Engel形の不等式

実数 $x_1,x_2$ と正の数 $y_1,y_2$ について
$$ \frac{x_1^2}{y_1}+\frac{x_2^2}{y_2}\ge\frac{(x_1+x_2)^2}{y_1+y_2} $$
を示す。左辺から右辺を引いて通分すると、分子は
$$ x_1^2y_2(y_1+y_2)+x_2^2y_1(y_1+y_2)-(x_1+x_2)^2y_1y_2=x_1^2y_2^2+x_2^2y_1^2-2x_1x_2y_1y_2=(x_1y_2-x_2y_1)^2 $$
となり（$x_1^2y_1y_2$ と $x_2^2y_1y_2$ の項が打ち消し合う）、
$$ \frac{x_1^2}{y_1}+\frac{x_2^2}{y_2}-\frac{(x_1+x_2)^2}{y_1+y_2}=\frac{(x_1y_2-x_2y_1)^2}{y_1y_2(y_1+y_2)}\ge0 $$
である。分母は正、分子は 2 乗なので $0$ 以上である。等号は $x_1y_2=x_2y_1$、すなわち $\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}$ のときに限る。
数で確かめると、$x=(1,2)$、$y=(1,3)$ では左辺 $1+\frac43=\frac73$、右辺 $\frac{3^2}4=\frac94$ で、差は $\frac73-\frac94=\frac1{12}$ である。式の右辺も $\frac{(1\cdot3-2\cdot1)^2}{1\cdot3\cdot4}=\frac1{12}$ で一致する。

正の数 $x,y$ が $x+y=1$ を満たすとき、$\frac1x+\frac4y$ の最小値を求める。ex-efi-two-terms を分子 $1,2$、分母 $x,y$ に使うと
$$ \frac{1^2}x+\frac{2^2}y\ge\frac{(1+2)^2}{x+y}=9 $$
である。等号は $\frac1x=\frac2y$、すなわち $y=2x$ のときで、$x+y=1$ と合わせて $x=\frac13$、$y=\frac23$ である。このとき $3+6=9$ なので、最小値は $9$ である。

ex-efi-two-terms の $x=(1,2)$、$y=(1,3)$ で、
$$ Q(t)=1\cdot(t-1)^2+3\Bigl(t-\frac23\Bigr)^2=4t^2-6t+\frac73 $$
である。$t_0=\frac{1+2}{1+3}=\frac34$ で最小になり、$Q\bigl(\frac34\bigr)=4\cdot\frac9{16}-6\cdot\frac34+\frac73=\frac94-\frac92+\frac73=\frac1{12}$ である。これは ex-efi-two-terms で求めた差 $\frac1{12}$ と一致する（図 1）。2 つの比 $1$ と $\frac23$ が違うので、$Q(t)$ はどの $t$ でも $0$ にならず、等号は成り立たない。

正の数 $x,y,z$ が $x+y+z=1$ を満たすとき、$\frac1x+\frac4y+\frac9z$ の最小値を求める。prop-efi-engel を分子 $1,2,3$、分母 $x,y,z$ に使うと
$$ \frac{1^2}x+\frac{2^2}y+\frac{3^2}z\ge\frac{(1+2+3)^2}{x+y+z}=36 $$
である。等号は $\frac1x=\frac2y=\frac3z$ のとき、つまり $(x,y,z)$ が $(1,2,3)$ に比例するときで、$x+y+z=1$ と合わせて $(x,y,z)=\bigl(\frac16,\frac13,\frac12\bigr)$ である。このとき $6+12+18=36$ なので、最小値は $36$ である。

正の数 $a,b,c$ について $(a+b+c)\bigl(\frac1a+\frac1b+\frac1c\bigr)\ge9$ を示す。prop-efi-engel を分子 $1,1,1$、分母 $a,b,c$ に使うと
$$ \frac{1^2}a+\frac{1^2}b+\frac{1^2}c\ge\frac{(1+1+1)^2}{a+b+c}=\frac9{a+b+c} $$
であり、両辺に $a+b+c>0$ を掛ければよい。等号は $\frac1a=\frac1b=\frac1c$、すなわち $a=b=c$ のときに限る。$a,b,c=1,2,3$ では左辺は $6\cdot\frac{11}6=11\ge9$ である。

