双心四角形

1 辺が $2$ の正方形では、外接円と内接円の中心はどちらも正方形の中心で、$d=0$ である。外接円の半径は対角線の半分で $R=\sqrt2$、内接円の半径は辺の半分で $r=1$ である。
$$ \frac1{R^2}+\frac1{R^2}=\frac12+\frac12=1=\frac1{r^2} $$
が成り立つ。

$A(0,0)$、$B\left(\dfrac95,\dfrac{12}5\right)$、$C(5,0)$、$D\left(\dfrac95,-\dfrac{12}5\right)$ を頂点とする四角形 $ABCD$ を考える。
(1) 辺の長さ。$AB^2=\dfrac{81}{25}+\dfrac{144}{25}=9$、$CB^2=\dfrac{256}{25}+\dfrac{144}{25}=16$ で、$AB=AD=3$、$CB=CD=4$ の凧形である。
(2) 外接円。$AB^2+BC^2=9+16=25=AC^2$ なので、三平方の定理の逆から $\angle B=90^\circ$ である。同じく $\angle D=90^\circ$ で、$\angle B+\angle D=180^\circ$ なので円に内接する。外接円は $AC$ を直径とする円で、中心 $O\left(\dfrac52,0\right)$、半径 $R=\dfrac52$ である。
(3) 内接円。$AB+CD=3+4=BC+DA$ なので、Pitotの定理 により内接円がある。中心 $I$ は対称軸（$x$ 軸）の上にあり、直線 $AB$（$4x-3y=0$）までの距離と直線 $BC$（$3x+4y-15=0$）までの距離が等しい点を $0< x<5$ で探すと、$\dfrac{4x}5=\dfrac{15-3x}5$ より $x=\dfrac{15}7$ である。$I\left(\dfrac{15}7,0\right)$、$r=\dfrac45\cdot\dfrac{15}7=\dfrac{12}7$ である。
(4) 中心間の距離は $d=\dfrac52-\dfrac{15}7=\dfrac5{14}$ で、
$$ R-d=\frac{35-5}{14}=\frac{15}7,\qquad R+d=\frac{35+5}{14}=\frac{20}7 $$
である。
$$ \frac1{(R-d)^2}+\frac1{(R+d)^2}=\frac{49}{225}+\frac{49}{400}=49\cdot\frac{16+9}{3600}=\frac{49}{144}=\frac1{r^2} $$
が成り立つ。

$A(-4,0)$、$B(4,0)$、$C(1,4)$、$D(-1,4)$ を頂点とする等脚台形を考える。辺の長さは $AB=8$、$BC=\sqrt{9+16}=5$、$CD=2$、$DA=5$ である。
(1) 外接円。等脚台形は $y$ 軸について対称なので、外接円の中心は $y$ 軸の上の点 $(0,k)$ である。$A$ と $D$ から等距離という条件は $16+k^2=1+(4-k)^2$ で、展開すると $16+k^2=17-8k+k^2$、$k=\dfrac18$ である。$O\left(0,\dfrac18\right)$、$R^2=16+\dfrac1{64}=\dfrac{1025}{64}$ で、対称性から $B$、$C$ もこの円の上にある。
(2) 内接円。$AB+CD=8+2=10=BC+DA$ なので、Pitotの定理 により内接円がある。上底と下底の間隔 $4$ が直径なので $r=2$、中心は $I(0,2)$ である。直線 $BC$（$4x+3y-16=0$）までの距離も $\dfrac{\lvert 0+6-16\rvert}5=2$ で、確かに接する。
(3) 中心間の距離は $d=2-\dfrac18=\dfrac{15}8$ で、
$$ R^2-d^2=\frac{1025-225}{64}=\frac{25}2,\qquad R^2+d^2=\frac{1025+225}{64}=\frac{625}{32} $$
である。$(R^2-d^2)^2=\dfrac{625}4$、$2r^2(R^2+d^2)=8\cdot\dfrac{625}{32}=\dfrac{625}4$ で等しい。

