$、$V_n=V$）となる $j$ 次元部分空間 $U$ と 1 対 1 に対応し、それは 2 次元空間 $V_{j+1}/V_{j-1}$ の 1 次元部分空間、すなわち 射影直線 $\mathbb{P}^1(K)$ の点と対応する。その個数は $q$ 元体で $q+1\ge3$、無限体で無限である。
段 5：推移性。 $\Sigma_F$ の部屋 $C$ は、$\ell_k$ を「$V_k$ に含まれ $V_{k-1}$ に含まれない $F$ の唯一の直線」とすることで $F$ の並べ方を定め、逆に並べ方は部屋を定める。2 つの組 $(\Sigma_F,C)$、$(\Sigma_{F'},C')$ について、並べた直線 $\ell_k$、$\ell'_k$ から $0$ でない $v_k\in\ell_k$、$v'_k\in\ell'_k$ をとり、$g(v_k)=v'_k$ で $g\in\mathrm{GL}(V)$ を定めると、$gF=F'$、$gC=C'$ である。$\square$

$g$ が $C_0$ を固定することは $g\langle e_1,\dots,e_i\rangle=\langle e_1,\dots,e_i\rangle$（すべての $i$）と同値で、これは上三角であることと同値である。$\Sigma_F$ の 1 次元の頂点はちょうど $F$ の直線なので、$g\Sigma_{F_0}=\Sigma_{gF_0}$ が $\Sigma_{F_0}$ に等しいことは $gF_0=F_0$、すなわち $g$ が直線 $Ke_i$ を置換することと同値で、これは単項行列であることと同値である。上三角な単項行列は対角行列である。$g\in N$ に直線の置換を対応させる準同型 $N\to S_n$ は置換行列があるので全射で、核は各直線を保つ行列、すなわち $T$ である。$\Sigma_{F_0}$ の部屋は直線の並べ方と 1 対 1 に対応する（prf-bld-vector の段 5）ので、$S_n$ は部屋に単純推移的に作用する。$\square$