正の数 $a,b$ について $\frac{a^2}b+\frac{b^2}a\ge a+b$ を示す。prop-efi-engel から
$$ \frac{a^2}b+\frac{b^2}a\ge\frac{(a+b)^2}{b+a}=a+b $$
である。等号は $\frac ab=\frac ba$、すなわち $a=b$ のときに限る（$a,b>0$ なので $a^2=b^2$ から $a=b$）。$a=1$、$b=2$ では左辺 $\frac12+4=\frac92$、右辺 $3$ である。

正の数 $a,b,c$ について $\frac a{b+c}+\frac b{c+a}+\frac c{a+b}\ge\frac32$ を示す。分子と分母に $a$ などを掛けて、分子を 2 乗の形にする：
$$ \frac a{b+c}+\frac b{c+a}+\frac c{a+b}=\frac{a^2}{a(b+c)}+\frac{b^2}{b(c+a)}+\frac{c^2}{c(a+b)}\ge\frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)} $$
である（分母の和は $a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)=2(ab+bc+ca)$）。さらに
$$ (a+b+c)^2-3(ab+bc+ca)=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=\frac12\bigl\{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\bigr\}\ge0 $$
なので $(a+b+c)^2\ge3(ab+bc+ca)$ であり、右辺は $\frac{3(ab+bc+ca)}{2(ab+bc+ca)}=\frac32$ 以上である。等号は、Engel 形の等号条件（比 $\frac a{a(b+c)}=\frac1{b+c}$ などがそろう、つまり $b+c=c+a=a+b$）と $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0$ がともに成り立つとき、すなわち $a=b=c$ のときに限る。$a=b=c=1$ では左辺は $3\cdot\frac12=\frac32$ である。$a,b,c=1,2,3$ では左辺 $\frac15+\frac24+\frac33=1.7$、途中の値 $\frac{36}{22}=1.63\ldots$ で、$1.7\ge1.63\ldots\ge1.5$ となっている。

$x=(1,1)$、$y=\bigl(1,-\frac12\bigr)$ とする。$y_1+y_2=\frac12>0$ だが、$y_2<0$ である。左辺は $\frac11+\frac1{-1/2}=1-2=-1$、右辺は $\frac{(1+1)^2}{1/2}=8$ で、$-1\ge8$ は成り立たない。満たす性質は「分母の和が正」、満たさない性質は「各分母が正」である。prop-efi-engel の証明では、各項 $y_i\bigl(t-\frac{x_i}{y_i}\bigr)^2$ が $0$ 以上であることを使ったが、$y_2<0$ だとこの項は $0$ 以下になり（$t\ne\frac{x_2}{y_2}$ で負）、$Q(t)\ge0$ が崩れる。ただし、分母に負の数があっても不等式が成り立つ場合はある。たとえば $x=(1,1)$、$y=(1,-3)$ では、左辺 $1-\frac13=\frac23$、右辺 $\frac{(1+1)^2}{1-3}=-2$ で成り立つ。反例 1 つが示すのは「成り立つとは限らない」ことである。

正の実数 $a,b,c$ が $abc=1$ を満たすとき、
$$ \frac1{a^3(b+c)}+\frac1{b^3(c+a)}+\frac1{c^3(a+b)}\ge\frac32 $$
を証明せよ。
出典：国際数学オリンピック（1995 年、トロント大会）第 2 問（Oly95）。和訳は本記事による。
図 2 は、$abc=1$ を保ったまま $a=b=s$、$c=\frac1{s^2}$ と動かしたときの左辺のグラフで、$s=1$（$a=b=c=1$）で最小値 $\frac32$ をとっている。