ex-bic-trapezoid の等脚台形で、$A(-4,0)$、$C(1,4)$、$I(0,2)$、$O\left(0,\dfrac18\right)$ とする。
(1) 段 1。$IA^2=16+4=20$、$IC^2=1+4=5$ で、$\dfrac1{20}+\dfrac15=\dfrac14=\dfrac1{r^2}$ である。
(2) lem-bic-diameter。直線 $AI$ は $y=\dfrac x2+2$ で、外接円 $x^2+\left(y-\dfrac18\right)^2=\dfrac{1025}{64}$ と $A$ 以外に $K\left(\dfrac52,\dfrac{13}4\right)$ で交わる。直線 $CI$ は $y=2x+2$ で、$C$ 以外に $L\left(-\dfrac52,-3\right)$ で交わる。$K$ と $L$ の中点は $\left(0,\dfrac{\frac{13}4-3}2\right)=\left(0,\dfrac18\right)=O$ で、$KL$ は直径である。
(3) 段 2。$IK^2=\dfrac{25}4+\dfrac{25}{16}=\dfrac{125}{16}$、$IL^2=\dfrac{25}4+25=\dfrac{125}4$ で、$IA\cdot IK=\sqrt{20\cdot\dfrac{125}{16}}=\dfrac{50}4=\dfrac{25}2$、$IC\cdot IL=\sqrt{5\cdot\dfrac{125}4}=\dfrac{25}2$ で、どちらも $R^2-d^2=\dfrac{25}2$ に等しい。
(4) 段 3。$IK^2+IL^2=\dfrac{125}{16}+\dfrac{500}{16}=\dfrac{625}{16}$、$2(R^2+d^2)=2\cdot\dfrac{625}{32}=\dfrac{625}{16}$ である。

1. ex-bic-trapezoid の等脚台形：辺は $8,5,2,5$ で $\sqrt{8\cdot5\cdot2\cdot5}=\sqrt{400}=20$、台形の公式では $\dfrac{(8+2)\cdot4}2=20$ である。
2. ex-bic-kite の凧形：辺は $3,4,4,3$ で $\sqrt{3\cdot4\cdot4\cdot3}=12$、直角三角形 2 つに分けると $2\cdot\dfrac{3\cdot4}2=12$ である。
3. 円に外接する四角形の面積は「内接円の半径 $\times$ 周の長さの半分」でもある（Pitotの定理）。凧形では $\dfrac{12}7\cdot7=12$ で一致する。

1. 縦 $2$、横 $4$ の長方形は、向かい合う角の和が $90^\circ+90^\circ=180^\circ$ なので外接円をもつ（中心は対角線の交点、半径 $\sqrt5$）。しかし向かい合う辺の和は $4+4=8$ と $2+2=4$ で等しくないので、Pitotの定理 により内接円をもたない。prop-bic-criterion の条件 (ii) が成り立たない。
2. 対角線の長さが $4$ と $3$ のひし形（頂点 $(\pm2,0)$、$(0,\pm1.5)$）は、辺がすべて $2.5$ なので内接円をもつ（中心は原点、半径は $\dfrac{2\cdot1.5}{2.5}=1.2$）。しかし向かい合う角は等しく、和が $180^\circ$ になるのは $90^\circ$ ずつのときだけなので、正方形でないひし形は外接円をもたない。条件 (i) が成り立たない。

同心の 2 円で、外側の半径が $R=3$、内側の半径が $r=2$ とする（$d=0$）。
$$ \frac1{(R-d)^2}+\frac1{(R+d)^2}=\frac19+\frac19=\frac29,\qquad\frac1{r^2}=\frac14 $$
で、$\dfrac29\ne\dfrac14$ である。thm-bic-fuss の対偶により、この 2 円を外接円・内接円とする四角形はない。実際、外側の円の弦で内側の円に接するものは中心から $2$ の距離にあり、長さ $2\sqrt{9-4}=2\sqrt5$、中心角 $\theta$ は $\cos\dfrac\theta2=\dfrac23$ を満たして $\theta\approx96.4^\circ$ である。4 本つなぐと約 $385.5^\circ$ になって $360^\circ$ にならず、四角形として閉じない。cor-bic-ineq で見たとおり、$d=0$ の双心四角形は正方形で、内側の半径は $r=\dfrac R{\sqrt2}=\dfrac3{\sqrt2}\approx2.12$ でなければならない。